21.3.3 第1课时 正方形的性质-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

全程导练·数学八年级·下册 21.3.3 正方形 第1课时 正方形的性质 [答案P15] 知识要点分类练学 7.(教材母题变式)如图，在正方形ABCD的外侧作 等边三角形ABE,则LBED= ●知识点☐正方形的性质 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都具有 的性质是 A.相等 B.互相平分 B C.平分一组对角 D.互相垂直 7题图 8题图 2.(自贡中考)如图，边长为3的正方形OBCD两边 8.(怀化中考)如图，P是正方形ABCD的对角线AC 与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是 ( 上的一点，PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线 A.(3,-3) B.(-3,3) AB的距离为 C.(3,3) D.(-3,-3) 9.（吉林中考)如图，正方形 M ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,E是OA的中点，F是OD 上一点，连接EF.若∠FEO= 45°，则是的值为 9题图 2题图 4题图 10.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于点O, 3.正方形的对角线长为6√2，则其面积为( 点E,F分别在AB,BC上，且BE=CF. A.242B.72 C.36 D.24 求证：OE⊥OF 4.如图，在正方形ABCD中，M,N分别为CD,BC边 上的点，且AM⊥DN,AM与DN交于点P,连接 AW,Q为AN中点，连接PQ,若AB=15,DM=7, 则PQ的长为 A.7 B. 2 C.9 D.25 10题图 5.（内蒙古中考)如图，边长为2的正方形ABCD的 对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点， F是BD上一点，连接DE,EF.若△DEF与△DEC 关于直线DE对称，则△BEF的周长是( A.22 B.2+√2 C.4-22D.√2 B 5题图 6题图 6.如图，P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的 一点，∠1=∠2，则∠BPC的度数为 58 见此图标服微信打码进人初中智慧学园自自 第二十一章四边形 能力提升综合练单 素养探究创新练学： 11.(重庆A卷中考)如图，在正方形 16.在学习正方形时，王老师带领同学们探索了课本 ABCD中，点E,F分别在BC,CD 上的一道几何题， 上，连接AE,AF,EF,∠EAF= 【课本再现】 45°.若∠BAE=,则∠FEC= B E (1)如图①，四边形ABCD是正方形，G为BC上 11题图 的任意一点，DE⊥AG于点E,BF∥DE,交 A.2a B.90°-2a AG于点F.求证：AF-BF=EF; C.45°-a D.90°- 【类比探究】 12.（宜宾中考)如图，边长为6的正方形ABCD中， (2)如图②，在正方形ABCD中，G为CB延长线 M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD 上的任意一点，DE⊥AG交GA的延长线于点 于点P,若PM=PC,则AM的长为 () E,BF∥DE交AG于点F.试探索AF,BF,EF A.3(3-1) B.3(35-2) 之间的数量关系，并给出证明； C.6(3-1)》 D.6(33-2) 【迁移应用】 (3)如图③，四边形ABCD是正方形，G为BC上 M 的一点，DE⊥AG于点E,连接BE.若AE=4, 请直接写出△ABE的面积， 12题图 13题图 13.如图，将正方形OACD放在平面直角坐标系中， 0是坐标原点，点D的坐标为(3,4)，则点A的 G G 坐标为 一，点C的坐标为 16题图① 16题图② 16题图③ 14.(青岛中考)如图，已知正方形 ABCD的边长为5，点E,F分别 在AD,DC上，AE=DF=2,BE 与AF相交于点G,H为BF的中B 点，连接GH,则GH的长为 14题图 15.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F 是CD的中点，且AE=DC+CE.求证：AF平分 ∠DAE. 15题图 见此图标器微信扫码进入初中智慧学园自自 59.四边形AEB0是矩形，.EO=AB. 又AB=DC,E0=DC. (2)解：由(1)知四边形AEB0是矩形， ∴.∠EB0=90°..∠EBA=60°，∴.∠AB0=30° 在Rt△AB0中，AB=10,∠AB0=30° .A0=5,B0=5W3,.AC=10,BD=103 1 ·S菱形BCD=2×10×10,5=505. 【素养探究创新练】 16.解：(1)连接AC,如答图①. :四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴.△ABC,△ACD都是等边三角形， ∴.∠BAC=60°，AB=AC,∠ACD=60° .∠EAF=60°， ∴.∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,即∠BAE=∠CAF. 又，AB=AC,∠B=∠ACF=60°， ∴.△ABE≌△ACF,∴.BE=CF,.CE+CF=BC=5. B 16题答图① 16题答图② (2)CE-CF=5. 证明：连接AC,如答图② .·∠EMB=60°-∠BAF,∠CAF=60°-∠BAF, .∠EAB=∠FAC.又.·AB=AC,∠ABE=∠ACF=120°， .△ABE≌△ACF,.BE=CF, ∴.CE-CF=CE-BE=BC=5. 微专题7含60°角的特殊平行四边形 1.D2.753.23 第2课时菱形的判定 【知识要点分类练】 1.B 2.证明：.四边形ABCD是平行四边形，.∠B=∠D. r∠BAE=∠DAF, 在△ABE和△ADF中. ∠B=∠D BE DF, .△ABE≌△ADF(AAS),.AB=AD,.☐ABCD是菱形 3.C 4.证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.EB=ED,AB∥CD,∴.∠EBP=∠EDQ LEBP LEDQ, 在△PBE和△QDE中，{EB=ED L∠BEP=∠DEQ, .△PBE≌△QDE(ASA),.EP=EQ. 同理可得△BME≌△DNE, .EM=EN,∴.四边形PMQN是平行四边形 ·PQ⊥MN,∴.四边形PMQN是菱形 5.B6.菱形 7.证明：，·AB=AC,AD是边BC上的中线， ∴AD垂直平分BC,BD=CD,∴EB=EC,FB=FC .·CF∥BE,∴.∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD. 又.BD=CD,∴.△EBD≌△FCD,∴.BE=FC, .∴.EB=BF=FC=EC,∴.四边形BECF是菱形 参考答案及解析 【能力提升综合练】 8.D9.A10.B11.A12.25 13.(1)证明：AB∥CD,.∠OAB=∠DCA. AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC, ∴.∠DCA=∠DAC,∴.CD=AD .AB=AD,..CD=AD=AB. AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形 :AD=AB,四边形ABCD是菱形. (2)解：四边形ABCD是菱形，∴.OA=OC,BD⊥AC ,CE⊥AB,∴.OE=OA=OC. BD=4,0B=号BD=2 在Rt△A0B中，AB=2√5,0B=2, .0A=√AB2-0B2=4,.0E=0A=4. 【素养探究创新练】 14.(1)解：矩形 (2)①证明：：AF∥DF',AF=DF', .四边形AFFD是平行四边形. .AD =5,SDABCD =15,.AE =3. 又：EF=4,∴.在Rt△AEF中，AF=√AE2+EF2=5, .AF=AD=5,.平行四边形AFFD是菱形. ②解：连接AF',DF,如答图. 在Rt△DEF中，E'F=E'E-EF=5-4=1,DE'=3, .DF=√E'D2+E'F2=√10. 在Rt△AEF'中，EF'=EE+E'F'=5+4=9,AE=3, AF'=√AE2+EFz=3√/1o. A D FE F 14题答图 21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 【知识要点分类练】 1.B2.C3.C4.B5.A6.1357.45°8.39.2 10.证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD .·BE=CF,..△OBE≌△OCF,∴.∠BOE=∠COF AC⊥BD,.∠BOC=90°. .'∠EOF=∠EOB+∠BOF,∠BOC=∠COF+∠BOF, .∠E0F=∠B0C=90°，.OE⊥OF. 【能力提升综合练】 1.A12.C13.(-4,3)（-1,7)14.4 2 15.解：延长BC,交AF的延长线于点G,如答图. D F 2 E C 15题答图 四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC,DA=DC, ·15. 全程导练·数学八年级·下册 ∠D=90°，∴.∠DAF=∠G,∠FCG=∠D=90° F是CD中点，CF=DF. r∠FCG=∠D, 在△FCG和△FDA中，{CF=DF, ∠2=∠1， ∴.△FCG≌△FDA(ASA),∴.CG=DA AE=DC+CE,..AE CG+CE=GE, ,∠EAF=∠G,.∠DAF=∠EAF,AF平分∠DAE. 【素养探究创新练】 16.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°，AB=AD,∠BAG+∠DAE=90. :DE⊥AG,.∠AED=90°，∴.∠DAE+∠ADE=90° ∴.∠ADE=∠BAG. .·BF∥DE,.∠AFB=∠DEF=90°，.∠AED=∠BFA, ∴.△ADE≌△BAF,.AE=BF,AF-BF=AF-AE=EF (2)解：AF+BF=EF 证明：由(1)，得BA=AD,∠AED=90°，∠BAD=90°， .∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°， ∴.∠BAF=∠ADE BF∥DE,.∠AFB=180°-∠E=90°，.∠E=∠AFB, .△ADE≌△BAF,AE=BF,.AF+BF=AF+AE=EF. (3)解：过点B作BF∥DE交AG于点F 由(1)，得BF=AE=4, 5S腿=74B:BF=7x4X4=8. 第2课时正方形的判定 【知识要点分类练】 1.C2.C3.D 4.证明：，·CE∥BD,DE∥AC, .四边形OCED是平行四边形， ,:正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ∴.OD=OC,∠D0C=90°，∴.平行四边形0CED是正方形. 【能力提升综合练】 5.D6.C7.AC=BD(答案不唯一) 8.证明：(1)：四边形ABCD是正方形， .∠DAB=90°，AC平分∠DAB. PM⊥AD,PN⊥AB,∴.∠PMA=∠PNA=90°， ∴.四边形MANP是矩形 AC平分∠DAB,PM⊥AD,PN⊥AB,.PM=PN, ,∴.四边形MANP是正方形， (2):四边形MANP是正方形， ∴.PM=PN,∠MPN=90 ,·∠EPB=90° .:.∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°， .∴.∠MPE=∠NPB r∠PME=∠PNB=90°， 在△EPM和△BPW中，{PM=PN, L∠MPE=∠NPB ∴.△EPM≌△BPN(ASA),∴.EM=BN. 9.解：(1)四边形BPC0为平行四边形. 理由：四边形ABCD为平行四边形， 0C=0A=74C,0B=0D=7B0 由作图，得OB=CP,BP=OC, .四边形BPCO为平行四边形 (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPC0为正方形， 理由：：AC⊥BD,.∠BOC=90°，∴.口BPC0为矩形. ·16. AC=BD,OB=-7-BD,OC=7-AC. ∴.OB=OC,∴.矩形BPC0为正方形 10.(1)证明：如答图，过点E作 A D EM⊥BC于点M,EN⊥CD于 点N,则四边形EMCW是矩 形，∴.∠MEN=90. :E是正方形ABCD对角线上 的点，∴.EM=EN 四边形DEFG是矩形， M F ∴∠DEF=90°， 10题答图 .∴.∠DEN=∠MEF=90°-∠FEN. r∠DNE=∠FME=90°， 在△DEN和△FEM中， EN=EM, L∠DEN=∠FEM ∴.△DEN≌△FEM(ASA),∴.EF=DE. ,四边形DEFG是矩形，.矩形DEFG是正方形. (2)解：CE⊥CG.理由如下： :四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形， ∴.DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°， .∴.∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°， ∴.∠CDG=∠ADE AD =CD. 在△ADE和△CDG中，{∠ADE=∠CDG, LDE =DG ∴.△ADE≌△CDG(SAS),.∠CAD=∠DCG. :∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°，∠ADC=90°， .∴.∠ACG=∠ACD+∠DCG=∠ACD+∠CAD=90°， CE⊥CG (3)解：2 【素养探究创新练】 11.(1)证明：m∥AB,∴.EC∥AD. .DE⊥BC,∴.∠BFD=90. ,·∠ACB=90°，∴.∠ACB=∠BFD ∴DE∥AC,.四边形DECA是平行四边形， ∴.CE=DA. (2)解：①四边形BECD是菱形.理由如下： 由(1)知，四边形DECA是平行四边形， .CE=DA,CE∥AD. 在Rt△ABC中，D是AB的中点， ∴.BD=DC=DA,CE∥BD,CE=BD, ∴.四边形BECD是平行四边形. BD=DC,四边形BECD是菱形. ②45 专题5平行四边形以及特殊平行四边形的性质与判定 1.证明：，CD∥AB,∴.∠CDF=∠BEF,∠DCF=∠EBF. F是BC的中点，∴BF=CF. r∠CDF=∠BEF, 在△DCF和△EBF中， ∠DCF=LEBF, CF=BF. .△DCF≌△EBF(AAS),.DC=BE. CD∥BE,∴.四边形DBEC是平行四边形 2.(1)证明：在△A0E和△C0D中， r∠EAO=∠DCO, A0=C0. ∠AOE=∠COD. .∴.△AOE≌△COD(ASA),.OE=OD