专题04 平行线的证明压轴题（期中真题汇编，辽宁专用）七年级数学下学期新教材北师大版

专题04 平行线的证明压轴题 4大高频考点概览 考点01过拐点作平行之--猪蹄，铅笔头，骨折模型。 考点02平行线与三角板求角度问题 考点03平行线与角平分线求角的问题 考点04平行线与动态问题 考点05平行线与分类讨论问题 考点06平行线与新定义模型 一、解答题地 城 考点01 过拐点作平行之--猪蹄，铅笔头，骨折模型。 1．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系． (1)如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______； (2)如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据图形的性质找角之间的关系． （1）利用两直线平行，内错角相等即可解答； （2）同理（1）利用两直线平行，内错角相等可得，再利用周角的定义即可解答； （3）利用两直线平行，内错角相等可得，，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 同理（1）可得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图3，已知点A是外一点，连接，．求的度数．      解：过点A作， ∴，________， 又∵． ∴_________． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图4，已知，交于点E，，求的度数． （3）如图5，若，点P在外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质； （1）根据平行线的性质得，再利用等量代换即可； （2）过点E作，根据平行线的性质得，，再利用，进行等量代换求解即可； （3）根据三角形外角的性质得，再根据平行线的性质得出，即可求解． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵． ∴， 故答案为：，； （2）如图，过点E作， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， 又∵， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题： 已知：如图，． 【初步感知】 (1)如图1，若，求的度数； 【拓展延伸】 (2)如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：； 【类比探究】 (3)如图3，若，，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，平角，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可知，结合，即可得到答案； （2）过点作交于点，那么，所以，，由，得到，结合，得证； （3）设和的交点为，由（2）可知，，那么，那么，由，那么有得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）证明：过点作交于点，如图所示： ，， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：设和的交点为，如图所示： 由（2）可知， ， ，， ， ，， ， ，，， ， ， ． 4．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，，点E在之间且点E在点A右侧，求证：； 【类比分析】 （2）李老师将图①进行了变换并提出了下面问题请你解答：如图②，，点E在之间且点E在点A左侧，猜想之间的数量关系，并证明； 【学以致用】 （3）如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，通过测量得知，求的度数．    【答案】（）证明见解析；（）；（） 【分析】本题考查了平行线的性质探究角度之间的关系，正确作出辅助线是解题的关键． （）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解； 【详解】（）证明：如图，过点作，则，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，过点作，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，过点作，过点作，    ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图1，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3， ∵分别是的角平分线， ∴， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4），理由： 如图4，过C作，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）综合与实践地 城 考点02 平行线与三角板求角度问题 学习了平行线的知识后，老师了解到小学已经学习了三角形内角和为，于是提议利用三角板与平行线为主题开展数学活动． (1)第一小组是这样操作的：如图，已知直线，将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上，形成，，转动三角板，他们发现，与存在一个数量关系，请你直接写出这个关系． (2)第二小组把一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置在两条平行线a和b之间，顶点A，C分别落在直线a，b上，他们发现，与存在一个数量关系，请你写出这个关系．小明通过认真思考发现，如果为任意三角形，上面的关系仍然存在，请你帮助他证明这个结论． (3)第三小组利用第二小组的结论提出了下面的问题：如图，已知，和分别平分和，与交于点G，若，求的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质求角的度数，三角板中的相关角度计算，角平分线的有关计算等知识． （1）根据直角三角板可知：，则，再根据平行线的性质可得出． （2）过点B作，根据平行线的性质得出，，则可得出，即． （3）由角平分线的定义可设故设，，由(2)得，，再结合已知条件可得出，再根据(2)可得出． 【详解】（1）解：如下图： 根据题意可知：， ∴， ∵， ∴， 即． （2）如果为任意三角形，则． 证明：过点B作， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， 即， 故如果为任意三角形，则． （3）解：∵和分别平分和， 故设，， 由(2)得，， ∵， ∴ ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，，点M，N分别在直线，上，点P在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点P作，∴． ∵，，∴， ∴，∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，°，则 （2）如图4，，点M，点N分别在直线，上，点P在直线的上方，连接，．则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点M，N分别是，上两点，点E在，之间，连接，．点P在直线的上方，连接，，若的延长线平分，求的度数． 【答案】（1）70；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）延长至G，根据对顶角的性质求出，由[阅读理解]知：，结合即可求解； （2）过P作，根据平行线的性质得出，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （3）设，，则，，，， 由（2）知：，由[阅读理解]知：，结合，可得出，求出，即可求解． 【详解】解：（1）延长至G， 则， 由[阅读理解]知：， 又， ∴，即， 故答案为：70； （2）， 理由：如图，过P作， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （3）设，，则， ∵，的延长线平分， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴， 由[阅读理解]知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，直线，直线与直线，相交于点，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)若，交的平分线于点，，求的大小． (2)如图2，连接．将沿折叠，顶点落在点处． ①若，点刚好落在其中的一条平行线上，则的大小为___________； ②若，，则的度数___________． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了三角形的内角和问题，掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和三角形的内角和即可得到结论； （2）①分两种情况讨论：当点Q落在上时，利用折叠的性质和三角形内角和定理计算即可．当点Q落在上时，利用折叠的性质和平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．②分两种情形：当点Q在平行线，之间时．当点Q在下方时，结合平行线的性质，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴，     ∴； （2）解：①当点Q落在上时， 由折叠的性质得：， ∴． 当点Q落在上时， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的的值为或， 故答案为：或． ②当点Q在平行线之间时． 由折叠的性质得：， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在下方时， 由折叠的性质得：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或 9．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿卷花棉袄的人形机器人科技感爆棚，这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技求领域的重大突破，地 城 考点03 平行线与角平分线求角的问题 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，借要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 所以（ ）． 因为． 所以 ， 所以 ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则 ． （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 ． 【答案】问题解决：两直线平行，内错角相等；；105；迁移应用：（1）130；（2），理由见解析；拓展提高： 【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题解决：先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； 迁移应用：（1）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； 拓展提高：过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【详解】解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以， 所以．（根据两直线平行，内错角相等） 因为， 所以， 所以． 迁移应用：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 拓展提高：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 10．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F在两条平行线之间，连接、． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点P、Q是直线上的两点，点G在点P、Q之间，且，点M在线段上，过点M作射线交于点N（点N不与点E重合），试探究，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）过点F作，根据平行线的性质证明，，根据，即可得出结论； （2）分三种情况进行讨论：当点P在点Q左侧，点N在点E右侧时，当点P在点Q左侧，点N在点E左侧时，当点P在点Q左侧时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点P在点Q左侧，点N在点E右侧时，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在点Q左侧，点N在点E左侧时，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在点Q左侧时，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； 综上分析可知：，与之间的数量关系为或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）直线，点分别在直线上，点在直线之间，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，点在线段上，若，，求的度数； (3)如图3，平分，平分，过点作，猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题关键． （1）过作．根据平行线的性质求解即可； （2）设，由（1）得，由已知条件可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，求出，即可求解； （3）方法一：延长交于点，设．根据平行线的性质，得到，再结合角平分线的定义，得到，，再根据（1）结论求解即可；方法二：连接， 根据平行线的性质，得到，，从而得到，设，根据角平分线的定义得到，，再根据（1）结论求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，过作． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）解：设， 由（1）得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 证明：方法一：如图2，延长交于点，    设． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 方法二：如图3，连接，    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 设，则． ∵平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）应用题地 城 考点04 平行线与动态问题 如图，锦州东湖公园某处湖道两岸所在直线平行（），在湖道两岸安装探照灯和，若灯发出的光线自射线逆时针旋转至射线便立即回转，灯发出的光线自射线逆时针旋转至射线便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯转动的速度是10度／秒，灯转动的速度是4度／秒，为湖面上一点． (1)若把灯发出的光线自射线转至射线，或者灯发出的光线自射线转至射线称为照射一次，请求出，两灯照射一次各需要的时间． (2)12秒时，两光束恰好在点汇聚，求的度数． (3)在两灯同时开启后的35秒（包括35秒）内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？请直接写出结果． 【答案】(1)灯照射一次需要的时间是秒，灯照射一次需要的时间是秒 (2) (3)15秒或秒或秒 【分析】（1）利用时间等于除以转动速度计算即可． （2）先求12秒时，两光束各自转动的角度，再过点作，利用平行线的性质，求的度数即可． （3）设两灯开启的时间为秒，两灯的光束交点为．得到， 或或，解答即可． 本题考查了平行线的性质，垂直的定义，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，两灯照射一次，转动的角度均为，灯转动的速度是10度／秒，灯转动的速度是4度／秒， 所以灯照射一次需要的时间是（秒）， 灯照射一次需要的时间是（秒）． （2）解：因为转动12秒时，两光束恰好在点汇聚， 所以，． 如图①，过点作， 则有． 所以，． 所以， 所以． （3）解：设两灯开启的时间为秒，两灯的光束交点为． ①当时，如图1，过点作， 则有， 所以，． 因为两灯的光束互相垂直，所以， 解得； ②当，返回，第一次与垂直时，如图2所示， 过点作，则有． 所以，， 因为两灯的光束互相垂直，所以， 解得； ③当，返回，第二次与垂直时， 过点作，则有． 所以，． 因为两灯的光束互相垂直，所以，解得． 综上所述，开启15秒或秒或秒后，两灯的光束互相垂直． 13．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，求的度数； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，的度数是否发生变化，若不变化，求出其值；若变化，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)不变，是 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线，角的和差计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行得到，再由即可求解； （2）过点作，则，则，再由即可求解； （3）过点作，则，那么，，则，由角平分线可得，再相加即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：不变，是，理由： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵与的角平分线相交于点H， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论，请按她的思路完成探究：地 城 考点05 平行线与分类讨论问题 问题 已知与，，，探究与的数量关系． 情况 ①两边方向均相同，射线与交于点． ②两边方向均相反，点在的外部，反向延长射线交射线于点． ③一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点． 图示 发现 ______________ 说理 ， （依据）， ， ， ． ______________ ______________ 结论 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系为：______________． (1)情况①说理过程中的“依据”是：______________； (2)请补全情况②的说理过程； (3)请补全情况③的发现和说理过程； (4)请补全小颖的结论． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等 (2)见解析 (3)见解析 (4)相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是关键． （1）根据两直线平行，同位角相等即可求解； （2）根据两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等即可求解； （3）根据两直线平行，同位角相等和两直线平行，同旁内角互补即可求解； （4）根据①②③的论证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴“依据”是两直线平行，同位角相等； （2）解：说理过程：， ， ， ， ； （3）解：发现：， 说理过程：， ， ， ， ，； （4）解：根据①②得到如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系为相等； 根据③得到如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系为互补； ∴如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系为相等；相等或互补， 故答案为：相等或互补． 15．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）【问题情境】 在数学课上，老师组织七年级（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． 【探索发现】 第一小组经过探索后发现： （1）当时，可求的度数为________，请说明理由； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示为__________； 【操作探究】 （3）第二小组利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在射线上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点继续在射线上运动，当运动到使时，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3），见解析；（4） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可； （4）结合（2）（3）的结论可得出，根据平行线的性质以及角的和差关系可求，则，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴． ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （4）∵，， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， 解得， ∴． 16．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动．将三角尺角的顶点B放在直线上，直线与直线相交于点E． 【操作探究】 （1）聪聪同学将三角尺按图1所示放置，若，求的度数； （2）明明同学将三角尺绕点B旋转至图2位置时，与有什么数量关系，猜想并证明； 【深入探究】 （3）如图3，如果直线不动，慧慧同学加大了平行线与之间的距离，使平行线之间的距离大于．绕点B旋转三角尺，点A始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系． 【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3）或或 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）延长交于，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）延长交于，由平行线的性质结合对顶角相等可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （3）分三种情况：根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴； （2），证明如下： 如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，当的延长线与交于点时，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当的延长线交于，点在上方时，延长交于， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图：当的延长线交于，点在下方时，令交于， ∵， ∴， ∵ ∴， 综上所述，与所有可能的数量关系为或或． 17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”．地 城 考点06 平行线与新定义问题 例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”． (1)已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______； (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点． ①若，且和互为“幸福角”，则________； ②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数． 【答案】(1) (2)① ；②或 【分析】（1）根据题意得①，②，加减消元法求解即可； （2）①设，求得，根据三角形内角和定理求得，根据和互为“幸福角”，再列式计算即可求解； ②设，利用平行线的性质和三角形的外角性质分别求得，，，再根据与互为“幸福角”，分两种情况列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵和互为“幸福角”，且， ∴①， ∵和互补， ∴②， 得，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵和互为“幸福角”，且， ∴，即， ∴， 解得； ②设，同理，， 则， ∵，， ∴， ， ∵与互为“幸福角”， 分两种情况， 当， ∴， 解得， ∴； 当， ∴， 解得， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，一元一次方程的应用．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：在平面内，对于和，若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如：，，有，则是的“2系数补角”． (1)若，求的“5系数补角”的度数； (2)在平面内，直线，直线在上方，直线分别交直线，于点E，F，且，点H为直线右侧一个动点，的平分线与的平分线交于点M． ①如图，若点H在直线上方，且，，求的度数； ②已知，，是的“3系数补角”，且，请直接用含m和n的式子表示x． 【答案】(1) (2)①；②的度数为或或 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据“系数补角”的定义计算即可； （2）根据平行线的性质得出，根据题意求出，根据角平分线定义得出，，求出最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （3）分三种情况：当点在直线内部时，当点在直线下方时，当点在直线上方时；分别求解即可． 【详解】（1）解：， 的“5系数补角”； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ②如图，当点在直线内部时， 平分，平分， ，， ∵， ， ， ，， ， ， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线下方时， ∵， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线上方时， 同理可得， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 综上所述，的度数为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行线的证明压轴题 4大高频考点概览 考点01过拐点作平行之--猪蹄，铅笔头，骨折模型。 考点02平行线与三角板求角度问题 考点03平行线与角平分线求角的问题 考点04平行线与动态问题 考点05平行线与分类讨论问题 考点06平行线与新定义模型 地 城 考点01 过拐点作平行之--猪蹄，铅笔头，骨折模型。 一、解答题 1．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系． (1)如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______； (2)如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图3，已知点A是外一点，连接，．求的度数．      解：过点A作， ∴，________， 又∵． ∴_________． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图4，已知，交于点E，，求的度数． （3）如图5，若，点P在外部，请直接写出，，之间的关系． 3．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题： 已知：如图，． 【初步感知】 (1)如图1，若，求的度数； 【拓展延伸】 (2)如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：； 【类比探究】 (3)如图3，若，，若，，直接写出的度数． 4．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，，点E在之间且点E在点A右侧，求证：； 【类比分析】 （2）李老师将图①进行了变换并提出了下面问题请你解答：如图②，，点E在之间且点E在点A左侧，猜想之间的数量关系，并证明； 【学以致用】 （3）如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，通过测量得知，求的度数．    5．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 6．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）综合与实践地 城 考点02 平行线与三角板求角度问题 学习了平行线的知识后，老师了解到小学已经学习了三角形内角和为，于是提议利用三角板与平行线为主题开展数学活动． (1)第一小组是这样操作的：如图，已知直线，将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上，形成，，转动三角板，他们发现，与存在一个数量关系，请你直接写出这个关系． (2)第二小组把一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置在两条平行线a和b之间，顶点A，C分别落在直线a，b上，他们发现，与存在一个数量关系，请你写出这个关系．小明通过认真思考发现，如果为任意三角形，上面的关系仍然存在，请你帮助他证明这个结论． (3)第三小组利用第二小组的结论提出了下面的问题：如图，已知，和分别平分和，与交于点G，若，求的度数． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，，点M，N分别在直线，上，点P在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点P作，∴． ∵，，∴， ∴，∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，°，则 （2）如图4，，点M，点N分别在直线，上，点P在直线的上方，连接，．则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点M，N分别是，上两点，点E在，之间，连接，．点P在直线的上方，连接，，若的延长线平分，求的度数． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，直线，直线与直线，相交于点，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)若，交的平分线于点，，求的大小． (2)如图2，连接．将沿折叠，顶点落在点处． ①若，点刚好落在其中的一条平行线上，则的大小为___________； ②若，，则的度数___________． 9．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿卷花棉袄的人形机器人科技感爆棚，这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技求领域的重大突破，地 城 考点03 平行线与角平分线求角的问题 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，借要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 所以（ ）． 因为． 所以 ， 所以 ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则 ． （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 ． 10．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F在两条平行线之间，连接、． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点P、Q是直线上的两点，点G在点P、Q之间，且，点M在线段上，过点M作射线交于点N（点N不与点E重合），试探究，与之间的数量关系，并说明理由． 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）直线，点分别在直线上，点在直线之间，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，点在线段上，若，，求的度数； (3)如图3，平分，平分，过点作，猜想与的数量关系，并加以证明． 12．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）应用题地 城 考点04 平行线与动态问题 如图，锦州东湖公园某处湖道两岸所在直线平行（），在湖道两岸安装探照灯和，若灯发出的光线自射线逆时针旋转至射线便立即回转，灯发出的光线自射线逆时针旋转至射线便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯转动的速度是10度／秒，灯转动的速度是4度／秒，为湖面上一点． (1)若把灯发出的光线自射线转至射线，或者灯发出的光线自射线转至射线称为照射一次，请求出，两灯照射一次各需要的时间． (2)12秒时，两光束恰好在点汇聚，求的度数． (3)在两灯同时开启后的35秒（包括35秒）内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？请直接写出结果． 13．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，求的度数； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，的度数是否发生变化，若不变化，求出其值；若变化，用含的式子表示． 14．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论，请按她的思路完成探究：地 城 考点05 平行线与分类讨论问题 问题 已知与，，，探究与的数量关系． 情况 ①两边方向均相同，射线与交于点． ②两边方向均相反，点在的外部，反向延长射线交射线于点． ③一边方向相同，一边方向相反，射线与交于点． 图示 发现 ______________ 说理 ， （依据）， ， ， ． ______________ ______________ 结论 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系为：______________． (1)情况①说理过程中的“依据”是：______________； (2)请补全情况②的说理过程； (3)请补全情况③的发现和说理过程； (4)请补全小颖的结论． 15．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）【问题情境】 在数学课上，老师组织七年级（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． 【探索发现】 第一小组经过探索后发现： （1）当时，可求的度数为________，请说明理由； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示为__________； 【操作探究】 （3）第二小组利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在射线上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点继续在射线上运动，当运动到使时，若，请直接写出的度数． 16．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动．将三角尺角的顶点B放在直线上，直线与直线相交于点E． 【操作探究】 （1）聪聪同学将三角尺按图1所示放置，若，求的度数； （2）明明同学将三角尺绕点B旋转至图2位置时，与有什么数量关系，猜想并证明； 【深入探究】 （3）如图3，如果直线不动，慧慧同学加大了平行线与之间的距离，使平行线之间的距离大于．绕点B旋转三角尺，点A始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系． 17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”．地 城 考点06 平行线与新定义问题 例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”． (1)已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______； (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点． ①若，且和互为“幸福角”，则________； ②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：在平面内，对于和，若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如：，，有，则是的“2系数补角”． (1)若，求的“5系数补角”的度数； (2)在平面内，直线，直线在上方，直线分别交直线，于点E，F，且，点H为直线右侧一个动点，的平分线与的平分线交于点M． ①如图，若点H在直线上方，且，，求的度数； ②已知，，是的“3系数补角”，且，请直接用含m和n的式子表示x． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $