9.1因式分解的概念 同步培优讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

9.1因式分解的概念 (4知识点+5题型+过关检测） 【题型1 因式分解与整式乘法的判断】 2 【题型2 判断因式分解是否正确】 4 【题型3 由因式分解的定义求参数的值】 6 【题型4 多项式乘法与因式分解综合求参数】 7 【题型5 因式分解的应用】 12 · 理解核心定义：掌握因式分解的概念，精准把握因式分解的对象、形式和结果要求，明确因式分解的本质特征。 · 辨析互逆关系：分清因式分解与整式乘法的区别和联系，能快速判断变形过程是否为因式分解。 · 掌握判断方法：学会判断因式分解结果的正确性，能依据定义纠错、改错，规避常见误区。 · 提升应用能力：利用因式分解的定义求参数值，解决整式乘法与因式分解的综合问题，初步运用因式分解简化运算。 03 知识•梳理 知识点1. 因式分解的定义 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做多项式的因式分解（也叫作分解因式）。 核心三要素（判断关键）： ① 变形对象：必须是多项式（单项式不能因式分解）； ② 变形结果：必须是几个整式的积（和、差形式均不算）； ③ 变形本质：整式乘法的逆变形。 知识点2. 因式分解与整式乘法的关系 二者是互逆变形，方向完全相反： · 整式乘法：整式×整式 → 多项式（展开、去括号） · 因式分解：多项式 → 整式×整式×…×整式（变形为乘积形式） 知识点3. 因式分解的常见误区 · 误区1：结果是和差形式，不是乘积形式（不算因式分解）； · 误区2：分解结果含有分式（必须全是整式）； · 误区3：只对多项式的部分项变形，整体不是乘积形式； · 误区4：混淆单项式与多项式，对单项式进行因式分解。 知识点4. 因式分解结果的要求 · 每个因式都是整式，且为多项式时必须是最简形式（不能再分解）； · 结果一般按单项式在前、多项式在后的顺序书写，多项式首项系数为正。 04 题型•汇总 【题型1 因式分解与整式乘法的判断】 解题思路： 抓住变形方向判断：多项式→整式积是因式分解；整式积→多项式是整式乘法；不符合这两种的均不属于二者。 【典例1】．下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的变形，需满足结果为整式乘积、所有因式都是整式两个条件． 【详解】解：选项A的变形是整式乘法，结果是和的形式，不符合因式分解定义． 选项C的变形结果是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 选项D的变形中，是分式，不是整式，不符合定义． 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 跟随训练1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； B．该选项右边没有化为几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； C．该选项左边是整式积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D．该选项将多项式化为两个整式的积，且变形正确，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意． 跟随训练2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 跟随训练3．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式 (2)是因式分解；是两个整式乘积的形式 (3)不是因式分解；不是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式表示为几个整式的积的形式；熟悉因式分解的定义是关键； （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义判断即可； （3）根据因式分解的定义判断即可； 【详解】（1）解：，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解； （3）解：，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解． 【题型2 判断因式分解是否正确】 解题思路： 两步验证法：第一步，看是否为多项式化整式积；第二步，将分解结果反向做整式乘法，验证是否与原多项式相等，同时检查是否分解彻底。 【典例2】．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 跟随训练1．下列各式属于因式分解且正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是关键． 因式分解是指把一个多项式化为几个整式积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A：是整式乘法运算，不符合因式分解定义，故A错误； 对于选项B：右边不是整式的乘积形式，不符合因式分解定义，故B错误； 对于选项C：，变形错误，故C错误； 对于选项D：，符合因式分解定义，且变形正确，故D正确． 故选：D． 跟随训练2．下列式子从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，需明确因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的形式，且变形需正确，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项：是单项式乘以多项式，是整式的乘法，不是因式分解，故A选项不符合题意； B选项：是把多项式转化为整式乘积的形式，是因式分解，故B选项符合题意； C选项：，变形错误，故C选项不符合题意； D选项：是整式的乘法，不是因式分解，故D选项不符合题意． 故选：B． 跟随训练3．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？若是，请检验其是否正确． ①； ②； ③． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①，从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； ②是因式分解． 检验： 即从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； ③从左到右的变形不是化成整式的乘积的形式，不是因式分解； 【题型3 由因式分解的定义求参数的值】 解题思路： 根据因式分解结果是整式乘积，且左右两边多项式对应项系数相等（恒等变形），列方程求解参数。核心是利用“多项式恒等，对应系数相等”的性质。 【典例3】．多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 跟随训练1．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 跟随训练2．若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 跟随训练3．已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 【题型4 多项式乘法与因式分解综合求参数】 解题思路： 利用因式分解与整式乘法的互逆关系，先展开整式乘积，再通过合并同类项、对比系数建立方程（组），求解未知参数。 【典例4】．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 跟随训练1．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于的方程是解此题的关键．因多项式有一个因式是，则当时，多项式的值为零，由此得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵多项式有一个因式是， ∴当时，多项式值为零，即， 解得， 即k的值为． 故选：B． 跟随训练2．若，则_____． 【答案】1 【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，将化简展开，比较系数即可． 【详解】解：， ． 跟随训练3．自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式为，k的值为； (3) (4) 【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接计算后作答即可； （2）仿照题干作答即可； （3）计算后求出的值，进而作答即可； （4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论． 【详解】（1）解：， 则， ∴，． 故答案为：，； （2）解：设另一个因式为，得 则， ， 解得， 另一个因式为，k的值为； （3）解：， 则， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：设另一个因式为，得 则， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 【题型5 因式分解的应用】 解题思路： 利用因式分解的定义，将复杂多项式转化为整式乘积形式，简化数值计算、求值、判断整除性等问题，核心是降次、简化运算。 【典例5】．如图，有类，类正方形卡片两种和类长方形卡片若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形（要求：拼接的卡片无空隙无重叠），那么需要类卡片（    ） A．7张 B．6张 C．5张 D．4张 【答案】A 【分析】根据所有类，类正方形卡片和类长方形卡片的面积之和与长为，宽为的大长方形的面积之和相等，利用多项式乘以多项式的计算法则求出大长方形面积即可得到答案． 【详解】解：， ∵所有类，类正方形卡片和类长方形卡片的面积之和与长为，宽为的大长方形的面积之和相等， ∴3张类正方形卡片，2张类正方形卡片和7张类长方形卡片即可拼成一个长为，宽为的大长方形， 故选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解与多项式乘以多项式之间的关系，正确理解题意得到所有类，类正方形卡片和类长方形卡片的面积之和与长为，宽为的大长方形的面积之和相等是解题的关键． ． 跟随训练1．阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【答案】另一个因式是， 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键． 按题目中所给解题思路，按步骤求解即可． 【详解】解：设另一个因式是，则， 可得，， ，解得， 另一个因式是，m的值是3． 跟随训练2．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 跟随训练3．【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【答案】（1）；； ；（2），过程见解析；（3）第三个因式为 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解的应用； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据题意进行计算即可求解； （3）根据题意按照（2）中的方法，设第三个因式为，根据多项式的乘法即可求解． 【详解】解：（1）； ； 故答案为：；；． （2）选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ∴，， ∴第三个因式为． 05 过关•检测 1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 2．若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 由题意可得，即，进而得到． 【详解】解：∵多项式可分解为， ∴， ∴， ∴，． 故选：B． 3．如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可． 【详解】解：由题意得， 二次三项式在整数范围内可因式分解为， ， ， 故选：C． 4．若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程是解题关键．根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故选：D． 5．若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【答案】D 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 则， 原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式． 故选：D． 6．若多项式因式分解的结果为，则__________． 【答案】6 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是整式乘法的逆运算是关键． 通过比较因式分解后的形式与原始多项式的系数，建立方程求解． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴ ∴ 得方程组： 解得： ． 故答案为：． 7．把一个多项式化成几个整式的______的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于______． 【答案】 积 整式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义即可求解，解题的关键是正确理解掌握因式分解的意义． 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于整式乘法， 故答案为：积，整式乘法． 8．若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 9．若是多项式的一个因式，则m的值为_________． 【答案】-2 【分析】设因式分解后的结果是．再根据多项式相等的条件列出方程求解即可． 【详解】解：设因式分解后的结果是． ∴． ∴． ∴a=1，-4b=-24，-m=b-4a． ∴b=6，m=4a-b． ∴m=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查已知因式分解的结果求参数，熟练掌握该知识点是解题关键． 10．在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________. 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键． 11．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 12．仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 13．下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是因式分解． (2)是因式分解． (3)是因式分解． (4)不是因式分解． 【分析】本题考查的知识点为因式分解，因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式． （1）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （2）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （3）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （4）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； 【详解】（1）左边是，是整式的积， 右边是，是多项式， 这是整式乘法，不是因式分解． （2）左边是，是多项式， 右边是，是整式的积，并且等式成立， 符合因式分解定义， 故该变形为因式分解． （3）左边是，是多项式， 右边是，是整式的积，并且等式成立， 符合因式分解定义， 故该变形为因式分解． （4）左边是，是多项式， 右边是，不是整式的积，而是和的形式， 不符合因式分解定义． 14．阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． (1)已知多项式有一个因式是，则的值为 ； (2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干提供的方法，求解即可； （2）设，分别令，，得出方程组，解方程组即可； （3）令，再分别令，，结合多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，列出关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，， 解得：． （2）解：设， 令，则， 令，则， 即， 解得：； （3）解：令， ， 令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11， ， ， ， ， ． 15．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1因式分解的概念 (4知识点+5题型+过关检测） 【题型1 因式分解与整式乘法的判断】 2 【题型2 判断因式分解是否正确】 2 【题型3 由因式分解的定义求参数的值】 3 【题型4 多项式乘法与因式分解综合求参数】 4 【题型5 因式分解的应用】 5 · 理解核心定义：掌握因式分解的概念，精准把握因式分解的对象、形式和结果要求，明确因式分解的本质特征。 · 辨析互逆关系：分清因式分解与整式乘法的区别和联系，能快速判断变形过程是否为因式分解。 · 掌握判断方法：学会判断因式分解结果的正确性，能依据定义纠错、改错，规避常见误区。 · 提升应用能力：利用因式分解的定义求参数值，解决整式乘法与因式分解的综合问题，初步运用因式分解简化运算。 03 知识•梳理 知识点1. 因式分解的定义 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做多项式的因式分解（也叫作分解因式）。 核心三要素（判断关键）： ① 变形对象：必须是多项式（单项式不能因式分解）； ② 变形结果：必须是几个整式的积（和、差形式均不算）； ③ 变形本质：整式乘法的逆变形。 知识点2. 因式分解与整式乘法的关系 二者是互逆变形，方向完全相反： · 整式乘法：整式×整式 → 多项式（展开、去括号） · 因式分解：多项式 → 整式×整式×…×整式（变形为乘积形式） 知识点3. 因式分解的常见误区 · 误区1：结果是和差形式，不是乘积形式（不算因式分解）； · 误区2：分解结果含有分式（必须全是整式）； · 误区3：只对多项式的部分项变形，整体不是乘积形式； · 误区4：混淆单项式与多项式，对单项式进行因式分解。 知识点4. 因式分解结果的要求 · 每个因式都是整式，且为多项式时必须是最简形式（不能再分解）； · 结果一般按单项式在前、多项式在后的顺序书写，多项式首项系数为正。 04 题型•汇总 【题型1 因式分解与整式乘法的判断】 解题思路： 抓住变形方向判断：多项式→整式积是因式分解；整式积→多项式是整式乘法；不符合这两种的均不属于二者。 【典例1】．下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 跟随训练3．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【题型2 判断因式分解是否正确】 解题思路： 两步验证法：第一步，看是否为多项式化整式积；第二步，将分解结果反向做整式乘法，验证是否与原多项式相等，同时检查是否分解彻底。 【典例2】．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列各式属于因式分解且正确的是（    ）． A． B． C． D． 跟随训练2．下列式子从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？若是，请检验其是否正确． ①； ②； ③． 【题型3 由因式分解的定义求参数的值】 解题思路： 根据因式分解结果是整式乘积，且左右两边多项式对应项系数相等（恒等变形），列方程求解参数。核心是利用“多项式恒等，对应系数相等”的性质。 【典例3】．多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 跟随训练2．若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 跟随训练3．已知整式，整式，若可以分解为，求． 【题型4 多项式乘法与因式分解综合求参数】 解题思路： 利用因式分解与整式乘法的互逆关系，先展开整式乘积，再通过合并同类项、对比系数建立方程（组），求解未知参数。 【典例4】．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 跟随训练1．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 跟随训练2．若，则_____． 跟随训练3．自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【题型5 因式分解的应用】 解题思路： 利用因式分解的定义，将复杂多项式转化为整式乘积形式，简化数值计算、求值、判断整除性等问题，核心是降次、简化运算。 【典例5】．如图，有类，类正方形卡片两种和类长方形卡片若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形（要求：拼接的卡片无空隙无重叠），那么需要类卡片（    ） A．7张 B．6张 C．5张 D．4张 跟随训练1．阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 跟随训练2．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 跟随训练3．【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 05 过关•检测 1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 3．如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 4．若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 5．若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 6．若多项式因式分解的结果为，则__________． 7．把一个多项式化成几个整式的______的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于______． 8．若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 9．若是多项式的一个因式，则m的值为_________． 10．在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________. 11．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 12．仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 13．下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 14．阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． (1)已知多项式有一个因式是，则的值为 ； (2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值． 15．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $