专题04 二次根式（题型专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 二次根式 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次根式的定义 题型02 二次根式的性质及化简 题型03 最简二次根式 题型04 同类二次根式 题型05 二次根式的运算 题型06 二次根式大小比较 题型07 二次根式中的代数推理 题型08 二次根式的应用 题型09 二次根式新题型 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次根式的定义 典例引领 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2026·江苏徐州·一模）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 方法透视 考向解读 核心知识:定义：形如a（a≥0）的式子叫二次根式。 会判断哪些式子是二次根式。 方法技能 · 有意义条件：被开方数 a≥0；若含分式 / 零指数，需同时满足分母≠0、底数≠0。 (1)列不等式（组）：被开方数≥0，分母≠0，零指数底数≠0。 (2)取各条件的公共解集。 变式演练 【变式01】（2026·江苏无锡·一模）若二次根式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2026·江苏徐州·一模）代数式有意义，则x的取值范围是______． 题型02 二次根式的性质及化简 典例引领 【典例01】（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【典例02】（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 方法透视 考向解读 方法技能 变式演练 【变式01】（2025·江苏苏州·二模）计算：． 【变式02】（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 题型03 最简二次根式 典例引领 【典例01】（25-26九年级上·四川资阳·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【典例02】（2025·河北石家庄·二模）若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 方法透视 考向解读 最简二次根式是二次根式章节的核心标准，中考不单独出大题，但处处都要用到，是化简、计算、求值的 “最后一步”，属于必拿分基础考点。 方法技能 一个二次根式是最简二次根式，必须同时满足 3 条： 被开方数不含分母（分母中不能有根号） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式如：不含 4,9,16,a2,b4 等 被开方数的因数是整数，因式是整式. 口诀：无分母，无平方因子，因数为整数 变式演练 【变式01】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 题型04 同类二次根式 典例引领 【典例01】（25-26九年级上·重庆·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______. 方法透视 考向解读 同类二次根式是中考二次根式模块的必考点，多以选择题、填空题出现，分值一般2～3 分，难度低、套路固定，属于必须稳拿的基础分。 方法技能 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数完全相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。 关键点： 1. 必须先化成最简，再判断;只看被开方数，不看根号外的系数 变式演练 【变式01】（2025·江苏南京·三模）计算的结果是___________． 题型05 二次根式运算 典例引领 【典例01】（2025·江苏·一模）计算：． 【典例02】（2025·江苏宿迁·三模）计算：． 方法透视 考向解读 考二次根式运算在中考里属于必考基础计算题，一般出现在解答题第 1 题或选择填空，分值4～6 分，难度低、套路固定，是必须拿满分的题型。 单纯加减运算（基础送分） 考法：多个根式相加减 步骤：① 全部化为最简② 合并同类二次根式 单纯加减运算（基础送分） 考法：多个根式相加减 步骤：① 全部化为最简② 合并同类二次根式 方法技能 关键点：结果分母无根号、根号内无分母 一步套一步，只要一步算错，整题失分。 运算顺序混乱，先加减后乘除 不用乘法公式，硬算导致出错 化简不彻底，结果不是最简二次根式 分母有理化漏乘、符号错 去绝对值或开方时忽略符号 不同类二次根式乱合并. 变式演练 【变式01】（2025·江苏南京·二模）计算的结果是___________． 题型06 二次根式大小比较 典例引领 【典例01】（2025盐城模考）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是(     ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 方法透视 考向解读 二次根式大小比较在中考中属于小题考点，主要出现在选择题、填空题，分值一般2～3 分，难度中等偏基础，方法固定，掌握技巧就能秒解。 方法技能 易错警示: 1. 比较时忘记两者都是正数，乱用平方导致错误 2. 平方展开时计算错误（完全平方公式用错） 3. 有理化时符号出错: 4. 估值估错范围，导致大小判断反了 一句话总结: 二次根式大小比较在中考就考五种套路：比被开方数、平方、作差、倒数、估值 变式演练 【变式01】（2025·宁夏银川·模拟预测）比较大小： ______． 【变式02】（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 题型07 二次根式中的代数推理 典例引领 【典例01】（2026·安徽马鞍山·一模）数学兴趣小组展开了“当与大小关系”的数学探究． (1)【感知】①；②；③_____（填“”“”或“”）． (2)【猜想】当，猜想_____（填“”“”或“”）． (3)【证明】数学小组从代数变形和数形结合给出了两种思路，分别如下： 思路一：∵．∴ 思路二：如图，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接．设．∵为直径，∴．∵，∴，∴，∴ 任选一种补充证明． (4)【应用】如果，直接写出的最小值为_____． 方法透视 考向解读 这是近几年中考二次根式板块里明显变难、分值变重的一类考向，不再是单纯计算，而是侧重逻辑推理、式子变形、规律探究，多出现在填空压轴、选择压轴或简单解答推理题中，难度中档偏上，是拉开差距的考点。 方法技能 二次根式代数推理，中考就考四类：非负性推理、条件式变形推理、有理化裂项推理、规律归纳推理掌握变形套路，这类题就能从 “压轴” 变成 “稳拿分”。 变式演练 【变式01】（2025·山东日照·模拟预测）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． 设（为正整数），当时，的值是________． 【变式02】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）观察下列各等式，并用含n（n为整数，且）的式子表示其中体现的规律______． ；；…… 题型08 二次根式中的应用 典例引领 【典例01】（25-26泰兴·模考）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，，则的值为______． 方法透视 考向解读 二次根式代数推理，中考就考四类：非负性推理、条件式变形推理、有理化裂项推理、规律归纳推理掌握变形套路，这类题就能从 “压轴” 变成 “稳拿分”。 方法技能 纯计算减少，几何应用明显增多 结合网格、坐标系、折叠图形考查 强调 “结果最简”，不化简直接扣分 难度稳定，属于必须拿满分的中档应用题型 变式演练 【变式01】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们知道，平方具有非负性，所以可以得到如下结论： ∵，∴，∴． 对于任意实数，，不等式均成立，当且仅当时等号成立，此时取得最小值．特别地，若，，由，可得，当且仅当时，即当时等号成立，此时取得最小值． 请利用上述结论，解决下列问题： (1)当时，代数式的最小值为________； (2)已知代数式，当时，的最小值等于，求实数，的值； (3)已知实数，及正整数同时满足下列两个条件：①，②，若为整数，求代数式的最小值． 题型09 二次根式的新题型 典例引领 【典例01】（25-26八年级下·河南周口·月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见的小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，） (1)求从高空抛物到落地的时间．（结果保留根号） (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）×高度（单位：），某质量为的玩具被抛出，经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 方法透视 考向解读 这部分是二次根式真正的拔高考向，多出现在选择 / 填空压轴、小综合解答题，侧重建模能力 + 代数运算 + 几何直观，是中考区分中档生与优生的关键考点。 方法技能 二次根式与物理结合，披着物理外衣，考的还是数学二次根式： · 二次根式 + 物理：简单综合，考基础：有意义、化简、计算。 · 二次根式 + 几何最值：真正压轴，考建模 + 构图 + 运算，是拉分点。 共同特点：列式不难，但结果必须是最简二次根式，否则直接扣分。 变式演练 【变式01】（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 题●型●训●练 1．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 3．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________． 4．（2025·江苏南京·一模）幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值______． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）计算______． 6．（2025·云南文山·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江绍兴·二模）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）计算：． 9．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：的结果是______． 10．（22-23八年级下·江苏宿迁·月考）根据要求求值： 若x，y都是实数，且，求的值． 11．（2025·山西·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： (1)直接写出材料中的依据为：_________； (2)写出求解长的解题过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次根式 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次根式的定义 题型02 二次根式的性质及化简 题型03 最简二次根式 题型04 同类二次根式 题型05 二次根式的运算 题型06 二次根式大小比较 题型07 二次根式中的代数推理 题型08 二次根式的应用 题型09 二次根式新题型 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次根式的定义 典例引领 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 【典例02】（2026·江苏徐州·一模）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 即， 解得． 方法透视 考向解读 核心知识:定义：形如a（a≥0）的式子叫二次根式。 会判断哪些式子是二次根式。 方法技能 · 有意义条件：被开方数 a≥0；若含分式 / 零指数，需同时满足分母≠0、底数≠0。 (1)列不等式（组）：被开方数≥0，分母≠0，零指数底数≠0。 (2)取各条件的公共解集。 变式演练 【变式01】（2026·江苏无锡·一模）若二次根式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和一元一次不等式，根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：由题可知， 解得：． 【变式02】（2026·江苏徐州·一模）代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题代数式同时包含二次根式和分式，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：由于代数式有意义， 则 解不等式①得：， 解不等式②得：， 结合两个不等式的解，可得的取值范围是． 题型02 二次根式的性质及化简 典例引领 【典例01】（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 【典例02】（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 方法透视 考向解读 方法技能 变式演练 【变式01】（2025·江苏苏州·二模）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的加减运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 【变式02】（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊三角函数值，化简绝对值进行运算，然后合并即可，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ． 题型03 最简二次根式 典例引领 【典例01】（25-26九年级上·四川资阳·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】6 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，在最简二次根式的条件下，被开方数相同即为同类二次根式． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同得到，据此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与 是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：6． 【典例02】（2025·河北石家庄·二模）若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式的定义，二次根式有意义的条件．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是3． 故答案为：3． 方法透视 考向解读 最简二次根式是二次根式章节的核心标准，中考不单独出大题，但处处都要用到，是化简、计算、求值的 “最后一步”，属于必拿分基础考点。 方法技能 一个二次根式是最简二次根式，必须同时满足 3 条： 被开方数不含分母（分母中不能有根号） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式如：不含 4,9,16,a2,b4 等 被开方数的因数是整数，因式是整式. 口诀：无分母，无平方因子，因数为整数 变式演练 【变式01】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 题型04 同类二次根式 典例引领 【典例01】（25-26九年级上·重庆·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______. 【答案】/0.5 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，解二元一次方程组，负整数指数幂，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组并求解，得到和的值，再计算． 【详解】解：由与是同类二次根式，得到， 整理得， 由最简二次根式与是同类二次根式，得到， 整理得， ∴， 解方程组得， 因此， 故答案为：． 方法透视 考向解读 同类二次根式是中考二次根式模块的必考点，多以选择题、填空题出现，分值一般2～3 分，难度低、套路固定，属于必须稳拿的基础分。 方法技能 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数完全相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。 关键点： 1. 必须先化成最简，再判断;只看被开方数，不看根号外的系数 变式演练 【变式01】（2025·江苏南京·三模）计算的结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简及计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将两个二次根式依次化简，再进行减法运算即可． 【详解】解： ． 题型05 二次根式运算 典例引领 【典例01】（2025·江苏·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 【典例02】（2025·江苏宿迁·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查零指数，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的计算，根据相关运算法则，进行化简计算即可． 【详解】解：原式． 方法透视 考向解读 考二次根式运算在中考里属于必考基础计算题，一般出现在解答题第 1 题或选择填空，分值4～6 分，难度低、套路固定，是必须拿满分的题型。 单纯加减运算（基础送分） 考法：多个根式相加减 步骤：① 全部化为最简② 合并同类二次根式 单纯加减运算（基础送分） 考法：多个根式相加减 步骤：① 全部化为最简② 合并同类二次根式 方法技能 关键点：结果分母无根号、根号内无分母 一步套一步，只要一步算错，整题失分。 运算顺序混乱，先加减后乘除 不用乘法公式，硬算导致出错 化简不彻底，结果不是最简二次根式 分母有理化漏乘、符号错 去绝对值或开方时忽略符号 不同类二次根式乱合并. 变式演练 【变式01】（2025·江苏南京·二模）计算的结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练二次根式化简是解题的关键．运用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型06 二次根式大小比较 典例引领 【典例01】（2025盐城模考）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是(     ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【答案】A 【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可． 【详解】解:∵，，， 又， ∴． 故选：A. 方法透视 考向解读 二次根式大小比较在中考中属于小题考点，主要出现在选择题、填空题，分值一般2～3 分，难度中等偏基础，方法固定，掌握技巧就能秒解。 方法技能 易错警示: 1. 比较时忘记两者都是正数，乱用平方导致错误 2. 平方展开时计算错误（完全平方公式用错） 3. 有理化时符号出错: 4. 估值估错范围，导致大小判断反了 一句话总结: 二次根式大小比较在中考就考五种套路：比被开方数、平方、作差、倒数、估值 变式演练 【变式01】（2025·宁夏银川·模拟预测）比较大小： ______． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，熟知二次根式的性质是解答此题的关键． 先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：，，， ， 即 故答案为：． 【变式02】（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 题型07 二次根式中的代数推理 典例引领 【典例01】（2026·安徽马鞍山·一模）数学兴趣小组展开了“当与大小关系”的数学探究． (1)【感知】①；②；③_____（填“”“”或“”）． (2)【猜想】当，猜想_____（填“”“”或“”）． (3)【证明】数学小组从代数变形和数形结合给出了两种思路，分别如下： 思路一：∵．∴ 思路二：如图，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接．设．∵为直径，∴．∵，∴，∴，∴ 任选一种补充证明． (4)【应用】如果，直接写出的最小值为_____． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （）根据（）的结果猜想即可； （）根据思路补充完整证明过程即可； （）把代数式转化为，利用猜想求出的取值，进而即可求解； 本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，圆周角定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①；②；③， 故答案为：； （2）解：当，猜想， 故答案为：； （3）思路一：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 思路二：如图，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴； （4）解：， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 方法透视 考向解读 这是近几年中考二次根式板块里明显变难、分值变重的一类考向，不再是单纯计算，而是侧重逻辑推理、式子变形、规律探究，多出现在填空压轴、选择压轴或简单解答推理题中，难度中档偏上，是拉开差距的考点。 方法技能 二次根式代数推理，中考就考四类：非负性推理、条件式变形推理、有理化裂项推理、规律归纳推理掌握变形套路，这类题就能从 “压轴” 变成 “稳拿分”。 变式演练 【变式01】（2025·山东日照·模拟预测）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． 设（为正整数），当时，的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的规律计算，理解规律，掌握二次根式的计算是关键． 根据材料提示，找出规律即可求解． 【详解】解：①； ②； ③； ， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 【变式02】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）观察下列各等式，并用含n（n为整数，且）的式子表示其中体现的规律______． ；；…… 【答案】 【分析】分别观察已知等式中，根号内带分数的整数部分，分子，分母的数量关系，归纳总结得到一般性规律． 【详解】解：观察已知等式： 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； ∴，其中为整数，且． 题型08 二次根式中的应用 典例引领 【典例01】（25-26泰兴·模考）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，，则的值为______． 【答案】或 【分析】根据题中公式，将，，得到，分类求解即可． 【详解】解：将，代入得 ， 将方程两边平方并整理得， 开方得， 即， 当时，，解得或（边长为负值，舍去）； 当时，，解得或（边长为负值，舍去）； 综上所述，的值为或． 方法透视 考向解读 二次根式代数推理，中考就考四类：非负性推理、条件式变形推理、有理化裂项推理、规律归纳推理掌握变形套路，这类题就能从 “压轴” 变成 “稳拿分”。 方法技能 纯计算减少，几何应用明显增多 结合网格、坐标系、折叠图形考查 强调 “结果最简”，不化简直接扣分 难度稳定，属于必须拿满分的中档应用题型 变式演练 【变式01】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们知道，平方具有非负性，所以可以得到如下结论： ∵，∴，∴． 对于任意实数，，不等式均成立，当且仅当时等号成立，此时取得最小值．特别地，若，，由，可得，当且仅当时，即当时等号成立，此时取得最小值． 请利用上述结论，解决下列问题： (1)当时，代数式的最小值为________； (2)已知代数式，当时，的最小值等于，求实数，的值； (3)已知实数，及正整数同时满足下列两个条件：①，②，若为整数，求代数式的最小值． 【答案】(1)． (2)或， (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、分式的混合运算的应用． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）把原式变形为，根据题干的方法计算即可； （3）把原式变形后分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，， 解得，，的最小值为． （2）由可得，， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，成立， 解得或， 即或，的最小值． （3）∵， ∴，即． ∵， ∴，， 又∵为整数， ∴，或者，， 即，或者，， ①当，时， ∵， ∴， ∴． 令， ∴， ∴， 当时，， 解得：，，符合题意，的最小值为； ②当，时， ∵，且， ∴，与矛盾（舍）． 综上所述，的最小值为． 题型09 二次根式的新题型 典例引领 【典例01】（25-26八年级下·河南周口·月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见的小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，） (1)求从高空抛物到落地的时间．（结果保留根号） (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）×高度（单位：），某质量为的玩具被抛出，经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 【答案】(1) (2)不会，理由见详解 【分析】（1）根据题意，把代入表达式计算即可； （2）根据题意，把代入计算得到该玩具高空坠物的动能，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式， ∴当时，； （2）解：不会，理由如下， 当时，， 解得， ∴该玩具高空坠物动能， ∵， ∴这个玩具产生的动能不会伤害到楼下的行人． 方法透视 考向解读 这部分是二次根式真正的拔高考向，多出现在选择 / 填空压轴、小综合解答题，侧重建模能力 + 代数运算 + 几何直观，是中考区分中档生与优生的关键考点。 方法技能 二次根式与物理结合，披着物理外衣，考的还是数学二次根式： · 二次根式 + 物理：简单综合，考基础：有意义、化简、计算。 · 二次根式 + 几何最值：真正压轴，考建模 + 构图 + 运算，是拉分点。 共同特点：列式不难，但结果必须是最简二次根式，否则直接扣分。 变式演练 【变式01】（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． （1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解； （2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解； （3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想． 故答案为：D； （2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段． ∵两点之间，线段最短， ∴． ∵，， ，， ∴． ∴； （3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则， ∴， ， ． 又∵是A关于的对称点， ∴． 又根据两点之间线段最短，， ∴． ∴． ∴当P在F时，取最小值为． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最小值为． 故答案为：． 题●型●训●练 1．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 2．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 3．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 4．（2025·江苏南京·一模）幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ∴． 故答案为：． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）计算______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，根据二次根式的乘法运算法则和二次根式的性质即可求解，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（2025·云南文山·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，多项式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 观察多项式规律，分别分析a的指数部分和根号部分的规律，结合选项进行判断． 【详解】解：将多项式拆分为两部分： a的指数部分：第1项为，第2项为，第3项为，依此类推，第n项为， 根号部分：第1项为，第2项为，第3项为（即2），第4项为，依此类推，第n项为， 因此，第n个多项式为， 故选：C 7．（2025·浙江绍兴·二模）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的应用．掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解． 【详解】解：把代入公式，得 ， ∵， ∴， 即． 故选：B． 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）计算：． 【答案】; 【分析】根据二次根式性质，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行求解即可； 【详解】（1）解： ； 9．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：的结果是______． 【答案】 【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果． 【详解】解： ， ∴的结果是． 10．（22-23八年级下·江苏宿迁·月考）根据要求求值： 若x，y都是实数，且，求的值． 【详解】（1）解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴； 11．（2025·山西·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： (1)直接写出材料中的依据为：_________； (2)写出求解长的解题过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2) (3) 【分析】本题考查了两点之间线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理，二次根式的运算；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点之间线段最短即可得解； （2）作交的延长线于，则四边形为矩形，得出，，求出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）仿照材料给出的方法计算即可得解． 【详解】（1）解：材料中的依据为：两点之间线段最短； （2）解：如图：作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：，将x和分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长， 作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，E ∵，，， ∴，， ∴； ∴的最小值为． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $