专题08 数列求和问题（4大高频考点）（期中真题汇编，四川专用）高二数学下学期人教A版

专题08 数列求和问题 高频考点概览 考点01裂项相消求和 考点02错位相减求和 考点03分组、并项求和 考点04数列求和与不等式综合 地 城 考点01 裂项相消求和 一、选择题 1．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·四川达州·期中)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，从第3项开始，每一项都等于前两项之和.删去0后，记此数列为，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·四川西充中学·期中)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 二、解答题 4．设数列是等差数列，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 6．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 问题：已知等差数列为其前n项和，若______________． (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 7．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知数列的前项和为，且. （1）若数列是等比数列，求的取值； （2）求数列的通项公式； （3）记，求数列的前项和. 8．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 地 城 考点02 错位相减求和 一、选择题 1．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知数列满足，．数列满足，，且数列是等比数列．设数列的前n项和为，则满足不等式成立的整数n的最小值为（   ） A．99 B．100 C．199 D．200 二、填空题 2．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)设数列的前项和为，且，则数列的前项和为___________. 三、解答题 3．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)已知数列为等差数列，数列为单调递增的等比数列，，且，． (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 6．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,. （1）求数列的通项公式 （2）记,求数列的前项和. 7．(24-25高二下·四川西充中学·期中)已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和． 8．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且． (1)求数列和的通项公式． (2)求数列的前项和． 9．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 10．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知等差数列的前项和满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求数列的前项和. 11．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知数列的前项和为，且 (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前项和为 (3)若，求正整数的所有取值． 12．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，我国的5G+技术领先世界．目前某区域市场中5G+智能终端产品的制造只由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G+商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中恰有转而采用A公司技术，采用A公司技术的恰有转而采用B公司技术，设第次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响． (1)求与的递推关系式 (2)求数列的通项公式 (3)设，求的前项和 地 城 考点03 分组、并项求和 一、选择题 1．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)等比数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知数列满足则其前9项和等于（    ） A．150 B．180 C．300 D．360 二、多选题 3．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列满足，，的前n项和为，则（    ） A． B．是等比数列 C． D． 4．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（    ）（参考公式：） A． B．是等比数列 C．函数单调递增 D．原书中该“堆垛问题”的结果为15180 三、填空题 5．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知数列满足的前项和为，若，则_____． 6．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)已知数列的前n项和为，，且，若，则______． 四、解答题 7．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 8．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 9．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且. (1)求、的通项公式： (2)求数列的前项和． 10．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 地 城 考点04 数列求和与不等式综合 一、多选题 1．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．数列是递减数列 B． C．时，n的最大值是18 D． 2．(24-25高二下·四川雅安中学·期中)已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最小 3．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（   ） A．数列的通项公式 B．数列的通项公式 C． D． 二、填空题 4．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 5．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____. 6．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ；记，则的值为 （其中[x]为不超过实数的最大整数，如）． 7．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 __________. 三、解答题 8．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式和； (2)若，若数列的前项和为，求证． 9．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)已知数列的前项和为，，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围. 10．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式和前项和； (3)记，求数列的前项和，并证明. 11．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知数列，若，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求； (3)若，且数列的前项和为，求证：. 12．(24-25高二下·四川达州·期中)已知正项数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围． 13．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)已知数列满足，其中． (1)设，求证：数列是等差数列； (2)在（1）的条件下，求数列的前项和； (3)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 14．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设，数列的前项和为 ①求； ②若恒成立，求实数的最大值． 15．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为. (ⅰ)求． (ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 16．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)求出的通项公式； (3)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 17．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知数列满足：，正项数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记为数列的前项积，证明：. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数列求和问题 高频考点概览 考点01裂项相消求和 考点02错位相减求和 考点03分组、并项求和 考点04数列求和与不等式综合 地 城 考点01 裂项相消求和 一、选择题 1．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以当时，，，…，，累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式，所以，故选：B． 2．(24-25高二下·四川达州·期中)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，从第3项开始，每一项都等于前两项之和.删去0后，记此数列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，所以，，，上述各式相加得.故选：D 3．(24-25高二下·四川西充中学·期中)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可知：，于是有，，即，由累加法可知， 显然可得： ，A选项正确，，B选项不正确；，由裂项相消法可得，C选项正确； 令，∵，即，∴，即，D选项错误.故选：AC. 二、解答题 4．设数列是等差数列，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即：，解得：， 所以，即：. （2）由（1）知，， 所以. 5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，由，当时，，符合 综上所述，； （2）， 则； 故. 6．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 问题：已知等差数列为其前n项和，若______________． (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【详解】（1）若选①：在等差数列中，， 当时，， 也符合，∴； 若选②：在等差数列中，，，解得 ； 若选③：在等差数列中，，解得 ； （2）证明：由（1）得， 所以 7．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知数列的前项和为，且. （1）若数列是等比数列，求的取值； （2）求数列的通项公式； （3）记，求数列的前项和. 【详解】（1）由，得， 当时，，即，所以，， 依题意，，解得. （2）有（2）知，所以，又因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以. （3）由（2）知， 则. 8．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）由， 当时，，当时，可得， 两式相减得：，所以有， 也符合上式，所以； （2）当时，有 当时，有， 所以有 . 地 城 考点02 错位相减求和 一、选择题 1．(24-25高二下·四川资阳安岳中学·期中)已知数列满足，．数列满足，，且数列是等比数列．设数列的前n项和为，则满足不等式成立的整数n的最小值为（   ） A．99 B．100 C．199 D．200 【答案】C 【详解】由，得，则数列为常数列，，因此，，由数列是等比数列，得数列的公比为2，，又，则，，，两式相减，得，则， 不等式，解得，所以不等式成立的整数n的最小值为199.故选：C 二、填空题 2．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)设数列的前项和为，且，则数列的前项和为___________. 【答案】 【详解】由，得，当时，，解得； 当时，，整理得， 则，数列是常数列，因此， ，，设数列的前项和为， ， 于是， 两式相减得， 则，所以数列的前项和为. 故答案为： 三、解答题 3．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）由， 所以是首项、公比均为3的等比数列，故 所以. （2）由（1）有，则， 所以， 两式相减，得 所以. 4．(24-25高二下·四川资阳中学·期中)已知数列为等差数列，数列为单调递增的等比数列，，且，． (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因，，则，得， 所以，所以，， 因数列为单调递增的等比数列，则可设数列的公比为， 因为，所以，得或（舍）， 所以，解得， 所以， 则数列的通项公式为，的通项公式为. （2）由（1）知， 所以， 所以， 两式相减得 ， 所以． 5．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 【详解】（1）当时，； 当时，即，而，故，， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以经验证满足通项，所以. （2）由（1）得，则， ， 两式做差可得， 所以. 6．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,. （1）求数列的通项公式 （2）记,求数列的前项和. 【详解】（1）由题意，得.又， ∴，∴，                                                 ∵，∴或，                                         ∵，∴.                                                             ∴.                                                     （2）由（Ⅰ），知.∴.                                ∴.                             ∴.                             ∴ .                                             ∴. 7．(24-25高二下·四川西充中学·期中)已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和． 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 由，得， 由成等比数列，得，即， 则，整理得，而，解得， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得， 则， 因此， 两式相减得， 则， 所以的前n项和. 8．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且． (1)求数列和的通项公式． (2)求数列的前项和． 【详解】（1）解：设等比数列的公比为，由，可得， 因为，可得， 可得，即， 整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去； 当，可得，所以数列的通项公式为，则. 又由，且数列是公差为1的等差数列， 可得，即，解得， 所以故数列的通项公式为． （2）由（1）知：，，可得， 因为数列的前项和为，可得，则， 两式相减，可得， 所以． 9．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. （2）,所以 故所以 ， . 10．(24-25高二下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)已知等差数列的前项和满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求数列的前项和. 【详解】（1））设等差数列的公差为， 由，，可得，，即，， 解得，，则； （2），则， 所以． （3）， ①， ②， ①②得：， 整理得：． 11．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知数列的前项和为，且 (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前项和为 (3)若，求正整数的所有取值． 【详解】（1）当时，有，解得. 当时，有，， 作差可得，所以有， 所以有.又， 所以数列为以为首项，为公差的等差数列，所以. （2）由（1）可知，，则. 所以，， 则， 作差可得，， 所以，. （3）由（1）（2）可知，，.所以，，. 由可得，，整理可得. 令， 易知在上单调递增，在上单调递增， 所以，在上单调递增. 又， ，，， 所以，当时，有，即在时不成立. 所以可取1，2，3. 12．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，我国的5G+技术领先世界．目前某区域市场中5G+智能终端产品的制造只由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G+商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中恰有转而采用A公司技术，采用A公司技术的恰有转而采用B公司技术，设第次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响． (1)求与的递推关系式 (2)求数列的通项公式 (3)设，求的前项和 【详解】（1）由题意可知经过次技术更新后， 则，即， （2）由题意，可设，所以， 又，所以 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以 （3）又，则， 所以：， 两式相减得： 地 城 考点03 分组、并项求和 一、选择题 1．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)等比数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 故， 因此，.故选：C. 2．(24-25高二下·四川成都第十七中学·期中)已知数列满足则其前9项和等于（    ） A．150 B．180 C．300 D．360 【答案】B 【详解】因为所以所以其前9项和等于，故选:B. 二、多选题 3．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列满足，，的前n项和为，则（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，由，则，故A正确；对于B，由，则，故B正确；对于C，由B可知数列是以为公比，以为首项的等比数列，则，即，故C错误；对于D，，故D错误.故选：AB. 4．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（    ）（参考公式：） A． B．是等比数列 C．函数单调递增 D．原书中该“堆垛问题”的结果为15180 【答案】ACD 【详解】依题意，每层的果子数分别为，则数列的通项， A，，A对；B，时，，所以，则为等差数列，B错；C， ，则，单调递增，C对；D，，D对.故选：ACD 三、填空题 5．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)已知数列满足的前项和为，若，则_____． 【答案】2 【详解】由，可知：当为偶数时，，当为奇数时，，所以，即，化简可得，由此解得.故答案为： 6．(24-25高二下·四川绵阳南山中学·期中)已知数列的前n项和为，，且，若，则______． 【答案】25 【详解】当时，，，，，，，，，，则数列从第6项开始，数列为周期为3的周期数列，一个周期三项的和为7．因为；所以，由，，得，所以，所以．故答案为：25． 四、解答题 7．(24-25高二下·四川遂宁安居区高·期中)已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 8．(24-25高二下·四川成都石室中学·期中)已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 【详解】（1）因为为和的等比中项，所以， 又因为数列是首项为2且公差不为0的等差数列， 则，所以，，. （2）因为 所以数列的前2022项的和为： . 9．(24-25高二下·四川眉山县级学校·期中)设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且. (1)求、的通项公式： (2)求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，设等比数列的公比为， 因为，所以，即， ，即，则， 所以，整理可得即， 解得或（舍去）. 所以，则，解得或（舍去），故. 所以，. （2）由（1）知，，则. . 10．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 地 城 考点04 数列求和与不等式综合 一、多选题 1．(24-25高二下·四川内江第一中学·期中)已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．数列是递减数列 B． C．时，n的最大值是18 D． 【答案】BC 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，因为，所以.A：由，可得，所以等差数列为递增数列，故A错误； B：，故B正确；C：， 由可得，所以，又，所以n的最大值是18，故C正确；D：，，由，得，故D错误.故选：BC. 2．(24-25高二下·四川雅安中学·期中)已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最小 【答案】BCD 【详解】因为，所以.因为，所以，所以，故B正确. 所以，数列为递减数列，A错误；又，所以，所以时，，时，，所以数列中最大，因为，所以，所以，故D正确.故选：BCD. 3．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（   ） A．数列的通项公式 B．数列的通项公式 C． D． 【答案】ACD 【详解】依题意，，设，由为正三角形，直线的方程为，由，得，则，由，则的横坐标为，纵坐标为， 且在曲线上，则，又，即，得，则，当时，，两式相减得，，因此，数列是以为首项，以为公差的等差数列，对于A，，A正确；对于B，由，得 ，B错误；对于C，正面积，则，C正确；对于D，由，得，，当时，，则 ，D正确.故选：ACD 二、填空题 4．(24-25高二下·四川成都盐道街中学·期中)已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由，，， ，则，由函数在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，所以当时，取最小值的取值范围是.故答案为：. 5．(24-25高二下·四川成都列五中学·期中)已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】当时，，因为，当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式，所以，所以，当时，，当时，， 若对任意恒成立，所以，即实数的取值范围为.故答案为：. 6．(24-25高二下·四川成都树德中学·期中)已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ；记，则的值为 （其中[x]为不超过实数的最大整数，如）． 【答案】 18 【详解】因为，所以，，又，所以，，所以当时，，当时，，综上所述，，，注意到，， 所以， 故.故答案为：，18. 7．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 __________. 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为.由，得：由，得：将代入上式：化简得：因此，公差，通项公式为：在与之间插入个数，构成项的等差数列，其公差为：设，则 故，所以单调递增，最小值为.数列的最小值：，当时，.对任意，存在，使得.由于且，只需保证，即.故答案为：. 三、解答题 8．(24-25高二下·四川天立教育集团·期中)已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式和； (2)若，若数列的前项和为，求证． 【详解】（1），， 联立，解得， 所以的通项公式，前项和. （2）， 所以，时，， 时，符合上式，所以 因为，所以. 9．(24-25高二下·四川绵阳外国语学校·期中)已知数列的前项和为，，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）法1：由，得，而，当时， ， 而满足上式，所以. 法2：由，得，则， 因此数列是常数列，则，即， 所以. （2）由（1）得，当时，， 则，而满足上式， 所以的通项公式. （3）由（2）得，依题意，对任意的都成立， 设函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，因此当时，，则， 所以的取值范围是. 10．(24-25高二下·四川射洪中学校·期中)已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式和前项和； (3)记，求数列的前项和，并证明. 【详解】（1）证明：因为数列满足，可得， 又因为，可得，从而可得，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列， 可得，所以， 则数列的前项和为. （3）解：由（2）知：，可得， 所以， 所以， 当时，易知关于是单调递增数列， 当时，取得最小值，最小值为， 又因为，可得，所以. 11．(24-25高二下·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知数列，若，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求； (3)若，且数列的前项和为，求证：. 【详解】（1）因为，所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则. （2）由（1）可得，所以 所以 （3）由（1）可得 易知在上单调递增，且恒成立，所以 故得证. 12．(24-25高二下·四川达州·期中)已知正项数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围． 【详解】（1）由，得， 两式相减得，即． 因为，所以，即． 当时，，解得或（舍去）， 所以是首项为7，公差为3的等差数列，故， 因为，① 所以当时，，② ①-②得，也满足． 故的通项公式为，的通项公式为． （2）因为， 所以，当时，取得最小值． 因为对任意，恒成立，所以， 整理得，解得． 13．(24-25高二下·四川成都第十二中学·期中)已知数列满足，其中． (1)设，求证：数列是等差数列； (2)在（1）的条件下，求数列的前项和； (3)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【详解】（1）证明：， 数列是首项为2，公差为2的等差数列， （2），， ，， 得：，其中，是首项， 公比的等比数列的前项和，根据等比数列的前项和公式， 这里的首项，公比，项数为， ， 所以，. （3）存在，理由如下： 则， 若对任意的，都有，则等价于恒成立， 即恒成立，， 当为偶数时，，则， 当为奇数时，时，则 综上，存在，使得对任意的，都有． 14．(24-25高二下·四川广元直属普通高中·期中)若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设，数列的前项和为 ①求； ②若恒成立，求实数的最大值． 【详解】（1）由题知，，即， 当时，，所以， 所以数列是“平方递推数列”. （2）①由（1）知，数列是“平方递推数列”，且， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 两式相减得，， 则， 当时，，符合上式， 当时，，符合上式， 所以. ②由①知，，则， 所以恒成立， 可得恒成立，即，即， 令，则，所以，当且仅当，即时，取等， 所以，即实数的最大值为. 15．(24-25高二下·四川成都外国语学校·期中)已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为. (ⅰ)求． (ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1），，又， 所以， 又， ， 数列中任意一项不为0，， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列，则.          . （2）(ⅰ) 由第（1）问知， ，则，设数列的前项和为， 所以①，②， 所以①-②可得：， 所以.                                   . (ⅱ)由，得，化简得. 当为奇数时，有，即，而，所以； 当为偶数时，有，而，所以. 综上，的取值范围为. 16．(24-25高二下·四川成都养马高级中学·期中)已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)求出的通项公式； (3)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）数列是首项为3，公比为3的等比数列，， （2）当时，， 即，，. 又也满足上式，数列的通项公式为 （3）由（1），可得， ①，②， 由①-②，得， ， 不等式可化为，即对任意的恒成立， 令且为递增数列，即转化为.又，所以， 综上，λ的取值范围是 17．(24-25高二下·四川成都金牛区成都七中·期中)已知数列满足：，正项数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记为数列的前项积，证明： 【详解】（1）， 当时，，即，， 等式两边同除以得①， 当时，②，两式相减有：， ，经检验，也满足上式，故. 因为，则当时，， 累加可得：，且， . 经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故. （2）， ， 令，则， 两式相减可以得到：，. 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； 故当为偶数时，，当为奇数时：， . （3）因为，所以， 证明不等式左边： ， 证明不等式右边： ，得证. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $