专题9.1 因式分解的概念+专题9.2 提公因式法（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题9.1 因式分解的概念+专题9.2 提公因式法 教学目标 1.掌握因式分解的定义；辨析因式分解与整式乘法的关系‌：理解两者是互逆的恒等变形过程，能通过整式乘法检验因式分解的正确性。 2.理解公因式概念‌：能准确找出多项式各项的公因式，理解其是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘积。 3.掌握提公因式法的操作步骤‌：会用提公因式法对多项式进行因式分解，经历“确定公因式→提取公因式→写成积的形式”的完整过程。 4.发展代数思维能力‌：在探索过程中培养观察、归纳和符号运算能力，感受整体思想的应用；通过图形剪拼等操作活动，直观理解因式分解的几何意义，增强数形结合意识。 教学重难点 1.重点 （1）因式分解的概念理解‌：明确其对象是多项式，结果必须是整式的乘积形式。 （2）与整式乘法的互逆关系‌：能准确判断一个变形属于因式分解还是整式乘法。‌ （3）公因式的识别‌：能从系数、字母及指数三个维度系统分析得出多项式的公因式。 （4）提公因式法的规范应用‌：掌握分解的基本流程，确保书写格式正确。 2.难点 （1）逆向思维的应用‌：从熟悉的“积化和差”（整式乘法）转向“和差化积”（因式分解），思维方向的转换对学生有一定挑战。 （2）理解“彻底分解”原则‌：因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 （3）提取后剩余项的完整性‌：提公因式后，原多项式中某项若与公因式相同，该项应变为“1”，常因遗漏而导致分解错误。 知识点01 因式分解的概念 1）多项式的因式：一般地，如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积，那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式。 2）因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积形式，这样的变形叫多项式的因式分解（factorization）。因式分解也可称为分解因式。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·江苏·课后作业）对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【答案】C 【详解】解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法．综上，①是因式分解，②是整式乘法． 2．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确；∴故选：D． 4．（25-26八年级上·广西贵港·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】(1)6(2)， 【详解】（1）解：∵， ∴，，∴，故答案为：6． （2）解：设另一个因式为，则， ∴，解得：，，∴另一个因式是． 知识点02 提公因式法 1） 公因式：多项式ab+ac+ad各项都含有因式“a”，像这样的因式称为多项式各项的公因式（common factor）。 2）提公因式法：当多项式的各项含有公因式时，可以采用添括号的方法把公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：和的公因式的是，故选：C． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1，∴该多项式的最大公因式可以为，故选：B 3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值是（   ） A．30 B．40 C．70 D．140 【答案】C 【详解】解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10， ∴，∴，∴，故选：C． 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型01 整式乘法与因式分解的概念辨析 1．（2025·河南郑州·一模）把一个多项式化成几个整式的______的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于______． 【答案】 积 整式乘法 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于整式乘法， 故答案为：积，整式乘法． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【答案】D 【详解】解：∵，，则， 原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式．故选：D． 3．（25-26八年级上·山西朔州·期末）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【答案】D 【详解】解：因式分解需满足结果为整式的乘积， 甲: ，左边为乘积，右边为多项式， 甲是整式的乘法，不是因式分解； 乙: ，右边为和的形式，不是乘积， 乙不是因式分解.甲、乙均不是因式分解．故选：D． 题型02 因式分解的辨别 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，不属于因式分解； 选项B中，右边变形后含有分式，不是整式，不符合要求，不属于因式分解； 选项C中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解；选项D中，该变形是整式乘法，是从乘积化为多项式，不是因式分解. 2．（25-26八年级上·北京密云·月考）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解，不符合题意；B、右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、将多项式转化为与这两个整式的积，符合因式分解的定义，符合题意；故选：D． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）下列各等式：①；②；③；④，其中从左到右的变形是因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①是从整式的积化为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解定义； ②的右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义； ③是把多项式化为整式的平方（即两个整式的积），符合因式分解定义； ④是把多项式化为两个整式与的积，符合因式分解定义； 综上，符合因式分解的有③④，共2个．故选：B． 4．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； B选项右边不是整式乘积的形式，不符合要求； C选项右边的不是整式，不符合要求； D选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，变形正确，属于因式分解，符合要求． 题型03 根据因式分解的结果求参数 1．（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，，解得，∴．故选：B． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，∴， 比较系数，得：，且 ，解得：，， ∴；故选：A． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将展开得, 又∵,∴,由得, 将，代入得，符合条件,∴,故选：D． 4．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【答案】 【详解】解：根据多项式乘多项式法则，将展开：， ∵，根据多项式相等则对应项系数相等，可得，故答案为：． 题型04 已知多项式的一个因式求参数或另一个因式 1．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 【答案】B 【详解】解：∵多项式有一个因式是， ∴当时，多项式值为零，即， 解得，即k的值为．故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设另一个一次多项式为，∴， ∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是， ∴，∴，∴， ∴另一个一次多项式为，故选：D 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴解得：，∴另一个因式为，m的值为． 问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5；(2)． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则，∴，由①得：，把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得， 则，∴， 由①得：，把代入②得：，∴． 4．（25-26八年级上·山东·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得．∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为(2)， 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴解得∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴，∴，，， ∴，，．故答案为：，． 题型05 找公因式 1．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）与的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的，∴与的最大公因式是．故选：C． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是，∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是，∴ 各项的公因式是．故答案为：． 3．（24-25八年级下·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是，故选：C． 4．（25-26八年级上·广东·期中）n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，所以公因式；故选C． 5．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）写出一个公因式为的多项式：_____．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：公因式为的多项式：，故答案为：（答案不唯一） 题型06 提公因式法分解因式 1．（24-25八年级上·重庆长寿·月考）因式分解： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：． （2）解： ． 2．（25-26八年级下·江苏·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解：(1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．（2026七年级下·北京·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 题型07 提公因式法的运用 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，∴被遮盖的式子为． 2．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【详解】解：∵，，∴． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 【答案】B 【详解】解：．故选：B． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 【答案】0 【详解】解： 将，代入上式，得 原式=，故答案为：0． 5．（24-25九年级下·四川达州·月考）若，则________． 【答案】 【详解】解：，，，故答案为：． 题型08 提公因式法解决有理数运算问题 1．（25-26八年级上·广东·期末）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】解：，故选：C 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）利用因式分解计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式 ．故选D． 3．（25-26七年级下·上海·期中）计算 【答案】 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·河北唐山·月考）利用因式分解计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 又，故选：A 5．（25-26八年级上·山东德州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，故选：A． 题型09 因式分解的实际应用 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：边长为，的长方形的周长为，面积为，，，， ，．故选：A． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 【答案】A 【详解】解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2， ∴，∴，故选：A 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）中，，，的对边分别为a，b，c，，，面积为1，则_____． 【答案】10 【详解】解：∵中，，面积为1，∴，即， ∵中，，，∴， ∴，故答案为：10． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】解：∵ ，∴，∴若，则，为等腰三角形； 若，则，不符合三角形三边关系，舍去；综上，三角形为等腰三角形，故选：C． 5．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ；，；；；…… 解决问题：数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务：(1)请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为______；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； (2)若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 【答案】(1)；(2)嘉嘉同学的想法正确，理由见解析 【详解】（1）解：由图1可知， ， ∴“回”字形阴影部分的面积为； 由图2可知， ， ∴“门”字形阴影部分的面积为；故答案为：；； （2）解：，， ，，，， ， 嘉嘉同学的想法正确． 1．（25-26八年级下·重庆·月考）下列各式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，∴A错误； B、∵，与不相等，∴B错误； C、∵等式右侧不是整式，不符合因式分解要求，∴C错误； D、∵，∴， ∴D正确． 2．（24-25七年级下·广东·期中）如果一个多项式的各项有公因式，则这个公因式一定是( ) A．数字 B．单项式 C．多项式 D．整式 【答案】D 【详解】解：多项式的项中的字母既可以是单个的数字，也可以是字母或多项式，但都是整式． 所以公因式一定是整式． 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：∵分解因式后有一个因式是， ∴ 当时，多项式的值为零，即， ∴ ，∴，故选：B． 4．（24-25九年级下·贵州六盘水·月考）小红和小华在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B．x C． D． 【答案】C 【详解】解：的公因式为．故选：C． 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故A不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故B不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故C不符合题意； 当时，，能在有理数范围分解因式，故D符合题意；故选：D． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）用提公因式法对（其中是大于等于2的整数）进行因式分解时，提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，故选：C． 7．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：．故选：A． 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）因式分解：___________． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 9．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是_____________，属于整式乘法的是____．（填序号） 【答案】 ①③ ② 【详解】解：①是因式分解； ②这是整式乘法，不是因式分解； ③是因式分解；故答案为：①③；②． 10．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知，则___________． 【答案】10 【详解】解：，故答案为：10． 11．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算的结果是_______． 【答案】2026 【详解】解：原式 ．故答案为：2026． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）写出一个含有公因式的多项式________. 【答案】，答案不唯一 【详解】解：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）． 13．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）已知二次三项式有一个因式是，另一个因式是________，k的值是________． 【答案】 / 12 【详解】解：设另一个因式为，∴ ∵∴ ∴∴∴另一个因式为，的值为12．故答案为：，12． 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：由题意得，，∴， ∴，故答案为：． 15．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如果，那么____________． 【答案】63 【详解】解：， ∵，∴∴原式，故答案为：63． 16．（25-26八年级下·江苏·课后作业）阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式法，2(2)(3) 【详解】（1）解：上述因式分解的方法是提公因式法，共用了2次； （2）解：把多项式进行因式分解，结果是； （3）解： …． 17.（24-25七年级下·浙江·课后作业）利用因式分解进行计算： (1)；(2)． 【答案】(1)260(2)2009 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（25-26八年级下·江苏·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 19．（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得，另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题：(1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【答案】(1)，(2)另一个因式为，k的值为；(3)(4) 【详解】（1）解：，则， ∴，．故答案为：，； （2）解：设另一个因式为，得 则，，解得， 另一个因式为，k的值为； （3）解：，则， ∴，∴，故答案为：； （4）解：设另一个因式为，得 则，∴，，解得：，， ∴∴，∴代数式的值为． 20．（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题：（1）计算：______；______；______． 【方法感悟】（2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】（3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【答案】（1）；； ；（2），过程见解析；（3）第三个因式为 【详解】解：（1）； ； 故答案为：；；． （2）选择霖霖的解题思路： ∵，∴， ∴，∴； 选择欣欣的解题思路：， ∴，∴，∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为，∴是方程的解， ∴，解得：，∴， ∴，∴； （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为，∴` ∴，，∴第三个因式为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 因式分解的概念+专题9.2 提公因式法 教学目标 1.掌握因式分解的定义；辨析因式分解与整式乘法的关系‌：理解两者是互逆的恒等变形过程，能通过整式乘法检验因式分解的正确性。 2.理解公因式概念‌：能准确找出多项式各项的公因式，理解其是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘积。 3.掌握提公因式法的操作步骤‌：会用提公因式法对多项式进行因式分解，经历“确定公因式→提取公因式→写成积的形式”的完整过程。 4.发展代数思维能力‌：在探索过程中培养观察、归纳和符号运算能力，感受整体思想的应用；通过图形剪拼等操作活动，直观理解因式分解的几何意义，增强数形结合意识。 教学重难点 1.重点 （1）因式分解的概念理解‌：明确其对象是多项式，结果必须是整式的乘积形式。 （2）与整式乘法的互逆关系‌：能准确判断一个变形属于因式分解还是整式乘法。‌ （3）公因式的识别‌：能从系数、字母及指数三个维度系统分析得出多项式的公因式。 （4）提公因式法的规范应用‌：掌握分解的基本流程，确保书写格式正确。 2.难点 （1）逆向思维的应用‌：从熟悉的“积化和差”（整式乘法）转向“和差化积”（因式分解），思维方向的转换对学生有一定挑战。 （2）理解“彻底分解”原则‌：因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 （3）提取后剩余项的完整性‌：提公因式后，原多项式中某项若与公因式相同，该项应变为“1”，常因遗漏而导致分解错误。 知识点01 因式分解的概念 1）多项式的因式：一般地，如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积，那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式。 2）因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积形式，这样的变形叫多项式的因式分解（factorization）。因式分解也可称为分解因式。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·江苏·课后作业）对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 2．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西贵港·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 知识点02 提公因式法 1） 公因式：多项式ab+ac+ad各项都含有因式“a”，像这样的因式称为多项式各项的公因式（common factor）。 2）提公因式法：当多项式的各项含有公因式时，可以采用添括号的方法把公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值是（   ） A．30 B．40 C．70 D．140 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型01 整式乘法与因式分解的概念辨析 1．（2025·河南郑州·一模）把一个多项式化成几个整式的______的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于______． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 3．（25-26八年级上·山西朔州·期末）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 题型02 因式分解的辨别1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京密云·月考）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）下列各等式：①；②；③；④，其中从左到右的变形是因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型03 根据因式分解的结果求参数 1．（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 题型04 已知多项式的一个因式求参数或另一个因式 1．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴解得：，∴另一个因式为，m的值为． 问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 4．（25-26八年级上·山东·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得．∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 题型05 找公因式 1．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）与的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东·期中）n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）写出一个公因式为的多项式：_____．（写一个即可） 题型06 提公因式法分解因式 1．（24-25八年级上·重庆长寿·月考）因式分解： (1)；(2)． 2．（25-26八年级下·江苏·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解：(1)； (2)． 4．（2026七年级下·北京·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型07 提公因式法的运用 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 5．（24-25九年级下·四川达州·月考）若，则________． 题型08 提公因式法解决有理数运算问题 1．（25-26八年级上·广东·期末）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．2025 D．2026 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）利用因式分解计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海·期中）计算 4．（25-26八年级上·河北唐山·月考）利用因式分解计算的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东德州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型09 因式分解的实际应用1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）中，，，的对边分别为a，b，c，，，面积为1，则_____． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 5．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ；，；；；…… 解决问题：数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务：(1)请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为______；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； (2)若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 1．（25-26八年级下·重庆·月考）下列各式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东·期中）如果一个多项式的各项有公因式，则这个公因式一定是( ) A．数字 B．单项式 C．多项式 D．整式 3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 4．（24-25九年级下·贵州六盘水·月考）小红和小华在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B．x C． D． 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为（   ） A．9 B． C． D． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）用提公因式法对（其中是大于等于2的整数）进行因式分解时，提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）因式分解：___________． 9．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是_____________，属于整式乘法的是____．（填序号） 10．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知，则___________． 11．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算的结果是_______． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）写出一个含有公因式的多项式________. 13．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）已知二次三项式有一个因式是，另一个因式是________，k的值是________． 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为_______． 15．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如果，那么____________． 16．（25-26八年级下·江苏·课后作业）阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 17（24-25七年级下·浙江·课后作业）利用因式分解进行计算： (1)；(2)． 18．（25-26八年级下·江苏·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 19．（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得，另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题：(1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 20．（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题：（1）计算：______；______；______． 【方法感悟】（2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】（3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $