专题10.2 二元一次方程组的概念（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题10.2 二元一次方程组的概念 教学目标 1.理解二元一次方程组的概念，能判断一组方程是否为二元一次方程组。 2.理解二元一次方程组的解的意义，会检验一对数值是不是方程组的解。 3.能根据简单实际问题列出二元一次方程组。 教学重难点 1.重点 （1）二元一次方程组的概念。 （2）二元一次方程组的解的意义及检验方法。 2.难点 （1）理解方程组的解必须同时满足两个方程。 （2）区分 “二元一次方程组” 与其他形式方程组，准确识别概念。 知识点01 二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若是关于，的二元一次方程组，则__，__，__． 知识点02 二元一次方程组的解 1. 定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2. 注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 【即学即练】 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列哪对x，y的值是二元一次方程的解（    ） A． B． C． D． 题型01 二元一次方程组的定义 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程组：①②③④其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 4．在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 题型02 根据二元一次方程组的定义求参数值 5．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则______． 6．若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是________． 7．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 8．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 题型03 二元一次方程组的解 9．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 10．解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 11．下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 12．若和是某二元一次方程的解，则这个方程为（   ） A．x+2y= -3 B． C． D． 题型04 根据二元一次方程组的解求字母或代数式的值 13．已知是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．5 D．-5 14．已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 15．已知是方程组的解，则的值是___________． 16．已知是关于，的方程组的解，则的值． 题型05 根据两个方程组之间的关系求解 17．关于的方程组的解为且，则为（   ） A．1 B． C．0 D．2024 18．若关于的二元一次方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 19．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 20．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 题型06 实际问题与二元一次方程 21．某班共有学生45人，其中男生比女生的2倍少9人，该班的男生、女生各有多少人？根据题意列二元一次方程组． 22．阅读材料： “上海自来水来自海上”“歌唱家在家唱歌”这两句话，从左往右读和从右往左读，结果完全相同，这样的现象，文学上称为“回文”．与文学一样，数学上也有“回文”，比如55，232，它们无论从左往右，还是从右往左读，都是同一个数． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)自然数中，回文数的个数并不多，两位数中只有9个，它们是11，22，33，44，55，66，77，88，99．三位数中是回文数的有______个； (2)若一个两位数是回文数，且它比十位上数字的9倍大14．求这个两位数； (3)关于回文数，还有很多有趣的内容，如，把算式中的“”和“”去掉，剩下的是回文数．若，求两位数． 23．小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 24．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25七年级下·全国·专项练习）小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 6．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 7．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）已知是方程组的解，则的值为___________． 8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是______． 9．（24-25八年级上·江西九江·月考）在二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则k的值为__________． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为______． 11．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 12．（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 13．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 14．（25-26七年级上·全国·专项练习）已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 15．（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知是关于x，y的二元一次方程组的解． (1)求a，b的值． (2)求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 二元一次方程组的概念 教学目标 1.理解二元一次方程组的概念，能判断一组方程是否为二元一次方程组。 2.理解二元一次方程组的解的意义，会检验一对数值是不是方程组的解。 3.能根据简单实际问题列出二元一次方程组。 教学重难点 1.重点 （1）二元一次方程组的概念。 （2）二元一次方程组的解的意义及检验方法。 2.难点 （1）理解方程组的解必须同时满足两个方程。 （2）区分 “二元一次方程组” 与其他形式方程组，准确识别概念。 知识点01 二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义；根据二元一次方程组的定义，需满足：①共含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成解答即可． 【详解】解：∵方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组中，第一个方程不是整式方程，未知数次数不为1，不是二元一次方程组； 方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组； 方程组中，第一个方程为二次方程，不是一次方程，不是二元一次方程组； ∴二元一次方程组有2个． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若是关于，的二元一次方程组，则__，__，__． 【答案】 3或2 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解：是关于，的二元一次方程组， ，或0，， 解得：或2，，， 答案：3或2，， 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 知识点02 二元一次方程组的解 1. 定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2. 注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 【即学即练】 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程，因此只需验证第二个方程的值是否匹配． 【详解】解：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程， 将代入各选项的第二个方程： ∵对于选项A：，不满足； 对于选项B：，不满足； 对于选项C：，满足； 对于选项D：，不满足． ∴只有选项C以为解． 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列哪对x，y的值是二元一次方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项的解代入二元一次方程计算，然后进行判断即可． 【详解】解：将代入得，故不符合要求； 将代入得，故不符合要求； 将代入得，故符合要求； 将代入得，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解．解题的关键在于正确的运算． 题型01 二元一次方程组的定义 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①所有方程都是整式方程；②方程组总共只含两个未知数；③每个方程都是一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意； B. ，共含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，符合题意； C. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意； D. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，系数为分数不改变次数，是二元一次方程组，不符合题意． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 3．下列方程组：①②③④其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键． 直接利用方程组的定义分析得出答案． 【详解】解：①，是二元一次方程组，符合题意； ②，是二元一次方程组，符合题意； ③，不是整式方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； ④，是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④， 故选：C． 4．在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成． 【详解】解：，是二元一次方程组， 方程含分式，未知数出现在分母中，次数为，不是一次方程， 中，方程含第三个未知数，导致方程组含三个未知数，不符合条件， ，方程中，项次数为2，不是一次方程， 符合条件的有第一个和第三个方程组，共2个， 故选：A． 题型02 根据二元一次方程组的定义求参数值 5．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则______． 【答案】1 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 6．若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是________． 【答案】-2或-3 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解：根据是关于，的二元一次方程组， 则，，， 解得，，． 所以代数式的值是． 或，，， 解得，，． 所以代数式的值是． 故填：-2或-3 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 7．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 8．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 题型03 二元一次方程组的解 9．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，即是方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； 故选：B． 10．解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 11．下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接把，代入各方程进行检验即可． 【详解】、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 12．若和是某二元一次方程的解，则这个方程为（   ） A．x+2y= -3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：、当，时，x+2y=-9≠-3, 故不是方程x+2y= -3的解，不符合题意； B、当，时，2x-y=2+2≠-3, 故不是方程的解，不符合题意； C、当，时，， 故不是方程的解，不符合题意； D、当和时，方程都成立， 故和是方程的解，故符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右两边相等的一组未知数的值即为该方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键． 题型04 根据二元一次方程组的解求字母或代数式的值 13．已知是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．5 D．-5 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴将，代入方程得， 移项整理得， 解得：． 14．已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 15．已知是方程组的解，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把代入，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知是关于，的方程组的解，则的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求出，，再整体代入计算即可． 【详解】解：把代入， 得， ②①得，即， ②①得，即， 所以． 题型05 根据两个方程组之间的关系求解 17．关于的方程组的解为且，则为（   ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解得出，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴的解为， 将两式相加，得， 即， 所以 故选：A． 18．若关于的二元一次方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．通过观察新方程组与原方程组的系数和常数项的变化，利用整体替换的方法，将新方程组的变量与原方程组的解建立联系，从而直接求解． 【详解】解：， 变形得：，即， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得：． 故选：B 19．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，由题意可得，解方程组即可求解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【详解】解∶∵方程组的解是， ∴方程组中， 解得：． 故选：A 20．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用． （1）根据进行求解即可； （2）设，则关于s，t的方程组的解为，可得，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设， ∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于s，t的方程组的解为， ∴， ∴． 题型06 实际问题与二元一次方程 21．某班共有学生45人，其中男生比女生的2倍少9人，该班的男生、女生各有多少人？根据题意列二元一次方程组． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，解题的关键是找出题目中的两个等量关系，设出未知数并列出方程组． 先设该班男生有x人，女生有y人；再根据“学生总人数为45人”和“男生比女生的2倍少9人”这两个等量关系，分别列出方程，组成方程组． 【详解】解：设该班男生有x人，女生有y人． 根据“共有学生45人”，可得方程：； 根据“男生比女生的2倍少9人”，可得方程：． 因此，所列二元一次方程组为： 22．阅读材料： “上海自来水来自海上”“歌唱家在家唱歌”这两句话，从左往右读和从右往左读，结果完全相同，这样的现象，文学上称为“回文”．与文学一样，数学上也有“回文”，比如55，232，它们无论从左往右，还是从右往左读，都是同一个数． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)自然数中，回文数的个数并不多，两位数中只有9个，它们是11，22，33，44，55，66，77，88，99．三位数中是回文数的有______个； (2)若一个两位数是回文数，且它比十位上数字的9倍大14．求这个两位数； (3)关于回文数，还有很多有趣的内容，如，把算式中的“”和“”去掉，剩下的是回文数．若，求两位数． 【答案】(1)90 (2)这个两位数是77 (3)这个两位数为21 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，解答本题的关键是熟练掌握“回文数”的定义． （1）根据“回文数”的定义进行分析即可求解； （2）设这个两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据一个两位数是回文数，且它比十位上数字的9倍大14列出方程计算即可求解； （3）根据列出方程计算即可求解． 【详解】（1）解：三位数的“回文数”中，百位和个位是1的为：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191，合计10个，同理百位和个位是2的有10个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个． 故答案为：90； （2）解：设这个两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据题意得： ， 解得：． 经检验，符合题意． 答：这个两位数是77． （3）解：， ， 整理，得， 所以， 且，，，均为整数， ，， 答：这个两位数为21． 23．小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 【答案】●为5，▲为1 【分析】本题考查二元一次方程组的解的含义．先将变形得，再将代入中得，再将代入与中即可计算出▲，●的值． 【详解】解：∵， ∴整理为：， ∴将代入中得：， ∵， ∴，， ∴●为5，▲为1； 24．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得：，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 2．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵​是方程的解， ∴ 解得： 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【详解】解：方程组的解为， 故中， 解得． 4．（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．据此逐个判断即可． 【详解】①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②中，未知数的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ③方程组含x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故是二元一次方程组的有①④，一共2个． 5．（24-25七年级下·全国·专项练习）小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将与看作整体，对应已知方程组中的a与b，得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：对比两个方程组的结构可得， 由，得， 由，得， 因此方程组的解为． 7．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）已知是方程组的解，则的值为___________． 【答案】1 【分析】先根据方程组的解的定义，将已知解代入方程组，得到关于、的方程，进而求出、的值，最后代入计算．解题的关键在于利用方程组解的性质求出、．本题主要考查了方程组的解的定义以及求代数式的值．熟练掌握方程组的解是使方程组中每个方程都成立的未知数的值这一概念，能准确根据解求出、的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程组中， 得， 解得，得． 把，代入得 ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入方程中即可求出的值，继而求出被“”遮住的数． 【详解】解：把代入方程中，得， 把，代入方程中，得， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江西九江·月考）在二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则k的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； 根据与的值相等，代入原方程组，解出，然后代入①即可解出． 【详解】解：∵x与y的值相等， ∴ 把代入原方程组得 ，   由②得，， 解得：，   把代入①式得：，   解得：，   故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解求参数，熟练掌握该知识点是解题关键．把代入不含参数的方程求出的值，再将和的值代入含有参数的方程求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 解得， 将，代入， 得到， 解得， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 12．（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 13．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 14．（25-26七年级上·全国·专项练习）已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【答案】不是，见解析 【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【详解】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解． 15．（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知是关于x，y的二元一次方程组的解． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2027 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、代数式求值等知识，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． （1）将代入方程组计算即可得； （2）将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵是关于的二元一次方程组的解， ∴， 解得， 所以． （2）解：由（1）已得：， 则． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $