专题03 数列（期末复习讲义）高二数学下学期人教B版

专题03 数列（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 等差数列的基本量计算 题型二 等差数列前n项和性质 题型三 等比数列的基本量计算 题型四 等比数列前n项和性质 题型五 等差、等比数列的证明 题型六 Sn与an的关系 题型七 由递推关系求数列通项公 题型八 分组求和法 题型九 裂项相消法 题型十 错位相减法 题型十一 数列与不等式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 数列基本概念、通项与单调性 能辨析数列相关概念，借助通项公式判断数列单调性 基础小题必考，易混淆数列与普通函数的区别 递推公式、与的转化关系 能利用递推公式求项，熟练完成与相互推导 重难点，大小题型均有考查，忽略验证是高频易错点 等差数列定义、通项及等差中项 能判定等差数列，熟练运用公式、等差中项完成计算与证明 核心必考点，全题型覆盖，易出现公式套用错误 等差数列前项和、性质与最值 能选用求和公式计算，活用数列性质，求解前项和最值 高频解答题考点，最值问题需分类讨论，易出现思路疏漏 等比数列定义、通项及等比中项 能判定等比数列，掌握通项与等比中项公式，明确公比取值要求 核心考点，全题型考查，易忽略等比数列各项不能为0的限制 等比数列性质与单调性 能灵活运用等比数列性质解题，准确判断数列增减、摆动趋势 中档题型，多用于小题简算，公比正负判断失误易出错 等比数列前项和及性质 能按公比分类选用求和公式，掌握前项和相关性质 期末解答题高频考点，忘记对、分类讨论是主要失分点 知识点01 数列的概念 一、数列的定义、项 （1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列． （2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示．其中第1项也叫做首项． 二、数列的分类及表示方法 （1）分类: 若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列 （2） 一般形式:数列的一般形式是简记为．其他方法:解析式法、表格法、图象法． 三、数列的通项公式 如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 四、数列与函数 （1）数列与函数的区别和联系： 数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点； 函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线． （2）数列的单调性 与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值． 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点02 数列中的递推 一、数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的任意一项 给出n的值,可求出数列中的第n项 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 二、数列的前n项和 （1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. （2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 三、与的关系式： ①当时，若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示. 知识点03 等差数列 一、等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，通项公式为 二、等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1）（2） （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则. 特别的,若,则有 知识点04 等差数列的前n项和 一、等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 等差数列前n项和的函数特点： 对于等差数列,如果是确定的,前项和. 若取,上式可写成. 当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点. 二、等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)即不含常数项的二次函数式 （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 三、等差数列前n项和的最值 （1）若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值. （2）若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值. 知识点05 等比数列 一、等比数列的概念 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）. 注意：（1）等比数列中不能有0项 （2） 常数列都是等比数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 2.等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时, 二、等比数列的通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为 （2）第项与第项的关系为,变形得 （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即. 三、等比数列的常用性质 （1）如果,则有 （2）如果,则有 （3）若成等比数列,则成等比数列. （4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. （5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为. （6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 （7）等比数列的单调性 ①当或时,等比数列为递增数列; ②当或时,等比数列为递减数列; ③当时,等比数列为摆动数列. 知识点06 等比数列的前n项和 一、等比数列的前n项和公式 已知量 公式 首项与公比 首项,末项与公比 二、等比数列前n项和的函数特征 （1）与公比的关系 等比数列前项和的函数形式由公比是否为1决定，对应两种不同的函数类型，且点均为对应函数图象上的孤立点（因为正整数）。 1.当时，等比数列所有项相等，前项和公式为： 此式是关于的正比例函数（为常数），点落在直线上。 2.当且时，等比数列前项和公式为： 对公式变形可得：，令，则。 此时是关于的指数型函数，点落在指数型函数的图象上。 （2）与通项的关系 该关系仅在公比时成立，核心结论为：与成一次函数关系（即，、为常数）。 推导依据 1.等比数列通项公式： 2.