专题10.1 二元一次方程（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题10.1 二元一次方程 教学目标 1.理解二元一次方程的定义，能准确判断一个方程是否为二元一次方程； 2.知道二元一次方程的解的意义，会判断一对数值是否为某二元一次方程的解； 3.会求二元一次方程的部分整数解，了解二元一次方程有无数个解。 教学重难点 1.重点 （1）理解二元一次方程的概念，能正确识别二元一次方程。 （2）理解二元一次方程的解的意义，会判断一对数值是否为方程的解。 2.难点 （1）准确把握二元一次方程 “含两个未知数、未知项次数为 1、整式方程” 三个核心特征，辨析易混形式； （2）理解二元一次方程有无数个解，并掌握 “给定一个未知数的值，求另一个未知数” 的方法。 知识点01 二元一次方程 1. 定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的识别，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程叫做二元一次方程．据此依次对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：A．方程中只含有一个未知数，且的次数为，故此选项不符合题意； B．方程符合二元一次方程的定义，故此选项符合题意； C．方程中的次数为，故此选项不符合题意； D．方程的左边不是整式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤．是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为的整式方程叫二元一次方程．据此逐一判断即可． 【详解】解：方程：②，不是整式方程，不是二元一次方程， ③，未知数的次数不都为，不是二元一次方程， ④，含未知数的项的次数不为，不是二元一次方程， ①；⑤，符合二元一次方程的定义． 故选：A． 知识点02 二元一次方程的解 1. 定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 【即学即练】 3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若是关于和的二元一次方程的解，则的值是(   ) A．1 B．5 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了根据二元一次方程的解求参数，将方程的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程，得： 解得： 故选：D． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，其中正确的写法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法是解题的关键． 通过移项即可得出答案． 【详解】解：由得， 故选：B． 题型01 二元一次方程的定义 1．下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数，所含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，项的次数是2，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； B、，同时满足三个条件，是二元一次方程，符合题意； C、，只含有一个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； D、，不是整式，不属于整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个不同的未知数；②每个含有未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(分母不含未知数)． 【详解】解：A：方程中，含未知数的项是，其次数为2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的条件，不是二元一次方程； B：方程含有两个未知数和，含未知数的项、的次数均为1，且方程是整式方程，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； C：方程中，含未知数的项是，其次数为，不满足次数为1的条件，不是二元一次方程； D：方程的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程． 3．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意； C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意； D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意； 故选C． 4．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程是含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程，据此逐一判断各选项． 【详解】解： A：方程含项，未知数次数不为1，∴ 不是二元一次方程． B：方程分母含未知数y，不是整式方程，∴ 不是二元一次方程． C：方程含两个未知数且次数均为1，是整式方程，∴ 是二元一次方程． D：方程只含一个未知数，∴ 是一元一次方程，不是二元一次方程． 故选：C． 题型02 根据二元一次方程的定义求参数值 5．若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，整理方程后让含项的系数不为即可求解． 【详解】解：将方程整理得． 又该方程是关于，的二元一次方程． 含项的系数不能为，即． ． 故选：C． 6．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 7．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【详解】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 8．若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 题型03 二元一次方程的解 9．下列选项中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将选项中的值代入方程，使方程左右相等的解才是方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A、把代入方程，得，所以不是方程的解； B、把代入方程，得，所以是方程的解； C、把代入方程，得，所以不是方程的解； D、把代入方程，得，所以不是方程的解． 10．下列各组数中，是方程的解的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程解的概念． 将选项中的分别代入方程的左边，将计算结果与方程右边的值对比，相等则为解，否则不是，选出符合条件的选项即可． 【详解】选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，A不符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，B不符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，C符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，D不符合题意； 11．写出一个以 为解的二元一次方程：___________(写出一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】任意写一个关于x与y的一次二项式，再将代入计算出数值，即可得出关于x与y的二元一次方程． 【详解】解：∵把代入得， ∴以 为解的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 12．试写一个二元一次方程，使它的解是这个方程可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，掌握将已知解代入方程的一般形式，通过赋值构造方程是解题的关键． 根据二元一次方程的解，构造一个以，为解的方程即可． 【详解】解：设二元一次方程为，其中，，为常数，且和不为． 将，代入，得． 取，，则，因此方程可为． 经验证，当，时，成立． 故答案为：（答案不唯一） 题型04 根据二元一次方程的解求字母的值 13．若是二元一次方程的一个解，则的值等于__________． 【答案】 6 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，得出是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义得出，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如果是方程的一组解，那么代数式_____． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据二元一次方程解的定义，将解代入方程得到等式，再整体代入代数式求值． 【详解】因为是方程 的解， 所以． 代数式． 故答案为：6． 15．已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知解代入方程得，再将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：已知是二元一次方程的一组解， 则， ∴ ． 16．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】运用二元一次方程的解的定义进行计算、求解． 【详解】解：把代入得：， 解得． 题型05 二元一次方程的特殊解 17．在二元一次方程中，若均为非负整数，则该方程的解的组数有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的非负整数解，先将方程变形，再根据均为非负整数的条件，枚举得到所有符合条件的解，统计解的组数即可． 【详解】解：∵， ∴变形得 ， ∵，均为非负整数， ∴，，即 ，且为偶数， 依次枚举的取值： 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； ∴ 符合条件的解共有组． 18．已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的知识点是解二元一次方程，关键是解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的性质解题，可以把一个未知数看成已知数来处理．将x看成已知数，先移项，再将y系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：D． 19．二元一次方程的正整数解有______个． 【答案】3 【分析】写出使二元一次方程成立的所有符合条件的正整数解即可． 【详解】解：∵二元一次方程， ∴方程组的正整数解为， ∴二元一次方程的正整数解有3个． 20．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)11 (2) (3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案； （2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可； （3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴是3的倍数，且为非负数， ∴是3的倍数， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x为正整数， ∴为正整数， ∴是2的倍数，且y为正整数， ∴当时，， ∴原方程的正整数解为； （3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段， 由题意得，， ∴， ∵b为正整数， ∴为正整数， ∴a是4的倍数，且a为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子． 题型06 二元一次方程的实际问题 21．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】设出两种导线的根数，根据总长度列出方程，结合x，y为正整数的条件找出所有符合的解即可． 【详解】解：设的导线有根，的导线有根，均为正整数， 根据题意得， 整理得， 为正整数， 是正偶数，即为正偶数，且，得， 的可取的值为，共4个不同值，对应4种不同的截取方案． 22．小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12．然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算结果是58．这位同学抽出的纸牌的花色是________，点数是________． 【答案】 梅花 6 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用和数字的变化规律．设抽出的纸牌点数为，花色代号为（其中，2，3，4分别对应黑桃、梅花、红桃、方块），根据运算步骤列出方程，通过代数变换和解方程确定的值即可． 【详解】解：设抽出的纸牌点数为，花色代号为， 由题意得，运算结果为：， 已知运算结果为58， 故有方程：， 整理得：． 由于为至的整数，且为的倍数，因此需为的倍数，检验，2，3，4： 当时，，不是的倍数； 当时，，是的倍数； 当时，，不是的倍数； 当时，，不是的倍数． 故仅满足条件，此时， 解得， 因此抽出的纸牌点数为6． 故答案为：梅花；6． 23．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，李老师让学生把长的彩绳截成和两种规格的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来的前提下，共有哪几种不同的截法？ 【答案】共有3种不同的截法，分别为：①截成的彩绳1根，的彩绳5根；②截成的彩绳2根，的彩绳3根；③截成的彩绳3根，的彩绳1根 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，弄清题意列出方程是解本题的关键． 【详解】解：设截成的彩绳根，的彩绳根， 由题意可得， ， 不造成浪费，且两种不同规格彩绳都要截出来， ，是正整数， 或或 共有3种不同的截法，分别为：①截成的彩绳1根，的彩绳5根；②截成的彩绳2根，的彩绳3根；③截成的彩绳3根，的彩绳1根． 24．某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】共有3种购买方案：①购买9件甲种奖品，4件乙种奖品；②购买6件甲种奖品，8件乙种奖品；③购买3件甲种奖品，12件乙种奖品 【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意判断出y是4的整数倍是解答本题的关键．设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，得出，根据x，y均为正整数求出结论即可． 【详解】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案：①购买9件甲种奖品，4件乙种奖品；②购买6件甲种奖品，8件乙种奖品；③购买3件甲种奖品，12件乙种奖品． 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若是方程的一组解，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】将解代入原方程，解关于m的一元一次方程即可．本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：代入方程，得： 整理，得 解得： 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）将50名学生分成4人或6人的学习小组，随着分配方案的不同，4人组可能有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设可分成每小组4人的小组组，每小组6人的小组组，利用各组人数之和为50人，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出共有4种分组方案，进一步分析即可． 【详解】解：设可分成每小组4人的小组组，每小组6人的小组组， 依题意得：， ． 又，均为自然数， 或或或， 共有4种分组方案，其中4人组可能有或或或． 故选：A． 3．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据方程组的解，得，变形得，代入求值即可． 本题考查了方程组的解，整体思想求代数式的值，熟练掌握求值的方法是解题的关键． 【详解】解：由是方程的一组解， 得， 变形得， ． 故选：A． 4．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程解的定义是解题的关键． 把代入二元一次方程中得到关于a方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程的一个解， ∴，解得：． 故选B． 5．（2025七年级下·江苏·专题练习）为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，两种跳绳都买的话，共有（　　）种购买方案． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，根据共花费450元钱列二元一次方程解答即可． 【详解】解：设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，依题意有： ，即， ∵x，y均为正整数， ∴或或或， 共有4种购买方案． 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用， 二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键． 6．（24-25七年级下·江苏·月考）二元一次方程的正整数解是______． 【答案】或或 【分析】本题考查了二元一次方程整数解问题，先将原方程变形，用表示，确定的值，然后再求出的值即可得出答案，解题的关键在于用一个未知数表示另外一个，进而即可求得整数解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是正整数， ∴或或， 故答案为：或或． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则_______． 【答案】11 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键． 把代入可得，再把所求代数式化成含有的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入可得， ， 故答案为：11． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·江苏·期末）小明只带2元和5元面值的人民币若干张，他要买一件29元的商品，若商店没有零钱找，那他付款时这两种面值的人民币共有_________种不同的组合方式． 【答案】3 【分析】本题考查二元一次方程的解，求出满足条件的整数解是关键． 设元的人民币张，元的人民币张，列出二元一次方程，求出符合条件的解； 【详解】解：设元的人民币张，元的人民币张， 根据题意得：， ∵，都是正整数， ∴或，或，， 则他的付款方式有3种， 故答案为：3． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）某校准备举办“创文知识”竞赛，计划用200元购买单价分别为16元/件，24元/件的A，B两种奖品奖励获胜者，则不同的购买方案有__________种． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买x件A种奖品，y件B种奖品，利用总价=单价×数量，可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有4种不同的购买方案． 【详解】解：设购买x件A种奖品，y件B种奖品， 根据题意得：， ∴． 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种不同的购买方案． 故答案为：4． 11．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解的意义是解题的关键． （1）把、的值代入即可求出的值； （2）先把方程整理为，再根据题意得出，即可求出的值，继而求出的值，从而得到方程的固定解． 【详解】（1）解：当，时，， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， 不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解， ， ， ， ， 二元一次方程的固定的解是． 12．（25-26七年级下·云南·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：．根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解______． (2)若为正整数，则满足条件的正整数x的值有______个． (3)2022-2023学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)6 (3)共有4种购买方案．方案一：2本笔记本，11支钢笔；方案二：4本笔记本，8支钢笔；方案三：6本笔记本，5支钢笔；方案四：8本笔记本，2支钢笔． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用： （1）先求出，再求出方程的一组正整数解即可； （2）根据题意可得是18的正因数，据此可得答案； （3）设购买m本笔记本，n支钢笔，依题意得：，求出方程的非负整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴原方程的一组正整数解为； （2）解：∵是正整数， ∴是18的正因数， ∴或或或或或， ∴满足条件的正整数x的值有6个， 故答案为：6； （3）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 依题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案． 答：共有4种购买方案．方案一：2本笔记本，11支钢笔；方案二：4本笔记本，8支钢笔；方案三：6本笔记本，5支钢笔；方案四：8本笔记本，2支钢笔． 13．（24-25七年级下·全国·专项练习）已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为 【答案】(1)或或 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）将方程变形为用表示的形式，结合为正整数的条件，确定的取值范围，再代入求出对应的． （2）根据给定的方程组的解，构造一个二元一次方程，使该解满足这个方程． 【详解】（1）解：由方程，得． 当时，； 当时，； 当时，． 故方程所有的正整数解为或或 （2）解：∵把代入式子，得， ∴满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解及方程组的解，掌握用一个未知数表示另一个未知数，结合正整数条件确定取值、构造满足特定解的二元一次方程是解题的关键． 14．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知方程． (1)用关于a的代数式表示b； (2)求当，1时，对应的b值，并由此写出方程对应的两个解． 【答案】(1) (2)当时，；当时，，， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义． （1）先把用含有a的式子表示出来，再把b的系数化成1即可； （2）分别把和代入（1）中所求等式，求出b，从而求出方程对应的两个解． 【详解】（1）解：（1）， ， ； （2）当时，； 当时，， ∴方程对应的两个解为，． 15．（24-25八年级上·全国·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”. (1)当时，此方程的“和谐值”是_____，二元一次方程的“和谐平衡值”是_____； (2)若二元一次方程的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解； 【答案】(1)；或； (2)、； 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解“和谐值”和“和谐平衡值”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先求出当时，此方程的解，再根据“和谐值”的定义求解即可；根据“和谐平衡值”可得，再分两种情况分别求解即可； （2）根据“和谐值”的定义分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解 ：当时，则， ， ，即， ， 当时，此方程的“和谐值”是； 二元一次方程有“和谐平衡值” ， ， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上可知，二元一次方程的“和谐平衡值”是或， 故答案为：1；或； （2）解：若二元一次方程的“和谐值”为5， ①当时，，解得：， ， 5是二元一次方程的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为； ②当时，，解得：， ， 5是二元一次方程的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为； ③当时，，解得：， ， 4是二元一次方程的“和谐值”，不符合题意； ④当时，，解得：， ， 1是二元一次方程的“和谐值”，不符合题意； 综上可知，所有满足条件的方程的解为、； 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 二元一次方程 教学目标 1.理解二元一次方程的定义，能准确判断一个方程是否为二元一次方程； 2.知道二元一次方程的解的意义，会判断一对数值是否为某二元一次方程的解； 3.会求二元一次方程的部分整数解，了解二元一次方程有无数个解。 教学重难点 1.重点 （1）理解二元一次方程的概念，能正确识别二元一次方程。 （2）理解二元一次方程的解的意义，会判断一对数值是否为方程的解。 2.难点 （1）准确把握二元一次方程 “含两个未知数、未知项次数为 1、整式方程” 三个核心特征，辨析易混形式； （2）理解二元一次方程有无数个解，并掌握 “给定一个未知数的值，求另一个未知数” 的方法。 知识点01 二元一次方程定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤．是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 知识点02 二元一次方程的解 定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 【即学即练】 3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若是关于和的二元一次方程的解，则的值是(   ) A．1 B．5 C． D．2 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，其中正确的写法是（    ） A． B． C． D． 题型01 二元一次方程的定义 1．下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 4．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型02 根据二元一次方程的定义求参数值 5．若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 6．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 7．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 8．若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 题型03 二元一次方程的解 9．下列选项中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 10．下列各组数中，是方程的解的是（   ）. A． B． C． D． 11．写出一个以 为解的二元一次方程：___________(写出一个即可)． 12．试写一个二元一次方程，使它的解是这个方程可以是____________． 题型04 根据二元一次方程的解求字母的值 13．若是二元一次方程的一个解，则的值等于__________． 14．如果是方程的一组解，那么代数式_____． 15．已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 16．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．3 题型05 二元一次方程的特殊解 17．在二元一次方程中，若均为非负整数，则该方程的解的组数有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 18．已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 19．二元一次方程的正整数解有______个． 20．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 题型06 二元一次方程的实际问题 21．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 22．小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12．然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算结果是58．这位同学抽出的纸牌的花色是________，点数是________． 23．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，李老师让学生把长的彩绳截成和两种规格的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来的前提下，共有哪几种不同的截法？ 24．某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．请问有哪几种购买方案？ 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若是方程的一组解，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）将50名学生分成4人或6人的学习小组，随着分配方案的不同，4人组可能有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A． B． C．1 D．3 5．（2025七年级下·江苏·专题练习）为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，两种跳绳都买的话，共有（　　）种购买方案． A．6 B．5 C．4 D．3 6．（24-25七年级下·江苏·月考）二元一次方程的正整数解是______． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则_______． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 9．（25-26七年级下·江苏·期末）小明只带2元和5元面值的人民币若干张，他要买一件29元的商品，若商店没有零钱找，那他付款时这两种面值的人民币共有_________种不同的组合方式． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）某校准备举办“创文知识”竞赛，计划用200元购买单价分别为16元/件，24元/件的A，B两种奖品奖励获胜者，则不同的购买方案有__________种． 11．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 12．（25-26七年级下·云南·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：．根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解______． (2)若为正整数，则满足条件的正整数x的值有______个． (3)2022-2023学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？ 13．（24-25七年级下·全国·专项练习）已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为 14．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知方程． (1)用关于a的代数式表示b； (2)求当，1时，对应的b值，并由此写出方程对应的两个解． 15．（24-25八年级上·全国·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”. (1)当时，此方程的“和谐值”是_____，二元一次方程的“和谐平衡值”是_____； (2)若二元一次方程的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解； 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $