专题04 二次根式（题型专练）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 二次根式 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次根式的定义与有意义的条件 题型02 二次根式的性质与化简 题型03 最简二次根式的判断 题型04 同类二次根式的判断 题型05 二次根式的乘除运算 题型06 二次根式的加减运算 题型07 二次根式的混合运算 题型08 二次根式的化简求值 题型09 二次根式的估值应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次根式的定义与有意义的条件 典例引领 【典例01】（2025·辽宁锦州·三模）使代数式有意义，实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式有意义及分式有意义的条件可直接进行求解即可． 【详解】解：由代数式有意义，则有， 解得； 故答案为：． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 1.二次根式的定义 一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，𝑎叫做被开方数。 1）二次根式的两要素：含有二次根号“”，且根指数为2，一般2省略不写；被开方数为非负数； 2）任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3）二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，满足𝑎≥0即可； 2.二次根式有意义的条件 被开方数非负，即满足 𝑎≥0。 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎＞0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0。 变式演练 【变式01】（2023·辽宁营口·中考真题）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方式为非负数是解题的关键． 题型02 二次根式的性质与化简 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）已知二次根式的值为6，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的求值．根据题意建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 1.二次根式的性质 1）双重非负性： ①（𝑎≥0）表示二次根式，要求被开方数𝑎非负，即𝑎≥0； ②表示非负数𝑎的算术平方根，即。 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 2.二次根式的化简 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。 ， 变式演练 【变式01】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是关键． 根据二次根式的性质“”化简即可． 【详解】解：若， ∴， 解得，， 故选：D ． 题型03 最简二次根式的判断 典例引领 【典例01】（2025·辽宁大连·模拟预测）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，即“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母”，由此即可求解，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 最简二次根式须同时满足：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁锦州·三模）式子中，最简二次根式有 个． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，被开方数是分数，不是最简二次根式，的被开方数是小数，不是最简二次根式，，不是最简二次根式，，不是最简二次根式所以，最简二次根式只有，共1个． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键在于能够熟练掌握最简二次根式的定义． 题型04 同类二次根式的判断 典例引领 【典例01】（2025·辽宁丹东·模拟预测）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型05 二次根式的乘除运算 典例引领 【典例01】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 1.二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2.二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（≥0，＞0）. 变式演练 【变式01】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【详解】解： ； 故答案为：． 题型06 二次根式的加减运算 典例引领 【典例01】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式加减混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟记二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案； （2）先算零指数幂、化简二次根式、负整指数幂、化简绝对值进而计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 1.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 2.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 3. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先计算平方，负整数指数幂，二次根式，绝对值，再计算加减即可； 【详解】解：原式 题型07 二次根式的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·辽宁本溪·模拟预测）计算： 【答案】1 【分析】先分别计算负整数指数幂，化简绝对值，二次根式的除法，然后进行加减运算即可； 【详解】解： 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 二次根式的混合运算顺序： 先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)。 在二次根式的混合运算中，乘法公式和实数运算律仍适用；运算结果应写成最简二次根式或整式。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、代数式求值等知识点，掌握完全平方公式成为解题的关键． 先求出的值，然后根据完全平方公式将所求代数式化成，最后将的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 题型08 二次根式的化简求值 典例引领 【典例01】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案，正确化简二次根式是解题关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分，即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分，即：。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁朝阳·模拟预测）， ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，最后代入求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 题型09 二次根式的估值应用 典例引领 【典例01】（2025·锦州·三模）估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算等知识，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先计算，再进行无理数的估算，即可作答． 【详解】解： ， ， ， 的值应在5和6之间， 故选B． 【典例02】（2025·辽宁大连·模拟预测）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解．正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．为了解决某些实际问题，也常常需要比较大小，一般可以用到乘方比较法，作差比较法或有理化法。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）由，可知，则的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分为 ，小数部分为 ． (2)的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)已知与的小数部分分别为，且求的值； 【答案】(1)4， (2) (3)或 【分析】（1）根据材料代入运算即可．； （2）根据题意可得，，，代入即可求解； （3）根据题意可得，，，代入即可求解． 本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分为4 ∴的小数部分为． （2）∵即， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为． ∴，， ∴． （3）已知与的小数部分分别为， ∵， ∴， ∴的整数部分为10，小数部分为， ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴，， ， ，或． 【变式02】（2025·辽宁大连·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．一个三角形的边长如图所示，则其面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，由题意得：，，，先求出，再代入公式计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 题●型●训●练 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数为整数且不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项． 【详解】解：A、被开方数含分母，可化简为，不是最简； B、被开方数含分母，可化简为，不是最简； C、，含平方因子，不是最简； D、，为质数，无平方因子，是最简二次根式； 故选：D． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，与不能合并，不合题意； B．，与不能合并，不合题意； C．，与能合并，符合题意； D．，与不能合并，不合题意； 故选C． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的被开方数必须非负，得到关于的不等式，解不等式求出自变量的取值范围． 【详解】解：函数 有意义， 可得：， 解得：且； 故答案为：且． 4．（2025·辽宁·模拟预测）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2 【答案】3 【分析】理解题中新定义运算的规则，对36进行运算即可． 【详解】解：由题意可得： 故答案为：3 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是理解新定义运算以及掌握二次根式的性质． 5．（2025·辽宁·模拟预测）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，得出，进而求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵且， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简，正确理解题意是解题的关键． 6．（2025·辽宁阜新·模拟预测）用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算，涉及了二次根式的化简，解题的关键是理解新定义运算，掌握二次根式的化简． 根据新定义运算，对式子进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知a，b是两个连续的整数，若，则 . 【答案】 【分析】先求出的范围，即可求出a、b的值，最后代入求出即可． 【详解】解：∵，则， ∴，， ∴； 故答案为. 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的计算，能根据的范围求出a、b的值是解此题的关键． 8．（2025·辽宁·模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别是的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：， 的三边长分别是的面积为：． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 10．（2025·辽宁·模拟预测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键. （1）先化简二次根式，然后按照加减运算法则进行计算，即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后按照加减运算法则进行计算，即可求解. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 11．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 12．（2025·辽宁·模拟预测）老师在课上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ， ． 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)填空：________（填“”“”或“”）； (2)比较与的大小； (3)若，，试比较M，N的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案； （3）综合（1）（2）的解法即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，（， ，（，即， ， ， ； （3）解：， ， ，， ，， 又，即， ，即， ∴， ∴， ，即． 即 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次根式 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次根式的定义与有意义的条件 题型02 二次根式的性质与化简 题型03 最简二次根式的判断 题型04 同类二次根式的判断 题型05 二次根式的乘除运算 题型06 二次根式的加减运算 题型07 二次根式的混合运算 题型08 二次根式的化简求值 题型09 二次根式的估值应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次根式的定义与有意义的条件 典例引领 【典例01】（2025·辽宁锦州·三模）使代数式有意义，实数的取值范围是 ． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 1.二次根式的定义 一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，𝑎叫做被开方数。 1）二次根式的两要素：含有二次根号“”，且根指数为2，一般2省略不写；被开方数为非负数； 2）任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3）二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，满足𝑎≥0即可； 2.二次根式有意义的条件 被开方数非负，即满足 𝑎≥0。 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎＞0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0。 变式演练 【变式01】（2023·辽宁营口·中考真题）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 题型02 二次根式的性质与化简 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）已知二次根式的值为6，则 ． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 1.二次根式的性质 1）双重非负性： ①（𝑎≥0）表示二次根式，要求被开方数𝑎非负，即𝑎≥0； ②表示非负数𝑎的算术平方根，即。 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 2.二次根式的化简 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。 ， 变式演练 【变式01】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 题型03 最简二次根式的判断 典例引领 【典例01】（2025·辽宁大连·模拟预测）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 最简二次根式须同时满足：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁锦州·三模）式子中，最简二次根式有 个． 题型04 同类二次根式的判断 典例引领 【典例01】（2025·辽宁丹东·模拟预测）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 题型05 二次根式的乘除运算 典例引领 【典例01】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算： ． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 1.二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2.二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（≥0，＞0）. 变式演练 【变式01】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算： ． 题型06 二次根式的加减运算 典例引领 【典例01】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算： (1)； (2)． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 1.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 2.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 3. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）计算：． 题型07 二次根式的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·辽宁本溪·模拟预测）计算： 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 二次根式的混合运算顺序： 先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)。 在二次根式的混合运算中，乘法公式和实数运算律仍适用；运算结果应写成最简二次根式或整式。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知：，求代数式的值． 题型08 二次根式的化简求值 典例引领 【典例01】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分，即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分，即：。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁朝阳·模拟预测）， ． 题型09 二次根式的估值应用 典例引领 【典例01】（2025·锦州·三模）估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【典例02】（2025·辽宁大连·模拟预测）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 方法技能 在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．为了解决某些实际问题，也常常需要比较大小，一般可以用到乘方比较法，作差比较法或有理化法。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）由，可知，则的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分为 ，小数部分为 ． (2)的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)已知与的小数部分分别为，且求的值； 【变式02】（2025·辽宁大连·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．一个三角形的边长如图所示，则其面积为 ． 题●型●训●练 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是 ． 4．（2025·辽宁·模拟预测）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2 5．（2025·辽宁·模拟预测）若，则的值是 ． 6．（2025·辽宁阜新·模拟预测）用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么 ． 7．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知a，b是两个连续的整数，若，则 . 8．（2025·辽宁·模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积为 ． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 10．（2025·辽宁·模拟预测）计算 (1) (2) 11．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 12．（2025·辽宁·模拟预测）老师在课上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ， ． 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)填空：________（填“”“”或“”）； (2)比较与的大小； (3)若，，试比较M，N的大小． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $