8.3 完全平方公式与平方差公式2025-2026 学年沪科版七年级数学下册核心考点精讲与全攻略（安徽专用）

8.3 完全平方公式与平方差公式 知识点详解 一、 两大核心公式详解 公式一：完全平方公式 完全平方公式描述了一个二项式的平方的展开式。 · 公式内容： 1. (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. (a - b)² = a² - 2ab + b² · 公式推导（利用多项式乘法）： · (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² · (a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - ab - ba + b² = a² - 2ab + b² · 公式特征与记忆口诀： · 特征：左边是“和（或差）的平方”，右边是“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”。 · 口诀： 首平方，尾平方，首尾二倍放中央。 > 中间符号看前方，同号加来异号减。 · 注意事项： 1. 切勿漏掉中间项：最常见的错误是写成 (a+b)² = a² + b²。 2. 准确确定中间项的符号：(a-b)² 中间项是 -2ab。 3. 公式中的 a 和 b 可以是任意单项式或多项式。 公式二：平方差公式 平方差公式描述了两个数的和与这两个数的差的积。 · 公式内容： (a + b)(a - b) = a² - b² · 公式推导： (a + b)(a - b) = a² - ab + ba - b² = a² - b² （-ab 和 +ba 互为相反数，抵消） · 公式特征与记忆口诀： · 特征：左边是“两数和乘以两数差”，右边是“这两个数的平方差”。 · 结构识别：“同号项”的平方减去“异号项”的平方。 · 在 (a+b)(a-b) 中，a 是符号相同的项（同号项），b 是符号相反的项（异号项）。 · 口诀： 前同后反，平方相减。 > 同号方，减异号方。 · 注意事项： 1. 准确找出公式中的 a 和 b：a 是符号相同的部分，b 是符号相反的部分。 2. 结果只有两项，且一定是平方差的形式。 二、 两大公式对比总结 对比维度 完全平方公式 平方差公式 基本形式 (a ± b)² (a + b)(a - b) 运算结果 三项式：a² ± 2ab + b² 二项式：a² - b² 项数特征 展开后是二次三项式 结果是两项（平方差） 核心结构 首尾平方和，加上（或减去）首尾积的2倍 （同号项）² - （异号项）² 常见混淆点 容易漏掉中间项 ±2ab 容易与 (a-b)² 混淆，或找错 a 和 b 记忆口诀 首平方，尾平方，首尾二倍中间放 前同后反，平方相减 三、 公式的推广与逆用 1. 公式中“数”的扩展 公式中的 a 和 b 可以代表更复杂的代数式。 · 完全平方公式：(2x - 3y)² = (2x)² - 2*(2x)*(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy + 9y² · 此时 a = 2x, b = 3y。 · 平方差公式：(m² + n)(m² - n) = (m²)² - n² = m⁴ - n² · 此时 a = m², b = n。 2. 公式的逆用（极其重要！） 这是为后续因式分解做铺垫的关键思维。 · 完全平方公式逆用：a² + 2ab + b² = (a + b)²； a² - 2ab + b² = (a - b)² · 识别特征：一个三项式，首尾是平方项，中间项是首尾乘积的2倍（符号对应）。 · 平方差公式逆用：a² - b² = (a + b)(a - b) · 识别特征：一个二项式，是两项的平方差。 四、 典型例题与易错警示 例1：基础公式应用（直接套用） 计算：(3x - 2y)² 解： 识别为差的完全平方。a=3x, b=2y。 = (3x)² - 2*(3x)*(2y) + (2y)² = 9x² - 12xy + 4y² 例2：平方差公式（复杂项识别） 计算：(-2a - 5b)(2a - 5b) 解： 1. 找同号项和异号项：观察两个括号。 · 第一个括号：-2a - 5b · 第二个括号：+2a - 5b（通常把2a看作+2a） · 同号项是 -5b（两个括号里都是 -5b）。 · 异号项是 2a（第一个括号是 -2a，第二个是 +2a）。 2. 应用公式：(同号项)² - (异号项)²。 · 即 (-5b)² - (2a)² = 25b² - 4a²。 例3：综合运用与简便计算 用公式计算：103 × 97 解： 103 × 97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100² - 3² = 10000 - 9 = 9991 · 体现了公式在数值计算中的简便性。 易错点警示： 1. 【完全平方公式】 漏掉中间项 2ab。如：(x+3)² ≠ x² + 9。 2. 【完全平方公式】 中间项符号错误。如：(x-3)² = x² - 6x + 9，中间是 -6x，不是 +6x 或 -9。 3. 【平方差公式】 找错 a 和 b。关键在于找符号相同的整体和符号相反的整体。 4. 【平方差公式】 与完全平方公式混淆。(a-b)² ≠ a² - b²。 5. 【推广应用】 系数未平方。如：(2x)² = 4x²，不是 2x²。 一、单选题 1．设，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】将所求表达式展开，利用已知条件代入计算． 【详解】解：， . 又 ，且 ， ， . 故选：C． 【点睛】本题考查分式的值，解决本题的关键是将所求表达式展开，利用已知条件代入计算． 2．若，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握相关运算． 通过同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、平方差公式简化表达式，将原式化为与相关的形式． 【详解】解：， ， ， ， 又， 原式． 故选：． 3．若，，则（    ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：∵，又∵，， ∴； 故选D 4．已知，则的值为（    ） A．13 B．7 C．－5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入求值是关键． 通过简化给定方程得到 ，整体代入求值即可． 