专题04勾股定理的逆定理及其应用期中复习讲义 (8大题型+题型突破)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题04勾股定理的逆定理及其应用期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记逆定理内容：三边满足 a2+b2=c2 → 直角三角形 2.分清勾股定理（性质）与逆定理（判定） 3.认识勾股数，记住常见勾股数 1.会用三步法（找最长边→算平方→比大小）判定直角三角形 2.会在网格 / 图形中识别、构造直角三角形 3.会用逆定理解决实际问题（测垂直、算距离等） 1.基础题：秒判直角三角形 / 勾股数 2.图形题：网格 / 坐标系题型稳拿分 3.综合题：用逆定理作为解题突破口 4.答题规范：步骤清晰，不丢过程分 题型01.由三边长判断直角三角形 题型02.找两点构成直角三角形的点 题型03.网格中判断直角三角形 题型04.逆定理证算直角三角形 题型05.逆定理的实际生活应用 题型06.逆定理的拓展探究题 题型07.勾股定理与逆定理综合计算 题型08.分类讨论直角三角形存在性 解答题4题 【左图：构造辅助直角三角形（用于逆定理证明），体现勾股定理；右图：待判定三角形，体现逆定理】 知识点01:勾股定理 勾股定理回顾（原定理） 在Rt△ABC中，若∠C=90°，三边长为a,b,c（c为斜边）， 则：a2+b2=c2（作用：已知直角三角形，求边长） 知识点02:勾股定理的逆定理 文字表述：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 符号语言：在△ABC 中，若a2+b2=c2，则△ABC 是直角三角形，∠C=90°。 作用：由三边关系判定直角三角形（判定定理） 知识点03:互逆命题与互逆定理 原命题（勾股定理）：直角三角形→a2+b2=c2 逆命题（逆定理）：a2+b2=c2→直角三角形 二者互为互逆定理，原定理是性质，逆定理是判定。 知识点04:逆定理的证明 作 Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b； 由勾股定理得A′B′2=a2+b2=c2，故A′B′=c； △ABC≌△A'B'C'（SSS），得∠C=∠C'=90°，即△ABC 为直角三角形。 知识点05:勾股数 定义：满足a2+b2=c2的正整数a,b,c称为勾股数。 常见必记勾股数（整数倍仍成立）：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,12,15 等。 知识点06:判断直角三角形的标注步骤 1.找最长边：确定三边中最长边（记为c）。 2.算平方和：计算两短边的平方和a2+b2，与最长边平方c2。 3.比大小、判形状： a2+b2=c2 → 直角三角形（最长边对直角）； a2+b2>c2 → 锐角三角形； a2+b2<c2 → 钝角三角形。 知识点07:易错点提醒 1.必须先找最长边再验证，不可随意代入； 2.勾股数必须是正整数，小数 / 分数满足关系可判直角，但不算勾股数； 3.逆定理仅能判定直角，不能直接判定等腰 / 等边； 4.a2+b2=c2是常用形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+c2也为直角三角形，此时a或b为斜边。 题型01:由三边长判断直角三角形 【典例】已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理是解决问题的关键．由三边长度利用勾股定理的逆定理可判定此三角形为直角三角形，则最大角可求． 【详解】解：， ∴此三角形为直角三角形， 则三角形最大内角度数为． 故答案为： ． 【跟踪专练1】若一个三角形的三边长分别为，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】B 【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，进而推出，即可得出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴三角形为直角三角形. 【跟踪专练2】已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 【答案】30 【分析】根据非负数的性质求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，最后根据三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵，，，且 ∴，，， 解得，，． ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，直角边为和， ∴的面积为． 【跟踪专练3】如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 题型02:找两点构成直角三角形的点 【典例】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 【跟踪专练1】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 【跟踪专练2】如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 【跟踪专练3】.如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴ 题型03:网格中判断直角三角形 【典例】如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的顶点上），则图中的度数为___________． 【答案】90°/90度 【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，即可解答． 【详解】解：由题意得：AB2=22+42=20， CB2=22+12=5， AC2=32+42=25， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC=90°， 故答案为：90°． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【跟踪专练2】如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，则中边上的高与边上的高的差为________．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，二次根式的性质，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得中边上的高为，然后设边上的高为，再利用面积法进行计算可求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， 是直角三角形， ， 中边上的高为， 设边上的高为， 在中，，， 解得： 中边上的高与边上的高的差为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点E，连接，，，由勾股定理结合可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理逆定理得为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，， 由格点三角形得， ， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， . 题型04:逆定理证算直角三角形 【典例】一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为_____． 【答案】/150平方厘米 【分析】先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论． 【详解】解：三角形的三边长的比为， 设三角形的三边长分别为，，． 其周长为， ，解得， 三角形的三边长分别是15，20，25． ， 此三角形是直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，则的度数为____________．    【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 题型05:逆定理的实际生活应用 【典例】，， 三地的两两距离如图所示，地在地的正西方向，那么地在地的________________方向上． 【答案】正南 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，能够利用直角三角形判断方向角．由题中数据可得为直角三角形，所以点，在一条垂线上，进而可得出其方向角． 【详解】解：， 为直角三角形， 地在地的正南方向上， 故答案为：正南． 【跟踪专练1】据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 【跟踪专练2】如图是某工厂的平面图经测量． （1）则___________度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为___________米． 【答案】 160 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）连接，可得，利用勾股定理可得，则可证明，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．可证明，得到．求出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，同理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为；； （2）如图，过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即直线上被摄像头监控到的公路长度为， 故答案为：160． 【跟踪专练3】如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【详解】解：连接， ，，， ∴， ， ，， ∴，， ，则为直角三角形，且， 这块地的面积为． 故选：B． 题型06:逆定理的拓展探究题. 【典例】根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 【跟踪专练1】若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【跟踪专练2】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 【跟踪专练3】已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 题型07:勾股定理与逆定理综合计算 【典例】已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】先计算出三角形三边的平方，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 【跟踪专练1】体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可． 【详解】解；如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这块地的面积， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是_______． 【答案】114 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 题型08:分类讨论直角三角形存在性 【典例】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 【跟踪专练1】如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 【跟踪专练3】小亮在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为；同样，若在y轴上的两点坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为．如图，在直角坐标系中的任意两点，其坐标分别为和，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边，，利用勾股定理可得：线段的长为． 根据上面材料，回答下面的问题： (1)在平面直角坐标系中，已知，，则线段的长为______； (2)若点C在y轴上，点D的坐标是，且，则点C的坐标是______； (3)已知的三个顶点坐标分别为，，，求点C坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）根据勾股定理列式计算即可； （2）设点C的坐标为，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）先分别计算三边的长度，再根据直角三角形的斜边不确定分三种情况讨论，然后由勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设点C的坐标为， ∵点D的坐标是，且， ∴， 解得：或， ∴点C的坐标为或； （3）解：∵的三个顶点坐标分别为，，， ∴， ，， 分以下三种情况讨论： 当为直角三角形的斜边时，， ∴， 解得或； 当为直角三角形的斜边时，， ∴， 解得； 当为直角三角形的斜边时，， ∴， 解得； 综上所述，点C坐标为或或或． 【解答题】 1.如图所示，某中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．． (1)求出空地的面积． (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 【答案】(1) (2)总共需投入元 【分析】（1）直接利用勾股定理求出，再用勾股定理的逆定理得出，再根据进行求解即可； （2）利用（1）中所求计算出所需费用即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ （2）解：元， ∴总共需投入元． 2.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 【答案】(1)；； (2)见解析 【详解】（1）解：依题意，，， （2）解：∵ ∴， ∴是直角三角形，． 3.如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 【答案】(1)米 (2)种植草皮的面积为96平方米 【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘法等． （1）根据题意连接，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，继而利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米． 4.定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04勾股定理的逆定理及其应用期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记逆定理内容：三边满足 a2+b2=c2 → 直角三角形 2.分清勾股定理（性质）与逆定理（判定） 3.认识勾股数，记住常见勾股数 1.会用三步法（找最长边→算平方→比大小）判定直角三角形 2.会在网格 / 图形中识别、构造直角三角形 3.会用逆定理解决实际问题（测垂直、算距离等） 1.基础题：秒判直角三角形 / 勾股数 2.图形题：网格 / 坐标系题型稳拿分 3.综合题：用逆定理作为解题突破口 4.答题规范：步骤清晰，不丢过程分 题型01.由三边长判断直角三角形 题型02.找两点构成直角三角形的点 题型03.网格中判断直角三角形 题型04.逆定理证算直角三角形 题型05.逆定理的实际生活应用 题型06.逆定理的拓展探究题 题型07.勾股定理与逆定理综合计算 题型08.分类讨论直角三角形存在性 解答题4题 知识点01:勾股定理 勾股定理回顾（原定理） 在Rt△ABC中，若∠C=90°，三边长为a,b,c（c为斜边）， 则：a2+b2=c2（作用：已知直角三角形，求边长） 知识点02:勾股定理的逆定理 文字表述：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 符号语言：在△ABC 中，若a2+b2=c2，则△ABC 是直角三角形，∠C=90°。 作用：由三边关系判定直角三角形（判定定理） 知识点03:互逆命题与互逆定理 原命题（勾股定理）：直角三角形→a2+b2=c2 逆命题（逆定理）：a2+b2=c2→直角三角形 二者互为互逆定理，原定理是性质，逆定理是判定。 知识点04:逆定理的证明 作 Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b； 由勾股定理得A′B′2=a2+b2=c2，故A′B′=c； △ABC≌△A'B'C'（SSS），得∠C=∠C'=90°，即△ABC 为直角三角形。 知识点05:勾股数 定义：满足a2+b2=c2的正整数a,b,c称为勾股数。 常见必记勾股数（整数倍仍成立）：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,12,15 等。 知识点06:判断直角三角形的标注步骤 1.找最长边：确定三边中最长边（记为c）。 2.算平方和：计算两短边的平方和a2+b2，与最长边平方c2。 3.比大小、判形状： a2+b2=c2 → 直角三角形（最长边对直角）； a2+b2>c2 → 锐角三角形； a2+b2<c2 → 钝角三角形。 1.必须先找最长边再验证，不可随意代入； 2.勾股数必须是正整数，小数 / 分数满足关系可判直角，但不算勾股数； 3.逆定理仅能判定直角，不能直接判定等腰 / 等边； 4.a2+b2=c2是常用形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+c2也为直角三角形，此时a或b为斜边。 题型01:由三边长判断直角三角形 【典例】已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为_________． 【跟踪专练1】若一个三角形的三边长分别为，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【跟踪专练2】已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 【跟踪专练3】如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 题型02:找两点构成直角三角形的点 【典例】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【跟踪专练1】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【跟踪专练3】.如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 题型03:网格中判断直角三角形 【典例】如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的顶点上），则图中的度数为___________． 【跟踪专练1】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则______． 【跟踪专练2】如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，则中边上的高与边上的高的差为________．    【跟踪专练3】如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 题型04:逆定理证算直角三角形 【典例】一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，则的度数为____________．    【跟踪专练3】如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 题型05:逆定理的实际生活应用 【典例】，， 三地的两两距离如图所示，地在地的正西方向，那么地在地的________________方向上． 【跟踪专练1】据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 【跟踪专练2】如图是某工厂的平面图经测量． （1）则___________度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为___________米． 【跟踪专练3】如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 题型06:逆定理的拓展探究题. 【典例】根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【跟踪专练1】若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【跟踪专练2】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【跟踪专练3】已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 题型07:勾股定理与逆定理综合计算 【典例】已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【跟踪专练1】体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 【跟踪专练2】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是_______． 【跟踪专练3】如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型08:分类讨论直角三角形存在性 【典例】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【跟踪专练1】如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 【跟踪专练3】小亮在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为；同样，若在y轴上的两点坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为．如图，在直角坐标系中的任意两点，其坐标分别为和，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边，，利用勾股定理可得：线段的长为． 根据上面材料，回答下面的问题： (1)在平面直角坐标系中，已知，，则线段的长为______； (2)若点C在y轴上，点D的坐标是，且，则点C的坐标是______； (3)已知的三个顶点坐标分别为，，，求点C坐标． 【解答题】 1.如图所示，某中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．． (1)求出空地的面积． (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 2.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 3.如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 4.定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $