专题10.3 解二元一次方程组（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题10.3 解二元一次方程组 教学目标 1.理解消元思想，掌握代入消元法和加减消元法的基本步骤。 能熟练运用代入法、加减法解简单的二元一次方程组。 能根据方程组特点，选择合适的方法解方程组。 教学重难点 1.重点 （1）掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。 （2）规范书写解题步骤。 2.难点 （1）理解消元的本质，灵活选择合适的消元方法。 （2）用加减法时，准确对某一未知数系数进行变形，避免符号错误。 知识点01 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 【即学即练】 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）用代入法解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了代入法解二元一次方程组，先将②代入①，可求出x，再将x的值代入②，可得方程组的解． 【详解】， 将②代入①，得：， 解得. 把代入②，解得. ∴原方程组的解是． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）代入法解方程组： 【答案】 【分析】利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由①，得：③， 把③代入②，得：， 解得：； 把代入③，得：； ∴方程组的解为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法解方程组，是解题的关键． 知识点02 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 【即学即练】 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）求解二元一次方程组： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，核心方法为代入消元法和加减消元法． （1）第一个方程的系数为1，适合用代入消元法：先通过第一个方程用含的式子表示，再代入第二个方程求出的值，最后反代求； （2）两个方程的未知数系数均不为1，适合用加减消元法：通过给方程两边同乘适当的数，使的系数相同，再通过方程相减消去，先求出的值，再代入求． 【详解】（1）解：， 由①得，③ 将③代入②得：，解得， 将代入③得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，解得， 将代入①得，解得， ∴方程组的解为． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）小明解关于x，y的二元一次方程组时的过程如下： 第1步：得           ③ 第2步：得          ④ 第3步：得 第4步：将代入③得，即 所以原方程组的解为 (1)你认为小明的做法从第_____________步开始出现错误； (2)请写出正确的解法． 【答案】(1)1 (2)过程见解析， 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组． （1）根据得，即可得出答案． （2）按照加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵得，， ∴从第1步开始出现错误； 故答案为：1； （2）解：得 ③ 得 ④ 得，解得， 将代入③得，即， 所以原方程组的解为． 题型01 代入消元法解二元二一次方程组 1．用代入法解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解： 由①得， 把③代入②得，解得， 把代入③得， ∴原方程组的解为． 2．用代入法解方程组： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． （1）本题用代入消元法解二元一次方程组，然后即可求解； （2）本题用代入消元法解二元一次方程组，然后即可求解； 【详解】（1）解：， 代入消元：将①代入②得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 将代入①式，得 ， ∴方程组的解为； （2）解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； 3．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键： （1）直接利用代入法进行求解即可； （2）将第一个方程变形后，利用代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得，解得； 把代入①，得； ∴方程组的解为； （2）， 由①，得， 把③代入②，得，解得； 把代入③，得； ∴方程组的解为． 4．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （3）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （4）运用代入消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， 由得， 把代入， 得， ∴ ∴； 把代入， 得， ∴方程组的解为； （2）解： 由得， 把代入， 得， ∴ ∴ ∴； 把代入， 得， ∴方程组的解为； （3）解： 由得， 把代入， 得， ∴ ∴ ∴； 把代入， 得， ∴方程组的解为； （4）解： 由得， 把代入， 得， ∴ ∴； 把代入， 得， ∴方程组的解为． 题型02 加减消元法解二元一次方程组 5．解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，得， 解得， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解为； （2）解： 由得，， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以这个方程组的解为． 6．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 7．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可； （2）先化简方程组，再利用加减消元法进行运算即可． 【详解】（1）解：， 得： ， 解得， 将代入得， 则该方程组的解为； （2）原方程组可变形为， 得：， 解得， 将代入得， 则该方程组的解为． 8．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先将原方程组进行化简，然后用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 题型03 根据题目要求解二元一次方程组 9．用适当方法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法，是解题的关键： （1）代入消元法，解方程组即可； （2）加减消元法，解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得：，解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为：； （2） ，得：，解得：， 把代入①，得：，解得：， ∴方程组的解为：． 10．用适当方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用代入消元法求解可得； （2）利用加减消元法求解可得． 【详解】（1）解：， 把①代入②，可得， 解得， 把代入①，解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 由①，可得③， ，可得， 解得， 把代入②，可得， 解得， ∴原方程组的解是． 11．用适当方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1） 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2） 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 12．用适当方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将含有的项变成系数相同的项，再根据加减消元法将两条方程相减消元解此二元一次方程组即可； （2）将两条方程相加消去，解出的值，再代入求出的值即可． 【详解】（1）解： 由①②得： 解得： 把代入①中得： 解得： ∴原方程组的解为 （2）解： 由①+②得： 解得： 把代入①得： 解得： ∴原方程组的解为 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练运用加减消元法解方程是解决本题的关键． 题型04 二元一次方程组与同类项问题 13．若与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项定义中相同字母的指数相等，列出二元一次方程组求解即可， 【详解】解：∵ 与 是同类项， ∴ 相同字母的指数相等，可得方程组 ， 将第二个方程代入第一个方程，得 ， 整理得 ， 解得 将 代入 ， 得 ， 解得 即方程组的解为 ， 故选D． 14．已知单项式与是同类项，则，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项的定义，的指数和的指数分别相等，列出方程组求解． 【详解】解：单项式与是同类项， , 解得： 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类项定义以及二元一次方程组解法，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点． 15．已知代数式与是同类项，则 _____． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，代入法解二元一次方程组，是解题关键．同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项．根据同类项的定义可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组可得、的值，代入可得． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴，， ∴， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：， ∴． 故答案为：． 16．已知单项式和的积与是同类项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式和同类项的定义，注意相乘的结果仍是一个单项式，只是系数和指数发生了变化，系数相乘作为积的系数，把相同字母的指数相加，再根据同类项的定义即可求解． 【详解】解：∵ 又∵单项式和的积与是同类项， ∴   解得 ∴． ∴的值为． 题型05 二元一次方程组中的非负性问题 17．已知有理数x，y满足，则xy的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用非负数的性质，多个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列出二元一次方程组，求解x，y后计算即可． 【详解】解：∵ ，，且， ∴， 将两个方程相加，得，解得． 把 代入，得，解得． ∴． 18．如果成立，那么的值为（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据绝对值和平方的非负性得到，求出，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得 ∴． 19．已知方程，则______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为则这几个非负数分别等于并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 20．已知，则_________，_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，绝对值的非负性和平方的非负性等知识点，根据绝对值的非负性和平方的非负性，列出关于x和y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由非负数的性质，得，， 解方程组，将两式相减，得，， 即， 解得， 代入第二式，得，， 解得， 故答案为：，． 题型06 解二元一次方程组过程出错问题 21．在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：，得 小华．由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 【答案】(1)正确，不正确 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解题意，找出合适的解方程组的方法是解此题的关键． （1）根据解方程组的步骤分别判断即可； （2）由②得，把①代入，得，求解即可． 【详解】（1）解：小丽：，得，正确； 小华．由②得③，把①代入③，得，故不正确； （2）解：， 由②，得， 把①代入，得， 解得， 把代入①得，， 所以方程组的解是． 22．在《二元一次方程组》单元回顾与整理时，刘老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小明和小颖解方程组的部分过程如下： 小明：，得． 小颖：由②，得， 把①代入③，得． (1)①小明和小颖解方程组的过程是否正确（在横线处填写“正确”或“不正确”）： 小明的过程 小颖的过程 ； ②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是 ； (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 【答案】(1)①不正确，正确；②消元 (2)． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方组的解法． （1）先分别按照小明、小颖的方法解方程组，然后根据他们的解答过程进行判断即可； （2）利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：①， 小明的方法：得：，， 把代入①得：， 方程组的解为：； 小颖的方法：由②，得， 把①代入③，得， 解得：， 把代入①得：， 方程组的解为：； 小明的过程不正确，小颖的过程正确， 故答案为：不正确，正确； ②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是消元， 故答案为：消元； （2）解：， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 方程组的解为：． 23．下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．解得：得：③……（1） 得：……（2） 将代入②得：……（3） 所以该方程的解是……（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在______步（填序号），第二次出错在______步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 【答案】(1)（1），（2） (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）第（1）步未乘以2，第（2）步，等式右边计算错误； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：第（1）步未乘以2，第（2）步，等式右边计算错误； 故答案为：（1），（2）； （2）解：得：③ 得：，解得：； 将代入②得：； 所以该方程组的解是． 24．解方程组，下面是两同学不完整的解答过程． 甲同学的解答：解：把②变形为：③，再将③代入方程①得，，…… 乙同学的解答：解：②得，③，①+③得，，…… 根据上面不完整的解答过程，解决下列问题： (1)甲同学运用的方法是 ，乙同学运用的方法是 ；（填序号） （一）代入消元法；（二）加减消元法． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)（一）；（二） (2)选择甲，见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法； （1）根据选择消元的方法可得答案； （2）选择甲：把②变形为：③，再将③代入方程①求解，再进一步求解即可；选择乙：得，③，得，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：甲同学运用的方法是（一），乙同学运用的方法是（二）； （2）解：选择甲：， 把②变形为：③， 再将③代入方程①得，， 解得：， 把代入得③：， 则方程组的解为， 选择乙： 解：， 得，③， 得，， 解得：， 把代入①得：，解得：， 则方程组的解为. 题型07 已知二元一次方程组解的情况求参数 25．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】将两个方程相加，利用整体代入法，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）把代入原方程组得，用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）原方程组中两个方程相加得出，再根据得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程组变为： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， ∵， ∴， 解得：． 27．小明在解方程组时，发现系数“□”模糊不清． (1)小明把“□”猜成3，求方程组的解； (2)已知原方程组的正确解x，y互为相反数，求“□”表示的数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于的方程是解（2）的关键． （1）得出，求出，把代入求出即可； （2）把代入求出，再求出，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以方程组的解是：； （2）解：设“□”为， 、是一对相反数， 把代入得：， 解得：， 即， ∴方程组的解是， 代入得：， 解得：， 即原题中“□”是． 28．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题关键． （1）将代入方程组，解得、，将其代入方程组即可求解； （2）若方程的解与无关，可得，求出的值，从而得到这个固定解． 【详解】（1）解： 根据题意，得：， 将其代入方程组①中，解得：， ， 将，代入方程组②中，得：， 解得：． （2）解：方程的解与无关， ， ，解得：， ∴这个固定解为． 题型08 方程组的同解问题 29．若方程组的解满足方程组，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，同解方程，正确解方程组是解题的关键．先解方程组，然后再将求得的值代入到方程组中，将其转化为只含有的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：解方程组， ，得，解得， ，得，解得：， 此方程的解为； 将代入得： ，解得：． ． 30．已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握两个方程组的解相同的含义是解决本题的关键． 根据题意，可先求解的解，再将求出的x和y的值代入即可求解． 【详解】解：由题意得：的解即为的解， 对于， 将等号两边同乘3，可得， 两式相加，可得， 解得， 将代回中，即， 解得， 的解为， 将代入中， 即， 两式相加，可得， 解得， 将代回中，即， 解得， ∴． 31．若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二元一次方程组： （1）利用加减法求解比较简便； （2）把的值代入方程组得关于的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为 （2）解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得． 32．若关于x，y的方程组与方程组的解相同． (1)求两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题关键． （1）由题意得出并解出即可； （2）把代入方程组求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． （2）解：把代入方程组， 得， 解得， ． 题型09 解方程组的错解、漏解问题 33．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 【答案】(1)见解析； (2)解法见解析，． 【分析】（1）解法一是错误的； （2）利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：解法一计算有误，应改正为由①-②，得． （2）（任选一种解法解方程组即可）解法一：由①-②，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 34．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得 (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意加减消元法的应用． （1）将小鑫的解代入②，小童的解代入①得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值； （2）应用加减消元法，求出原方程组的正确解是多少即可． 【详解】（1）根据题意，可得 ，解得； （2）由上题，得， ①②，得，即， 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的正确解是 35．在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是利用甲、乙看错的条件分别求出、的值，再求解原方程组． （1）利用甲看错但正确，将甲的解代入含的方程求；利用乙看错但正确，将乙的解代入含的方程求； （2）将、代入原方程组求解正确解． 【详解】（1）解：将代入②得， 将代入①得； （2）解：原方程组为， ①②得：， 解得：， ①②得：， 解得：， 即原方程组的解为：． 36．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．由题意得，甲看错了方程①中的a，则把代入方程②得出，乙看错了方程②中的，则把代入方程①中得出a，再求解原方程组即可． 【详解】解：把代入方程②中得：， 解得：， 把代入方程①中得：， 解得：， 原方程组为， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 所以原方程组的解为． 题型10 构造二元一次方程组求解 37．已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把x与y的值代入中，求出的值； （2）将x的值代入（1）所求的关系式计算即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由（1）知， 当时，． 38．对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值； （2）根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 39．在等式中，当时，；当时，； (1)求，的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键． （1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可； （2）把代入（1）的等式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：，； （2）解：因为，， 所以， 所以当时，， 解得：． 40．甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，能求出a、b的值是解此题的关键．根据已知条件，把方程的解代入相应的方程，即可求出a、b的值． 【详解】解：， 将代入②得：③， 将代入①得：④， 联立③④解得： 综上所述： 题型11 二元一次方程组的整数解问题 41．若方程组的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解．求出，再根据解为正整数进行分析即可． 【详解】解： 由②得，③ 把③代入①，得，即， 当时，； 当时，； 当时，； 则所有满足条件的整数a之和为． 故选：A 42．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解．求出，再根据解为正整数进行分析即可． 【详解】解： 由②得，③ 把③代入①，得，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当15时，． 则所有满足条件的整数之和为8． 故选：C. 43．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为______． 【答案】或 【分析】利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值． 【详解】解：， ①②得， 解得， 为整数，为整数， ， 的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组． 44．已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 题型12 二元一次方程组的无解问题 45．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，先把两方程相加消去y，得到根据方程组无解可得，解之即可． 【详解】解：两方程相加得：， ∵方程组无解， ∴， 解得， 故选：B． 46．已知关于的二元一次方程组无解，则的值是（　 ） A．2 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的运用是解题的关键． 运用加减消元法分别求解的值，再根据方程组无解即可求解参数的值． 【详解】解： 得，， 把的值代入②得，， ∵原二元一次方程组无解， ∴， ∴， 故选：D． 47．已知关于的二元一次方程组无解，则的值是___________． 【答案】-6 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的运用是解题的关键． 对于二元一次方程组，当时，原方程组无解． 【详解】解：二元一次方程组无解， ． 故答案为： ． 48．选择一组a，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 【答案】①当时，方程组有无数组解；②当时，方程组无解；③当，不论c取何值时，方程组有唯一的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．根据①当时，方程组有无数组解（因为两个方程等效）；②当时，方程组无解（因为两个方程矛盾）；③当（即）时，方程组有唯一的解，且唯一的解为． 【详解】解：①当时，方程组有无数组解，解得． ②当时，方程组无解，解得． ③当时，方程组有唯一的解，即当时，不论c取何值，原方程组都有唯一的解． 题型13 用整体思想解二元一次方程组 49．阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 50．下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组． (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． (3)已知，类比“例2”的方法，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）类比于“例1”的方法可进行求解； （2）将方程①变形为，然后代入②可进行求解； （3）将方程①变形为，然后可得，，进而问题可求解 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 所以原方程组的解为； （2）解：， 将方程①变形为③， 把②代入③，得， 得． （3）解：， 将方程①变形为③， 将②代入③，得， 解得． 把代入②，得． 所以． 51．观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为_______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为： 故答案为：， （2）解： 由①得：， 将③代入得：， 解得：， 将代入③得：， 解得， ∴方程组的解：. 52．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 题型14 二元一次方程组中的新定义问题 53．定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．根据“友好关系”的定义可得这个方程组的解满足，与方程组中的第一个方程联立可得一个关于的方程组，利用加减消元法解方程组求出的值，然后代入方程组中的第二个方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 联立， 解得， 将代入方程得：， 解得：． 54．对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：．例如：．若，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题中的定义列出二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：根据题中的定义，得， ，得， ③． ，得，解得：． ，得，解得：． 故x，y的值分别为． 55．定义：在解方程组时，由，易得，由，易得，再重新组成方程组再用加减法就容易得到方程组的解了，这种二元一次方程组的解法称为二元一次方程组的轮换对称解法．请用轮换对称解法解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．根据题意得出新方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 由得， 由得， 组成新方程组， 解得：． 56．对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解列、解二元一次方程组，弄清题中的新定义运算规则列出方程组是解本题的关键， （1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出的值即可； （2）根据得出关于y的方程，求出y的值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第一个方程代入第二个方程，再去括号即可． 【详解】解：， 把①代入②，得 ，即． 故选：A． 2．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 3．（25-26七年级下·四川内江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据非负数的性质得到关于x、y的二元一次方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴①+②得，解得， 把代入①解得， ∴． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用加减消元法消去y，得到x关于m的表达式，再根据x和m均为整数的条件，结合整除的性质求解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， ， 为整数，也为整数， ， 当时，，无对应选项， 当时，，符合条件． 5．（25-26七年级下·山东德州·期中）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法解方程组得到，再把代入方程中，可得关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得． 6．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据x与y互为相反数得到，结合方程组中第二个方程求出的值，再代入第一个方程计算得到的值． 【详解】解：由x与y互为相反数，得，即， 将代入方程，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得，则， 将代入，得， 整理得， 解得． 7．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组变形后结合已知原方程组的解求解． 【详解】解：将方程组整理变形得：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期中）对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，列出关于常数、的二元一次方程组，解方程组得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简已知条件得， 解得， 则． 9．（25-26七年级下·四川自贡·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 【答案】 【分析】甲的正确解满足原方程组，可先求出的值，乙仅抄错，其解满足方程组中第一个方程，代入第一个方程，得到关于、的二元一次方程组，求解得到、后，计算即可． 【详解】解：把代入，得， 解得； 把代入，得， ∴，解得， ∴． 10．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组，给出下列结论：当时，是方程组的解；当时，，的值互为相反数；，则；若方程组的解也是方程的解，则．其中正确的是______（填写正确结论的序号）． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，得到，关于的表达式，再逐一验证每个结论即可． 【详解】解： 得： 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为， 当时，，，因此是方程组的解，故正确； 当时，，，，因此，互为相反数，故正确； ∵，， ∴，可得， 代入，得：，故正确； 若方程组的解也是的解，代入，得：， 整理得：， 解得：，故正确， 综上所述，正确的是． 11．（25-26七年级下·吉林长春·月考）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用代入消元法计算； （2）运用加减消元法计算． 【详解】（1）解：， 把①代入②得，， 解得，， 把代入①得，， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得，， 整理得，， 把代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 12．（25-26七年级下·山东东营·月考）解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）（3）利用加减消元法解方程组即可； （4）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （3）解： 得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （4）解： 整理得， 得，解得， 把代入③得，解得， ∴原方程组的解为． 13．（25-26七年级下·吉林长春·月考）阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了矩阵的定义，二元一次方程组的解，以及代数式求值等知识，理解矩阵的定义是解题的关键． （1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）先移项，然后根据矩阵的定义即可得出答案． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， （2）解：二元一次方程组即写成矩阵形式为 ∴ （3）∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． 14．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 15．（2026七年级下·江苏·专题练习）素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如，求的值．我们不妨将作为一个整体代入，则． 素材二：已知，其中有理数m，n满足，就称点P为“燕南点”．例如要判断点是否为“燕南点”，令，解得，因为，所以不是“燕南点”；再如是否为“燕南点”，令，解得．因为，所以是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； (1)若，求的值； (2)请通过计算去判断点是不是“燕南点”． 【答案】(1)2027 (2)点是“燕南点” 【分析】（1）将整体代入该代数式进行计算求解； （2）根据题目定义，先求得对应的m，n的值，再计算的值，再判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得， 解得， ∴， ∴点是“燕南点”． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 解二元一次方程组 教学目标 1.理解消元思想，掌握代入消元法和加减消元法的基本步骤。 能熟练运用代入法、加减法解简单的二元一次方程组。 能根据方程组特点，选择合适的方法解方程组。 教学重难点 1.重点 （1）掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。 （2）规范书写解题步骤。 2.难点 （1）理解消元的本质，灵活选择合适的消元方法。 （2）用加减法时，准确对某一未知数系数进行变形，避免符号错误。 知识点01 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 【即学即练】 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）用代入法解方程组：． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）代入法解方程组： 知识点02 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 【即学即练】 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）求解二元一次方程组： (1)； (2) 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）小明解关于x，y的二元一次方程组时的过程如下： 第1步：得           ③ 第2步：得          ④ 第3步：得 第4步：将代入③得，即 所以原方程组的解为 (1)你认为小明的做法从第_____________步开始出现错误； (2)请写出正确的解法． 题型01 代入消元法解二元二一次方程组 1．用代入法解方程组：． 2．用代入法解方程组： (1)； (2)； 3．用代入法解下列方程组： (1) (2) 4．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 题型02 加减消元法解二元一次方程组 5．解方程（组）： (1) (2) 6．解下列方程组： (1) (2) 7．解方程组 (1) (2) 8．解方程组： (1) (2) 题型03 根据题目要求解二元一次方程组 9．用适当方法解方程组： (1) (2) 10．用适当方法解下列方程组： (1) (2) 11．用适当方法解下列方程组： (1) (2) 12．用适当方法解下列方程组： (1) (2) 题型04 二元一次方程组与同类项问题 13．若与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 14．已知单项式与是同类项，则，的值是（    ） A． B． C． D． 15．已知代数式与是同类项，则 _____． 16．已知单项式和的积与是同类项，求的值． 题型05 二元一次方程组中的非负性问题 17．已知有理数x，y满足，则xy的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 18．如果成立，那么的值为（  ） A． B．1 C． D．2 19．已知方程，则______． 20．已知，则_________，_________． 题型06 解二元一次方程组过程出错问题 21．在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：，得 小华．由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 22．在《二元一次方程组》单元回顾与整理时，刘老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小明和小颖解方程组的部分过程如下： 小明：，得． 小颖：由②，得， 把①代入③，得． (1)①小明和小颖解方程组的过程是否正确（在横线处填写“正确”或“不正确”）： 小明的过程 小颖的过程 ； ②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是 ； (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 23．下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．解得：得：③……（1） 得：……（2） 将代入②得：……（3） 所以该方程的解是……（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在______步（填序号），第二次出错在______步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 24．解方程组，下面是两同学不完整的解答过程． 甲同学的解答：解：把②变形为：③，再将③代入方程①得，，…… 乙同学的解答：解：②得，③，①+③得，，…… 根据上面不完整的解答过程，解决下列问题： (1)甲同学运用的方法是 ，乙同学运用的方法是 ；（填序号） （一）代入消元法；（二）加减消元法． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 题型07 已知二元一次方程组解的情况求参数 25．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 26．已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 27．小明在解方程组时，发现系数“□”模糊不清． (1)小明把“□”猜成3，求方程组的解； (2)已知原方程组的正确解x，y互为相反数，求“□”表示的数值． 28．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解． 题型08 方程组的同解问题 29．若方程组的解满足方程组，求a，b的值． 30．已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 31．若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 32．若关于x，y的方程组与方程组的解相同． (1)求两个方程组的相同解； (2)求的值． 题型09 解方程组的错解、漏解问题 33．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 34．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得 (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 35．在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解 36．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 题型10 构造二元一次方程组求解 37．已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 38．对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 39．在等式中，当时，；当时，； (1)求，的值； (2)当时，求的值． 40．甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 题型11 二元一次方程组的整数解问题 41．若方程组的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（   ） A． B． C． D． 42．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 43．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为______． 44．已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 题型12 二元一次方程组的无解问题 45．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 46．已知关于的二元一次方程组无解，则的值是（　 ） A．2 B．6 C． D． 47．已知关于的二元一次方程组无解，则的值是___________． 48．选择一组a，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 题型13 用整体思想解二元一次方程组 49．阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 50．下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组． (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． (3)已知，类比“例2”的方法，求的值． 51．观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为_______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 52．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 题型14 二元一次方程组中的新定义问题 53．定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 54．对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：．例如：．若，求x，y的值． 55．定义：在解方程组时，由，易得，由，易得，再重新组成方程组再用加减法就容易得到方程组的解了，这种二元一次方程组的解法称为二元一次方程组的轮换对称解法．请用轮换对称解法解方程组． 56．对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 3．（25-26七年级下·四川内江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 5．（25-26七年级下·山东德州·期中）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 7．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期中）对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 9．（25-26七年级下·四川自贡·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 10．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组，给出下列结论：当时，是方程组的解；当时，，的值互为相反数；，则；若方程组的解也是方程的解，则．其中正确的是______（填写正确结论的序号）． 11．（25-26七年级下·吉林长春·月考）解二元一次方程组： (1)； (2)． 12．（25-26七年级下·山东东营·月考）解方程组： (1) (2) (3) (4) 13．（25-26七年级下·吉林长春·月考）阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 14．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 15．（2026七年级下·江苏·专题练习）素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如，求的值．我们不妨将作为一个整体代入，则． 素材二：已知，其中有理数m，n满足，就称点P为“燕南点”．例如要判断点是否为“燕南点”，令，解得，因为，所以不是“燕南点”；再如是否为“燕南点”，令，解得．因为，所以是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； (1)若，求的值； (2)请通过计算去判断点是不是“燕南点”． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $