第五章 数列（知识清单+7大易错点）数学人教B版选择性必修第三册

第五章 数列 知识点 具体内容 数 列 基 础 一、数列的概念 1.定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示．其中第1项也叫做首项． 二、数列的分类及表示方法 1.分类: 若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列 2.一般形式:数列的一般形式是简记为．其他方法:解析式法、表格法、图象法． 三、数列的通项公式 如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 四、数列与函数 1.数列与函数的区别和联系： 数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点； 函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线． 2.数列的单调性 与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值． 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 五、数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的任意一项 给出n的值,可求出数列中的第n项 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 六、数列的前n项和 1.数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. 2.数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 七、与的关系式： ①当时，若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示. 等 差 数 列 一、等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，通项公式为 二、等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1）（2） （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则. 特别的,若,则有 三、等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 等差数列前n项和的函数特点： 对于等差数列,如果是确定的,前项和. 若取,上式可写成. 当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点. 四、等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)即不含常数项的二次函数式 （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 五、等差数列前n项和的最值 （1）若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值. （2）若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值. 等 比 数 列 一、等比数列的概念 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）. 注意：（1）等比数列中不能有0项 （2） 常数列都是等比数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 2.等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时, 二、等比数列的通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为 （2）第项与第项的关系为,变形得 （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即. 三、等比数列的常用性质 （1）如果,则有 （2）如果,则有 （3）若成等比数列,则成等比数列. （4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. （5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为. （6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 （7）等比数列的单调性 ①当或时,等比数列为递增数列; ②当或时,等比数列为递减数列; ③当时,等比数列为摆动数列. 四、等比数列的前n项和公式 已知量 公式 首项与公比 首项,末项与公比 五、等比数列前n项和的函数特征 （1）与公比的关系 等比数列前项和的函数形式由公比是否为1决定，对应两种不同的函数类型，且点均为对应函数图象上的孤立点（因为正整数）。 1.当时，等比数列所有项相等，前项和公式为： 此式是关于的正比例函数（为常数），点落在直线上。 2.当且时，等比数列前项和公式为： 对公式变形可得：，令，则。 此时是关于的指数型函数，点落在指数型函数的图象上。 （2）与通项的关系 该关系仅在公比时成立，核心结论为：与成一次函数关系（即，、为常数）。 推导依据 1.等比数列通项公式： 2.前项和变形公式：（） 将代入公式，可得： ，令常数，，则，即是的一次函数。 六、等比数列前项和的性质 （1）等比数列中,若项数为,则;若项数为,则. （2）若等比数列的前项和为,则成等比数列(其中均不为,公比为. 数 学 归 纳 法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: （1）（归纳奠基）证明当时命题成立; （2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 用数学归纳法证明恒等式 （1）弄清取第一个值时等式两端项的情况; （2）弄清从到等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; （3）证明时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝证明目标的表达式变形. 易错01等差数列求和时，误用公式、混淆项数导致错误。 注意：等差数列前项和有两个常用公式，适用条件不同，题目给出首项、末项用，给出首项、公差用，同时要准确确定项数，避免多算或少算。 1．已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 【答案】D 【详解】已知等差数列，，， 由等差数列前项和公式可得， ，解得， ， ，是开口向上的二次函数， 对称轴为， 由于是正整数，离对称轴最近的整数为7和8， 当取最小值时，7或8． 2．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 所以可设，， 所以，所以. 3．已知数列为等差数列，首项（m为整数），公差，前项和，则满足题意的的所有取值的和为（   ） A．3720 B．4320 C．2940 D．1736 【答案】D 【详解】，， 所以n的取值为的所有因数， 所以所求和为． 故选D 4．（多选）记为等差数列的前n项和，若，,则（   ） A． B．公差 C． D．若,则， 【答案】AD 【详解】设等差数列的公差为, 由，所以，故A正确； 由​，得，即， 又，所以，解得，故B错误； 由等差数列前项和公式得，故C错误； 对于，因为，所以​， 所以，故D正确. 5．（多选）已知等差数列的前项和为．若，，则（    ） A．的公差为 B． C． D．使成立的的最大值为 【答案】ACD 【详解】设的公差为， 由，，得，解方程组得， 对于A，公差，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，；当时，， ， ，， 所以，C正确； 对于D，，解得， 所以的最大值为，D正确． 易错02由前n项和求通项公式时，忽略公式成立条件导致错误。 注意：由求必须使用分段公式，当时，，当时，，不可直接统一表达式。求出的通项后，必须检验是否符合，不符合则必须写成分段形式，避免遗漏或多解。 6．（多选）已知数列的前项和，则（    ） A． B．是递增数列 C．不等式的解集为有限集 D．当且仅当时，有最大值 【答案】AC 【详解】已知数列的前项和， ，，选项A正确； ，， ，，，选项B错误； ，则，解得， 不等式的解集为，为有限集，选项C正确； 由，，， 所以当或时，有最大值，选项D错误. 7．（多选）记分别为数列的前n项和与前n项积，已知各项均为正数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于AB，因为，各项均为正数， 所以， 所以，故A正确，B错误； 对于C，当时，， 所以，即， 所以从第二项起为公比为2的等比数列， 所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 8．（多选）数列满足，则下列结论中正确的有（   ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】ACD 【详解】由，当时，，解得，故A正确； 当时，可得，所以， 所以，即，而， 故C正确，B不正确； 因为且，所以对有， 代入得，故D正确． 故选：ACD. 9．已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由，① 当时，，由，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 易错03等比数列中忽视公比的偶次方为正数，忽略项的符号关系。 注意：等比数列所有奇数项符号一致，所有偶数项符号一致，相邻两项必同号。解题时不能只关注绝对值，必须结合符号判断，避免出现“正负任意”的错误结论，尤其在求项、求公比和中项时格外注意。 10．若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若1，，，，4的公比为，则， 由题设，，则（负值舍）， 所以. 故选：A 11．已知数列是等比数列，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， ，， ， ， 又， . 故选：B. 12．在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是等比数列，且，是方程的两根，所以：，且，. 根据等比数列的性质，得：，且，所以 ∴. 故选：A 13．已知等比数列，，是方程的两实根，则等于______. 【答案】4 【详解】∵等比数列，，是方程的两实根，则， ∴，且，， 又∵， ∴. 故答案为：4. 易错04求等比中项时，忽视同号两数的等比中项有两个且互为相反数。 注意：若是与的等比中项，则满足，只有时才有实数等比中项，且为。做题时容易只写正的一个，漏掉负的情况，造成结果不完整。 14．1和4的等比中项是（ ） A．2 B．16 C． D． 【答案】C 【详解】设1和4的等比中项是，则，所以. 15．已知2既是2m与n的等差中项，也是m与2n的等比中项，则m，n的等比中项为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】2是与的等差中项，所以， 2是与的等比中项，所以， 解得，所以的等比中项为. 故选：. 16．已知和的等比中项为B，则B = ________________. 【答案】 【详解】由和的等比中项为B， 则， 故. 故答案为：. 17．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 【答案】 【详解】解：因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 故答案为： 易错05裂项相消求和时，抵消后剩余项判断错误。 注意：裂项后并非一定只留首尾两项，可能前面剩两项、后面剩两项，也可能间隔抵消。解题时应多写出前几项与后几项，清晰观察抵消规律，再确定剩余项，不可凭经验直接写结果，避免项数遗漏或多算。 18．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），， ， 令，，， 故的通项公式为. （2）由（1）得：， ， . 故数列的前项和. 19．已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，；，． (2) 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，． （2）由于， 所以 20．正项数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得. 由于是正项数列，所以，. 当时，， 当时，. 显然，满足， 综上，数列的通项公式为. （2）由于，故 . 21．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求，； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值. (3)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)6 (3)存在，的最小值为4 【分析】 【详解】（1）当时，且，解得， 当时，， ∴， 即，则， ∵，则，所以， ∴是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 设数列的公比为，则， 即，解得：，所以； （2）根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1；在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1；在4和5之间插入个1； 在5和6之间插入个1， 因为，且， 故中； （3）， 故， 由于，故对于恒成立，则， 当，2，3时， , 而当时，单调递增，且， 故当正整数满足时，恒成立，故正整数的最小值为4. 易错06混淆数列与连续函数的区别，误用函数性质导致错误。 注意：数列的自变量只能取正整数，不连续。用函数单调性、导数、图像判断数列性质时，不能直接照搬连续函数结论，必须限定，防止因取值范围扩大而出现错误判断。 22．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 23．已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，∴．∴关于n的不等式， 即，即对任意的恒成立． 解法一  设，则， 当时，，当时，， 当时，， 又，∴当或时，，∴． 故选:C． 解法二  由，当且仅当，即时等号成立， 又，∴当或时，取得最小值24，故． 故选:C． 24．已知数列满足，数列满足. (1)求数列的前20项和； (2)求数列的通项公式； (3)数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1） . （2）①，②， ②-①得， ，， 数列是以3为首项，公差为2的等差数列，. （3）， ， ，当且仅当， 即时取等号， 因，当时，，当时， ，. 25．记为数列的前项和，满足，，若对任意的恒成立，则实数的最小值为（　　） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】依题意，知，则 当时，，即，得； 当时，，故，即， 故； 经检验，当时，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 因为，所以利用指数函数的性质易得，， 故，即， 要使对任意的恒成立，即， 根据对勾函数的性质可知，当时，取得最大值为 所以，即实数的最小值为． 故选：C. 易错07分段数列、局部等差数列求和时，忽略对的分段讨论。 注意：分段数列在不同范围内通项公式不同，求和时必须按分段区间分开计算。若直接统一公式，会导致项数、公差、公比使用错误，最终结果偏离正确答案。 26．已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 【答案】32 【详解】已知，. 当时，. 满足上式，所以，. 则当时，；当时，； 所以 27．已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；， (2) 【分析】 【详解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 28．记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式an与前n项和公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设的公差为，则， 解得，所以的通项公式为， ； （2）由（1）得，令，解得， 当时，数列的前项均为正数， 则； 当时，数列的前7项为正数，从第8项至第项为负数， 则， ， 综上，. 29．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减，得，则，当n＝1时，，即，满足上式， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 令，得，则，记， 当时，，则； 当时，，则 ， 所以数列的前n项和. 1．若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为_____. 【答案】 【详解】因为为等差数列的前项和，且，， 所以可得，解得， 所以，， 设与的等比中项为，则，则， 所以与的等比中项为. 故答案为： 2．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为__________. 【答案】/0.5 【详解】由题意得， 因为成等比数列，设公比为， 则且， 解得， 故. 故答案为： 3．（多选）已知数列的前项和为．若，则（    ） A． B． C．的最大值为5 D． 【答案】AC 【详解】由题可知，，所以A正确. 由，得. 所以. 不满足，所以，所以B错误. ，所以当时，取得最大值，最大值为5，所以C正确. 当时，，所以D错误. 故选：AC. 4．已知数列的前项和为，且，，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知，由可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 当且时，， 不满足上式，故. 5．已知是数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式 (2)设为数列前n项的和，若对一切恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为是数列的前n项和，且，则，当时，，当时，，满足通项公式，所以的通项公式为. （2）因为为数列前n项的和，令， 则， ，因为对一切恒成立， 则，因为，当且仅当时，等号成立. 所以,所以实数的最大值为. 6．已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，解得， 当时，①，②， ①-②得：， 又，，， ∴数列是首项为8、公比为4的等比数列，， 设等差数列的公差为， ，且，，成等比数列， ， 即，解得 （2）   当为偶数时， 当为奇数时， 7．已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 8．已知数列满足：. (1)求数列的通项公式． (2)记，数列的前项和．若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为①， 当时，， 当时，有②， ①②得：，所以， 经检验符合上式，所以，， （2）， 所以， 因为， 所以不等式恒成立，则， 解得：或. 故实数的取值范围为. 9．已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列公差为，则，由得， 由得，所以，所以， 所以数列的通项公式为； 又， 由数列的各项均为正数得，即， 又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列， 所以. （2）当为奇数时，记，则有 当为偶数时，． 所以，记，则有 所以. 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 数列 知识点 具体内容 数 列 基 础 一、数列的概念 1.定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示．其中第1项也叫做首项． 二、数列的分类及表示方法 1.分类: 若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列 2.一般形式:数列的一般形式是简记为．其他方法:解析式法、表格法、图象法． 三、数列的通项公式 如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 四、数列与函数 1.数列与函数的区别和联系： 数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点； 函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线． 2.数列的单调性 与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值． 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 五、数列的递推公式 如果一个数列的_______两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的_______ 给出n的值,可求出数列中的_______ 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 六、数列的前n项和 1.数列的前n项和:把数列从_______起到_______止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. 2.数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 七、与的关系式： ①当时，若_______，则的情况可并入时的通项； ②当时，若_______，则用_______的形式表示. 等 差 数 列 一、等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从_______起,每一项与它的前一项的_______都等于_______,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_______,公差通常用字母_______表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的_______.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为_______，通项公式为_______ 二、等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1）（2）_______ （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为_______的等差数列(c为任一常数) 公差为_______的等差数列(c为任一常数) 公差为_______的等差数列(k为常数) 公差为_______的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则_______. 特别的,若,则有_______ 三、等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 _______ _______ 等差数列前n项和的函数特点： 对于等差数列,如果是确定的,前项和. 若取,上式可写成. 当(即)时,是关于的_______函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群_______的点. 四、等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成_______数列. （2）数列是等差数列(为常数)即不含_______的二次函数式 （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则_______ ② 五、等差数列前n项和的最值 （1）若______________,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最_______值. （2）若______________,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最_______值. 等 比 数 列 一、等比数列的概念 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的_______都等于_______,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母_______表示（显然）. 注意：（1）等比数列中不能有0项 （2） 常数列都是等比数列,但却_______等比数列.如常数列是各项都为_______的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 2.等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,_______ 二、等比数列的通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为_______ （2）第项与第项的关系为_______,变形得_______ （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即. 三、等比数列的常用性质 （1）如果,则有_______ （2）如果,则有_______ （3）若成等比数列,则成等_______数列. （4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. （5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为_______. （6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 （7）等比数列的单调性 ①当或时,等比数列为递_______数列; ②当或时,等比数列为递_______数列; ③当时,等比数列为摆动数列. 四、等比数列的前n项和公式 已知量 公式 首项与公比 首项,末项与公比 五、等比数列前n项和的函数特征 （1）与公比的关系 等比数列前项和的函数形式由公比是否为1决定，对应两种不同的函数类型，且点均为对应函数图象上的_______（因为正整数）。 1.当时，等比数列所有项相等，前项和公式为： 此式是关于的_______函数（为常数），点落在直线上。 2.当且时，等比数列前项和公式为： 对公式变形可得：，令，则。 此时是关于的_______函数，点落在指数型函数的图象上。 （2）与通项的关系 该关系仅在公比时成立，核心结论为：与成_______关系（即，、为常数）。 推导依据 1.等比数列通项公式： 2.前项和变形公式：（） 将代入公式，可得： ，令常数，，则，即是的一次函数。 六、等比数列前项和的性质 （1）等比数列中,若项数为,则_______;若项数为,则._______ （2）若等比数列的前项和为,则成_______数列(其中均不为,公比为_______. 数 学 归 纳 法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: （1）（归纳奠基）证明当时命题成立; （2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当_______时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从_______开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 用数学归纳法证明恒等式 （1）弄清取_______时等式两端项的情况; （2）弄清从到等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; （3）证明时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝证明目标的表达式变形. 易错01等差数列求和时，误用公式、混淆项数导致错误。 注意：等差数列前项和有两个常用公式，适用条件不同，题目给出首项、末项用，给出首项、公差用，同时要准确确定项数，避免多算或少算。 1．已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 2．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列为等差数列，首项（m为整数），公差，前项和，则满足题意的的所有取值的和为（   ） A．3720 B．4320 C．2940 D．1736 4．（多选）记为等差数列的前n项和，若，,则（   ） A． B．公差 C． D．若,则， 5．（多选）已知等差数列的前项和为．若，，则（    ） A．的公差为 B． C． D．使成立的的最大值为 易错02由前n项和求通项公式时，忽略公式成立条件导致错误。 注意：由求必须使用分段公式，当时，，当时，，不可直接统一表达式。求出的通项后，必须检验是否符合，不符合则必须写成分段形式，避免遗漏或多解。 6．（多选）已知数列的前项和，则（    ） A． B．是递增数列 C．不等式的解集为有限集 D．当且仅当时，有最大值 7．（多选）记分别为数列的前n项和与前n项积，已知各项均为正数，，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）数列满足，则下列结论中正确的有（   ） A． B．是等比数列 C． D． 9．已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 易错03等比数列中忽视公比的偶次方为正数，忽略项的符号关系。 注意：等比数列所有奇数项符号一致，所有偶数项符号一致，相邻两项必同号。解题时不能只关注绝对值，必须结合符号判断，避免出现“正负任意”的错误结论，尤其在求项、求公比和中项时格外注意。 10．若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 11．已知数列是等比数列，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 12．在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 13．已知等比数列，，是方程的两实根，则等于______. 易错04求等比中项时，忽视同号两数的等比中项有两个且互为相反数。 注意：若是与的等比中项，则满足，只有时才有实数等比中项，且为。做题时容易只写正的一个，漏掉负的情况，造成结果不完整。 14．1和4的等比中项是（ ） A．2 B．16 C． D． 15．已知2既是2m与n的等差中项，也是m与2n的等比中项，则m，n的等比中项为（    ） A．2 B． C． D． 16．已知和的等比中项为B，则B = ________________. 17．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 易错05裂项相消求和时，抵消后剩余项判断错误。 注意：裂项后并非一定只留首尾两项，可能前面剩两项、后面剩两项，也可能间隔抵消。解题时应多写出前几项与后几项，清晰观察抵消规律，再确定剩余项，不可凭经验直接写结果，避免项数遗漏或多算。 18．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 19．已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 20．正项数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； 21．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求，； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值. (3)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 易错06混淆数列与连续函数的区别，误用函数性质导致错误。 注意：数列的自变量只能取正整数，不连续。用函数单调性、导数、图像判断数列性质时，不能直接照搬连续函数结论，必须限定，防止因取值范围扩大而出现错误判断。 22．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 24．已知数列满足，数列满足. (1)求数列的前20项和； (2)求数列的通项公式； (3)数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 25．记为数列的前项和，满足，，若对任意的恒成立，则实数的最小值为（　　） A． B． C． D．4 易错07分段数列、局部等差数列求和时，忽略对的分段讨论。 注意：分段数列在不同范围内通项公式不同，求和时必须按分段区间分开计算。若直接统一公式，会导致项数、公差、公比使用错误，最终结果偏离正确答案。 26．已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 27．已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 28．记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式an与前n项和公式； (2)求数列的前n项和. 29．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 1．若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为_____. 2．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为__________. 3．（多选）已知数列的前项和为．若，则（    ） A． B． C．的最大值为5 D． 4．已知数列的前项和为，且，，则___________． 5．已知是数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式 (2)设为数列前n项的和，若对一切恒成立，求实数的最大值． 6．已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. 7．已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 8．已知数列满足：. (1)求数列的通项公式． (2)记，数列的前项和．若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $