8.3完全平方公式与平方差公式题型突破2025-2026学年沪科版七年级数学下册（八大题型）

8.3完全平方公式与平方差公式题型突破2025-2026 学年沪科版七年级下册（八大题型） 题型一：判断运用乘法公式计算的正误 1．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3.计算的正确结果是（ ） A． B． C． D． 4．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 5.下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 题型二：利用完全平方式确定系数 1．已知是完全平方式，则的值为（    ） A．±4 B．±2 C．2 D．4 2．若是完全平方式，则的值是（   ） A．20 B． C． D． 3．若是完全平方式，则 ． 4．多项式是一个完全平方式，则 ． 5.将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 题型三：乘法公式的几何背景 1.我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 2.如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 3.用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（　　） A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab 4.有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 5．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 题型四：乘法公式的计算 1．计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 2.计算：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）． 3.计算：（3x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2）． 4．计算： （1）（2x﹣1）2﹣（3x+1）（x﹣2）﹣1； （2）4（3x+2y）（2x+3y）﹣2（x﹣3y）（3x+4y）． 5.用乘法公式计算： （1）（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2； （2）（2x﹣3）（2x+3）（4x2﹣9）； 题型五：利用乘法公式进行简算 1．利用平方差公式计算： （1）10002﹣9992；（2）（99）2﹣（100）2． 2．利用完全平方公式计算： （1）992；（2）1032． 3．用简便方法计算： （1）186.52﹣186.5×173+86.52；（2）3002﹣304×296． 4．用简便方法计算： （1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01；（2）2022+202×196+982． 5．用简便方法计算： （1）2024×2026﹣20252；（2）1.4352+2.87×2.565+2.5652． 题型六：利用乘法公式变形求值 1.若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（　　） A．1 B．9 C．16 D．21 2.已知m+n＝5，mn＝3，则m2﹣mn+n2的值为（　　） A．16 B．22 C．28 D．36 3．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 4．已知，．求： (1)； (2)的值． 5．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 题型七：与乘法公式有关的化简求值 1.若x2+x﹣2＝0，则（x+1）（x﹣1）+x的值是 　 　． 2.已知a2+a＝2，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为　 ． 3.已知2m2+5m﹣1＝0，求代数式（m+3）2+m（m﹣1）的值． 4.先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（x﹣y），其中x，y＝4． ． 5.先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中． 6.先化简，再求值：，其中． 题型八：乘法公式的应用 1．如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a的小正方形，剩余部分可剪拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2，则它另一边的长是（　　） A．2a﹣2 B．2a C．2a+1 D．2a+2 2.如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 3.某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗．长方形实验田每排种植（3a﹣b）株，种植了（3a+b）排；正方形实验田每排种植（2a﹣b）株，种植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0． （1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ （2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 4．某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ 5.将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝2，∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4 又ab＝1，∴a2+2×1+b2＝4，得a2+b2＝2． 根据上面得接题思路与方法，解决下列问题： （1）若a﹣b＝5，a2+b2＝21，则ab＝ 　 　； （2）为推动学生劳动实践得有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地ABCD、AEFG，（AB＞AG）两个正方形面积和为218m2，两个正方形边长和为20m，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】 8.3完全平方公式与平方差公式题型突破2025-2026 学年沪科版七年级下册（八大题型） 题型一：判断运用乘法公式计算的正误 1．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.计算的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B． 4．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 5.下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 【答案】B． 题型二：利用完全平方式确定系数 1．已知是完全平方式，则的值为（    ） A．±4 B．±2 C．2 D．4 【答案】A 2．若是完全平方式，则的值是（   ） A．20 B． C． D． 【答案】B 3．若是完全平方式，则 ． 【答案】或 4．多项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】36 5.将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 【答案】，，， 题型三：乘法公式的几何背景 1.我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 2.如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 【答案】A． 3.用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（　　） A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab 【答案】D． 4.有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B． 5．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 题型四：乘法公式的计算 1．计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 【答案】解：（1）原式＝（﹣3x）2﹣（5ab）2 ＝9x2﹣25a2b2； （2）原式＝x2﹣（y2）2 ＝x2﹣y4； （3）原式＝x2+5x﹣（x2﹣9） ＝x2+5x﹣x2+9＝5x+9； （4）原式＝[（﹣1）2﹣a2]（1+b2） ＝（1﹣a2）（1+b2） ＝1+b2﹣a2﹣a2b2． 2.计算：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）． 【答案】解：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3） ＝x2+4x﹣5﹣x2+9 ＝4x+4． 3.计算：（3x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2）． 【答案】解：（3x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2） ＝9x2+6x+1﹣（9x2﹣4） ＝9x2+6x+1﹣9x2+4 ＝6x+5． 4．计算： （1）（2x﹣1）2﹣（3x+1）（x﹣2）﹣1； （2）4（3x+2y）（2x+3y）﹣2（x﹣3y）（3x+4y）． 【答案】解：（1）原式＝（4x2﹣4x+1）﹣（3x2﹣6x+x﹣2）﹣1 ＝4x2﹣4x+1﹣3x2+6x﹣x+2﹣1 ＝x2+x+2． （2）原式＝4（6x2+9xy+4xy+6y2）﹣2（3x2+4xy﹣9xy﹣12y2） ＝24x2+36xy+16xy+24y2﹣6x2﹣8xy+18xy+24y2 ＝18x2+62xy+48y2． 5.用乘法公式计算： （1）（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2； （2）（2x﹣3）（2x+3）（4x2﹣9）； 【答案】解：（1）原式＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2） ＝x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2 ＝2xy﹣2y2； （2）（2x﹣3）（2x+3）（4x2﹣9） ＝（4x2﹣9）（4x2﹣9） ＝（4x2）2﹣2×4x2×9+92 ＝16x4﹣72x2+81． 题型五：利用乘法公式进行简算 1．利用平方差公式计算： （1）10002﹣9992；（2）（99）2﹣（100）2． 【答案】解：（1）原式＝（1000+999）×（1000﹣999） ＝1999×1 ＝1999； （2）原式＝（99100）×（99100） ＝200×（﹣1） ＝﹣200． 2．利用完全平方公式计算： （1）992；（2）1032． 【答案】解：（1）992 ＝（100﹣1）2 ＝1002﹣2×1×100+1 ＝10000﹣200+1 ＝9801； （2）1032 ＝（100+3）2 ＝1002+2×100×3+32 ＝10000+600+9 ＝10609． 3．用简便方法计算： （1）186.52﹣186.5×173+86.52；（2）3002﹣304×296． 【答案】解：（1）186.52﹣186.5×173+86.52 ＝186.52﹣2×186.5×86.5+86.52 ＝（186.5﹣86.5）2 ＝1002 ＝10000； （2）3002﹣304×296 ＝3002﹣（300+4）×（300﹣4） ＝3002﹣（3002﹣16） ＝3002﹣3002+16 ＝16． 4．用简便方法计算： （1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01；（2）2022+202×196+982． 【答案】解：（1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝10.12﹣2×10.1×0.1+0.12＝（10.1﹣0.1）2＝100； （2）2022+202×196+982＝2022+2×202×98+982＝（202+98）2＝3002＝90000． 5．用简便方法计算： （1）2024×2026﹣20252；（2）1.4352+2.87×2.565+2.5652． 【答案】解：（1）原式＝（2025﹣1）×（2025+1）﹣20252 ＝20252﹣1﹣20252 ＝﹣1； （2）原式＝1.4352+2×1.435×2.565+2.5652 ＝（1.435+2.565）2 ＝42 ＝16． 题型六：利用乘法公式变形求值 1.若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（　　） A．1 B．9 C．16 D．21 【答案】D． 2.已知m+n＝5，mn＝3，则m2﹣mn+n2的值为（　　） A．16 B．22 C．28 D．36 【答案】A． 3．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)7(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解： ． 4．已知，．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)5(2)1 【详解】（1）解：∵，， ∴ 上两式子相加得， ∴． （2）解：∵，， ∴ 上两式子相减得， ∴． 5．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ． 题型七：与乘法公式有关的化简求值 1.若x2+x﹣2＝0，则（x+1）（x﹣1）+x的值是 　 　． 【答案】1． 2.已知a2+a＝2，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为　 ． 【答案】0． 3.已知2m2+5m﹣1＝0，求代数式（m+3）2+m（m﹣1）的值． 【答案】解：∵2m2+5m﹣1＝0， ∴2m2+5m＝1， ∴（m+3）2+m（m﹣1） ＝m2+6m+9+m2﹣5m ＝2m2﹣5m+9 ＝1+9 ＝10． 4.先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（x﹣y），其中x，y＝4． 【答案】解：原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣2x2+2xy ＝﹣2xy． 当，y＝4时， 原式． 5.先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中． 【答案】解：原式＝（a2﹣2ab）+（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣b2） ＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2﹣a2+b2 ＝a2+2b2， 当a＝1，b时， 原式＝1+2×（）2 ＝1 ． 6.先化简，再求值：，其中． 【答案】﹣xy﹣y2，﹣8 【详解】 解：， =， =， =﹣xy﹣y2， 当时， 原式=（﹣3）2=﹣8． 题型八：乘法公式的应用 1．如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a的小正方形，剩余部分可剪拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2，则它另一边的长是（　　） A．2a﹣2 B．2a C．2a+1 D．2a+2 【答案】D． 2.如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】A． 3.某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗．长方形实验田每排种植（3a﹣b）株，种植了（3a+b）排；正方形实验田每排种植（2a﹣b）株，种植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0． （1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ （2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 【答案】解：（1）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）﹣（2a﹣b）2 ＝9a2﹣b2﹣4a2+4ab﹣b2 ＝5a2+4ab﹣2b2， 答：正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗（5a2+4ab﹣2b2）株； （2）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）+（2a﹣b）2 ＝9a2﹣b2+4a2﹣4ab+b2 ＝13a2﹣4ab， 当a＝5，b＝2时， 原式＝13×52﹣4×5×2 ＝325﹣40 ＝285， 答：该种植基地这两块实验田一共种植了285株豌豆幼苗． 4．某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ 【答案】解：（1）铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2 ＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2 ＝22a2+16ab+2b2（平方米）， 答：铺设地砖的面积为（22a2+16ab+2b2）平方米； （2）当a＝2，b＝3时， 原式＝22×22+16×2×3+2×32 ＝202（平方米）， 答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米． 5.将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝2，∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4 又ab＝1，∴a2+2×1+b2＝4，得a2+b2＝2． 根据上面得接题思路与方法，解决下列问题： （1）若a﹣b＝5，a2+b2＝21，则ab＝ 　 　； （2）为推动学生劳动实践得有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地ABCD、AEFG，（AB＞AG）两个正方形面积和为218m2，两个正方形边长和为20m，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】解：（1）∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，而a﹣b＝5，a2+b2＝21， ∴25＝21﹣2ab， 解得ab＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）设大正方形的边长为x m，小正方形的边长为y m，由题意得，x+y＝20，x2+y2＝218， ∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，即400＝218+2xy， ∴xy＝91， 又∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，而x+y＝20，x2+y2＝218， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝400﹣4×91＝36， ∵x＞y， ∴x﹣y＝6， 又∵x+y＝20， ∴x＝13，y＝7， ∴S阴影部分x•（x﹣y）13×6＝39（m2）， 答：摆放花卉场地的面积为39m2． 学科网（北京）股份有限公司 $