13 6.1.1 函数的平均变化率-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6．1　导数 6．1.1　函数的平均变化率 知识 目标 1.理解平均变化率的概念．　2.会求函数的平均变化率．　3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题 素养 目标 通过函数的平均变化率的学习，培养数学抽象素养；借助函数的平均变化率的计算，提升数学运算素养. 问题．(1)在一次高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.为了描述该运动员运动状态，你能求该运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2，0≤t≤内的平均速度吗？ (2)你认为用平均速度描述该运动员运动状态有什么问题吗？ 提示：(1)在0≤t≤0.5这段时间里，＝＝4.05(m/s)；在1≤t≤2这段时间里，＝＝－8.2(m/s)；在0≤t≤这段时间里，＝＝0(m/s)． (2)由(1)知，在0≤t≤这段时间里，虽然运动员的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 知识点一　函数的平均变化率 1．定义：一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则称Δx＝x2－x1为自变量的改变量；称 Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量；称 ＝为函数y＝f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率，其中“以x1，x2为端点的闭区间”，在x1<x2时指的是[x1，x2]，而x1>x2时指的是[x2，x1]． [微提醒]　函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 2．平均变化率的意义 (1)平均变化率的实际意义是，在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位． (2)几何意义：函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率． 说明：平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图象)在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”． 学生用书↓第52页 知识点二　平均速度与平均变化率 平均速度： 1．如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2<t1时)这段时间内的平均速度为(m/s)． 2．物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率． 1．(多选)在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx可以是(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．Δx>0 B．Δx<0 C．Δx＝0 D．以上都可以 答案：AB 解析：由平均变化率的定义，可知选AB． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝(　　 ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 答案：D 解析：函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函数值与x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．故选D． 3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(　　 ) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 答案：B 解析：＝＝＝＝4.1.故选B． 4．如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 解析：＝＝－1. 5．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系是________． 答案：3>2>1 解析：因为1＝＝kMA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由图象可知：kMA<kAB<kBC，所以3>2>1 题型一　求函数的平均变化率 例1　 已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． [点拨]　由函数的平均变化率的定义求解． 解：(1)因为f(x)＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 ＝0.9. (2)f(x0＋Δx)－f(x0) ＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5) ＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5 ＝6x0Δx＋3(Δx)2. 函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝6x0＋3Δx. 求函数平均变化率的步骤 第一步：求自变量的变化量Δx＝x2－x1. 第二步：求函数值的变化量Δy＝f(x2)－f(x1)． 第三步：求平均变化率＝.　　 [注意]　求点x0附近的平均变化率，可用的形式表示，且Δx≠0. 对点练1.求函数f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？ 解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx； 若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝， 由于k1<k2<k3， 故在x＝3附近的平均变化率最大． 学生用书↓第53页 题型二　求运动物体的平均速度和平均变化率 例2　 某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－4 B．－8 C．6 D．－6 [点拨]　由平均速度的定义求解． 答案：D 解析：由题得该质点从x＝1到x＝2的平均速度为＝＝－6.故选D． 求运动物体平均速度的基本步骤 第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度＝.　　 对点练2.若一物体的运动方程为 s＝(路程单位：m，时间单位：s)．求： (1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度； (2)物体在[1，1＋Δt]上的平均速度． 解：(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)． (2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以＝＝3Δt－12. 则物体在[1，1＋Δt]上的平均速度为3Δt－12. 题型三　求曲线上的割线斜率 例3　 已知函数f(x)＝x2－1图象上两点，A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝－1时，求割线AB的斜率． [点拨]　分别求出两点坐标，然后代入斜率公式即可． 解：因为Δx＝－1，2＋Δx＝1， 所以Δy＝12－1－(22－1)＝－3， kAB＝＝3. 所以，割线AB的斜率为3. 　 一般地，P(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲线上与点P邻近的一点，则割线PQ的斜率为f(x)从x0变化到x0＋Δx上的平均变化率．　对点练3.过曲线y＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为______． 答案：4.1 解析：kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，AB的斜率为4.1. 1．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　　 ) A．＝＝ B．＝ C．＝ D．＝ 答案：A 解析：由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以＝＝.故选A． 2．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(　　 ) A．－3 B．2 C．3 D．－2 答案：C 解析：根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.故选C． 3．一运动物体的运动路程s(x)与时间x的函数关系为s(x)＝－x2＋2x，则s(x)从2到2＋Δx的平均速度为(　　 ) A．2－Δx B．－2－Δx C．2＋Δx D．(Δx)2－2·Δx 答案：B 解析：因为s(2)＝－22＋2×2＝0，s(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)＝－2Δx－(Δx)2，所以＝－2－Δx.故选B． 4．如图所示，函数y＝f (x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________． 答案：[x3，x4] 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f (x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f (x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]． 课时测评12　函数的平均变化率 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，1＋d]上的平均速度为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4 答案：D 解析：平均速度为＝－4－2D．故选D． 2．(多选)自由落体运动的公式为s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，则下列说法不正确的是(　　) A．v是在0～1 s这段时间内的速率 B．v是从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．5Δt＋10是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．5Δt＋10是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 答案：ABC 解析：物体从1 s到(1＋Δt)s时间内的平均速率v＝＝＝5Δt＋10. 3．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为4，则m等于(　　) A． B．3 C．5 D．16 答案：B 解析：因为＝＝＝m＋1＝4，所以m＝3. 4．函数f(x)的图象如下图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：函数f(x)在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0即函数f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0；在区间[1，2]、[2，3]、[3，4]上时，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大．所以函数f(x)在区间[3，4]上的平均变化率最大． 5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米) 2024年10月1日 12 35 000 2024年10月15日 60 35 600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(　　) A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 答案：C 解析：由题意第二次加油量即为这段时间的耗油量V＝60(升)，这段时间的行驶里程数S＝35 600－35 000＝600(千米)，故这段时间，该车每100千米平均耗油量为×100＝10(升)．故选C． 6. 过曲线y＝2x上两点(0，1)，(1，2)的割线的斜率为____________． 答案：1 解析：由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0，1)，(1，2)的割线的斜率为k＝＝1. 7．如图是函数y＝f(x)的图象，则 (1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________； (2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________． 答案：(1)　(2) 解析：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝. (2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝所以，函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝. 8．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________． ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． 答案：③ 解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误． 9．(10分)已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率． 解：函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为＝＝2. 函数f(x)在[0，5]上的平均变化率为＝2. 函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为＝－2. 函数g(x)在[0，5]上的平均变化率为＝－2. 10．(10分)比较函数f(x)＝2x与g(x)＝x－1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率的大小． 解：f(x)＝2x在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率为 ＝＝2a－2a－1＝2a－1. g(x)＝x－1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率为 ＝ ＝＝. 因为a<0，所以a－1<－1， 所以2a－1<2－1＝， 所以f(x)＝2x在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率比g(x)＝x－1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率小． 11．(5分)降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气，在某室内，空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是(　　) A．[5，10] B．[5，15] C．[5，20] D．[5，35] 答案：C 解析：分别令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝35所对应的点为A，B，C，D，E，由图可知，kAD<kAE<kAC<kAB<0，故空气中微生物密度变化的平均速度最快的是[5，20]．故选C． 12．(15分)已知正弦函数y＝sin x，求该函数在和内的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明含义． 解：当自变量从0变到时，函数的平均变化率为 k1＝＝＝. 当自变量从变到时，函数的平均变化率为 k2＝＝＝. 易知3>6(2－)，所以k1>k2， 即函数y＝sin x在内的平均变化率大于在内的平均变化率． 说明函数y＝sin x的图象在内比较陡峭，在内比较平缓． 13．(5分)某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则说明后10天与前10天比(　　 ) A．公司亏损且亏损幅度变大 B．公司的盈利增加，增加的幅度变大 C．公司亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利增加，增加的幅度变小 答案：D 解析：平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明盈利增加的幅度变小．故选D． 14．(15分)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．试用数学语言给出解释． 解：从A处到B处高度的平均变化率为＝＝， 从B处到C处高度的平均变化率为＝＝，由>，知山路从B处到C处比从A处到B处陡峭． 故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力． 学生用书↓第54页 学科网（北京）股份有限公司 $$