第五章 数列（复习讲义）数学人教B版选择性必修第三册

第五章 数列（复习讲义） 基础目标 能复述数列、通项公式、递推公式的基本概念；能复述等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及基本性质；会直接运用公式求解基本量、判断数列类型；能应用公式完成简单的求和、求项与性质判断。 进阶目标 理解并应用等差、等比数列的核心性质解决中项、项数、和的关联问题；会推导通项公式与前n项和公式的常用变形；能解决数列中的基本最值、范围与单调性问题；能处理分段数列、简单递推数列的通项与求和问题。 拓展目标 能综合运用数列知识解决函数、不等式结合的交汇问题；会推导并应用常见求和方法解决复杂数列求和；能构建数列模型解决实际应用问题；能处理存在性、最值与证明类综合问题，具备逻辑推理与运算求解能力。 一、等差数列 1．等差数列的基本量运算 （1）可由与构造关于的方程组即可求解 （2）利用等差数列的性质可简化计算 2．等差数列的判定与证明 对于数列，若⇔是等差数列 3．等差数列的性质 等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 4．等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 5．等差数列前n项和的最值 求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 6．等差数列奇偶项问题 设数列是等差数列,且公差为, （1）若项数为偶数，设共有项， （2）若项数为奇数,设共有项,则(中间项);②. 7．含绝对值的等差数列求和问题 若为等差数列,求数列的前项和的方法: （1）首先由通项公式求出数列正项和负项的临界项数; （2）①若,则数列的前项和 ②若,则数列的前项和 二、等比数列 1．等比数列的基本运算 （1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量； （2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 2．等比数列的判定与证明 一般用定义法判断一个数列是等比数列：若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列. 3．等比数列项的性质应用 等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1）； （2）若，则，其中.特别地，若，则，其中. （3）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). （4）若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 4．等比数列前n项和的性质 （1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用. （2）等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 三、数列通项公式常用方法 1．叠加法 适用于，求 具体过程：两边分别相加得 2．叠乘法 适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 3．形如型和型的递推式 （1）形如且，方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. （2）形如，方法：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 4．形如型和型的递推式 （1）形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） （2）形如，则两边取倒数即可 5．已知通项公式与前项和关系求通项 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 6．前项积型和“和”型求通项 “和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； “积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； 三、数列求和常用方法 1．分组求和法 （1）适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 （2）也适用分段/奇偶项不同n为奇数、偶数时通项表达式不同，按奇偶分开求和 2．并项求和法 适用于或，采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见等差型及根式型公式：（1）；（2）； （3）；（4）； （5） 常见指数型及三角型公式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） 题型1 等差等比数列基本量的计算 例1．设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 变式1-1．记为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．5 变式1-2．是正项等比数列，记为数列的前项和，且满足，则数列的公比为___________． 变式1-3．设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. (1)若，求数列和的通项公式； (2)若，求. 题型2 等差数列下标和性质 例2．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．记为正项等差数列的前项和，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．与的公差相等 D．取得最小值时 变式2-3．设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则_____. 题型3 等差数列前n项和性质 例3．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 变式3-2．设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 变式3-3．已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足  ， 则  （    ） A． B． C． D． 题型4 等比数列下标和性质 例4．在正项数列中，对任意，都有，若，则等于（   ） A．27 B．9 C．-3 D．-81 变式4-1．等比数列中，，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式4-2．在等比数列中，若，是方程的两个根，则＝（    ） A．±4 B． C．4 D．16 变式4-3．已知等比数列的前项积为，公比，且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D．当时，最小 题型5 等比数列前n项性质 例5．已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 变式5-1．记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 变式5-2．设等比数列的前n项和为，若，，则 （   ） A．24 B．32 C．36 D．108 变式5-3．已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则______． 题型6 等差等比数列的证明 例6．已知数列满足，. (1)设，证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和. 变式6-1．数列满足，.证明：数列是等比数列. 变式6-2．已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 变式6-3．已知数列满足：． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 题型7 累加累乘求通项公式 例7．数列中，，当时，，则数列的通项公式为______. 变式7-1．已知数列的首项为2，且满足，则（   ） A． B． C． D． 变式7-2．已知数列满足，则的最小值为______． 变式7-3．已知数列满足． (1)设，求证：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 题型8 构造法求通项公式 例8．已知数列满足，则______． 变式8-1．数列中，，，则通项______． 变式8-2．已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 变式8-3．已知数列满足：，对，都有，求出数列的通项公式． 题型9 Sn与an求通项公式 例9．已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 变式9-1．已知数列满足，，记数列的前项和为，则_____________. 变式9-2．已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则___________． 变式9-3．已知正项数列的前项和为，且，则__________. 题型10 分组求和法 例10．已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 变式10-1．已知数列为公比为4的等比数列，记为数列的前项和，已知. (1)求的最值； (2)求. 变式10-2．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求． 变式10-3．记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 题型11 裂项相消法 例11．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 变式11-1．已知数列的前项和为，，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 变式11-2．设为等差数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，求. 变式11-3．已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的取值范围． 题型12 错位相减法 例12．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式12-1．已知数列中，． (1)证明数列是等差数列， (2)求的通项公式； (3)设，求的前项和． 变式12-2．已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 变式12-3．已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2025·26高二下·湖南长沙·月考）正项数列中，，且，则的值为（ ） A． B． C． D．1或 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 3．（2025·26高二下·湖南株洲·月考）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ） A．34 B．17 C．56 D．68 4．（2025·26高二下·全国·课堂例题）的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·26高二上·广东深圳·期末）在等比数列中，已知，且，若，记数列的前项和为，则（   ） A．127 B．255 C．511 D．1023 6．（2025·26高二上·江苏常州·期末）设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（   ） A．264 B．520 C．521 D．263 二、多选题 7．（2024·25高二下·贵州贵阳·月考）已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前10项和为 8．（2025·26高二下·全国·课后作业）（多选）已知数列，下列选项不正确的是（   ） A．若，则为等比数列 B．若，则为等比数列 C．若，则为等比数列 D．若，则为等比数列 三、填空题 9．（2025·26高二下·江西景德镇·月考）若等差数列的前项和，则______. 10．（2025高二上·河北承德·专题练习）在等比数列中，已知，，则等于________． 11．（2024·25高三上·广西贵港·月考）已知数列满足，且，该数列的前项和为，则______. 四、解答题 12．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 13．（2025·26高二下·福建厦门·月考）已知数列的前n项和为，且. (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式. (2)已知，求数列的前项和. 14．（2023·24高二下·广东江门·期末）已知数列的前项和为. (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）. 能力提升进阶练 1．（2025·26高二上·湖北十堰·期末）已知数列满足若数列为单调递增数列，则λ的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·26高二上·山西运城·期末）在数列中，，则 （    ） A．3872 B．3882 C．3892 D．3902 3．（2025·26高一上·上海·期末）如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形面积的和是___________ 4．（2025·26高二上·湖南岳阳·期末）（多选）已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为15 5．（2025·26高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知数列满足则下列说法正确的是（    ） A．当时，（且n∈N⁺） B．若数列为常数列，则 C．若数列为递增数列，则 D．当时， 6．（2025·26高二上·江苏南通·期末）已知是首项为的递增数列，. (1)证明：数列是等比数列； (2)数列的前项和为，且. （i）求，并判断、、是否是等差数列； （ii）将数列的前项中任意两项相乘求积，求所有积的和. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 数列（复习讲义） 基础目标 能复述数列、通项公式、递推公式的基本概念；能复述等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及基本性质；会直接运用公式求解基本量、判断数列类型；能应用公式完成简单的求和、求项与性质判断。 进阶目标 理解并应用等差、等比数列的核心性质解决中项、项数、和的关联问题；会推导通项公式与前n项和公式的常用变形；能解决数列中的基本最值、范围与单调性问题；能处理分段数列、简单递推数列的通项与求和问题。 拓展目标 能综合运用数列知识解决函数、不等式结合的交汇问题；会推导并应用常见求和方法解决复杂数列求和；能构建数列模型解决实际应用问题；能处理存在性、最值与证明类综合问题，具备逻辑推理与运算求解能力。 一、等差数列 1．等差数列的基本量运算 （1）可由与构造关于的方程组即可求解 （2）利用等差数列的性质可简化计算 2．等差数列的判定与证明 对于数列，若⇔是等差数列 3．等差数列的性质 等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 4．等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 5．等差数列前n项和的最值 求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 6．等差数列奇偶项问题 设数列是等差数列,且公差为, （1）若项数为偶数，设共有项， （2）若项数为奇数,设共有项,则(中间项);②. 7．含绝对值的等差数列求和问题 若为等差数列,求数列的前项和的方法: （1）首先由通项公式求出数列正项和负项的临界项数; （2）①若,则数列的前项和 ②若,则数列的前项和 二、等比数列 1．等比数列的基本运算 （1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量； （2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 2．等比数列的判定与证明 一般用定义法判断一个数列是等比数列：若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列. 3．等比数列项的性质应用 等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1）； （2）若，则，其中.特别地，若，则，其中. （3）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). （4）若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 4．等比数列前n项和的性质 （1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用. （2）等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 三、数列通项公式常用方法 1．叠加法 适用于，求 具体过程：两边分别相加得 2．叠乘法 适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 3．形如型和型的递推式 （1）形如且，方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. （2）形如，方法：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 4．形如型和型的递推式 （1）形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） （2）形如，则两边取倒数即可 5．已知通项公式与前项和关系求通项 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 6．前项积型和“和”型求通项 “和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； “积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； 三、数列求和常用方法 1．分组求和法 （1）适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 （2）也适用分段/奇偶项不同n为奇数、偶数时通项表达式不同，按奇偶分开求和 2．并项求和法 适用于或，采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见等差型及根式型公式：（1）；（2）； （3）；（4）； （5） 常见指数型及三角型公式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） 题型1 等差等比数列基本量的计算 例1．设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，则有， 即，由，，成等比数列，则， 即，化简得， 由，则，即有，解得， 故. 变式1-1．记为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．5 【答案】A 【详解】等差数列中，由，得，即，解得， 而，则公差，所以. 变式1-2．是正项等比数列，记为数列的前项和，且满足，则数列的公比为___________． 【答案】1 【详解】若，成立； 因是正项等比数列，则，且， 由可得， 化简得，分解因式得， 故或，因为且，故此情况下无解． 综上所述：满足题意． 故答案为：1. 变式1-3．设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. (1)若，求数列和的通项公式； (2)若，求. 【答案】(1) (2)21或 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且不为0. 由，，得，即. 由，得，即. 联立，解得(舍去)，或. 故，； （2）由，得. 即，解得或. 当时，，； 当时，，. 综上所述，或. 题型2 等差数列下标和性质 例2．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以， 所以，所以． 变式2-1．记为正项等差数列的前项和，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以. 又因为，所以. 所以. 故选：D 变式2-2．（多选）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．与的公差相等 D．取得最小值时 【答案】AD 【详解】因为，，所以，，故公差，所以，故A正确； 又，所以，故B错误； ，则，所以也是等差数列，公差为，又，故二者的公差不相等，故C错误； 因为，所以，则取得最小值时，故D正确. 故选：AD. 变式2-3．设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则_____. 【答案】14 【详解】由题知，，解得. 另解：因为，又，所以， 即，由等差数列性质知，得. 故答案为： 题型3 等差数列前n项和性质 例3．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 可设，，， 所以. 变式3-1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 【答案】C 【详解】设，，则， ，，成等差数列，， 即，解得，所以. 变式3-2．设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【详解】， 由等差数列前项和的性质可知，即， 又， ，，， . 变式3-3．已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足  ， 则  （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等差数列前项和，， 所以， 由等差数列性质知，， 所以. 又， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 令等差数列的公差为，等差数列的公差为， 则①，②，③， 由②得，，由③得，， 代入①中，整理得，，所以，故. 故选：C. 题型4 等比数列下标和性质 例4．在正项数列中，对任意，都有，若，则等于（   ） A．27 B．9 C．-3 D．-81 【答案】A 【详解】令，则，又，所以. 又为正项数列，所以. 故. 故选：A. 变式4-1．等比数列中，，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】因为为等比数列，所以，解得或（舍）， 则，设公比为q，则， 所以. 变式4-2．在等比数列中，若，是方程的两个根，则＝（    ） A．±4 B． C．4 D．16 【答案】C 【详解】因为，是方程的两个根， 所以，， 所以，，故， 又在等比数列中，，所以＝4（负值已舍去）． 故选：C． 变式4-3．已知等比数列的前项积为，公比，且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D．当时，最小 【答案】D 【详解】因为，所以． 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为， 所以，则，故B错误 对于C，因，可知数列是单调递增数列.又，则当时，，所以，故C错误. 对于D，注意到，则， 从而，又，故.当时，；当时，；所以当时，最小，选项D正确； 故选：D 题型5 等比数列前n项性质 例5．已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则，所以，解得， 所以，则. 变式5-1．记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 变式5-2．设等比数列的前n项和为，若，，则 （   ） A．24 B．32 C．36 D．108 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为.若，，则， 故， ，所以， 故. 变式5-3．已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则______． 【答案】 【详解】由题意，可得， 因为奇数项和比偶数项和小，可得，即， 解得，所以． 故答案为：． 题型6 等差等比数列的证明 例6．已知数列满足，. (1)设，证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）由题得，即. 由，得， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列. 所以，可得. （2）由（1）可得，. 所以 . 变式6-1．数列满足，.证明：数列是等比数列. 【答案】证明见解析 【详解】因为，即， 可得，且， 所以数列是以首项和公比均为的等比数列. 变式6-2．已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）已知， 所以， 所以， 两边同除以，得， 因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，所以， 当时，， 时，也满足， 因为，所以，解得， 又，所以的最大值为. 变式6-3．已知数列满足：． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：由，得，即，     又，所以，             所以，即数列是首项为3，公比为3的等比数列． （2）由（1），得，即，     所以． 题型7 累加累乘求通项公式 例7．数列中，，当时，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 变式7-1．已知数列的首项为2，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 所以，，，，， 累加可得， 即， 又，所以， 当时，，满足上式， 所以 故选：A 变式7-2．已知数列满足，则的最小值为______． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，， 因为时，，所以， 因此当或时，取得最小值，为. 故答案为：. 变式7-3．已知数列满足． (1)设，求证：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由得：， 即，故为等比数列； （2），由（1）得．即， 于是 ． 题型8 构造法求通项公式 例8．已知数列满足，则______． 【答案】 【详解】解法一 由，可设， 其中为常数，整理得， 故，得， 所以． 又，所以是各项均为0的常数列， 故，即； 解法二  由，得， 两式相减得． 令，则， 则，又， 所以，即，又， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以； 解法三  由得， 即，，…， ， 所以， 所以，所以． 当时也符合上式． 综上所述，． 故答案为：. 变式8-1．数列中，，，则通项______． 【答案】 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 变式8-2．已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 变式8-3．已知数列满足：，对，都有，求出数列的通项公式． 【答案】 【解析】略 题型9 Sn与an求通项公式 例9．已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 【答案】32 【详解】已知，. 当时，. 满足上式，所以，. 则当时，；当时，； 所以 变式9-1．已知数列满足，，记数列的前项和为，则_____________. 【答案】 【详解】由，得 当时，. 两式作差得，所以. 又，满足上式，所以. 所以. 所以 . 变式9-2．已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则___________． 【答案】/ 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的公差也为， 设，则， 当时，， 当时，， 因为需满足， 即，故，所以， 因为数列的公差为， 所以，解得或， 若，则，与等差数列各项均为正数不符，舍去； 若，则，对任意的，符合题意， 故． 变式9-3．已知正项数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【详解】正项数列中，当时，， 整理得，则数列是首项，公差为1的等差数列， ，当时，，因此，而不满足上式， 所以. 故答案为： 题型10 分组求和法 例10．已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为9 【分析】 【详解】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． 变式10-1．已知数列为公比为4的等比数列，记为数列的前项和，已知. (1)求的最值； (2)求. 【答案】(1)的最小值是 ，无最大值； (2) 【分析】 【详解】（1）已知数列 为公比为 4 的等比数列，且 ，则 . 则 ，移项可得 ； 因为指数函数 和 在 上都是单调递增的，所以 在 上单调递增； 所以当 时， 取得最小值为 ，无最大值. （2）由（1）知 ， 则 . . . 变式10-2．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，； 当时，，则． 经检验，当时也满足该式．综上， （2）由题意知， 数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，分组求和可得 ． 变式10-3．记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由， 当时，，解得； 当时，， 则，即， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 则. （2）由（1）知，，则， 即，所以， 则. 题型11 裂项相消法 例11．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以当时，， 又时，满足上式， 故. （2）∵ ∴. 变式11-1．已知数列的前项和为，，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由，得， ，得， 故，所以数列是等比数列； （2）由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为， 所以， ， ，得， ； 故， 则. 变式11-2．设为等差数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）等差数列中，，， ，解得，， . （2），， . 变式11-3．已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）设数列的公比为，由成等差数列可得， 故，解得， 由可得，解得， 故，即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 故， 易知单调递减，故单调递增， 即为递增数列，则， 又当时，且，所以， 故. 题型12 错位相减法 例12．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 则， 则， 两式作差得， 所以， 即得， 计算得. 故选：C. 变式12-1．已知数列中，． (1)证明数列是等差数列， (2)求的通项公式； (3)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）证明：当时，， 所以， 又，所以， 故是以2为首项，3为公差的等差数列， （2）由（1） 故，所以，． （3）由题意， 所以， 令，① 则② ①-②得： 故， 所以． 变式12-2．已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 变式12-3．已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 解得，，所以． 由已知，① 当时，，得， 当，时，，② ①-②得，，即，又， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以． （2）数列． 则 所以 故 所以． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2025·26高二下·湖南长沙·月考）正项数列中，，且，则的值为（ ） A． B． C． D．1或 【答案】B 【详解】法一：由递推关系式可知，， 代入得：. 法二：不妨设， ，，， . 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】因为数列是等比数列， 若，则，与题设条件不符，所以； 当时，所以，即， 所以. 3．（2025·26高二下·湖南株洲·月考）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ） A．34 B．17 C．56 D．68 【答案】B 【详解】由于等差数列的前n项和为，且，则. 4．（2025·26高二下·全国·课堂例题）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 ． 故选：B. 5．（2025·26高二上·广东深圳·期末）在等比数列中，已知，且，若，记数列的前项和为，则（   ） A．127 B．255 C．511 D．1023 【答案】D 【详解】数列是等比数列，故，设等比数列的公比为q， 则由得，即，即，解得， 所以，所以， 所以 . 故选：D 6．（2025·26高二上·江苏常州·期末）设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（   ） A．264 B．520 C．521 D．263 【答案】D 【详解】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 可得， 由是以1为首项，2为公比的等比数列， 可得，则， 所以． 二、多选题 7．（2024·25高二下·贵州贵阳·月考）已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前10项和为 【答案】AD 【详解】对于A：因为，，成等比数列，所以，即， 解得，所以，则，故A正确； 对于B：的前项和为，故B错误； 对于C：因为， 所以的前100项和为 ，故C错误； 对于D：因为， 所以的前10项和为，故D正确. 故选：AD 8．（2025·26高二下·全国·课后作业）（多选）已知数列，下列选项不正确的是（   ） A．若，则为等比数列 B．若，则为等比数列 C．若，则为等比数列 D．若，则为等比数列 【答案】ABD 【详解】由知，当时数列不是等比数列，故A错误； 若数列中存在零项，且满足、， 此时数列不是等比数列，故B，D错误； 由知，，两式相除得， 故数列是等比数列，故C正确． 故选：ABD． 三、填空题 9．（2025·26高二下·江西景德镇·月考）若等差数列的前项和，则______. 【答案】 【详解】等差数列的前项和公式为，即前项和是二次函数且常数项为， 所以，即． 10．（2025高二上·河北承德·专题练习）在等比数列中，已知，，则等于________． 【答案】4 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得（负值舍去）， 所以. 故答案为：4. 11．（2024·25高三上·广西贵港·月考）已知数列满足，且，该数列的前项和为，则______. 【答案】4049 【详解】 . 故答案为：4049. 四、解答题 12．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. （2）由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 13．（2025·26高二下·福建厦门·月考）已知数列的前n项和为，且. (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式. (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）， 由， 得， 两式相减，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）因为， 所以， 所以 14．（2023·24高二下·广东江门·期末）已知数列的前项和为. (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)数列中不存在三项，它们可以构成等差数列. 【分析】 【详解】（1）证明：由，可得，解得 当时，由，可得 两式相减可得，整理为 又，则 所以数列是首项为6，公比为2的等比数列 可得 所以 （2）由（1）得，所以. 所以① ② ①-②得： （3）数列中不存在三项可以构成等差数列. 【理由如下】假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列， 设成等差数列，且， 即有，即为， 化为，可得， 上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立. 故数列中不存在三项，它们可以构成等差数列. 能力提升进阶练 1．（2025·26高二上·湖北十堰·期末）已知数列满足若数列为单调递增数列，则λ的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于数列满足， 当时，，当时，， 故，即也适合，故， 则， 由于数列为单调递增数列，即， 即， 则恒成立，故应大于的最大值. 当时，取得最大值-3，所以. 故选：D. 2．（2025·26高二上·山西运城·期末）在数列中，，则 （    ） A．3872 B．3882 C．3892 D．3902 【答案】A 【详解】，， 令，即， ， 故当时，，数列递减；当时，，数列递增， ， 又， . 故选：A. 3．（2025·26高一上·上海·期末）如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形面积的和是___________ 【答案】 【详解】因为三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形， 所以三角形的面积为， 又因为再取线段的中点和线段的中点，得到三角形， 所以三角形的面积为， 所以三角形面积构成的数列为： ，，，， 所以该数列是以为首项，为公比的无穷等比数列， 所以所有三角形面积的和是. 故答案为： 4．（2025·26高二上·湖南岳阳·期末）（多选）已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为15 【答案】BC 【详解】对于A，等差数列中，因为，，，， 所以，公差，数列是递减数列，故A错误； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，数列是递减数列，所以当时，最大，故C正确； 对于D，，，因此，当时，的最大值为，故D错误. 5．（2025·26高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知数列满足则下列说法正确的是（    ） A．当时，（且n∈N⁺） B．若数列为常数列，则 C．若数列为递增数列，则 D．当时， 【答案】AD 【详解】对于A选项，当时，，令，则，， 故，即，故A选项正确； 对于B选项，若数列为常数列，令，则， 解得或或，故B选项错误； 对于C选项，令，则， 若数列为递增数列，则数列为递增数列， 则，解得或. 当时，，且，且， 此时数列为递增数列，即数列为递增数列； 当时，，且，且， 此时数列不为递增数列，即数列不为递增数列； 当时，，， 此时数列为递增数列，即数列为递增数列. 综上，当或，即或时，数列为递增数列，故C选项错误； 对于D选项，令，则，， 两边同时取以2为底的对数，得，， 数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 即，故D选项正确. 故选：AD. 6．（2025·26高二上·江苏南通·期末）已知是首项为的递增数列，. (1)证明：数列是等比数列； (2)数列的前项和为，且. （i）求，并判断、、是否是等差数列； （ii）将数列的前项中任意两项相乘求积，求所有积的和. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），是，理由见解析；（ii）. 【分析】 【详解】（1）因为是首项为的递增数列，则对任意的，， 当且时，由可得， 所以，故对任意的且，为非零常数， 故数列为等比数列. （2）（i）由（1）可知，数列是单调递增的等比数列， 且对任意的，，设其公比为，则， 所以，整理可得，解得或（舍去）， 所以，所以， . 所以、、成等差数列； （ii）由（i）可得，由题意可得， 因为， 所以， 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $