专题05 平行线的证明解答题（期中真题汇编，辽宁专用）七年级数学下学期新教材北师大版

专题05 平行线的证明解答题 3大高频考点概览 考点01平行线的证明 考点02利用垂线的性质求解角的度数 考点03平行线的证明的推理依据 一、解答题地 城 考点01 平行线的证明 1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等． （1）利用对顶角相等求得，等量代换求得，即可证明； （2）由平行线的性质求得，利用邻补角的性质求得，由题意求得，再利用邻补角的性质求得，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，已知，，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，则可证明，进而可证明； （2）由平行线的性质可得，则可求出，由平行线的性质可得，则，据此可得． 【详解】（1）证明；∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）已知：如图1，点B在上，． (1)求证：； (2)如图2，平分，过点C作于点F． ①补全图形； ②若，设，，求x，y之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）过点P作，得，再根据，得出，即可解得． （2）①根据题意补全图形即可． ②过点F作，得到，根据已知得，再由垂直定理得，再由，得到，由（1），可得，再根据三角形内角和定理得，即可解答． 本题考查了平行线的判断与性质，角平分线的性质，垂直定理，三角形外角和定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点P作． ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． （2）解：①依题意，补全图形： ； ②过点F作． ∴， ∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，点，分别在，上，且，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、利用平行线的性质求角度，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，结合题意得出，即可推出； （2）由题意结合角平分线的定义得出，再由平行线的性质计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：平分， ， ，， ， ， ， . 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，点都在三角形的边上，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求证即可； （2）结合角平分线的定义，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知：如图，点在上，交于，交于，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键． 根据题意得出，再由各角之间的关系确定，利用平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键： （1）同位角相等，两直线平行得到，进而得到，进而得到，即可得证； （2）两直线平行同位角相等，得到，进而得到，结合，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分，求扶手与靠背的夹角度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据题意得到，由同位角相等，两直线平行即可求解； （2）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，则有，根据，得即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 10．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，射线平分， (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，已知外一条射线，过点D作交于点F，若平分交于点P，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直的定义得出，再求出，利用角的和差求出的度数即可； （2）作，利用平行线性质证明，再利用角平分线性质得出即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）证明：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当作辅助线，建立角之间的关系． 地 城 考点02 利用垂线的性质求解角的度数 一、解答题 1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，直线、相交于点，且． (1)若平分，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，互补的定义，对顶角相等等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由垂线的定义得到，根据角平分线的定义可求得，再利用对顶角相等即可求得答案； （2）由垂线的定义得到，再根据，求出，根据邻补角的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点在的一边上，过点的直线，平分，． (1)若，求的度数； (2)当为多少度时，，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，再根据平角的定义可得，根据角平分线的定义得出，进而即可求解； （2）当时，设，则，则，由角平分线的定义得，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 又因为平分， 所以． 因为， 所以． （2）解：当时，． 理由如下： 因为， 所以． 当时， 设，则，则 又因为平分， 所以． 所以， 解得， 所以当时，． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，直线，交于点，，于点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的定义，熟悉掌握角度的等量代换是解题的关键． 利用角度的比值关系等量代换运算求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，点在直线上，点，与点，分别在直线两侧，且，，平分，平分． (1)利用三角板或量角器画图：过点画射线（不写作法，写结论）； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】本题考查角度的和差计算，角平分线的性质等知识，运用了分类讨论的方法．结合图形找到角度之间的和差关系是解题关键． （1）根据题意直接作图即可； （2）分两种情况：当和在同侧时；当和在同侧时，分别计算即可． 【详解】（1）解：如图 则如图①，②射线即为所求． （2）解：分两种情况讨论： 当和在同侧时（答图①） ∵平分 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 当和在同侧时（答图②） ∵平分 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上所述：的度数为或． 5．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直和角平分线的性质、对顶角、角度之间的关系，根据题意得，，结合角平分线得，有，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线与直线相交于点O，E是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题： (1)过点E画直线交于点F； (2)过点E画的垂线，垂足为点G； (3)测量点E到直线的距离约为__________．（结果精确到） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查画平行线，垂线，点到直线的距离： （1）借助直尺和三角板画出平行线即可； （2）借助三角板画出垂线即可； （3）用直尺测量的长即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）由题意，经测量点E到直线的距离为； 故答案为：； 一、解答题地 城 考点03 平行线的证明的推理依据 1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知：如图，三角形中，点D，E分别是上的两点，平分．交的延长线于点F，且．求证：． 完成下面的证明，并在括号里补充推理的依据． 证明：平分， （________________________） ， （________________________） （________________________） ， ． （________________________） 【答案】角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． 根据角平分线的定义和平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：平分， （角平分线的定义） ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， ， ． （两直线平行，同位角相等）， 故答案为：角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）已知：如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，与互补． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（________）， ∵AE平分， ∴（角平分线定义）， ∴（等量代换）． ∵与互补（已知）， ∴________（互补的定义）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 【答案】两直线平行，内错角相等；，，，同旁内角互补，两直线平行； 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质补充证明过程即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分， ∴（角平分线定义）， ∴（等量代换）． ∵与互补（已知）， ∴（互补的定义）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；，，，同旁内角互补，两直线平行； 3．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，，点E在上，点F在三角形内部，，．请补全下面“判断与的位置关系”的过程． ∵，（已知） ∴______．（两直线平行，______） 又∵，（已知） ∴______－∠______＝______， 又∵， ∴______°． ∴与的位置关系是______．（判定依据：______） 【答案】，内错角相等，，，50，180，，同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由两直线平行，内错角相等可得，求出，再由，即可得解，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：∵，（已知） ∴．（两直线平行，内错角相等） 又∵，（已知） ∴， 又∵， ∴． ∴与的位置关系是．（判定依据：同旁内角互补，两直线平行）． 4．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，点E在上，若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：∵（已知） ∴__________（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴__________（角平分线定义） ∴____________________（等式的基本事实） ∵（已知） ∴（__________） ∴__________（两直线平行，内错角相等） ∴ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据角平分线的定义、平行线的判定与性质等进行作答即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴（角平分线定义） ∴（等式的基本事实） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴． 5．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）完成下面的证明： 如图，已知，，．求证：． 证明：∵，（已知）， 且（ ）， ∴ ． ∴（ ）． ∴ （ ）． 又∵，（已知） ∴． ∴（ ）． 【答案】对顶角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 ． 【分析】通过对顶角相等及已知角相等，利用平行线判定定理证，再依据平行线性质和已知角相等，结合平行线判定证 ．本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行等 ）和性质（两直线平行，同位角相等等 ）是解题的关键． 【详解】证明：∵，（已知）， 且（对顶角相等）， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵，（已知） ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 ． 6．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为H、F，，求证：． 证明：∵，（______________________） ∴，（______________________） 即（______________________） ∴ ∴_________ ∵ ∴____________（______________________） ∴____________________ ∴（______________________） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．本题根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴，（垂直的定义）． 即（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 7．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，，，平分，平分．求证：． 请完善下面证明过程． 证明：∵（已知）， ∴（________________）， ∴________________（________________________________）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴________________（内错角相等，两直线平行）， ∴________________（________________________________）． ∵平分，平分（已知）， ∴________， ________（________________）， ∴（等式的基本事实）． 【答案】内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 根据平行线的判定与性质、角平分线的定义进行分析求解，即可解题． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵平分，平分（已知）， （角平分线的定义）， ∴（等量代换）； 故答案为：内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义． 8．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）阅读题目，将推理过程及依据补充完整． 如图，，，是的角平分线，求证：． 证明：∵是的角平分线 ∴（①_______） 又∵ ∴（②_______） ∴（③_______） ∴④_______（⑤_______） 又∵ ∴（⑥_______） ∴（⑦_______） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，角平分线的定义．根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴（①角平分线的定义）， 又∵， ∴（②等量代换）， ∴（③内错角相等，两直线平行）， ∴④（⑤两直线平行，同旁内角互补）， 又∵， ∴（⑥同角的补角相等）， ∴（⑦同位角相等，两直线平行）. 9．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）补全下面推理过程：生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ∵， ∴（①________）（②________）， ∴（③________）（④________）， ∵， ∴（⑤________）（⑥________）， ∵， ∴（⑦________）， ∴， ∴⑧（________）°． 【答案】；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；； 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴，（垂直的定义） ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；． 10．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： 如图，在四边形中．点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，若，． 求证：． 证明：∵（______________），（已知）， ∴______________=______________（等量代换）， ∴（___________________）， ∴（_________________）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴_____________________________．（_____________）， ∴（_______________）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，以及对顶角相等，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．根据题中信息结合平行线的判定和性质证明即可． 【详解】解：∵（对顶角相等），（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴．（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 11．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）将下面的推理过程及依据补充完整． 如图，点E，F分别在，上，，垂足为点O，，． 求证：． ∵（已知）， ∴（___________）， ∴（__________）， ∵（已知）， ∴（____________）， ∴（等式的基本事实） ， ∵（____________）， ∴（等式性质）， ∵（已知）， ∴___________（__________）， ∴（等量代换）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，根据平行线的性质与判定条件和垂直的定义结合已给推理过程证明即可． 【详解】∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（垂直定义）， ∴（等式的基本事实）， ∵（平角定义）， ∴（等式性质）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）推理填空：如图，，．请将求的过程填写完整． 