专题03 二次根式的化简求值的类型（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题03 二次根式的化简求值的类型 考点01 利用二次根式的性质直接化简 考点02 二次根式结合乘法公式进行化简求值 考点03 二次根式结合分式进行化简求值 考点04 双重二次根式的化简 考点01 利用二次根式的性质直接化简 1．若，则（　　） A．|a+b|＝0 B．|a﹣b|＝0 C．ab＝0 D．a2+b2＝0 【答案】C 【解答】解：根据二次根式性质转化等式可知： ， ， ∴|a﹣b|＝﹣a﹣b， ∵绝对值具有非负性， ∴﹣a﹣b≥0， 即a+b≤0， 对等式两边平方： （a﹣b）2＝（﹣a﹣b）2， ∴a2﹣2ab+b2＝a2+2ab+b2， ∴﹣4ab＝0， ∴ab＝0， 验证其他选项： 取a＝0，b＝﹣1，满足ab＝0， 此时|a+b|＝1≠0， 故A错误； 取a＝0，b＝﹣1，|a﹣b|＝1≠0， 故B错误； 取a＝0，b＝﹣1，a2+b2＝1≠0， 故D错误， 故选：C． 2．已知|a|＝4，，且，则a+b的值为（　　） A．﹣2或﹣10 B．2或10 C．10 D．﹣10 【答案】B 【解答】解：∵|a|＝4，， ∴a＝±4，b＝±6， ∵， ∴a﹣b＜0， ∴a＝4，b＝6或a＝﹣4，b＝6， ∴a+b＝10或2， 故选：B． 3．实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣1|（　　） A．2a﹣3 B．1 C．﹣3 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：观察数轴可知：1＜a＜2， ∴a﹣1＞0，a﹣2＜0， ∴原式＝a﹣1+（2﹣a） ＝a﹣1+2﹣a ＝1， 故选：B． 4．已知1≤x≤3，则化简后的结果是（　　） A．2 B．4﹣2x C．﹣2 D．2x﹣4 【答案】A 【解答】解：∵1≤x≤3， ∴1﹣x≤0，3﹣x≥0， ∴原式＝x﹣1+3﹣x＝2． 故选：A． 5．已知实数a，b在数轴上的对应点如图，化简：的结果为（　　） A．a B．﹣3a﹣2b C．﹣a D．a+b 【答案】C 【解答】解：观察数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0， ∴原式 ＝﹣a﹣b﹣a﹣（﹣a﹣b） ＝﹣a﹣b﹣a+a+b ＝﹣a 故选：C． 6．化简的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【解答】解：由条件可知x﹣2026≥0， ∴x≥2026， 则 ＝|x﹣2025|﹣（x﹣2026） ＝x﹣2025﹣x+2026 ＝1， 故选：B． 7．若有意义，则（　　） A．a+b B．a﹣b C．﹣a+b D．﹣a﹣b 【答案】D 【解答】解：由条件可得， 由﹣b3≥0得b3≤0，即b≤0； 由（b﹣a）3≥0得b﹣a≥0，即a≤b， ∴a≤b≤0， ∴． 故选：D． 8．已知的值为 　3　 ． 【答案】3 【解答】解：∵0，∴a、b异号， ∵a＞0，∴b＜0， ∴b﹣a﹣4＜0，a﹣b+1＞0， ∴原式＝a﹣b+4﹣（a﹣b+1） ＝a﹣b+4﹣a+b﹣1 ＝3， 故答案为3． 9．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：． 【答案】3b﹣a﹣c． 【解答】解：由题意得a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b， ＝|b+c﹣a|+|c﹣（a+b）|﹣|b﹣（c+a）| ＝b+c﹣a+a+b﹣c﹣（a+c﹣b） ＝3b﹣a﹣c． 10．阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：m，其中m＝5”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式＝mm+1﹣3m＝1﹣2m＝1﹣2×5＝﹣9 乙的解答：原式＝mm+3m﹣1＝4m﹣1＝4×5﹣1＝19 （1）你认为 　甲　 的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：　|a|　 ； （2）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中m． 【答案】（1）甲，|a|； （2）2． 【解答】解：（1）当m＝5时，1﹣3m＜0， ∴|1﹣3m|＝3m﹣1， ∴我认为甲的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：|a|， 故答案为：甲，|a|； （2） ＝|m﹣5|+|3﹣m| 当m时，m﹣5＜0，3﹣m＜0， ∴原式＝5﹣m+m﹣3 ＝2． 考点02 二次根式结合乘法公式进行化简求值 11．若，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解答】解：由题意得，a3b+2a2b2+ab3 ＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2． 又∵，ab＝1， ∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝1×3＝3． 故选：B． 12．若，，则m2﹣n2的值为（　　） A．14 B．7 C．4 D．2 【答案】C 【解答】解：由条件可知，， ∴． 故选：C． 13．已知，，则代数式x2+y2+xy的值等于 　19　 ． 【答案】19． 【解答】解：∵x1，y1， ∴x+y＝2，xy＝6﹣1＝5， ∴x2+y2+xy＝（x+y）2﹣xy＝（2）2﹣5＝24﹣5＝19． 故答案为：19． 14．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式m3+2m2﹣2025m+2026的值是　2026　 ． 【答案】2026． 【解答】解：∵m， ∴m+1． ∴（m+1）2＝2026，即m2+2m+1＝2026． ∴m3+2m2﹣2025m+2026 ＝m3+2m2+m﹣2026m+2026 ＝m（m2+2m+1）﹣2026m+2026 ＝2026m﹣2026m+2026 ＝2026． 故答案为：2026． 15．已知，，求下列各题的值： （1）ab； （2）a2﹣3ab+b2． 【答案】（1）2； （2）10． 【解答】解：（1）原式 ＝5﹣3 ＝2； （2）原式＝a2﹣2ab+b2﹣ab ＝（a﹣b）2﹣ab ＝12﹣2 ＝10． 16．已知：，，求下列代数式的值． （1）xy； （2）x2﹣y2． 【答案】（1）4； （2）． 【解答】解：（1）∵，， ∴xy； （2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）， 当，时 原式 ． 17．已知，． （1）求代数式xy的值； （2）先化简代数式，再求它的值． 【答案】（1）1； （2）． 【解答】解：（1）∵， ∴； （2）原式， ∵，， ∴原式． 18．已知，，求下列代数式的值： （1）x2﹣y2； （2）． 【答案】（1）； （2）14． 【解答】解：（1）∵，， ∴，， ， ∴； （2） ＝12+2 ＝14． 19．计算： （1）； （2）已知，，求下列各式的值： ①x2+2xy+y2； ②x2﹣y2． 【答案】（1）； （2）①12；②． 【解答】解：（1） ； （2）①∵， ∴x2+2xy+y2 ＝（x+y）2 ＝12； ②x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） 把代入（x+y）（x﹣y）得， ． 20．已知． （1）求a2﹣ab+b2的值； （2）若m为b的小数部分，求m的值； （3）在（2）的条件下，求m3+3m2﹣5m+2022的值． 【答案】（1）17； （2）； （3）2021． 【解答】解：（1）∵a2，b2， ∴a﹣b2﹣（2）＝﹣4，ab＝（2）（2）＝1， ∴a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝（﹣4）2+1＝17； （2）由（1）可知，b2， ∵，即23， ∴42＜5， ∴的整数部分是4，小数部分是2﹣42， 即m2； （3）∵， ∴， ∴m3+3m2﹣5m+2022 ＝m2（m+2）+m2﹣5m+2022 ＝2021． 考点03 二次根式结合分式进行化简求值 21．已知a+b＝5，ab＝3，则的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可知a＞0，b＞0， ∴， 故答案为：． 22．已知a+b＝﹣6，ab＝7．则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝7， ∴a＜0，b＜0，a2+2×7+b2＝36， ∴a2+b2＝22， ， 故选：A． 23．计算：　4　 （其中a＞0） 【答案】4 【解答】解：第一项与最后一项相加得： ， ， ， ＝1， 同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1； 所以原式＝1+1+1+1＝4． 故应填：4． 24．已知，，求的值． 【答案】﹣14． 【解答】解：由条件可得， ， ∴． 25．先化简，再求值：，其中x1． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式•， 当x1时， 原式． 26．先化简，再求值：，其中a＝3，． 【答案】0． 【解答】解： （） ＝0； ∴当a＝3时，原式＝0． 27．已知a，求的值． 【答案】． 【解答】解：先将a分母有理化可得： ， ∴， ， ∴原式 ． 28．已知，，求的值． 【答案】． 【解答】解： ， 当，时，原式． 29．已知y，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵y， ∴x0且x≥0， 解得：x， 代入得：y＝8， ∴ 2• 2 2 ． 30．已知的小数部分为a，的小数部分为b． 先化简，再求值：． 【答案】﹣ab，． 【解答】解：∵， ∴， ∴的整数部分为8，小数部分为； 的整数部分为1，小数部分为， ∵原式 ＝﹣ab， ∴原式． 考点04 双重二次根式的化简 31．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（）2+21＝（1）2．于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若7+4，且m、n均为正整数，则m＝　2　 ，n＝　1　 ． （2）若a+b，当a、b均为整数时，则a＝　12　 ，b＝　﹣4　 ． 【拓展延伸】 （3）化简． 【答案】（1）2，1； （2）12，﹣4； （3）． 【解答】解：（1）∵7+4m2+3n2+2mn， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：2，1； （2）∵a+b12﹣4， ∴a＝12，b＝﹣4， 故答案为：12，﹣4； （3）． 32．小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； （2）请你仿照上面的方法化简：； （3）若，其中m＞n，且a，m，n均为正整数，求a+m+n的值． 【答案】（1）； （2）（2）2； （3）32或16． 【解答】解：（1）（2+5）+2； （2）（4+2）﹣2×2（2）2； （3）∵， ∴a+2m+n+2， ∴a＝m+n，mn＝15， ∵a、m、n为正整数，mn＝15＝1×15＝3×5， ∴或或或， ∴m+n＝16或m+n＝8， ∴当m+n＝16时，a＝16． 当m+n＝8时，a＝8． ∴a+m+n＝16+16＝32或a+m+n＝8+8＝16． 33．【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，． 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方的形式； （2）请运用小明的方法化简； （3）将式子化成另一个式子的平方的形式为　　 （a≥0，b≥0）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ， ∴ ； （3） ． 故答案为：． 34．阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道． 例题：求的值． 解：设， 两边平方得：， 即：，x2＝10， ∴， ∵， ∴． （1）则的值是　　 ； （2）请利用上述方法，求的值； （3）若，求n的值． 【答案】（1）；（2）；（3）32． 【解答】解：（1）∵， ∴． 故答案为：； （2）根据题意，设， 两边平方得：， 即， x2＝14， ∴， ∵， ∴； （3）根据题意可知，两边平方， 得， ∴， ， 81﹣n＝49， 解得：n＝32． 35．阅读材料： 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mm＝（m±n）2开方，从而使得化简． 如： 解答问题： （1）填空：　　 ． （2）化简：（请写出计算过程）． （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）； （3） ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式的化简求值的类型 考点01 利用二次根式的性质直接化简 考点02 二次根式结合乘法公式进行化简求值 考点03 二次根式结合分式进行化简求值 考点04 双重二次根式的化简 考点01 利用二次根式的性质直接化简 1．若，则（　　） A．|a+b|＝0 B．|a﹣b|＝0 C．ab＝0 D．a2+b2＝0 2．已知|a|＝4，，且，则a+b的值为（　　） A．﹣2或﹣10 B．2或10 C．10 D．﹣10 3．实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣1|（　　） A．2a﹣3 B．1 C．﹣3 D．﹣1 4．已知1≤x≤3，则化简后的结果是（　　） A．2 B．4﹣2x C．﹣2 D．2x﹣4 5．已知实数a，b在数轴上的对应点如图，化简：的结果为（　　） A．a B．﹣3a﹣2b C．﹣a D．a+b 6．化简的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2025 D．2026 7．若有意义，则（　　） A．a+b B．a﹣b C．﹣a+b D．﹣a﹣b 8．已知的值为 　 　 ． 9．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：． 10．阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：m，其中m＝5”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式＝mm+1﹣3m＝1﹣2m＝1﹣2×5＝﹣9 乙的解答：原式＝mm+3m﹣1＝4m﹣1＝4×5﹣1＝19 （1）你认为 　 　 的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：　 　 ； （2）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中m． 考点02 二次根式结合乘法公式进行化简求值 11．若，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 12．若，，则m2﹣n2的值为（　　） A．14 B．7 C．4 D．2 13．已知，，则代数式x2+y2+xy的值等于 　 　 ． 14．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式m3+2m2﹣2025m+2026的值是　 　 ． 15．已知，，求下列各题的值： （1）ab； （2）a2﹣3ab+b2． 16．已知：，，求下列代数式的值． （1）xy； （2）x2﹣y2． 17．已知，． （1）求代数式xy的值； （2）先化简代数式，再求它的值． 18．已知，，求下列代数式的值： （1）x2﹣y2； （2）． 19．计算： （1）； （2）已知，，求下列各式的值： ①x2+2xy+y2； ②x2﹣y2． 20．已知． （1）求a2﹣ab+b2的值； （2）若m为b的小数部分，求m的值； （3）在（2）的条件下，求m3+3m2﹣5m+2022的值． 考点03 二次根式结合分式进行化简求值 21．已知a+b＝5，ab＝3，则的值为　 　 ． 22．已知a+b＝﹣6，ab＝7．则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 23．计算：　 　 （其中a＞0） 24．已知，，求的值． 25．先化简，再求值：，其中x1． 26．先化简，再求值：，其中a＝3，． 27．已知a，求的值． 28．已知，，求的值． 29．已知y，求的值． 30．已知的小数部分为a，的小数部分为b． 先化简，再求值：． 考点04 双重二次根式的化简 31．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（）2+21＝（1）2．于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若7+4，且m、n均为正整数，则m＝　 　 ，n＝　 　 ． （2）若a+b，当a、b均为整数时，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 【拓展延伸】 （3）化简． 32．小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； （2）请你仿照上面的方法化简：； （3）若，其中m＞n，且a，m，n均为正整数，求a+m+n的值． 33．【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，． 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方的形式； （2）请运用小明的方法化简； （3）将式子化成另一个式子的平方的形式为　 （a≥0，b≥0）． 34．阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道． 例题：求的值． 解：设， 两边平方得：， 即：，x2＝10， ∴， ∵， ∴． （1）则的值是　 　 ； （2）请利用上述方法，求的值； （3）若，求n的值． 35．阅读材料： 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mm＝（m±n）2开方，从而使得化简． 如： 解答问题： （1）填空：　 　 ． （2）化简：（请写出计算过程）． （3）． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $