高中数学人教B版（2019）数学选择性必修第三册第五章《数列》知识点清单

新教材人教B版2019版数学选择性必修第三册 第五章知识点清单 目录 第五章数列 5. 1 数列基础 　　5. 1. 1 数列的概念 　　5. 1. 2 数列中的递推 5. 2 等差数列 　　5. 2. 1 等差数列 　　5. 2. 2 等差数列的前n项和 5. 3 等比数列 　　5. 3. 1 等比数列 　　5. 3. 2 等比数列的前 n项和 5. 4 数列的应用 5. 5 数学归纳法 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第五章数列 5. 1 数列基础 5. 1. 1 数列的概念 一、数列的相关概念 1. 按照一定次序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项(或首项)，第2项，…… 2. 组成数列的数的个数称为数列的项数. 3. 一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列. 有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的末项. 二、数列的通项与通项公式 1. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N+)，称为数列的通项. 此时，一般将整个数列简记为{an}，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母. 2. 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用 an=f(n) 来表示，其中f(n)是关于 n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. 三、数列与函数的关系 1. 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式. (1)数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示. (2)我们也可以用类似函数性质的术语来描述数列. ①从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列； ②从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列； ③各项都相等的数列称为常数数列(简称为常数列). 2 / 2 四、由数列的前几项求通项公式 1. 由数列的前几项写出它的一个通项公式的步骤 (1)从4个角度观察数列的前几项： ①各项的符号特征； ②各项能否拆分； ③分式的分子、分母的特征； ④相邻项的变化规律. (2)寻找各项与对应的项的序号之间的规律，一般方法如下： ①统一项的结构，将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如都化成分数、根式等； ②分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分与对应序号间的函数解析； ③当一个数列各项的符号“+”“-”相间时，应把符号分离出来,可用(-1)n或(-1)n+1来表示 ④当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时，一般考虑用分段的形式给出，有时也可以将给出的各项统一化成某种形式. 五、 数列的单调性的判断及应用 1. 判断数列单调性的方法 (1)转化为函数，利用函数的性质求解. (2)通过作差或作商法比较数列中相邻两项的大小关系. 2. 求数列中的最大(或最小)项的方法 (1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最大(或最小)项. (2)利用 (n≥2，n∈N+)求数列的最大项an；利用 (n≥2，n∈N+)求数列的最小项an. 当所得解不唯一时，比较各解的大小即可. 3. 利用数列的单调性求参数的取值范围 (1)利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题(或有解问题)进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理； (2)利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列的通项公式中n的取值范围. 5. 1. 2 数列中的递推 一、数列的递推关系 1. 如果已知数列的 首项 (或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 2. 一般来说，根据数列的首项(或前几项)以及数列的递推关系，可以求出这个数列中的每一项. 二、数列的前n项和 1. 一般地，给定数列{an}，称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的 前n项和 . 2. 一般地，如果数列{an