前项和变形公式：（） 将代入公式，可得： ，令常数，，则，即是的一次函数。 三、等比数列前项和的性质 （1）等比数列中,若项数为,则;若项数为,则. （2）若等比数列的前项和为,则成等比数列(其中均不为,公比为. 题型一 等差数列的基本量计算 解｜题｜技｜巧 本题型是数列基础核心题型，核心解题思路是锁定等差数列首项、公差两大核心基本量，结合等差数列通项公式、前n项和公式搭建一元或二元方程（组）求解。解题时需根据题干已知条件灵活适配公式，已知项优先用通项公式，已知和优先用求和公式，避免复杂运算，同时可利用中项公式简化奇数项数列的计算，快速得出未知量。 例1．为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（    ） A．16 B．17 C．15 D．14 【答案】A 【详解】设数列公差为，由题设可得. 即，结合,可得 变式1-1．已知外卖员甲一周（天）的第一天送货件，之后每天的送货量比前一天多件，若甲第天的送货量是其该周前天的送货总量的，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为外卖员从第二天起，每天的送货量比前一天多件， 所以外卖员每天的送货量构成一个等差数列，则，公差， 则， 由题意得，所以，，解得. 变式1-2．（多选）记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D．当或时，最小 【答案】ACD 【详解】，，解得：； ，， 等差数列的公差，首项； 对于A，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， 当或时，取得最小值，D正确. 变式1-3．等差数列的前n项和为，，且，则______． 【答案】7 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列前项和，且， ， 所以，所以，所以， 所以. 题型二 等差数列前n项和性质 解｜题｜技｜巧 解题核心是熟练活用等差数列高频二级性质，包括下标和性质、连续等长片段和性质、奇偶项和性质，可大幅跳过繁琐的基本量计算，实现小题速解。同时等差数列前n项和是不含常数项的二次函数，可借助二次函数的图象与单调性，精准分析数列前n项和的最大值、最小值问题，结合项的正负临界值锁定最值对应的n值。 例2．设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由等差数列的片段和性质知，，，，···是等差数列， 由，不妨设，则， 所以，，，，···，依次为，，，，···， 所以， 所以． 变式2-1．设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 【答案】A 【详解】由题意，， 则数列为等差数列，设公差为，，， 即，，则，则， 则，所以，（常数），则也为等差数列． 则数列的公差为，所以，所以. 变式2-2．设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是公差不为0 的等差数列，，所以，即， 所以. 变式2-3．设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 题型三 等比数列的基本量计算 解｜题｜技｜巧 以等比数列通项公式、前n项和公式为核心工具，围绕首项、公比两个基本量列方程求解未知参数。解题关键是注意分类讨论，重点区分公比的正负取值，同时牢记等比数列核心禁忌：数列中所有项均不为0、公比不为0，遇到含参数题型需优先排除零解，规避基础易错失分点，复杂题型可联立多个公式整体代换简化计算。 例3．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A． B． C． D．数列为单调递增数列 【答案】A 【详解】由条件可知，，且， 所以， 所以，得，整理为， 解得：或（舍）， 当时，，故A正确；，故B错误； ，故C错误； 当时，数列为单调递减数列，故D错误. 变式3-1．若等比数列的公比为，前项和为（为常数），则（   ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】由题意得等比数列的前项和为， 可得，， ，可得， 则 ，即 ，所以，故C正确. 变式3-2．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【答案】 9 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则，首项， 因为，，所以由得，又，则整理得 ， 解得或，又，故， 则. 变式3-3．记为等比数列的前项和．已知，． (1)求的通项公式； (2)证明：，，成等差数列 【答案】(1) (2)证明：根据（1）可得，. 则，，. 因此，，即， 因此成等差数列. 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为，首项为. 由题意得，且前两项和. 则，即，解得，所以. 因此的通项公式为. （2）略 题型四 等比数列前n项和性质 解｜题｜技｜巧 解题前必须优先判断公比q的取值，区分q=1与q≠1两种情况选用对应求和公式，杜绝公式混用错误。熟练运用等比数列连续片段和、奇偶项和、下标运算等专属性质，快速化简复杂求和式子，对于多段数列求和、比值计算类题型，可直接利用性质推导规律，无需逐一计算每项数值，大幅提升解题效率。 例4．已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．80 B．100 C．105 D．125 【答案】C 【详解】易得的公比，则，，成等比数列， 所以，得. 变式4-1．等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【答案】90 【详解】在等比数列中，为其前项的和， 则也成等比数列， 又因，， 则成等比数列，且公比为2， 则，解得, 故 解得. 变式4-2．（多选）已知数列是正项等比数列，是的前n项和，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列中，仍成等比数列 D．数列是等差数列 【答案】ABD 【详解】数列是正项等比数列，则，可设公比为， 则为非零常数，所以数列是为首项、为公比的等比数列，A正确； 为非零常数，所以数列是为首项、为公比的等比数列，B正确； 是的前n项和， 则当时，，所以不成等比数列； 当时，， 所以， ， 令得， 即，解得，与矛盾， 所以，所以不成等比数列，C错误； 因为为常数， 所以数列是首项为、公差为的等差数列，D正确. 变式4-3．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】 【详解】当时，， 所以（因为若，则，这与矛盾）. ∴（常数）． 又．∴数列是首项为1，公差为1的等差数列． ∴，∴． 题型五 等差、等比数列的证明 解｜题｜技｜巧 证明等差数列，需严格证明数列从第二项开始，任意相邻两项的差值为固定常数； 证明等比数列，需验证任意相邻两项的比值为固定非零常数，全程需标注定义域范围，步骤书写规范严谨，杜绝跳步、主观臆断。 例5．已知数列满足，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． 【答案】证明见解析， 【分析】利用等差数列的定义证明数列是等差数列，再结合等差数列的通项公式求数列的通项公式. 【详解】当时，， 所以（因为若，则，这与矛盾）. ∴（常数）． 又．∴数列是首项为1，公差为1的等差数列． ∴，∴． 变式5-1．已知数列中，，．证明：数列为等比数列. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 变式5-2．已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 变式5-3．设数列的首项为常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在；成等差数列. 【分析】 【详解】（1）证明： 因为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）因为，所以数列的首项是， 所以，则， 若中存在连续三项成等差数列，则必有， 即， 整理得：，即， 因为，所以，所以必为偶数， 所以，解得：，所以成等差数列. 题型六 Sn与an的关系 例6．已知数列的前n项和为，且满足，． (1)证明：； (2)求的通项公式； (3)证明为定值． 【答案】(1)①，当时，②， ①减②，得． 当时，，因此． 经验证，当时，也符合关系式， 故． (2)． (3)由（2）可知， ， 又， ，为定值． 【分析】 【详解】（1）略 （2）由，可得， 数列是首项为，公比为3的等比数列， ， ． （3）略 变式6-1．（多选）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B．是等差数列 C． D．数列的前项和小于 【答案】ACD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，， 符合上式，所以，所以， 所以当时，，所以是等比数列，B错误； 对于C，，， 所以，C正确； 对于D，， 设数列的前项和为， 则 ，D正确. 变式6-2．已知数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在数列中，由，得， 则，数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则， 两式相减得， 所以数列的前项和. 变式6-3．已知数列的前项和为，满足，且． (1)证明数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由得， 当时，，即， 即．所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）由得，， 当时，，也满足时的式子， 所以时，，又 ， 所以 ．故数列的前项和． 题型七 由递推关系求数列通项公式 解｜题｜技｜巧 解题核心是先精准识别递推公式的结构类型，匹配对应专属解题方法。常见类型及方法：等差型递推用累加法、等比型递推用累乘法、线性递推用构造新数列法、分式递推用取倒数法。解题时通过逐步变形、叠加、叠乘、配凑构造，将陌生递推数列转化为熟悉的等差、等比数列，进而推导得出通项公式，全程注意n的取值范围。 例7．设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意， 令， 则， 又，， ， 即， 计算得， ， ， ． （2）由， 得， ， 由（1）知，故， ， ， 整理得． 变式7-1．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 变式7-2．在数列中，已知，，则数列的前2025项和________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 因此. 变式7-3．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）已知，即， 所以是以1为首项，公比为3的等比数列， 故， 因此，. （2），两边同乘3， 可得， 相减得： ， 故. 题型八 分组求和法 解｜题｜技｜巧 适用于通项可拆分为多个基础数列的复杂数列求和题型，核心思路是拆分重组、分组计算。先观察数列通项结构，将复杂数列拆分为等差数列、等比数列、常数列等简单可求和的基础数列，分别套用对应求和公式计算每组数列的前n项和，最后将各组结果相加合并，即可得到原数列的前n项和，适配奇偶项交替、混合结构数列。 例8．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为①，时，②． 由①-②得， 所以，则， 因为，所以， 因为，．则为首项1，公差1的等差数列， 所以， 因为，，则公比，， 所以． （2）当为偶数时， ， 当为奇数时，是偶数， 则， 把偶数公式中替换成： 则， 所以 变式8-1．（多选）已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】由，， 令，得，故； 令，得，故，因此选项A错误. 由，当时，， 两式相减得， 故数列是首项为，公差为的等差数列，选项B正确. ， 其中，，， 由的通项公式， 得，故，选项C正确. 对于，， 每一组的和为（）， 故，选项D正确. 变式8-2．已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 变式8-3．已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，（），求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为， 已知，，则，则，， 又因为，，则，， 根据等差数列的通项公式，则，即，解得， 所以等差数列的通项公式为. （2）由（1）知，，，则， 因为，（），所以， 则数列前项和为， 其中，， 因此，即数列的前项和为. 题型九 裂项相消法 解｜题｜技｜巧 专门用于分式型、根式型数列求和，核心原理是拆分通项、抵消中间项。解题第一步是精准拆分通项公式，将单一项拆分为两个可相减的式子，使数列求和时中间大部分项能够两两抵消；计算时重点观察剩余项的位置和数量，牢记“前留几项、后留几项”的规律，同时注意拆分后的符号变化，避免漏项、多算、符号出错。 例9．已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，， 所以，解得，， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 化简得， 又，解得， 所以的最小值为． 变式9-1．若数列满足，，且对于都有，则________． 【答案】 【详解】因为对于都有， ，令， 所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. 所以， 所以， 所以，，……， ， 将这项累加，则， 所以， 则， 所以 . 变式9-2．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设二次函数，则，得 所以 由点均在函数的图像上，则 当时，， 当时， 符合上式， （2）由（1）知 所以 变式9-3．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求证：数列是等差数列，并求； (2)令，设数列的前n项和为．证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，∴ 当时，， ∴， 即， 即，∵，∴ 所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，故 （2）由（1）知 ∴ 又因为数列为递增数列，， 综上． 题型十 错位相减法 例10．已知数列满足，， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）已知， 故， 时，，故， ． （2），， 由可得，故， 是2为首项，2为公比的等比数列， ，，， ， 令，设数列的前项和为，则， ①， ②， 由①减②得： ， ， ． 变式10-1．已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， 等比数列的公比为，，则 解得， 所以数列的通项公式，的通项公式为. （2）由题意得， 则数列的前项和 ， 设， 则， 则 ， 所以，所以. 变式10-2．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)，bn (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 变式10-3．已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为①，则②， 由①②得到，即， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. （2）由（1）知，又，所以， 则③， ④， 由③④得到， 所以. 题型十一 数列与不等式 解｜题｜技｜巧 专属适配“等差数列×等比数列”结构的混合型数列求和，是期末高频压轴题型。标准解题步骤：先写出原数列前n项和表达式，再将式子整体乘以等比数列公比，两式错位对齐、上下相减，整理得到化简后的求和式子。解题难点在于精准处理错位后的项数、正负符号，尤其注意最后一项的符号和化简，避免运算疏漏。 例11．已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，，因此当时，， 所以两式相减得，，所以，， 当时，，满足递推关系，所以的递推公式为， 则为首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 因此， 代入得，，化简得， 设，则上式等价于， 所以，， 当时，，，单调递增，当时，，，单调递减， ，，当时，，所以，因此的最小值为， 即，因此的最大值为， 故选择B选项. 变式11-1．已知数列的前项和为，满足，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】由于数列的前项和满足， 当时，，解得； 当时，有和，两式相减得， 由于，代入后化简得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，即， 根据题意，存在，使得成立，即存在，使得成立，即， 令，则有， 由于， 因为当时，，当时，，当时，， 所以当时，；当时，；当时，， 因此数列的最大值为，所以， 则实数的取值范围是. 变式11-2．已知数列满足，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】， ∴，又， 所以， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，则． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 变式11-3．已知数列的前项和为，且，记数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】依题意， 当时，， 由，， 两式相减并化简得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 即． ， 所以， 所以实数的取值范围是． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高二下·安徽·期中）数列的前项和为，已知，则等于（    ） A．12 B．-12　 C．-8 D．-6 【答案】D 【详解】由题意得 2．数列中，，若的前项和为，则项数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则的前项和为， 由，解得. 3．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 4．（2025·26高二上·云南保山·期末）为宣传家乡，“保山文旅”制定了一个为期5周的“粉丝增长计划”，通过每周在抖音平台发布一系列优质视频实现粉丝增长．若其周粉丝增长量成等差数列，且第五周增长的粉丝数为第一周的3倍，5周目标共增加50万粉丝，则第2周应增长的粉丝数量是（   ） A．5万 B．7.5万 C．10万 D．12.5万 【答案】B 【详解】设该等差数列为，其公差为，依题意，， 则，即，解得， 所以第2周应增长的粉丝数量. 5．（2025·26高二下·湖北·阶段检测）记数列为等比数列，已知，，则（    ） A．32 B．34 C．38 D．31 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，，， 所以， 因为，而，， 所以，所以， 即， 而，，所以. 6．（2025·26高二上·吉林·期末）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 故选：B 7．（2025·26高二下·辽宁·期末）已知数列的前项和为． (1)若是等差数列，且，求； (2)若是等比数列，且，，成等差数列，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设数列的公差为d，由，得 ，解得， 所以． （2）设数列的公比为q，则 ，因为，，成等差数列， 所以，即，解得，所以 ． 8．（2025·26高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）， ，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知， 9．（2025·26高二上·江苏南京·期末）为等比数列的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入个1，使它们与数列中的项组成一个新的数列，记的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为， 若公比，则，显然无解，故； 所以， 两式相除可得，则，解得，所以， 所以； （2）设原数列有项时，插入的的个数如下： 在与间有个，在与间有个，…，在与间有个， 令，解得（负值已舍去）， 所以的前项包含的前项及个， 所以. 10．（2025·26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知等比数列的公比，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以，， 所以数列的通项公式为. （2）, 所以. （3）因为， 所以， ， 两式相减得，， 所以. 所以对任意正整数恒成立. 设，易知单调递增. 当为奇数时，的最小值为，所以，解得； 当为偶数时，的最小值为，所以. 综上可知， 即的取值范围是. 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（2026·山东聊城·三模）记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若的公差，则， 故， 记，则为常数，故是等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则为常数，而， 故常数，故，即，必要性成立， 因此“的公差为2”是“为等差数列”的充要条件. 2．（2026·江苏·模拟预测）设数列的前项和为，若，则数列前项的极差和方差分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知①； 当时，②； ①-②得：，化简得：. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列，且. 数列的项为：，前项中，和各出现了1013次， 所以数列前项的极差为； 数列前项的平均数：， 方差：, 综上，数列前项的极差为2，方差为1. 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）（多选）已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（   ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在无穷数列，，使得数列为等比数列 D．存在无穷数列，，使得数列为等差数列 【答案】AC 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 故数列为等差数列，故A正确； 取，则，前项分别为， 显然此时数列不为等比数列，故B错误； 取，则，则， 此时数列为等比数列，故C正确； 若存在，，使得数列为等差数列， 则是关于的一次函数， 若，则， 显然不可能是关于的一次函数； 若， 则， 显然不可能是关于的一次函数； 故不存在，，使得数列为等差数列，故D错误. 4．（2025·26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）在数列中，已知， 则，； （2）由可得， 则，又因为， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列； （3）由（2）可得，解得， 则 ， 所以． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高二下·上海松江·阶段检测）已知数列满足，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列； ②对任意的为递增数列； ③对任意的既不是等差数列也不是等比数列； ④对于任意的，都有. 其中所有结论中正确的有（    ）个. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】对于①，若为常数列，则，根据递推公式， 可得，进而可得，解得，又， 故不存在，使得为常数列，故①错误； 对于②，对于，由递推公式，可得， 所以，，所以， 所以数列是递增数列，结论②正确； 对于③，若是等差数列，则为常数，可得常数， 则可得是常数数列，则，与矛盾， 故对任意的，既不是等差数列， 若是等比数列，则为常数。根据递推公式， 即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾， 所以对任意的，不是等比数列； 综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故③正确； 对于④，由， 当时，， 两边平方，得， 当时，， 所以当时，，故④正确. 因为②③④正确，所以正确的有个. 2．（2025·26高二上·福建三明·期末）已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为_____. 【答案】 【详解】由题意可得当时，，解得， 当时，可得，作差得， 化简得，变形得， 因为，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列， 可得，解得， 已知不等式，代入得，化简得， 要使不等式成立，即成立， 设，当不等式成立时，即， 即，得，解得， 因为，所以，可得， 可知成立，只需成立，解得， 即实数的范围为. 故答案为：. 3．（2025·26高二上·陕西西安·期末）（多选）任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有（    ） A．若，则使得需要步“雹程”; B．若，则; C．若，则数列的前项和为; D．若，则m的所有可能取值之和为. 【答案】ABD 【详解】对于A：当时，根据上述运算法则得出26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1， 则使得需要10步“雹程”，A正确． 对于B：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列， ，故，B正确． 对于C：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列， 故数列的前2025项和为，C错误． 对于D：当时，则或， 当时，则，进一步可得，所以或，所以或，即或； 当时，则，进一步可得或，所以或， 所以或或或，即或或或. 所以m的所有可能取值之和为，故D正确． 故选：ABD. 4．（2025·26高二上·广东潮州·期末）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)①，②证明见解析. 【分析】 【详解】（1）已知，根据定义得： 则， 因此是首项为、公差为的等差数列， 故是二阶等差数列. （2）（2）① 由题意，，， 因为是等差数列，所以公差， 得的通项为：， ，，， ，，， 由累加法得，当时：， 代入得：， 验证时，满足上式，故. ②证明：将， 代入得：， （裂项验证：，成立） 前项和用裂项相消： ， 所以. 因为，所以； 又，故是递增数列，最小值为，因此. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 等差数列的基本量计算 题型二 等差数列前n项和性质 题型三 等比数列的基本量计算 题型四 等比数列前n项和性质 题型五 等差、等比数列的证明 题型六 Sn与an的关系 题型七 由递推关系求数列通项公 题型八 分组求和法 题型九 裂项相消法 题型十 错位相减法 题型十一 数列与不等式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 数列基本概念、通项与单调性 能辨析数列相关概念，借助通项公式判断数列单调性 基础小题必考，易混淆数列与普通函数的区别 递推公式、与的转化关系 能利用递推公式求项，熟练完成与相互推导 重难点，大小题型均有考查，忽略验证是高频易错点 等差数列定义、通项及等差中项 能判定等差数列，熟练运用公式、等差中项完成计算与证明 核心必考点，全题型覆盖，易出现公式套用错误 等差数列前项和、性质与最值 能选用求和公式计算，活用数列性质，求解前项和最值 高频解答题考点，最值问题需分类讨论，易出现思路疏漏 等比数列定义、通项及等比中项 能判定等比数列，掌握通项与等比中项公式，明确公比取值要求 核心考点，全题型考查，易忽略等比数列各项不能为0的限制 等比数列性质与单调性 能灵活运用等比数列性质解题，准确判断数列增减、摆动趋势 中档题型，多用于小题简算，公比正负判断失误易出错 等比数列前项和及性质 能按公比分类选用求和公式，掌握前项和相关性质 期末解答题高频考点，忘记对、分类讨论是主要失分点 知识点01 数列的概念 一、数列的定义、项 （1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列． （2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号________表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示．其中第1项也叫做________． 二、数列的分类及表示方法 （1）分类: 若数列的项数有限，则该数列为________数列；若数列的项数无限，则该数列为________数列 （2） 一般形式:数列的一般形式是简记为________．其他方法:解析式法、表格法、图象法． 三、数列的通项公式 如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 四、数列与函数 （1）数列与函数的区别和联系： 数列是________函数，自变量是________，定义域是正整数集及其子集，图象是一些________的点； 函数多是________，自变量是________，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线． （2）数列的单调性 与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值． 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都________它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都________它的前一项的数列 常数列 各项都相________的数列 知识点02 数列中的递推 一、数列的递推公式 如果一个数列的________两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的________ 给出n的值,可求出数列中的________ 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 二、数列的前n项和 （1）数列的前n项和:把数列从________起到________止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. （2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 三、与的关系式： ①当时，若________，则的情况可并入时的通项； ②当时，若________，则用________的形式表示. 知识点03 等差数列 一、等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从________起,每一项与它的前一项的________都等于________,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的________,公差通常用字母________表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的________.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为________，通项公式为________ 二、等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1）（2）________ （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为________的等差数列(c为任一常数) 公差为________的等差数列(c为任一常数) 公差为________的等差数列(k为常数) 公差为________的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则________. 特别的,若,则有________ 知识点04 等差数列的前n项和 一、等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 ________ ________ 等差数列前n项和的函数特点： 对于等差数列,如果是确定的,前项和. 若取,上式可写成. 当(即)时,是关于的________函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群________的点. 二、等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成________数列. （2）数列是等差数列(为常数)即不含________的二次函数式 （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则________ ② 三、等差数列前n项和的最值 （1）若________________,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最________值. （2）若________________,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最________值. 知识点05 等比数列 一、等比数列的概念 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的________都等于________,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母________表示（显然）. 注意：（1）等比数列中不能有0项 （2） 常数列都是等比数列,但却________等比数列.如常数列是各项都为________的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 2.等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,________ 二、等比数列的通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为________ （2）第项与第项的关系为________,变形得________ （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即. 三、等比数列的常用性质 （1）如果,则有________ （2）如果,则有________ （3）若成等比数列,则成等________数列. （4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. （5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为________. （6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 （7）等比数列的单调性 ①当或时,等比数列为递________数列; ②当或时,等比数列为递________数列; ③当时,等比数列为摆动数列. 知识点06 等比数列的前n项和 一、等比数列的前n项和公式 已知量 公式 首项与公比 首项,末项与公比 二、等比数列前n项和的函数特征 （1）与公比的关系 等比数列前项和的函数形式由公比是否为1决定，对应两种不同的函数类型，且点均为对应函数图象上的________（因为正整数）。 1.当时，等比数列所有项相等，前项和公式为： 此式是关于的________函数（为常数），点落在直线上。 2.当且时，等比数列前项和公式为： 对公式变形可得：，令，则。 此时是关于的________函数，点落在指数型函数的图象上。 （2）与通项的关系 该关系仅在公比时成立，核心结论为：与成________关系（即，、为常数）。 推导依据 1.等比数列通项公式： 2.前项和变形公式：（） 将代入公式，可得： ，令常数，，则，即是的一次函数。 三、等比数列前项和的性质 （1）等比数列中,若项数为,则________;若项数为,则.________ （2）若等比数列的前项和为,则成________数列(其中均不为,公比为________. 题型一 等差数列的基本量计算 解｜题｜技｜巧 本题型是数列基础核心题型，核心解题思路是锁定等差数列首项、公差两大核心基本量，结合等差数列通项公式、前n项和公式搭建一元或二元方程（组）求解。解题时需根据题干已知条件灵活适配公式，已知项优先用通项公式，已知和优先用求和公式，避免复杂运算，同时可利用中项公式简化奇数项数列的计算，快速得出未知量。 例1．为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（    ） A．16 B．17 C．15 D．14 变式1-1．已知外卖员甲一周（天）的第一天送货件，之后每天的送货量比前一天多件，若甲第天的送货量是其该周前天的送货总量的，则（     ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D．当或时，最小 变式1-3．等差数列的前n项和为，，且，则______． 题型二 等差数列前n项和性质 解｜题｜技｜巧 解题核心是熟练活用等差数列高频二级性质，包括下标和性质、连续等长片段和性质、奇偶项和性质，可大幅跳过繁琐的基本量计算，实现小题速解。同时等差数列前n项和是不含常数项的二次函数，可借助二次函数的图象与单调性，精准分析数列前n项和的最大值、最小值问题，结合项的正负临界值锁定最值对应的n值。 例2．设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1．设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 变式2-2．设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 题型三 等比数列的基本量计算 解｜题｜技｜巧 以等比数列通项公式、前n项和公式为核心工具，围绕首项、公比两个基本量列方程求解未知参数。解题关键是注意分类讨论，重点区分公比的正负取值，同时牢记等比数列核心禁忌：数列中所有项均不为0、公比不为0，遇到含参数题型需优先排除零解，规避基础易错失分点，复杂题型可联立多个公式整体代换简化计算。 例3．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A． B． C． D．数列为单调递增数列 变式3-1．若等比数列的公比为，前项和为（为常数），则（   ） A．0 B．2 C．4 D． 变式3-2．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 变式3-3．记为等比数列的前项和．已知，． (1)求的通项公式； (2)证明：，，成等差数列 题型四 等比数列前n项和性质 解｜题｜技｜巧 解题前必须优先判断公比q的取值，区分q=1与q≠1两种情况选用对应求和公式，杜绝公式混用错误。熟练运用等比数列连续片段和、奇偶项和、下标运算等专属性质，快速化简复杂求和式子，对于多段数列求和、比值计算类题型，可直接利用性质推导规律，无需逐一计算每项数值，大幅提升解题效率。 例4．已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．80 B．100 C．105 D．125 变式4-1．等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 变式4-2．（多选）已知数列是正项等比数列，是的前n项和，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列中，仍成等比数列 D．数列是等差数列 变式4-3．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 题型五 等差、等比数列的证明 解｜题｜技｜巧 证明等差数列，需严格证明数列从第二项开始，任意相邻两项的差值为固定常数； 证明等比数列，需验证任意相邻两项的比值为固定非零常数，全程需标注定义域范围，步骤书写规范严谨，杜绝跳步、主观臆断。 例5．已知数列满足，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． 变式5-1．已知数列中，，．证明：数列为等比数列. 变式5-2．已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 变式5-3．设数列的首项为常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由． 题型六 Sn与an的关系 例6．已知数列的前n项和为，且满足，． (1)证明：； (2)求的通项公式； (3)证明为定值． 变式6-1．（多选）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B．是等差数列 C． D．数列的前项和小于 变式6-2．已知数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 变式6-3．已知数列的前项和为，满足，且． (1)证明数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 题型七 由递推关系求数列通项公式 解｜题｜技｜巧 解题核心是先精准识别递推公式的结构类型，匹配对应专属解题方法。常见类型及方法：等差型递推用累加法、等比型递推用累乘法、线性递推用构造新数列法、分式递推用取倒数法。解题时通过逐步变形、叠加、叠乘、配凑构造，将陌生递推数列转化为熟悉的等差、等比数列，进而推导得出通项公式，全程注意n的取值范围。 例7．设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 变式7-1．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 变式7-2．在数列中，已知，，则数列的前2025项和________． 变式7-3．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型八 分组求和法 解｜题｜技｜巧 适用于通项可拆分为多个基础数列的复杂数列求和题型，核心思路是拆分重组、分组计算。先观察数列通项结构，将复杂数列拆分为等差数列、等比数列、常数列等简单可求和的基础数列，分别套用对应求和公式计算每组数列的前n项和，最后将各组结果相加合并，即可得到原数列的前n项和，适配奇偶项交替、混合结构数列。 例8．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 变式8-1．（多选）已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 变式8-2．已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 变式8-3．已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，（），求数列的前项和. 题型九 裂项相消法 解｜题｜技｜巧 专门用于分式型、根式型数列求和，核心原理是拆分通项、抵消中间项。解题第一步是精准拆分通项公式，将单一项拆分为两个可相减的式子，使数列求和时中间大部分项能够两两抵消；计算时重点观察剩余项的位置和数量，牢记“前留几项、后留几项”的规律，同时注意拆分后的符号变化，避免漏项、多算、符号出错。 例9．已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 变式9-1．若数列满足，，且对于都有，则________． 变式9-2．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 变式9-3．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求证：数列是等差数列，并求； (2)令，设数列的前n项和为．证明：． 题型十 错位相减法 例10．已知数列满足，， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和． 变式10-1．已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 变式10-2．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 变式10-3．已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记的前项和为，求. 题型十一 数列与不等式 解｜题｜技｜巧 专属适配“等差数列×等比数列”结构的混合型数列求和，是期末高频压轴题型。标准解题步骤：先写出原数列前n项和表达式，再将式子整体乘以等比数列公比，两式错位对齐、上下相减，整理得到化简后的求和式子。解题难点在于精准处理错位后的项数、正负符号，尤其注意最后一项的符号和化简，避免运算疏漏。 例11．已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 变式11-1．已知数列的前项和为，满足，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________． 变式11-2．已知数列满足，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 变式11-3．已知数列的前项和为，且，记数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高二下·安徽·期中）数列的前项和为，已知，则等于（    ） A．12 B．-12　 C．-8 D．-6 2．数列中，，若的前项和为，则项数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 4．（2025·26高二上·云南保山·期末）为宣传家乡，“保山文旅”制定了一个为期5周的“粉丝增长计划”，通过每周在抖音平台发布一系列优质视频实现粉丝增长．若其周粉丝增长量成等差数列，且第五周增长的粉丝数为第一周的3倍，5周目标共增加50万粉丝，则第2周应增长的粉丝数量是（   ） A．5万 B．7.5万 C．10万 D．12.5万 5．（2025·26高二下·湖北·阶段检测）记数列为等比数列，已知，，则（    ） A．32 B．34 C．38 D．31 6．（2025·26高二上·吉林·期末）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·26高二下·辽宁·期末）已知数列的前项和为． (1)若是等差数列，且，求； (2)若是等比数列，且，，成等差数列，求． 8．（2025·26高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和. 9．（2025·26高二上·江苏南京·期末）为等比数列的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入个1，使它们与数列中的项组成一个新的数列，记的前项和为，求． 10．（2025·26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知等比数列的公比，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（2026·山东聊城·三模）记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·江苏·模拟预测）设数列的前项和为，若，则数列前项的极差和方差分别为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）（多选）已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（   ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在无穷数列，，使得数列为等比数列 D．存在无穷数列，，使得数列为等差数列 4．（2025·26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，数列的前项和为，求证：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高二下·上海松江·阶段检测）已知数列满足，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列； ②对任意的为递增数列； ③对任意的既不是等差数列也不是等比数列； ④对于任意的，都有. 其中所有结论中正确的有（    ）个. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2025·26高二上·福建三明·期末）已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为_____. 3．（2025·26高二上·陕西西安·期末）（多选）任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有（    ） A．若，则使得需要步“雹程”; B．若，则; C．若，则数列的前项和为; D．若，则m的所有可能取值之和为. 4．（2025·26高二上·广东潮州·期末）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $