精品解析：河北邯郸冀南新区凌云中学2025-2026学年第二学期高一年级第一次月考数学试卷

2025-2026学年第二学期高一年级第一次月考 数学试卷 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数是实数，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 【答案】B 【解析】 【分析】利用实数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 3. 已知三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，， 由.故D正确. 4. 已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，由此求得，进而确定正确答案. 【详解】因为，所以 ， 由于， 所以. 5. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理，， 又为三角形内角，所以.故D正确. 6. 在中，点满足．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图： 因为，，所以，. ， 所以，，所以. 7. 在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】中，，则， 又，则， 由，可得，代入， 则有，则，则， 又，则的形状是等边三角形. 8. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算结果一定为零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量加法运算法则和运算律逐项判断即可. 【详解】，故A正确； ，不一定为，故B错误； ，不一定为，故C错误； ，故D正确. 10. 若复数z满足：是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为i B. z在复平面上对应的点位于第一象限 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】因为， 所以复数z的虚部为1，故A错误； 复数z对应的点为，在第一象限，故B正确； 又因为，复数z的共轭复数为，所以，故C错误； ，故D正确. 11. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若与共线，与共线，则与共线 C. 若，则 D. 若与都是单位向量，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A：单位向量的模都为1，但方向不确定，所以单位向量都相等是错误的.故A错误； 对B：若，，，则与共线，与共线，但与不一定共线，故B错误； 对C：因为，故C正确； 对D：若与都是单位向量，则，只有当时，才有，故D错误. 第II卷（非选择题，共92分) 三、填空题（共15分） 12. 若向量满足，，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的充要条件列方程（组）可求解. 【详解】因为，，， 方法一：所以，解得. 方法二：所以存在非零实数k，使得，即， 所以，解得. 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】． 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 四、解答题（共77分） 15. ；求满足上述条件的实数x，y的值； 【答案】 【解析】 【分析】利用复数相等的条件得到方程组，即可求解. 【详解】，故，解得. 16. 已知，. （1）若与同向，求； （2）若，的夹角为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先理解同向向量夹角为，再将相应数据代入数量积公式求解即可； （2）根据数量积的性质展开求解即可. 【小问1详解】 因为与同向，所以，且与的夹角为. 所以. 【小问2详解】 因为 ， 所以. 17. 在中，内角的对边分别是，若， （1）求边， （2）求． 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求边. （2）利用勾股定理的逆定理判断的形状，再求角. 【小问1详解】 由余弦定理，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以为直角三角形，，. 18. 已知向量，其中． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，，然后再根据垂直关系即可求出； （2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ，解得． 【小问2详解】 由与的夹角为钝角，得且与方向不相反， 所以且，解得且. 所以实数的取值范围为． 19. 已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解； （2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定的范围，将转换成，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可. 【小问1详解】 由正弦定理，，，可得：  ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； 【小问2详解】 由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级第一次月考 数学试卷 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数是实数，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 3. 已知三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 5. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，点满足．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算结果一定为零向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 若复数z满足：是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为i B. z在复平面上对应的点位于第一象限 C. D. 11. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若与共线，与共线，则与共线 C. 若，则 D. 若与都是单位向量，则 第II卷（非选择题，共92分) 三、填空题（共15分） 12. 若向量满足，，，则_____________. 13. 计算：______． 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 四、解答题（共77分） 15. ；求满足上述条件的实数x，y的值； 16. 已知，. （1）若与同向，求； （2）若，的夹角为，求. 17. 在中，内角的对边分别是，若， （1）求边， （2）求． 18. 已知向量，其中． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 19. 已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $