第9章 因式分解（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版八年级下册

第9章 因式分解（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级上·广东·期末）下列六个多项式：①，②，③，④，⑤，⑥，在因式分解过程中需要用到完全平方公式的有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：①，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ②，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ③，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ④，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ⑤，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ⑥，提公因式后用到完全平方公式，因式分解用到完全平方公式；综上，用到完全平方公式的共有个，即选项B符合题意． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是，故选：B． 3．（24-25八年级上·重庆南川·期末）若关于的多项式可以分解为，则的值是（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：， ∴且，解得：，∴的值为：，故选：B． 4．（24-25八年级下·山西晋中·期末）一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（    ） A．135 B．85 C．105 D．115 【答案】A 【详解】解：∵一个长方形的长、宽分别为m、n，且这个长方形的周长为18，面积为15， ∴，∴，∴，故选：A． 5．（25-26八年级上·四川广安·期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【详解】解：由题意得，； ∴或，∴或． ∵是的三边长，∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立，∴只有成立，∴是等腰三角形．故选：A． 6．（25-26八年级上·河北衡水·期末）嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙（   ） 密码及对应的明文： 3在；书架上； 里面；花瓶的； 后面；衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置． A．在衣柜的花瓶里面 B．在衣柜的后面 C．在书架上花瓶的里面 D．在书架上花瓶的后面 【答案】D 【详解】解：， 对应明文：在；书架上；花瓶的；后面， ∴组合后钥匙位置为：在书架上花瓶的后面．故选：D． 7．（25-26八年级上·广东·期末）已知多项式，若该多项式在整数系数范围内不能分解因式，则整式可以为（　　） A． B．17 C． D． 【答案】B 【详解】解：A：当时，多项式为，可分解，不符合题意； B：当时，多项式为，假设可分解为整系数多项式， 设， 比较系数可得，，，， 由，设，则，代入得，即， 又，故或； 若，则，，与矛盾，此情况不存在； 若，则，不是整数，无整系数解；∴不能分解因式，符合题意； C：当时，多项式为，可分解，不符合题意； D：当时，多项式为，可分解，不符合题意；故选：B． 8．（25-26八年级上·湖北·期中）能分解成n个质因数的乘积，n的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解： ，其中，是质数， 故能分解成4个质因数的乘积，即，故选：C． 9．（25-26八年级上·山东日照·月考）要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 【答案】D 【详解】解：∵二次三项式在整数范围内能因式分解，∴可设，其中a，b为整数． 即，∴．令a为任意整数，则，亦为整数，∴． 由于a可取无数个整数值，故p也有无数个可能取值．故选D． 10．（2026·河南郑州·一模）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（   ） A．所有“豫数”都是6的倍数 B．28是“豫数” C．50是“豫数” D．最小的“豫数”是2 【答案】B 【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 ；豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断：A、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； B、，符合“豫数”定义，选项正确； C、不是的倍数，不符合豫数的形式，选项错误； D、最小的“豫数”是，不是，选项错误． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：_____． 【答案】 【详解】解：．故答案为 ． 12．（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为．故答案为：． 13．（24-25八年级下·江苏·期中）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：_____________． 【答案】 【详解】解：将图②分成三个长方体， 可得体积为， ． 14．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若能用完全平方公式因式分解，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵能用完全平方公式因式分解，且，， ∴，∴比较系数得，故答案为：．故答案为：． 15．（25-26八年级上·重庆·期中）已知，且a、b、c互不相等，则________． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，即，， ∵，∴，∴，∴， ∴故答案为：． 16．（25-26九年级上·广东惠州·期末）分解因式：____． 【答案】 【详解】解： ， ． 17．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________；（2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【详解】（1）例2中，原式，， 故括号中应填入 ；故答案为：； （2）解：原式 ，故答案为： ． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期末）近日晋江某中学举行秋季运动会．在开幕式上，由若干名同学组成一个5列的长方形表演队列（因场地原因，原队列人数不超过100人）．若原队列增加36人，能组成一个正方形队列；若原队列减少36人，也能组成一个正方形队列．则原长方形队列有_____名同学． 【答案】45或85 【详解】解：设原队列有行，则总人数为（m为整数）．根据题意，和均为完全平方数． 设，，其中和为正整数，且，∴，即． ∴列举可知：和同奇偶，故考虑偶因子对：，，． 对于：，，则，，但，不符合条件． 对于：，，则，，，符合条件． 对于：，，则，，，符合条件． 故原队列有45名或85名同学．故答案为：45或85． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级上·海南海口·期中）因式分解下列各式或计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 20．（25-26八年级下·江苏·专题练习）（1）设n为正整数，且能被57整除，证明：是57的倍数；（2）证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】证明：能被57整除， 设（m为正整数），即， ，是57的倍数． （2）证明：∵任意个位数是5的整数都可以写成的形式，其中为整数， ， 又∵为整数，∴为整数，∴是25的整数倍， 即任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 21．（25-26八年级上·河南周口·期末）【教材呈现】 （1）分解因式：①____；②____；③___；④___． 【归纳总结】（2）观察以上四个多项式的系数： ，，，． 于是玉玉猜测：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：______； 【解决问题】（3）若多项式是一个完全平方式，求实数t的值． 【答案】（1）① ② ③ ④ ；（2）（3）或 【详解】解：（1）①；②；③；④； （2）由题意可知：； （3）由（2）可知：，解得或． 22．（25-26八年级上·山西长治·期末）瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 【答案】(1)②，①(2)(3)是等腰三角形或者直角三角形 【详解】（1）解：第一步到第二步，是把分解成，这是公式法， 第二步到第三步是提出了，这种方法是提公因式法，故答案为：②，①； （2）解：； （3）解：，， ，， 、b、c是的三边，，或， 或，是等腰三角形或者直角三角形． 23．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中________，________； (2)对于一元多项式，必定有f（________）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)，．(2)(3) 【详解】（1）解：依题意，设 ∴解得：，故答案为：，． （2）解：∵，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为；∴ （3）∵∴多项式中有因式设 ∴∴， ∴ 24．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】（3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）； （3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2）， ∵，∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为，∴， ∴，，，∴，，，∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，∴设这两个一次式为和， ∴，∴，，， ∵、、、均为整数，∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 25．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式， 再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题：(1)因式分解：______； (2)已知，求的值；(3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令，则原式， 再将a还原，得到原式，故答案为：； （2）∵，∴ ∴； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令，则原式， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数，∴为整数，故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 26．（25-26八年级上·山东滨州·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2求的最小值． 解：原式 ． ，∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务：(1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是_______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当______时，代数式有最_______值，是_________． 【答案】(1)，；(2)； (3)当时，有最小值，最小值为；(4)，大，． 【详解】（1）解：例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． ，， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ，当时，有最大值，最大值为．故答案为：，大，． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 因式分解（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级上·广东·期末）下列六个多项式：①，②，③，④，⑤，⑥，在因式分解过程中需要用到完全平方公式的有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆南川·期末）若关于的多项式可以分解为，则的值是（    ） A．8 B． C．6 D． 4．（24-25八年级下·山西晋中·期末）一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（    ） A．135 B．85 C．105 D．115 5．（25-26八年级上·四川广安·期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 6．（25-26八年级上·河北衡水·期末）嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙（   ） 密码及对应的明文： 3在；书架上； 里面；花瓶的； 后面；衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置． A．在衣柜的花瓶里面 B．在衣柜的后面 C．在书架上花瓶的里面 D．在书架上花瓶的后面 7．（25-26八年级上·广东·期末）已知多项式，若该多项式在整数系数范围内不能分解因式，则整式可以为（　　） A． B．17 C． D． 8．（25-26八年级上·湖北·期中）能分解成n个质因数的乘积，n的值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．（25-26八年级上·山东日照·月考）要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 10．（2026·河南郑州·一模）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（   ） A．所有“豫数”都是6的倍数 B．28是“豫数” C．50是“豫数” D．最小的“豫数”是2 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：_____． 12．（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 13．（24-25八年级下·江苏·期中）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：_____________． 14．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若能用完全平方公式因式分解，则的值为__________． 15．（25-26八年级上·重庆·期中）已知，且a、b、c互不相等，则________． 16．（25-26九年级上·广东惠州·期末）分解因式：____． 17．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________；（2）运用拆项添项法分解因式：________． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期末）近日晋江某中学举行秋季运动会．在开幕式上，由若干名同学组成一个5列的长方形表演队列（因场地原因，原队列人数不超过100人）．若原队列增加36人，能组成一个正方形队列；若原队列减少36人，也能组成一个正方形队列．则原长方形队列有_____名同学． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级上·海南海口·期中）因式分解下列各式或计算 (1) (2) (3) (4) 20．（25-26八年级下·江苏·专题练习）（1）设n为正整数，且能被57整除，证明：是57的倍数；（2）证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 21．（25-26八年级上·河南周口·期末）【教材呈现】 （1）分解因式：①____；②____；③___；④___． 【归纳总结】（2）观察以上四个多项式的系数： ，，，． 于是玉玉猜测：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：______； 【解决问题】（3）若多项式是一个完全平方式，求实数t的值． 22．（25-26八年级上·山西长治·期末）瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解． 解：原式第一步 第二步 第三步 ①提公因式法； ②公式法． (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式： (3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状． 23．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．(1)上述式子中________，________；(2)对于一元多项式，必定有f（________）；(3)请你用“试根法”分解因式：． 24．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】（3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 25．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式， 再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题：(1)因式分解：______； (2)已知，求的值；(3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 26．（25-26八年级上·山东滨州·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2求的最小值． 解：原式 ． ，∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务：(1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是_______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当______时，代数式有最_______值，是_________． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $