第3章概率章末过关检测-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

　概率 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某校期末考试数学试卷的第7、8两道单选题难度系数较小，甲同学答对第7道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲同学答对第7道题”，事件B表示“甲同学答对第8道题”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 2．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X－1)＝(　　) A．5 B．6 C．12 D．18 3．设a为正实数，若随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则E(X)＝(　　) A．3 B．1 C． D． 4．已知随机变量X～N(1，σ2)，且P(X≥－1)＝0.8，则P(－1≤X≤3)的值为(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 5．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为(　　) A． B． C． D． 6．从甲地到乙地共有A、B、C三条路线可走，走路线A堵车的概率为0.1，走路线B堵车的概率为0.3，走路线C堵车的概率为0.2，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则不堵车的概率为(　　) A．0.2 B．0.398 C．0.994 D．0.8 7．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行．某特许产品100件，其中一等品98件，二等品2件，从中不放回的依次抽取10件产品(每次抽取1件)．甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，记取出的二等品件数为X，则下列结论正确的是(　　) A．甲与乙相互独立 B．甲与乙互斥 C．X～B(10，0.02) D．E(X)＝0.2 8. 某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数φμ，σ(x)＝中的μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差，且P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 3，则以下结论正确的是(　　) A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高 B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大 C．1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55% D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4 C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝ 10．已知样本数据x1，x2，…，x2 022的均值和标准差都是10，下列判断正确的是(　　) A．样本数据2x1，2x2，…，2x2 022均值和标准差都等于10 B．样本数据3x1＋1，3x2＋1，…，3x2 022＋1均值等于31，标准差等于30 C．样本数据0.1x1－2，0.1x2－2，…，0.1x2 022－2的标准差等于0.1，方差等于1 D．样本数据0.2x1＋8，0.2x2＋8，…，0.2x2 022＋8的标准差等于2，方差等于4 11．一个口袋中装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．则下列说法正确的有(　　) A．若n＝5，一次摸奖中奖的概率为 B．若n＝5，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 C．记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为p.当n取10时，p最大为 D．记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为p.当n取20时，p最大为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12．袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得________分． 13．某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，E(X)＝2，D(X)＝，则p＝________． 14．某电视台招聘节目主持人，应聘者需进行笔试和面试两个环节，若两个环节都合格，则可以成为该电视台的节目主持人．已知甲、乙、丙三人同时参加应聘，三人笔试合格的概率依次为0.5，0.4，0.6，面试合格的概率依次为0.6，0.75，0.5，且每个人在两个环节中是否合格互不影响，甲、乙、丙也互不影响，则甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率为________；记甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的人数为X，则随机变量X的期望为________． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为，求： (1)甲、乙恰好有一人击中的概率； (2)目标被击中的概率． 16．(15分)已知甲箱的产品中有2件正品和3件次品，乙箱的产品中有3件正品和2件次品． (1)若从甲箱中取出2件产品，求在2件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品的概率； (2)若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出1件产品，求取到一件正品的概率． 17．(15分)为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位学生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在该旅行社前几年接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下： 研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游 学校数 40 40 20 该实习生在省内有意向明年组织高一“研学游”的学校中，随机抽取3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．设这3所学校中，选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 18．(17分)根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.05.今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失20 000元，为保护设备，有以下3种方案： 方案1：修建保护围墙，建设费为3 000元，但围墙只能防小洪水； 方案2：修建保护大坝，建设费为7 000元，能够防大洪水； 方案3：不采取措施 工地的领导该如何决策呢？ 19．(17分)某校高二年级学生参加全市的数学调研考试(满分150分)，现从甲班和乙班分别随机抽取了10位同学的考试成绩，统计得到如下表． 班级 考试成绩(单位：分) 甲班 106，112，117，120，125，129，129，135，141，146 乙班 103，114，116，119，124，128，131，134，139，143 (1)若分别从甲、乙两班的这10位同学中各抽取一人，求被取出的两人的成绩均不低于120分的概率； (2)考虑甲、乙两班这20位同学的成绩，从不低于130分的同学中任意抽取3人，随机变量X表示被抽取的成绩不低于140分的人数，求X的分布列和数学期望． 章末过关检测(三)　概率 1．解析：由题可知：甲同学答对第7道题的概率为P(A)＝，甲同学答对第7、8两道题的概率为P(AB)＝； 故在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)＝＝. 故选D. 答案：D 2．解析：因为D(X)＝2，所以D(3X－1)＝32D(X)＝32×2＝18； 故选D. 答案：D 3．解析：因为随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)， 所以＝1，解得a＝3. 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 故选C. 答案：C 4．解析：P(－1≤X≤3)＝2P(－1≤X≤1)＝2×(0.8－0.5)＝0.6，故选C. 答案：C 5．解析：记甲是通过飞沫传播被感染为事件A，乙是通过飞沫传播被感染为事件B， P(A)＝P(B)＝， 甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为 P＝1－P()＝1－P()P()＝1－(1－)×(1－)＝. 故选D. 答案：D 6．解析：由题意可知，李先生走每条路线的概率均为，走路线A不堵车的概率为0.9，走路线B不堵车的概率为0.7，走路线C不堵车的概率为0.8， 由全概率公式得，李先生不堵车的概率P＝×0.9＋×0.7＋×0.8＝0.8.故选D. 答案：D 7．解析：由题意得： 对于选项A：事件甲发生与否影响事件乙的发生，故事件甲与乙不相互独立，故A错误； 对于选项B：事件甲事件乙可能同时发生，故B错误； 对于选项C，D：由条件知随机变量X服从超几何分布，且E(X)＝＝0.2，故C错误，D正确． 故选D. 答案：D 8．解析：因为φμ，σ(x)＝的最大值为，所以1班的数学成绩X1～N(100，25)，2班数学成绩X2～N(102，36)，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A错误；因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越大，所以B错误；因为P(X1≥110)＝(1－P(|X－μ|≤2σ))≈0.022 75，所以C错误； 因为P(X2≥114)＝(1－P(|X－μ|≤2σ))＝P(X1≥110)，所以D正确．故选D. 答案：D 9．解析：依题意P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， 所以E(X)＝0×＋1×＝， D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＝. 所以P(X＝1)＝E(X)， E(3X＋2)＝3×＋2＝4， D(3X＋2)＝32×＝2， 所以AB选项正确，CD选项错误． 故选AB. 答案：AB 10．解析：已知对于样本数据x1，x2，…，x2022，均值E(X)＝10，标准差＝10. 对于选项A，样本均值E(2X)＝2E(X)＝20，原判断错误； 对于选项B，样本均值E(3X＋1)＋1＝3E(X)＋1＝31，标准差＝3＝30，原判断正确； 对于选项C，样本标准差＝0.1＝1，方差D(0.1X－2)＝0.12D(X)＝1，原判断错误； 对于选项D，样本标准差＝0.2＝2，方差D(0.2X＋8)＝0.22D(X)＝4，原判断正确． 故选BD. 答案：BD 11．解析：一次摸奖从n＋5个球中任选两个，有 它们等可能，其中两球不同色有种，一次摸奖中奖的概率p＝. 若n＝5，一次摸奖中奖的概率p＝，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是：P3(1)＝·p·(1－p)2＝. 设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 P＝P3(1)＝·p·(1－p)2＝3p3－6p2＋3p，0<p<1, P′＝9p2－12p＋3＝3(p－1)(3p－1)，知在(0，)上P为增函数，在(，1)上P为减函数，当p＝时P取得最大值．又p＝＝，解得n＝20. 故选ABD. 答案：ABD 12．解析：用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布， 于是E(X)＝n·＝5×＝1.5. 答案：1.5 13．解析：依题意得X服从二项分布，则， 解得p＝. 答案： 14．解析：甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率P＝0.5×(1－0.4)×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.4×(1－0.6)＋(1－0.5)×(1－0.4)×0.6＝0.38， 依题意甲成为主持人的概率P1＝0.5×0.6＝， 乙成为主持人的概率P2＝0.4×0.75＝， 丙成为主持人的概率P3＝0.5×0.6＝， 即甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的概率均为， 所以X～B(3，)，则E(X)＝3×＝. 答案：0.38　 15．解析：(1)设甲、乙分别击中目标为事件A，B，易知A，B相互独立且P(A)＝，P(B)＝，甲、乙恰好有一人击中的概率为P(AB)＝(1－)＋(1－＝. (2)目标被击中的概率为P(A＋B)＝1－P()＝1－(1－)(1－)＝. 16．解析：(1)设A＝两件产品中至少有一件是正品，B＝两件产品中有一件是次品， P(B|A)＝＝＝. (2)设C＝取到甲箱，D＝取到一件正品， P(D)＝P(C)P(D|C)＋P()P(D|)＝＝. 17．解析：依题意知学校选择“科技体验游”的概率为，选择“民俗人文游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为. X可能的取值为0，1，2，3. 则P(X＝0)＝×()3＝， P(X＝1)＝×()1×()2＝， P(X＝2)＝×()2×()1＝， P(X＝3)＝×()3＝. X的分布列为 X 0 1 2 3 P 方法一　E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 方法二　因为随机变量X～B(3，)，所以E(X)＝np＝3×＝. 18．解析：用X1，X2，X3分别表示方案1，2，3的损失， 第一方案，建保护墙，建设费为3 000元，但围墙只能防小洪水， 无大洪水 有大洪水 损失 3 000 63 000 概率 0.95 0.05 平均损失E(X1)＝3 000×0.95＋63 000×0.05＝6 000. 第二方案：建保护大坝，建设费为7 000元，能够防大洪水， E(X2)＝7 000. 第三方案：不采取措施． 无洪水 有小洪水 有大洪水 损失 0 20 000 60 000 概率 0.7 0.25 0.05 平均损失E(X3)＝60 000×0.05＋20 000×0.25＝8 000. 因为E(X3)>E(X2)>E(X1)， 综上，采取方案一较好． 19．解析：(1)设事件A为“被取出的两人的成绩均不低于120分”，则由表格可得，甲、乙两班中成绩不低于120分的人数分别为7和6， ∴P(A)＝＝， ∴被取出的两人的成绩均不低于120分的概率为. (2)易知甲、乙两班的这20位同学中，分数不低于130分的有7人，分数不低于140分的有3人， ∴随机变量X的可能取值为0，1，2，3， ∴P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$