21.3.3第1课时 正方形及其性质 培优练习2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3  正方形

第1课时  正方形及其性质

易错点睛

以正方形ABCD 的边CD 为边作等边△CDE，则∠AED 的度数为       .

【点睛】分点E在正方形内和正方形外两种情况.

A 基础题夯实

知识点  利用正方形的性质计算与证明

1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(     )

A.对角线平分一组对角 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相平分

2.(2025 黄冈)如图,四边形 ABCD 为正方形.△ADE为等边三角形,EF⊥AB 于点F,若AD=4,则 EF 的长为         .

3.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，以点A为圆心，AB 的长为半径作弧,交 AC 于点E,若OA=1,则OE 的长为         .

4.如图,F 是正方形ABCD 的对角线 BD 上一点,连接AF,CF,延长 CF 交AD 于点 E.若∠AFB=70°,则∠DEC 的度数为         .

5.(2025浙江中考)【问题背景】如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD 上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点 E 在对角线 BD 上.

【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE 的证明过程；

(2)若裁剪过程中满足 DE=DA,求“机翼角”∠BAE 的度数.

 

 

 

6.如图,四边形ABCD 是正方形,G为AD上一点,CE⊥BG 于点E,DF⊥CE 于点F.

(1)求证:△CBE≌△DCF; 

(2)求证:DF=BE+EF.

B中档题运用

7.(2025襄阳)如图,已知正方形ABCD,E,F 分别为边 BC,AB 上的点, 若AF=2,CE=3,则 DE 的长是         .

8.如图,E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点, 垂足分别是 F，G，若CG=4,CF=3,则 AE 的长为         .

9.如图,在正方形ABCD 中,对角线AC与BD 相交于点O,E为边 BC上一点,过点O作交CD 边于点 F,若AB=4,则四边形OECF的面积为         .

10.如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ADE,AC交BE于点F.

(1)求∠AFE 的度数;

(2)求证:EF=BF+AF.

 

 

 

 

 

 

综合题探究

11.如图,E 为正方形ABCD 的边BC上一点,EP⊥AE,且EP=AE,连接CP.

(1)求∠PCE 的度数;

(2)连接AP 与BD 交于点 H.

①求证:H 是AP 的中点;

②直接写出 BH，CP，DH 之间的数量关系为               .

 

21.3.3  正方形

第1课时  正方形及其性质

易错点睛

以正方形 ABCD 的边 CD 为边作等边△CDE,则∠AED 的度数为 15°或 75° .

【点睛】分点 E 在正方形内和正方形外两种情况.

A基础题夯实

知识点  利用正方形的性质计算与证明

1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(D)

A.对角线平分一组对角 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相平分

2.(2025 黄冈)如图,四边形 ABCD 为正方形.△ADE 为等边三角形,EF⊥AB 于点F,若AD=4,则 EF 的长为  2 .