【详解】解：∵ 展开得 简化得 ∴ 又∵ ∴当时，原式 故选：A． 5．已知，则代数式的值是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，掌握完全平方公式的运算法则是解题的关键，注意整体思想的运用．先将已知条件变形得到，再将代数式通过完全平方公式变形为，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质和完全平方公式的应用．由绝对值和平方的非负性，可得且，进而求出和的值，再利用完全平方公式求． 【详解】解：， ，． ，． ． 故选：A． 7．从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：∵从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板， ∴图甲中阴影部分的面积为， 图乙中阴影部分的面积为， ∴可以验证成立的式子为． 故选：B． 8．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 故选∶C． 9．已知：，，，则代数式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式：由的表达式可得它们之间的差值，再将所求代数式用完全平方公式变形，整体代入计算． 【详解】解： ， ∴原式． 故选：D． 10．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 二、填空题 11．已知，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过计算与的差得到，进而求出的值，即可作答． 【详解】解：，． 将两式相减，得， 即， ∴． 故答案为：． 12．如果关于的整式，那么常数的值是 ． 【答案】或9 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 将右边展开后比较系数，得到关于m和n的方程，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 由得或， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则． 故答案为：或9． 13． ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式、数字类规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察每个因式，利用平方差公式化为，再通过分子分母约分后，得到结果即可． 【详解】解：观察每个因式发现规律：， 故答案为：． 14．如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是 ． 【答案】12 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，再根据阴影部分面积的计算方法得出即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则． ∵两个正方形的面积之差是24， ， ． 故答案为：． 15．如果，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了平方差公式，注意掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，正确的计算是解题的关键． 利用平方差公式化简方程，然后求解的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 16．如果，，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查了完全平方公式变形，分式的加减等知识，先根据，得到，再把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：7 三、解答题 17．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 18．若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 19．运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 20．运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （2）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （3）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （4）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键． 21．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及完全平方公式、平方差公式的应用，掌握先通过乘法公式展开并合并同类项化简，再代入数值计算是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和单项式与多项式相乘的法则展开，再合并同类项化简，最后代入求值； （2）先用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解：原式 ． 当，时， 原式． 22．已知，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查完全平方公式，整体代入思想，熟练掌握完全平方公式的计算法则是解题的关键． 直接利用完全平方公式计算，合并同类项后，整体代入即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 23．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）； 方法1______；方法2______． (2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请你将该示意图画在答题卡上； (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 (4)①；②16 【分析】本题考查完全平方公式的运用，利用数形结合的思想和熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积计算，两个小正方形和两个小矩形的面积计算即可； （2）由大正方形的面积=两个小正方形+两个小矩形的面积即得出答案； （3）由等式可得出该图形为长为，宽为的大正方形，即由2个边长为b，1个边长为a的正方形，3个长为b，宽为a的长方形组成，据此画出图形即可； （4）①由题意可求出，即，再将代入求解即可； ②将原等式改为，再将看作整体，由完全平方公式去括号计算即可． 【详解】（1）解：方法1：由大正方形的面积计算：， 方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算：； （2）解：由图2可直接得出； （3）解：如图； ； （4）解：①∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴； ②， ， ， ， ∴． 24．观察图形，解决问题： (1)如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______； (2)当时，求的值； (3)如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)2 (3)10 【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直接求和间接求阴影部分的面积进行计算； （2）令，结合完全平方公式进行变形，化简，即可作答； （3）先根据条件得出的值，然后根据进行计算． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：， ∴正方形的面积为：； 方法二：如图： 阴影部分的面积大正方形的面积； 故答案为：，，； （2）解：令， 则，， 则， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ． 25．【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 【答案】（1）；（2）3；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （3） ； （4） ． 26．先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题考查整式化简求值，涉及平方差公式、单项式乘以多项式等知识，熟记整式乘法公式是解决问题的关键． 先由平方差公式、单项式乘以多项式展开，再合并同类项即可得到化简结果，再将代入化简结果计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 27．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，代入a，b的值即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $8.3完全平方公式与平方差公式 知识点详解 一、两大核心公式详解 公式一：完全平方公式 完全平方公式描述了一个二项式的平方的展开式。 ·公式内容： 1.(a+b)2=a2+2ab+b2 2.(a-b)2=a2-2ab+b2 ·公式推导（利用多项式乘法）： (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2 ·公式特征与记忆口诀： ·特征：左边是“和（或差）的平方”，右边是“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”。 ·口诀： 首平方，尾平方，首尾二倍放中央。 >中间符号看前方，同号加来异号减。 ·注意事项： 1.切勿漏掉中间项：最常见的错误是写成(a+b2=a2+b2。 2.准确确定中间项的符号：(a-b)2中间项是-2ab。 3.公式中的a和b可以是任意单项式或多项式。 公式二：平方差公式 平方差公式描述了两个数的和与这两个数的差的积。 ·公式内容： (a+b)(a-b)=a2-b2 ·公式推导： (a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2(-ab和+ba互为相反数，抵消) ·公式特征与记忆口诀： ·特征：左边是“两数和乘以两数差”，右边是“这两个数的平方差”。 ·结构识别：“同号项”的平方减去“异号项”的平方。 ·在(a+b(a-b)中，a是符号相同的项（同号项），b是符号相反的项（异号项）。 ·口诀： 前同后反，平方相减。 >同号方，减异号方。 ·注意事项： 1.准确找出公式中的a和b:a是符号相同的部分，b是符号相反的部分。 2.结果只有两项，且一定是平方差的形式。 二、两大公式对比总结 对比维度完全平方公式平方差公式 基本形式(a士b)2(a+b(a-b) 运算结果三项式：a2士2ab+b2二项式：a2-b2 项数特征展开后是二次三项式结果是两项（平方差） 核心结构首尾平方和，加上（或减去）首尾积的2倍（同号项）2-（异号项）2 常见混淆点容易漏掉中间项±2ab容易与(a-b)子混淆，或找错a和b 记忆口诀首平方，尾平方，首尾二倍中间放前同后反，平方相减 三、公式的推广与逆用 1.公式中“数”的扩展 公式中的a和b可以代表更复杂的代数式。 ·完全平方公式：(2×-3y)2=(2x2-2*(2x)*(3y)+(3y)2=4x2-12xy+9y2 ·此时a=2x,b=3y ·平方差公式：(m2+n(m2-n)=(m2)-n2=m4-n2 ·此时a=m2,b=n。 2.公式的逆用（极其重要！) 这是为后续因式分解做铺垫的关键思维。 ·完全平方公式逆用：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b ·识别特征：一个三项式，首尾是平方项，中间项是首尾乘积的2倍（符号对应）。 ·平方差公式逆用：a2-b2=(a+b)a-b) ·识别特征：一个二项式，是两项的平方差。 四、典型例题与易错警示 例1：基础公式应用（直接套用) 计算：(3x-2y)2 解： 识别为差的完全平方。a=3x,b=2y。 =(3x)2-2*(3x)*(2y)+(2y}=9x2-12xy+4y2 例2：平方差公式（复杂项识别） 计算：（-2a-5b(2a-5b) 解： 1.找同号项和异号项：观察两个括号。 ·第一个括号：-2a-5b ·第二个括号：+2a-5b(通常把2a看作+2a》 ·同号项是-5b(两个括号里都是-5b)。 ·异号项是2a（第一个括号是-2a,第二个是+2a)。 2.应用公式：（同号项-（异号项）。 ·即（-5b2-(2a}2=25b2-4a2。 例3：综合运用与简便计算 用公式计算：103×97 解： 103×97=(100+3100-3)=1002-32=10000-9=9991 ·体现了公式在数值计算中的简便性。 易错点警示： 1.【完全平方公式】漏掉中间项2ab。如：（x+3≠x2+9。 2.【完全平方公式】中间项符号错误。如：(x-3}=x2-6x+9,中间是6x,不是+6x或- 9。 3.【平方差公式】找错a和b。关键在于找符号相同的整体和符号相反的整体。 4.【平方差公式】与完全平方公式混淆。(a-b)2≠a2-b2。 5.【推广应用】系数未平方。如：(2x2=4x2,不是2x2。 一、单选题 1.设a>b>0,a+b2=4ab,则a+的值为() ab A.2 B.4 C.6 D.8 2.若a2-4=1,计算(a+2)2019(a-2)2020的结果是（) A.2+a B.a-2 C.2-a D 3.若(x+y)2=10,xy=1,则(x-y)2=() A.14 B.12 C.8 D.6 4.己知(x+22-2x=8,则3x2+6x+1的值为() A.13 B.7 C.-5 D.9 5.已知a=2b-5,则代数式a2-4ab+4b2-5的值是() A.-30 B.20 C.-10 D.O 6.已知x+y+4+(y-32=0,则x2+y2的值为() A.10 B.-10 C.16 D.-16 7.从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其截成四个相同 的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部 分的面积，可以验证成立的式子为() 图甲 图乙 A.（a-b2=a2-2ab+b2 B.a2-b2=（a+b)a-b C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.a-b.(a+b)=a-b 2 8.如图，边长为α的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成 新的图形，根据图形能验证的等式为() a+b h A.a2-b2=(a-b) B.a2-2ab+b2=(a-b)2 C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.a'+2ab+b=(a+b) 9.已知：a=x+2019,b=x+2020,c=x+2021,则代数式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值 为() A.0 B.1 C.2 D.3 10.如图所示，两个正方形的边长分别为a和b,如果a+b=10,ab=20,那么阴影部分 的面积是() a E 6 G A.10 B.20 C.30 D.40 二、填空题 11.己知(x+y)2=18,(x-y)2=12,那么y的值为 12.如果关于x的整式x2-2(m+1)x+25=(x+n)2,那么常数m-n的值是 .}2 14.如图，点A,D,E在同一直线上，大正方形DEFG与小正方形ABCD的面积之差是24， 则阴影部分的面积的大小是 D G 15.如果(3m+2)(3m-2)=77,那么m2的值为. 16.如果a+6=3,6=1,那么号+ b a 三、解答题 17.先化简，再求值：2x+3-2x+川2x-小，其中x弓y= 18.若x+y=4,且(x+1(y+1=8. (1)求y的值； (2)求x2+y2的值； 19.运用完全平方公式计算： (1)3ab-4)2. 28m+学. 3)(-3x-y)2. a. 20.运用平方差公式计算： (1)197×203. (2)99.8×100.2. 31602×591 3 3 (4) 20252 2026×2024+1' 21.先化简，再求值： (1x-)2+x3-x,其中x=- aa-2a+20-a-2+5,其申a=-2,b 2.已知ab-子，求(4a+b2-(4a-bP的值。 23.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形， B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为Q、宽为b的长方形.用A种纸片一张，B种 纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形. 图1 图2 (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）： 方法1一；方法2一· (2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b)2,a2+b，ab之间的等量关系： (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2,请你 将该示意图画在答题卡上； (4)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b=5,a2+b2=11,求ab的值： ②已知(x-2024)2+(x-2026)2=34,求(x-2025)的值. 24.观察图形，解决问题： Q D m 2 E B 图① 图② (1)如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：，方法二：；结合以上两种方法可以得到数学公式一 (2)当(y-2024)2+(y-2025)2=5时，求(y-2024)(y-2025)的值： (3)如图②所示，两个正方形ABCD,AEFG的边长分别为m,n.若m2+n2=52,BE=2, 求图中阴影部分的面积. 25.【探究】(1)如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中 的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积， 我们可以得到乘法公式： (用含a,b的等式表示). -a- a 洲b长 b← 图① 图② 【应用】请应用这个公式完成下列各题： (2)己知9m2-n2=24,3m+n=8,则3m-n的值为 (3)计算：2027×2025-20262. 【拓展】(4)计算：1002-992+982-972+…+42-32+22-12. 26.先化简，再求值：(x+2)(x-2)+(2x-1(2x+1-4x(x-1,其中x=2. 27.先化简，再求值：（2a-5b)2-(2a+b)(-b+2a,其中a=1,b=2.