解：（已知）， 所以（________________________）， ∵（已知）， 所以________（________________________）， 所以________（________________________）， 所以________（________________________）， ∵（已知）， 所以________． 【答案】两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质定理． 首先由平行线的性质得到，然后得到，证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， 所以． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 13．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）将题目的证明过程和推理依据补充完整． 如图，，，求的度数． 解：∵， （___________） 又， （    ） （___________） _________（    ）， ， ___________． 【答案】，两直线平行，同位角相等；等量代换；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，根据平行线性质推出，根据平行线判定推出，根据平行线判定推出，求出即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等） 又， （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） ， ． 14．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）把下面的说理过程补充完整， 已知：如图，，．试判断与的关系，并说明理由． 结论：． 理由：（________________），（已知） ，（______________） ，（______________） ，（______________） ，（已知） ∴______________（______________） ∴，（______________） ， 又，（______________） ． 【答案】邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；对顶角相等 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，邻补角的定义，数形结合分析是关键．根据题意得到，，，，则，再根据对顶角相等，等量代换即可求解． 【详解】解：结论：． 理由：（邻补角定义），（已知）， ，（同角的补角相等） ，（内错角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ∴，（等量代换） ∴，（同位角相等，两直线平行） ， 又，（对顶角相等） ． 故答案为：邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；对顶角相等． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）将下面的说理过程补充完整． 已知：如图，，垂足为． （1）试说明； （2）试求出的度数． 解：（1）（已知）， ______________（______________）． （______________）． （2）（已知）， （垂直的定义）． （已证），（已知）， （______________）． ______________（______________）． ______________． 的度数为______________． 【答案】（1）；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等  （2）等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；； 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）证明可得； （2）由垂直的定义得，由等量代换得，从而，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1）（已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）（已知）， （垂直的定义）， （已证），（已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， ， 的度数为， 故答案为：等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；；． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）请把下面证明过程补充完整： 如图，在中，，点G在延长线上，点E、F分别在边，上，，．求证：平分． 证明：∵ ∴（①_________） ∵ ∴__________②∥（③_________） ∴（④_________） ∴⑤_________（⑥_________） ⑦_________（⑧_________） ∵（已知） ∴（等量代换）． ∴平分． 【答案】①同旁内角互补，两直线平行，②，③内错角相等，两直线平行，④平行的传递性，⑤，⑥两直线平行，同位角相等，⑦，⑧两直线平行，内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据题干已有的思路作答即可． 【详解】∵ ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∵ ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（平行的传递性） ∴（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（等量代换）． ∴平分． 17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中），，，与平行吗？为什么？ 解：． ， ___________．（___________）． ___________． 在中，（___________）． ， ______________________．（___________）． ．（___________）． 【答案】；垂直定义；；直角三角形的两个锐角互余；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，根据以上知识完成填空，即可求解． 【详解】解：． ， ．（垂直定义）． ． 在中，（直角三角形的两个锐角互余）． ， ．（等角的余角相等）． ．（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直定义；；直角三角形的两个锐角互余；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，点D，E，F分别为边，，上的点，点G在的延长线上．已知，，，求证：． 证明：∵， ∴______（______） ∴（______） ∵ ∴（______） ∴______（______） ∴（______） ∵， ∴ ∴（______）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等） ∴， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴． ∴（垂直的定义）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行线的证明解答题 3大高频考点概览 考点01平行线的证明 考点02利用垂线的性质求解角的度数 考点03平行线的证明的推理依据 一、解答题地 城 考点01 平行线的证明 1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，已知，，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）已知：如图1，点B在上，． (1)求证：； (2)如图2，平分，过点C作于点F． ①补全图形； ②若，设，，求x，y之间的数量关系． 4．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，点，分别在，上，且，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，点都在三角形的边上，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知：如图，点在上，交于，交于，，，，求证：． 7．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 8．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 9．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分，求扶手与靠背的夹角度数． 10．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，射线平分， (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，已知外一条射线，过点D作交于点F，若平分交于点P，求证：． 地 城 考点02 利用垂线的性质求解角的度数 一、解答题 1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，直线、相交于点，且． (1)若平分，求的度数． (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点在的一边上，过点的直线，平分，． (1)若，求的度数； (2)当为多少度时，，并说明理由． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，直线，交于点，，于点，，求的度数． 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，点在直线上，点，与点，分别在直线两侧，且，，平分，平分． (1)利用三角板或量角器画图：过点画射线（不写作法，写结论）； (2)求的度数． 5．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，平分，若，求的度数． 6．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线与直线相交于点O，E是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题： (1)过点E画直线交于点F； (2)过点E画的垂线，垂足为点G； (3)测量点E到直线的距离约为__________．（结果精确到） 地 城 考点03 平行线的证明的推理依据 一、解答题 1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知：如图，三角形中，点D，E分别是上的两点，平分．交的延长线于点F，且．求证：． 完成下面的证明，并在括号里补充推理的依据． 证明：平分， （________________________） ， （________________________） （________________________） ， ． （________________________） 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）已知：如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，与互补． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（________）， ∵AE平分， ∴（角平分线定义）， ∴（等量代换）． ∵与互补（已知）， ∴________（互补的定义）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 3．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，，点E在上，点F在三角形内部，，．请补全下面“判断与的位置关系”的过程． ∵，（已知） ∴______．（两直线平行，______） 又∵，（已知） ∴______－∠______＝______， 又∵， ∴______°． ∴与的位置关系是______．（判定依据：______） 4．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，点E在上，若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：∵（已知） ∴__________（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴__________（角平分线定义） ∴____________________（等式的基本事实） ∵（已知） ∴（__________） ∴__________（两直线平行，内错角相等） ∴ 5．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）完成下面的证明： 如图，已知，，．求证：． 证明：∵，（已知）， 且（ ）， ∴ ． ∴（ ）． ∴ （ ）． 又∵，（已知） ∴． ∴（ ）． 6．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为H、F，，求证：． 证明：∵，（______________________） ∴，（______________________） 即（______________________） ∴ ∴_________ ∵ ∴____________（______________________） ∴____________________ ∴（______________________） 7．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，，，平分，平分．求证：． 请完善下面证明过程． 证明：∵（已知）， ∴（________________）， ∴________________（________________________________）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴________________（内错角相等，两直线平行）， ∴________________（________________________________）． ∵平分，平分（已知）， ∴________， ________（________________）， ∴（等式的基本事实）． 8．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）阅读题目，将推理过程及依据补充完整． 如图，，，是的角平分线，求证：． 证明：∵是的角平分线 ∴（①_______） 又∵ ∴（②_______） ∴（③_______） ∴④_______（⑤_______） 又∵ ∴（⑥_______） ∴（⑦_______） 9．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）补全下面推理过程：生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ∵， ∴（①________）（②________）， ∴（③________）（④________）， ∵， ∴（⑤________）（⑥________）， ∵， ∴（⑦________）， ∴， ∴⑧（________）°． 10．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： 如图，在四边形中．点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，若，． 求证：． 证明：∵（______________），（已知）， ∴______________=______________（等量代换）， ∴（___________________）， ∴（_________________）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴_____________________________．（_____________）， ∴（_______________）． 11．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）将下面的推理过程及依据补充完整． 如图，点E，F分别在，上，，垂足为点O，，． 求证：． ∵（已知）， ∴（___________）， ∴（__________）， ∵（已知）， ∴（____________）， ∴（等式的基本事实） ， ∵（____________）， ∴（等式性质）， ∵（已知）， ∴___________（__________）， ∴（等量代换）． 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）推理填空：如图，，．请将求的过程填写完整． 解：（已知）， 所以（________________________）， ∵（已知）， 所以________（________________________）， 所以________（________________________）， 所以________（________________________）， ∵（已知）， 所以________． 13．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）将题目的证明过程和推理依据补充完整． 如图，，，求的度数． 解：∵， （___________） 又， （    ） （___________） _________（    ）， ， ___________． 14．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）把下面的说理过程补充完整， 已知：如图，，．试判断与的关系，并说明理由． 结论：． 理由：（________________），（已知） ，（______________） ，（______________） ，（______________） ，（已知） ∴______________（______________） ∴，（______________） ， 又，（______________） ． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）将下面的说理过程补充完整． 已知：如图，，垂足为． （1）试说明； （2）试求出的度数． 解：（1）（已知）， ______________（______________）． （______________）． （2）（已知）， （垂直的定义）． （已证），（已知）， （______________）． ______________（______________）． ______________． 的度数为______________． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）请把下面证明过程补充完整： 如图，在中，，点G在延长线上，点E、F分别在边，上，，．求证：平分． 证明：∵ ∴（①_________） ∵ ∴__________②∥（③_________） ∴（④_________） ∴⑤_________（⑥_________） ⑦_________（⑧_________） ∵（已知） ∴（等量代换）． ∴平分． 17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中），，，与平行吗？为什么？ 解：． ， ___________．（___________）． ___________． 在中，（___________）． ， ______________________．（___________）． ．（___________）． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，点D，E，F分别为边，，上的点，点G在的延长线上．已知，，，求证：． 证明：∵， ∴______（______） ∴（______） ∵ ∴（______） ∴______（______） ∴（______） ∵， ∴ ∴（______）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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