21.3.3第1课时 正方形及其性质 培优练习2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3 正方形 第1课时 正方形及其性质 易错点睛 以正方形ABCD 的边CD 为边作等边△CDE，则∠AED 的度数为 . 【点睛】分点E在正方形内和正方形外两种情况. A 基础题夯实 知识点 利用正方形的性质计算与证明 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A.对角线平分一组对角 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2.(2025 黄冈)如图,四边形 ABCD 为正方形.△ADE为等边三角形,EF⊥AB 于点F,若AD=4,则 EF 的长为 . 3.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，以点A为圆心，AB 的长为半径作弧,交 AC 于点E,若OA=1,则OE 的长为 . 4.如图,F 是正方形ABCD 的对角线 BD 上一点,连接AF,CF,延长 CF 交AD 于点 E.若∠AFB=70°,则∠DEC 的度数为 . 5.(2025浙江中考)【问题背景】如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD 上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点 E 在对角线 BD 上. 【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE 的证明过程； (2)若裁剪过程中满足 DE=DA,求“机翼角”∠BAE 的度数. 6.如图,四边形ABCD 是正方形,G为AD上一点,CE⊥BG 于点E,DF⊥CE 于点F. (1)求证:△CBE≌△DCF; (2)求证:DF=BE+EF. B中档题运用 7.(2025襄阳)如图,已知正方形ABCD,E,F 分别为边 BC,AB 上的点, 若AF=2,CE=3,则 DE 的长是 . 8.如图,E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点, 垂足分别是 F，G，若CG=4,CF=3,则 AE 的长为 . 9.如图,在正方形ABCD 中,对角线AC与BD 相交于点O,E为边 BC上一点,过点O作交CD 边于点 F,若AB=4,则四边形OECF的面积为 . 10.如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ADE,AC交BE于点F. (1)求∠AFE 的度数; (2)求证:EF=BF+AF. 综合题探究 11.如图,E 为正方形ABCD 的边BC上一点,EP⊥AE,且EP=AE,连接CP. (1)求∠PCE 的度数; (2)连接AP 与BD 交于点 H. ①求证:H 是AP 的中点; ②直接写出 BH，CP，DH 之间的数量关系为 . 21.3.3 正方形 第1课时 正方形及其性质 易错点睛 以正方形 ABCD 的边 CD 为边作等边△CDE,则∠AED 的度数为 15°或 75° . 【点睛】分点 E 在正方形内和正方形外两种情况. A基础题夯实 知识点 利用正方形的性质计算与证明 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(D) A.对角线平分一组对角 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2.(2025 黄冈)如图,四边形 ABCD 为正方形.△ADE 为等边三角形,EF⊥AB 于点F,若AD=4,则 EF 的长为 2 . 3.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，以点 A 为圆心，AB 的长为半径作弧,交AC 于点E,若OA=1,则OE 的长为 4.如图,F 是正方形ABCD 的对角线 BD 上一点,连接AF,CF,延长 CF 交AD 于点 E.若∠AFB=70°,则∠DEC 的度数为 65° . 5.(2025 浙江中考)【问题背景】如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD 上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点 E 在对角线BD 上. 【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE 的证明过程； (2)若裁剪过程中满足 DE=DA,求“机翼角”∠BAE 的度数. 解:(1)∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=CB,∠ABD=∠CBD,又∵BE=BE, ∴△ABE≌△CBE(SAS); (2)∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠BAD=90°,∠ADB=45°, ∵DE=DA, ∴∠DAE=∠DEA, ∴∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°, ∴∠DAE=∠DEA=67.5°, ∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°. 6.如图,四边形ABCD 是正方形,G为AD 上一点,CE⊥BG 于点E,DF⊥CE 于点F. 证明:(1)∵四边形 ABCD 是正方形, CF=BE,CE=DF, ∵CE=EF+CF, ∴DF=BE+EF. B 中档题运用 7.(2025襄阳)如图,已知正方形 ABCD,E,F 分别为边BC,AB 上的点,DE⊥CF,若AF=2,CE=3,则 DE 的长是 . 8.如图,E 是正方形ABCD 的对角线 BD上一点,EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分别是F,G,若CG=4,CF=3,则AE 的长为 5 . 9.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为边 BC上一点,过点O作OF⊥OE交 CD 边于点 F,若AB=4,则四边形OECF的面积为 4 . 10.如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ADE,AC 交BE 于点F. (1)求∠AFE 的度数; (2)求证:EF=BF+AF. 解:(1)易求 (2)在 FE 上截取FM=FA. 为等边三角形，易证 C 综合题探究 11.如图,E 为正方形ABCD 的边BC上一点,EP⊥AE,且EP=AE,连接CP. (1)求∠PCE 的度数; (2)连接AP 与BD 交于点 H. ①求证:H 是AP 的中点; ②直接写出BH,CP,DH 之间的数量关系为 BH=CP+DH . 证明:(1)在AB 上截取BF=BE,连接EF.由正方形 ABCD 得∠ABC=90°,AB=BC, ∵BE=BF, ∴AF=EC,∠BFE=∠BEF=45°, ∴∠AFE=135°. ∵EP⊥AE, ∴∠AEP=90°=∠ABC, ∴∠BAE+∠AEB=∠PEC+∠AEB, ∴∠BAE=∠PEC, ∵AE=EP, ∴△AEF≌△EPC, ∴∠PCE=∠AFE=135°; (2)①过点 P 作PM∥BC 交BD 于点 M.在正方形ABCD 中,∠DBC=45°, ∴∠DBC+∠PCB=180°, ∴PC∥BD. ∵PM∥BC, ∴四边形 BMPC 为平行四边形， ∴BM=PC,PM=BC=AD. ∵PM∥BC,AD∥BC, ∴PM∥AD, ∴∠DAH=∠HPM,∠ADH=∠PMH, ∴△ADH≌△PMH, ∴AH=PH,即H 为AP 的中点; ②BH=CP+DH. 由①得△ADH≌△PMH, ∴DH=MH, ∴BH=BM+MH=CP+DH. 学科网（北京）股份有限公司 $