精品解析：四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

安岳中学高2023级第四学期半期考试 数 学 试 题 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A. 2.1 B. 0.21 C. 1.21 D. 0.121 2. 已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d, e，－4成等比数列，则＝（　　） A. B. － C. D. 或－ 3. 已知函数，则曲线在处的切线斜率为（　　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 4. 设等差数列的前项和分别是，若，则（ ） A B. C. D. 5. 如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为（ ） ① ② ③ ④ A. 24 B. 80 C. 72 D. 96 6. 已知函数的导函数为，若，则函数的图像可能是 A. B. C. D. 7. 已知数列满足，．数列满足，，且数列是等比数列．设数列的前n项和为，则满足不等式成立的整数n的最小值为（ ） A. 99 B. 100 C. 199 D. 200 8. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 为正整数且 B. 满足方程的值可能为或 C. 甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法 D. 把个相同小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种 10. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ） A. 若，则，； B. 若，则使最大的n为15； C. 若，，则中最大； D 若，则. 11. 已知函数，函数，下列选项正确的是（ ） A. 点是函数的零点； B. ，，使 C. 若关于的方程有一个根，则实数的取值范围是 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数的个数为__________． 13. 已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为______________. 14. 若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和． 16. 现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球. （1）将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数； （2）从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数； （3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数 17. 已知函数，其导函数为，且. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程 (Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）若数列是等比数列，求的取值； （2）求数列的通项公式； （3）记，求数列的前项和. 19. 已知函数. （1）时，求函数的极值； （2）时，讨论函数的单调性； （3）若对任意，当 时，恒有 成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安岳中学高2023级第四学期半期考试 数 学 试 题 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A. 2.1 B. 0.21 C. 1.21 D. 0.121 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均变化率的公式求解即可. 【详解】， 所以函数在区间上的平均变化率为. 故选：A 2. 已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d, e，－4成等比数列，则＝（　　） A. B. － C. D. 或－ 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为－1，a，b，－4成等差数列，所以公差为，所以；因为－1，c，d, e，－4成等比数列，所以，，所以．所以=． 考点：等差数列的性质；等比数列的性质． 点评：在等比数列中，所有的奇数项一定同号，所有的偶数项也一定同号． 3. 已知函数，则曲线在处的切线斜率为（　　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求得的导函数，令求出，则求得曲线在处的切线斜率． 【详解】的导数为 令可得，解得， 曲线在处的切线斜率为 故选A 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键是明确切点处的导函数值即为斜率，属于一般题． 4. 设等差数列的前项和分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和公式及求解. 【详解】因为等差数列，前n项和分别是， 所以. 故选：B 5. 如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为（ ） ① ② ③ ④ A. 24 B. 80 C. 72 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】先分同时种植4种农作物和3种农作物两种情况，再按排列或组合及计数原理进行求解. 【详解】至少同时种植3种不同农作物可分两种情况： 第一种，种植4种农作物，有种不同的种植方法； 第二种，种植3种农作物，则有2块不相邻的地种植同一种农作物， 有①③、②④、①④这三种情况，每一种情况都有种不同的种植方法． 则至少同时种植3种不同农作物的种植方法有种． 故选：D. 6. 已知函数的导函数为，若，则函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义和，确定函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，即可得出结论． 【详解】函数的导函数为， ， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故选：D． 【点睛】本题考查函数的图象与其导函数的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 7. 已知数列满足，．数列满足，，且数列是等比数列．设数列的前n项和为，则满足不等式成立的整数n的最小值为（ ） A. 99 B. 100 C. 199 D. 200 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列，进而求出的通项，再利用错位相减法求和并解不等式即得. 【详解】由，得，则数列为常数列，，因此， ，由数列是等比数列，得数列的公比为2， ，又，则，， ，两式相减， 得，则， 不等式，解得， 所以不等式成立的整数n的最小值为199. 故选：C 8. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果. 【详解】由且得： 令，可知在上单调递增 在上恒成立，即： 令，则 时，，单调递减；时，，单调递增 ，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 为正整数且 B. 满足方程的值可能为或 C 甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法 D. 把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用排列组合数公式及性质计算判断AB；利用插空法求得排列数判断C；利用隔板法求得总的方法数判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由，得或，解得或，B正确； 对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，共有排法，C错误； 对于D，由隔板法得共有种不同的分法，D正确. 故选：ABD 10. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ） A. 若，则，； B. 若，则使的最大的n为15； C. 若，，则中最大； D. 若，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即， 根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A正确； 对于B：因为，则， 所以，又， 所以， 所以，， 所以使的最大的n为15，故B正确； 对于C：因为，则， ，则，即， 所以则中最大，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以，即，故D正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 11. 已知函数，函数，下列选项正确的是（ ） A. 点是函数的零点； B. ，，使 C. 若关于的方程有一个根，则实数的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数零点的定义可判断A不正确，根据函数的单调性，结合图像可判断B与D是否正确，根据函数的单调性与极值情况，结合图像可确定a的取值范围，可判断选项C． 【详解】令，可得，是函数的零点，零点是实数0，不是点，A错误； 因为，当时，，当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且的极小值为和，且， 当时，，当时，，如图，作出函数的图像， 观察图像可知，，，使，所以B正确； 函数的值域为，D正确； 对于C，由，得，因为，则， 令，得或或，当变化时，，的变化情况，如下表 x 0 ＋ 0 － 0 ＋ 递增 递减 0 递增 x 1 2 － 0 ＋ 递减 递增 如图， 当或或时，关于的方程有一个根，所以a的取值范围是，C不正确. 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论个位数为和两种情况下的无重复数字的三位数个数，利用加法原理求得结果. 【详解】被整除的数个位为：或 个位数为时，符合题意的三位数有：个 个位数为时，符合题意的三位数有：个 符合题意的三位数共有个 【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，易错点是在个位数为时，忽略是否被取出，造成求解错误. 13. 已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为______________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导数判断函数的单调性，证明函数为偶函数，，结合函数性质解不等式，由此可得结论. 【详解】令，则， 因为， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数上单调递增， 又， 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， 所以由可得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 14. 若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________. 【答案】(4，5) 【解析】 【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围. 【详解】解：函数，， 若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点， 由得， 令，，， 在递减，在递增，而，，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和公式计算，结合，可求得公差，继而可求得通项公式；（2）根据等差等比数列的通项公式及前项和公式进行计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 又因为，且， 所以，故． 所以． 【小问2详解】 由（1）可知，，又，所以． 因为，可得， 所以， ． 16. 现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球. （1）将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数； （2）从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数； （3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数. 【答案】（1）576 （2）40 （3）490 【解析】 分析】（1）排列问题，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法； （2）按照分类分步计数原理，结合组合数公式计算； （3）由每堆球数，分类计数，每类再分步完成. 【小问1详解】 先将4个不同的黑球全排列，有种方法；再将2个不同的红球全排列，有种方法； 接着将4个黑球看成1个元素连同整体红球共2个元素全排列，有种方法； 最后将2个黄球排在2个大元素形成的三个空位上，有种方法. 所以总的排法数为； 【小问2详解】 从这8个球中取出4个球，要求各种点色的球都取到，取球的方式是1，1，2， 所以取法种数为； 【小问3详解】 将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，有两类：2，2，4；2，3，3； 所以分堆种数为. 17. 已知函数，其导函数为，且. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程 (Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) . (2) ，. 【解析】 【详解】分析：（1）先由求出的值，再求出函数在点的切线方程；（2）先求出函数的极值，列表格，根据单调性求出最大值和最小值． 详解： (Ⅰ) ∵，∴.解得 ∴， ∴，. ∴曲线在点处的切线方程为 (Ⅱ)出(Ⅰ)，当时，解得或 当变化时，，的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 ∴的极小值为 又， ∴，. 点睛：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数最值的步骤等，属于中档题．求出的值是解题的关键． 18. 已知数列的前项和为，且. （1）若数列是等比数列，求的取值； （2）求数列的通项公式； （3）记，求数列的前项和. 【答案】（1）;（2）;（3）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）结合由已知等式易得递推式，可得，，的值，由等比数列的性质可得的值；（2）结合（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式；（3）由（2）得，利用裂项相消法得其前项和. 试题解析：（1）由，得， 当时，，即， 所以，， 依题意，， 解得. （2）有（2）知， 所以，又因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以. （3）由（2）知， 则. 点睛：本题主要考查了等比数列的概念及其构造，等式以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等. 19. 已知函数. （1）时，求函数的极值； （2）时，讨论函数的单调性； （3）若对任意，当 时，恒有 成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值，无极小值 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)将代入函数解析式，求导即可； (2)根据求导的结果对 的取值范围进行讨论即可； (3)将看作变量，将不等式转化为函数形式，根据单调性讨论. 【小问1详解】 当=时， = ， ∴ ， 令 =得，=， 当时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减， ∴函数的极大值为=，无极小值； 【小问2详解】 当 时，函数= ， ， ①当时，， 令 =，得=， ∴当时， ，函数单调递增；当 时， ， 函数单调递减； ②当时，令 =，得=或， 若，则， ∴当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减， 当时， ，函数单调递增； 若时，则 恒成立， ∴函数在 上单调递增， 若，则， ∴当时， ，函数单调递增；当时， ， 函数单调递减， 当 时， ，函数单调递增； 【小问3详解】 当时，由（2）可知，函数在 上单调递增， ∴ ， ∵ 对任意的， 当 时恒成立， ∴ 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， ∵当时，=， ∴， 故实数的取值范围为： ； 综上，的极大值为=，无极小值，单调性见解析，的取值范围为：. 【点睛】单调性的讨论往往是根据导数解析式的结构来区分 的范围的，对于第三问， 其不等式比较抽象，需要先理解清楚不等式的含义，再转化为函数形式，通过函数的单调性和最值来确定m的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$