第3章概率单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第二册

湘教版高中数学选择性必修第二册 第3章：概率单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.已知随机变量X~N(1,o),且P(X>2)=0.2,则P(0<X≤1)=() A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 【答案】B 【详解】因为X~N(1,o2),由正态分布的对称性可知，关于x=1对称， 又因为P(X>2)=0.2,所以P(X≤0)=0.2，则P(0<X≤2)=1-P(X>2)-P(X≤0)=0.6 所以P(0<X≤1)=P(0<X≤2)=03 2.已知一个袋中有大小相同的5个红球，3个白球，从中不放回地依次摸取2个球，则第 二次取出红球的前提下，第一次取出白球的概率是() A 5 B. D. 6 7 c. 7 【答案】A 【详解】设事件A为第一次取出白球，事件B为第二次取出红球， 15 则P(B)= 号8以a含号若所以P叫4列 P(AB-5615-3 P(B) 3535-7 56 3.2025年8月4日，在2025全国锦标赛的男子三级跳远决赛上，广东选手吴瑞庭以 17.68米的成绩夺得冠军，打破尘封近16年之久的亚洲纪录（原纪录为17.5米）.假如决 赛时，另一名运动员甲每次试跳成绩在17米以上的概率均为子，有三次试跳机会，以最 好的一次成绩作为最终成绩，每次试跳的成绩相互独立，则甲的最终成绩超过17米的概率 为() A.月 5 B. 3 C. 7 4 6 D. 【答案】D 【分析】先求解三次成绩都不超过17的概率，进而根据对立事件的概率公式求解 【详解】该名运动员三次成绩均未超过17米的概率为12)-8 1)31 则关最终成统超过口米的满车为1一令了·故选：D 4.甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束）， 已知每局比赛甲获胜的概率为？，则甲第一局获胜并最终4：1获胜的概率为(） 2 4 2 8 A· 8 B.81 C. 27 D. 81 【答案】A 【分析】利用独立重复事件分析求解即可 【详解】甲第一局获胜并最终4：1获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了 1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局，故概率为： c品 5.某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如 下表，若该品牌智能手表的整体好评率为90%，则表中m=( 甲 乙 丙 销量占比 50% 25% 25% 好评率 95% 90% 1% A.75 B.80 C.85 D.90 【答案】B 【详解】依题意，0.5×0.95+0.25×0.9+0.25×=0.9，解得m=80 100 6.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A,B存 在如下关系：P(AB)=P(A)P(B到A .2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学 P(B) 想去影院看的.小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概 率分别为0.3和0.7.如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6：如果第一 天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学() A.第二天去甲影院的概率为0.54 B.第二天去乙影院的概率为0.46 C.已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 6 53 D.已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为4号 12 【答案】D 【分析】设相应事件，对于AB:利用全概率公式和对立事件分析求解：对于CD:根据题 意结合贝叶斯公式运算求解 【详解】设A:第一天去甲影院，B:第二天去甲影院，则A:第一天去乙影院，B:第二 天去乙影院， 可得P(A)=0.3,P(A=0.7,P(BA)=0.6,P(BA=0.5, A:P(B)=P(A)P(B)+A=0.3×0.6+0.7×0.5=0.53,故A错误： B:P(B)=1-P(B)=0.47,故B错误： C:P(AB)= (A)P(B国_07x05-35,故c错误： P(B) 0.5353 D:P(B)(4)P()(P(B)03xa-06) ,故D正确： P(B) P(B) 0.47 47 故选：D 7.已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出 3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是 () APX=2合 B.P(X=1)=P(Y=1) C.P(X≤Y)>P(XY=0) D.E(X)=2E(Y) 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB, P(X≤Y)=P(X=0,Y=1+P(X=1,Y=1), P(XY=0)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0),再代入概率公式，判断C, 代入超几何分布期望公式，判断D. 【们由怒盒可利PX=)答名，放A正德。 以X-)-答-专pT-答-故8正痛 P(Xsr)=P(X-0r-1)+P(=1r=1 Ci+cc1 P(XY-0)-P(X-0.Y-1)+RX-1.Y-0+IxX-2r-0 C+cci+Cic 1 C 故P(X≤Y)=P(Y=O),故C错误； 因为x7均符合超几何分布，所以2()=号系8（们=3号放D正确 5 8随机事件A,B满足PB®)<PA)<1,P氏B)+PA+)=1,B+-VP+r间-， 其中P(A)和P(B)分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是() A.pu0-号 B.P(B)=2 7 C.事件A与B不独立 D.P(BA)=P(A+B) 【答案】BC 【分析】根据已知联立方程求出P(A),P(B),然后根据概率的相关公式逐一判断即可. 【详解】对于A选项，因为P(AB)+P(A+B)=1,所以P(AB)+P(A)+P(B)-P(AB)=1, 所气0+八团1，因为、P四+Pr西所以P(闭-P国=高 P(A+P(B)=1 P(A)= 4 1 联立 P()+p2(B)= 25,因为P(B)<P(A)<1,所以解得 3 ,故A选项错误： 49 P(B)= 7 对于B选项，因为P(AB+A0=P(A+P(B)-2PAB)=1-2P(AB)=号，所以P(AB)= 故B选项正确： p0=7 4 3412 对于C选项，因为 P(B)=7 所以P0@号号因为Pu国号，所秋 P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A与B不独立，故C选项正确： 2 对于选项D因为P0--子}面4+)团+A=1-子 7 故D选项错误.故选：BC 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分。共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列关于随机事件的概率说法正确的是() A.若A三B,则事件B发生，事件A一定发生 B.若事件A与B互斥，则P(AUB)=P(A+P(B) C.若P(AB)=P(A),则事件A与B独立 D.若P(AnB=0.4,P(A)=0.5,P(B)=0.2,则事件A与B独立 【答案】BCD 【分析】利用事件的包含关系可判断A选项：利用互斥事件的概率加法公式可判断B选项： 利用条件概率公式和事件独立性的定义可判断C选项；利用事件独立性的定义可判断D选 项 【详解】对于A选项，若A三B,则事件B发生，事件A不一定发生，A错： 对于B选项，若事件A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B),B对： 对于C选项，若P(AB)=P(A)且由条件概率公式可得P(AB)= P(AB) P(B) 所以P(A)= P(AB) P(B) 所以P(AB)=P(A)P(B),则事件A与B独立，C对： 对于D选项，若P(A)=0.5,P(B)=0.2,则P(A=1-0.5=0.5,P(B)=1-0.2=0.8, 所以P(A⌒B)=0.4=PA)P(B),故A与B独立，即事件A与B独立，D对故选：BCD, 10.甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2 个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球.现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再 从甲袋子里随机取出1个球.记从甲袋子里取出红球的个数为X,则() AP(X=0)- 13 B.x=小号 C.E(X)=5 D.D(X)=125 【答案】BC 【分析】分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析 X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望和方差公式，可判断C、D 的正误 【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A,则P(A)= C-3 c2-10' 从乙袋子中取出2个白球为事件B,则P(B)=二= Cg-10 从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C,则P(C=CC=6_3 C10-5 由题意，X的可能取值为0和1，则P(X=0=Px0+P②)×P(C .11 4-5 P0X==01-PPO子故A错误，B正确： 所以E()=0x1 1则n--+-到-名故eD院 11.下列结论正确的是（) A.若随机变量X~B64,3 则D(4X+1)=48 B。某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为子，则他做对的题数的期望 为2 C.若0<P(C)<1,0<P(D)<1,且P(D)=1-P(DC),则C,D相互独立 D.P4=06,P48)-09,P(4可-04，则P(e)的值为号 【答案】BCD 【分析】通过二项分布方差计算公式与方差的性质，条件概率，全概率公式求解 【详解】D(X)=64×三×12，D(4X+1)=4Dx=16x12≠48，选项A错误： 44 2 (3 设小黄同学做对的题日数量为Y,则Y~B3, 期望为B(Y)=3×名=2，选项B正确： 3 根据条件概率公式P(D1C)=PCD,由P(D)=1-P(D1C),得1-P(D)=1- P(CD) P(C) P(C) 所以P(CD)=P(D)P(C),则C,D相互独立，选项C正确： 由全概率公式P(A)=P(AB)P(B)+P(AB)P(B),即0.6=0.9P(B)+0.4[1-P(B)], 解得P(8)=2 ,选项D正确 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知随机变量X服从正态分布N(20,o2),实数a满足P(X≥a)=P(X≤10)， 则a= 【答案】30 【详解】该正态曲线关于x=20对称，所以P(x≤10)=P(x≥30)，即a=30」 13.采购员要购买某种电器元件一包(12个).他的采购方法是：从一包中随机抽查4个， 如这4个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中 各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是 【答案】9 【详解】设事件A为包含6个次品”，A为“包含2个次品”，B为“采购员拒绝购买， 周P4)=02Pa)=08,则P8A-1:3,P84E1C19 故P(B)=P(B4+B4)=P(B4)P(4)+P(B4)P(4)=x0,2+ 33 3×0.83 19 55 故采购员随机挑选一包拒绝购买的骚率是9 14.某学校有A,B两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A餐厅和选择B餐 3 的概率均为如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐 厅，那么第2天去A餐厅的概率为假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X为该 班3名同学中第2天选择B餐厅的人数，则随机变量X的均值E(X)= 【路案1品 3.1 详解】由题意可知，每个人第2天选择餐厅B的概率为X)+×0 2 10 且X~B3,),所以g(x)=3×39 10 1010 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜.比赛 结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜.在 一局比赛中，若甲胜，则甲下一局雕的概率为；：若甲输，则甲下一局胜的概率为子，已知 第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为X. (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)求比赛结束时甲胜的概率. 【答案】)2 、11 0 【分析】(1)由题设结合全概率公式可得答案： (2)按结束的局数分类，X可能是2,3,4,5，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和可得 答案 【详解】1)设A表示甲第加局获胜，由题可得P(4)P(44)子P4风)号 由全概车公成可得：P4)=P4PAH上P国P有)子子〔}子： 111 (2)若X=2,甲获胜对局胜者序列为：甲甲，对应概率为：二×二=二： 224 若X=3，甲获胜对局胜者序列为：乙甲甲，对应概率为： 若X=4,甲获胜对局胜者序列为：甲乙甲甲，对应概率为： 若X=5,甲获胜对局胜者序列为：乙甲乙甲甲或甲乙甲乙甲， 对应概率为： 则甲获胜概率为：4才。2十918 1.1.1111 16.(15分)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者 最多有两次容影机会，甲答对每道题目的强率都足子，乙答对每道遐目的概率都足，若答 对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未 答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响. (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X,求X的分布列. 【客案】0名 (2)X的分布列为： X 2 3 4 1-3 1-6 【分析】(1)根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； (2)判断随机变量X的可能取值为2,3,4，分别计算出对应概率可得分布列. 【详解】(1)设事件A为“甲通过面试”，事件B为“乙通过面试”， P4-写*号gMa到- 2,128 2224 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： P---》品 (2)随机变量X的可能取值为2,3,4. x=利=--}8 所以X的分布列为： X 2 3 4 P 17.(15分)某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共 有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本， 得到如下频率分布直方图： 频率 0.040 个组距 0.030 0.016 a 0.004 0 5060708090100成绩/分数 (I)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出α的值并估计获奖学生的最低分数线： (2)现从成绩位于[60,90)的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选 取2人，设这2人中成绩落在[60,70)内的人数为X,求X的分布列： (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布N(4,。2),其中山可 近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且 σ2≈219.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率 [参考数据：√219≈15；若Z~N(u,o2),则P(u-o≤Z≤u+σ)≈0.6827， P(u-2o≤Z≤u+2o)≈0.9545，P(u-3o≤Z≤u+3o)≈0.9973] 【答案】(1)a=0.010,76分 (2)分布列见解析 (3)0.15865 【分析】(1)根据频率分布直方图矩形面积为1计算可得a=0.010,再由百分位数的定义 计算可求出最低分数线： (2)由分层抽样比可求出各区间抽取的人数，再计算出相应概率可求出分布列： (3)由频率分布直方图计算出初赛成绩的平均值，再由正态分布计算可得所求概率 【详解】(1)由频率分布直方图易知，(0.040+0.030+0.016+a+0.004)×10=1, 解得a=0.010, 由图知[90,100]的频率为0.04，[80,100]的频率为0.1+0.04=0.14，湘教版高中数学选择性必修第二册 第3章：概率单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.已知随机变量X~N(1,o2),且P(X>2)=0.2,则P(0<X≤1)=() A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 2.己知一个袋中有大小相同的5个红球，3个白球，从中不放回地依次摸取2个球，则第 二次取出红球的前提下，第一次取出白球的概率是() A月 B.月 c D. > 3.2025年8月4日，在2025全国锦标赛的男子三级跳远决赛上，广东选手吴瑞庭以 17.68米的成绩夺得冠军，打破尘封近16年之久的亚洲纪录（原纪录为17.5米).假如决 赛时，另一名运动员甲每次试跳成绩在17米以上的概率均为子，有三次试跳机会，以最 好的一次成绩作为最终成绩，每次试跳的成绩相互独立，则甲的最终成绩超过17米的概率 为() A.月 B c.8 D.日 4.甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束）， 已知每局比赛甲获胜的概率为3，则甲第一局获胜并最终4：1获胜的概率为() 2 2 8 A·81 4 B.81 c.27 D.81 5.某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如 下表，若该品牌智能手表的整体好评率为90%，则表中m=() 甲 乙 丙 销量占比 50% 25% 25% 好评率 95% 90% % A.75 B.80 C.85 D.90 6.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A,B存 在如下关系：P(AB)= P(A)P(BIA) 2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学 P(B) 想去影院看的.小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概 率分别为0.3和0.7.如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一 天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学() A.第二天去甲影院的概率为0.54 B.第二天去乙影院的概率为0.46 C.已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为36 3 D。已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 47 7.已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出 3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是 () Ax=2)8 B.P(X=1)=P(Y=1) C.P(X≤Y)>P(XY=0) D.E(X)=2E(Y) 8.随机事件4，B满足PB)<P<1,P氏A)+P心4+)=1，PB+-NP(0+P(= 其中P(A)和P(B)分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是() A.P0= B.U-月 C.事件A与B不独立 D.P(BA)=P(A+B) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列关于随机事件的概率说法正确的是() A.若A三B,则事件B发生，事件A一定发生 B.若事件A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B) C.若P(AB)=P(A),则事件A与B独立 D.若P(AnB)=0.4,P(A)=0.5,P(B)=0.2,则事件A与B独立 10.甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2 个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球.现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再 从甲袋子里随机取出1个球.记从甲袋子里取出红球的个数为X,则() APx=-号 B.P(X=-5 c.= D.D(X)=125 11.下列结论正确的是（) A.若随机变量X~日o4,) 则D(4X+1)=48 B。某次考试中有三道题。小黄同学微对每道题的概率均为子，则能做对的题数的期望 为2 C.若0<P(C)<1,0<P(D)<1,且P(D)=1-P(DC),则C,D相互独立 D.P(4)=06,P4)=09,P4可=04，则P(a)的值为 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变量X服从正态分布N(20,o2)）,实数a满足P(X≥a=P(X≤10)， 则a=一 13.采购员要购买某种电器元件一包(12个).他的采购方法是：从一包中随机抽查4个， 如这4个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中 各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是」 14.某学校有A,B两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A餐厅和选择B餐 3 的概率均为。.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为：如果第1天去B餐 厅，那么第2天去A餐厅的概率为假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X为该 班3名同学中第2天选择B餐厅的人数，则随机变量X的均值E(X)= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜.比赛 结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜.在 一局比赛中，若甲雕，则甲下一局胜的概率为：若甲输，则甲下一局胜的概率为子 .已知 第一局甲胜的概率为；，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为X, (1)求第2局比赛甲胜的概率： (2)求比赛结束时甲胜的概率. 16.(15分)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者 最多有两次答概机会，甲答对每道颗的概率都是专，乙答对每道恩目的楷率都是，若答 对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题：否则继续第2次答题，答对则面试通过，未 答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响. (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X,求X的分布列. 17.(15分)某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共 有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本， 得到如下频率分布直方图： 频率 组距 0.040 0.030-- 0.016 a 0.004 5060708090100成绩/分数 (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出α的值并估计获奖学生的最低分数线： (2)现从成绩位于[60,90)的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选 取2人，设这2人中成绩落在[60,70)内的人数为X,求X的分布列： (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布N(,σ2)，其中可 近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且 σ2≈219.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率， [参考数据：√219≈15：若Z~N(u,σ2)，则P(-≤Z≤u+σ)≈0.6827， P(-2o≤Z≤u+2o)≈0.9545，P(4-3o≤Z≤+3o)≈0.9973] 18.(17分)甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的 骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛.一局结束后，败者作为下一局裁 判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每 局比赛无平局. (1)设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率： (②)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为手现已决定出乙作为第一局的裁判， 求甲恰好胜一局的概率. 19.（17分)人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型：有完全相 同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1 个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可 能摸出一个球，称为一次试验若多次试验直到摸出红球，则试验结束假设首次试验选到甲 袋或乙袋的概率均为时 (1)求首次试验结束的概率： (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一， 从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球请通过计算，说明选择哪个方案第二 次试验结束的概率更大 湘教版高中数学选择性必修第二册 第3章：概率 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称， 又因为，所以，则 所以 2．已知一个袋中有大小相同的5个红球，3个白球，从中不放回地依次摸取2个球，则第二次取出红球的前提下，第一次取出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件为第一次取出白球，事件为第二次取出红球， 则，，所以． 3．2025 年 8 月 4 日，在 2025 全国锦标赛的男子三级跳远决赛上，广东选手吴瑞庭以 17.68 米的成绩夺得冠军，打破尘封近 16 年之久的亚洲纪录（原纪录为 17.5 米）.假如决赛时，另一名运动员甲每次试跳成绩在 17 米以上的概率均为 ，有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩，每次试跳的成绩相互独立，则甲的最终成绩超过 17 米的概率为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解三次成绩都不超过17的概率，进而根据对立事件的概率公式求解. 【详解】该名运动员三次成绩均未超过17米的概率为， 则其最终成绩超过 17 米的概率为，故选：D 4．甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用独立重复事件分析求解即可. 【详解】甲第一局获胜并最终获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局，故概率为：. 5．某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如下表，若该品牌智能手表的整体好评率为，则表中（    ） 甲 乙 丙 销量占比 好评率 A．75 B．80 C．85 D．90 【答案】B 【详解】依题意，，解得. 6．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【分析】设相应事件，对于AB：利用全概率公式和对立事件分析求解；对于CD：根据题意结合贝叶斯公式运算求解. 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 7．已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D. 【详解】由题意可得，故A正确； ，，故B正确； ， ， 故，故C错误； 因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确. 8．随机事件A，B满足，，，其中和分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．事件A与B不独立 D． 【答案】BC 【分析】根据已知联立方程求出，然后根据概率的相关公式逐一判断即可. 【详解】对于A选项，因为，所以， 所以，因为，所以， 联立，因为，所以解得，故A选项错误； 对于B选项，因为，所以，故B选项正确； 对于C选项，因为，所以，因为，所以，所以事件A与B不独立，故C选项正确； 对于选项D，因为，而，故D选项错误．故选：BC． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．若事件与互斥，则 C．若，则事件与独立 D．若，，，则事件与独立 【答案】BCD 【分析】利用事件的包含关系可判断A选项；利用互斥事件的概率加法公式可判断B选项；利用条件概率公式和事件独立性的定义可判断C选项；利用事件独立性的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则事件发生，事件不一定发生，A错； 对于B选项，若事件与互斥，则，B对； 对于C选项，若且由条件概率公式可得， 所以，所以，则事件与独立，C对； 对于D选项，若，，则，， 所以，故与独立，即事件与独立，D对.故选：BCD. 10．甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望和方差公式，可判断C、D的正误. 【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则， 从乙袋子中取出2个白球为事件B，则， 从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1，则 ，故A错误，B正确； 所以，则，故C正确，D错误. 11．下列结论正确的是（ ） A．若随机变量，则 B．某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 C．若，，且，则C，D相互独立 D．，，，则的值为 【答案】BCD 【分析】通过二项分布方差计算公式与方差的性质，条件概率，全概率公式求解. 【详解】，，选项错误； 设小黄同学做对的题目数量为，则，期望为，选项正确； 根据条件概率公式，由，得， 所以，则C，D相互独立，选项正确； 由全概率公式，即， 解得，选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量 服从正态分布 ，实数 满足 ，则 ___. 【答案】30 【详解】该正态曲线关于对称，所以，即. 13．采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 【答案】 【详解】设事件为“包含6个次品”，为“包含2个次品”，为“采购员拒绝购买”， 则，则，， 故 故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是. 14．某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 【答案】 【详解】由题意可知，每个人第2天选择餐厅的概率为， 且，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜．比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合全概率公式可得答案； （2）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和可得答案. 【详解】（1）设表示甲第局获胜，由题可得，， 由全概率公式可得：； （2）若，甲获胜对局胜者序列为：甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：乙甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：甲乙甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：乙甲乙甲甲或甲乙甲乙甲， 对应概率为：. 则甲获胜概率为：. 16．（15分）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 4 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 17．（15分）某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 【答案】(1)，76分 (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积为1计算可得，再由百分位数的定义计算可求出最低分数线； （2）由分层抽样比可求出各区间抽取的人数，再计算出相应概率可求出分布列； （3）由频率分布直方图计算出初赛成绩的平均值，再由正态分布计算可得所求概率. 【详解】（1）由频率分布直方图易知，， 解得， 由图知的频率为0.04，的频率为， 的频率为0.54， ∴获奖学生最低分数线落在内，不妨设为x， 则，解得， ∴估计获奖学生的最低分数线为76分. （2）由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取4人，在内抽取1人. 则X的可能取值为0，1，2， 易知，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P （3）易知平均值为， 即可得， ∴. 18．（17分）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； （2）记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥，所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 19．（17分）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】(1) (2)①；②方案二 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）①因为、是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为； ②由①得，所以方案一中取到红球的概率 为， 方案二中取到红球的概率 为， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第二册 第3章：概率 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 2．已知一个袋中有大小相同的5个红球，3个白球，从中不放回地依次摸取2个球，则第二次取出红球的前提下，第一次取出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．2025 年 8 月 4 日，在 2025 全国锦标赛的男子三级跳远决赛上，广东选手吴瑞庭以 17.68 米的成绩夺得冠军，打破尘封近 16 年之久的亚洲纪录（原纪录为 17.5 米）.假如决赛时，另一名运动员甲每次试跳成绩在 17 米以上的概率均为 ，有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩，每次试跳的成绩相互独立，则甲的最终成绩超过 17 米的概率为（　） A． B． C． D． 4．甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 5．某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如下表，若该品牌智能手表的整体好评率为，则表中（    ） 甲 乙 丙 销量占比 好评率 A．75 B．80 C．85 D．90 6．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 7．已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 8．随机事件A，B满足，，，其中和分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．事件A与B不独立 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．若事件与互斥，则 C．若，则事件与独立 D．若，，，则事件与独立 10．甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 11．下列结论正确的是（ ） A．若随机变量，则 B．某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 C．若，，且，则C，D相互独立 D．，，，则的值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量 服从正态分布 ，实数 满足 ，则 ___. 13．采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 14．某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜．比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)求比赛结束时甲胜的概率． 16．（15分）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 17．（15分）某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 18．（17分）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 19．（17分）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 学科网（北京）股份有限公司 $