第1-2章综合检测卷-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第二册

湘教版高中数学选择性必修第二册第1-2章综合检测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则在点处的切线斜率是（   ） A． B． C．2 D． 4．某质点的运动方程是，则该质点在时的加速度大小为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 5．函数在上的图象大致为（   ） A．B．C．D． 6．若两个非零向量与满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 8．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的导函数为，且函数的图象如图，则以下结论正确的有（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减 C．当时，函数有极大值 D．当时，函数有极小值 10．在棱长为2的正方体中，为的中点，若（），下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C．当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 11．如图所示的长方体中，边长，，，下列结论正确的是（    ） A．直线与长方体十二条棱所在的直线所成的最大的角的余弦值是 B．直线与长方体六个面所成的最大的角的正弦值是 C．在直线上任取一点，则点必在以点为球心，半径为3的球外 D．点在直线上，，是中点，则平面截长方体所得截面图形的面积是19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝ . 13．如图，在棱长都为1的平行六面体中，，，两两夹角均为，则 ；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线垂直.这三个顶点可以是 .   14．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，其中. (1)若在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)当时，求函数在区间上的最值. 16．（15分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.    (1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)证明：平面； (3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值. 17．（15分）已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在一点，满足？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第二册第1-2章综合检测卷 一、选操题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.函数f(x)=x2+2x在区间[1,3]上的平均变化率为() A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【分析】根据平均变化率公式计算可得 【详解】因为f(x)=x2+2x,则f(3)=32+2×3=15,f(1)=12+2×1=3, 所以函数W=x+2x在区间[L,3]上的平均变化率为3）-0-15-3-6故选：c 3-13-1 2.在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度（单位：m)是h(t)=4.92+6.5t+10,则运动员在 t=s时的瞬时速度为() A.-3.3m/sB.-8.2m/s C.3.3m/s D.1.6m/s 【答案】A 【分析】根据瞬时速度的定义直接求解即可· 【详解】运动员在t=1s时的瞬时速度即为h(1),令y=h(t), 根据导数的定义，y_h0+△)-h但=-491+△2+651+△1)+10-(49+6.5+10) =4.9△f-3.3, △t △t △t 所以公@)=m:-回(-491-3)=-33，故运动员在1=s时的瞬时速度为-33ms,故选：A 3.已知函数f(x)=√x,则在(2，f(2)点处的切线斜率是() A.√2 B. 2 C.2 D. 4 【答案】D 【分析】求出函数f(x)的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率 【详解】函数f(x)=V,求导得f'(x)= 2E, 所以所求切线的斜率为2②)=，1=5故选：D 2√24 4.某质点的运动方程是S=t,则该质点在t=1时的加速度大小为() A.1 B.3 C.6 D.9 【答案】C 【分析】根据导数在物理上的应用，对函数二次求导，然后把t=1代入即可求解. 【详解】因为某质点的运动方程是S=,则v=S=3t2,加速度为v'=6t, 所以该质点在t=1时的加速度大小为6.故选：C. 5.函数f)+cosx在[-元可上的图象大致为() 4 【答案】B 【分析】利用排除法，根据函数奇偶性排除CD,再根据函数单调性排除B. 【样解】因为y仁9+cos(-)号+os=质习 可知函数∫(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故CD错误： ,r周周图会子 可知f(x)在(0，π)内存在递减区间，故A错误；故选：B. 6.若两个非零向量a与b满足a+=-=2,则向量a+b与a-b的夹角为() A日 B. D.6 π 【答案】B 【分析】利用模长公式结合数量积公式求解即可. 【详解】因为ā+b=丘-25，两边平方，得到 a+b=a-b→aP+2a.b+5-hP-2a.b+b→a.6=0 a+b=25→2+2a.6+52=41bP，即1a=3引3P,即1a=5111), 又a+6=26a),a-6=21b13)并且(a+ba-b)）=hP-5=+6h-cos6, 则cose=IaP-B a626将.2.®代入得到cos0引子0eQ0,则2=元 3 故选：B 7.己知棱长为1的正方体ABCD-ABCD,以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点P在 球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则PA.PB的最大值为() 7 3 A.2 B. C. D. 【答案】B 【分析】取AB中点B,根据空同向量的数量积运算得P,P历=P质-子，判断P历的最大值即可求解 【详解】取AB中点E,可知B在球面上，可得丽=-A=-BA, 所以PA.PB=(PE+EA(PE+B)=(PE}-(4=PE2-1； 点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，当PB为直径时，PE露=√5， 所以PP店的最大值为子故选：B D 8.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，底面是边长为2的正方形，若 ∠AAD=∠AAB=60°，且A4=3,则c0s(4C,AB)=(). A.5 B. 5 D.5 10 5 c.5 10 【答案】A 【分析】用AB、D、A4表示出AC,根据数量积的运算律求出4C=√5，然后根据数量积公式即可求 出结果 【详解】由已知可得，A4=3,AD=AB=2,(A4,AD)=60°，(AA,AB)=60,(AD,AB)=90, 所以AA·AD=A4·AB=3×2×c0s60°=3，AD.AB=0 又因为AC=AB,+AD+AA=AB+AD-A4, 4C=(A+AD-A4=AB2+AD+A4+2AB.AD-24B.AA,-2AD.4M=4+4+9+0-6-6=5, 所以AC=V5又ACAB=(AB+AD-AA)AB=AB+AB.AD-A4·AB=4+0-3=1. 所以cos(AC,AB)= AC.AB 15 4C8V5x210故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)的导函数为f"(x),且函数f'(x)的图象如图，则以下结论正确的有() A.函数f(x)在区间(2,4)上单调递减 B.函数f(x)在区间(1,3)上单调递减 3112入45 C.当x=-2时，函数"（四）有极大值 D.当x=-2时，函数f(x)有极小值 【答案】ACD 【分析】根据导函数的图象分析原函数的单调性，再结合单调性得到极值点， 【详解】由函数'(x)的图象可知，当x∈(2,4)时，f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(2,4)上单调递减， 故A正确： 当x∈(1,2)时，∫'(x)>0,所以函数f()在区间(1,2)上单调递增，当x∈(2,3)时，f'(x)<0,所以函数f(x) 在区间(2,3)上单调递减，故B错误： 当x3》时，f)单调递，当x（行 时， ∫x)单调递减，所以函数广)在x=-处有极 大值，故C正确： f'(-2)=0,当x∈(-3，-2)时，∫"'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-3，-2)上单调递减， 当x∈(-2，-1)时，f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(-2，-1)上单调递增，所以函数f(x)在x=-2处有极小 值，故D正确. 故选：ACD 10.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为AB的中点，若BP=BB+uBC(,∈[0,1])，下列 说法正确的是() A.平面APC,⊥平面ABD B.若四面体A-BDC的四个项点均在球O的表面上，则球O的表面积为48π C,当点P在线段5C上运动时，异面直线4P与A0所成角的取值范围是；？ D.当直线PB与直线CD所成的角是时，点P的轨迹长度为V 3 2 【答案】ACD 【分析】对于A,利用线面垂直的性得到BD⊥AC,ADLAC,由线面垂直的判定得AC,⊥面ABD,再 由面面垂直的判定，即可求解：对于B,建立空间直角坐标系，设四面体A一BDC的外接球球心O(x,y,), 半径为R,根据条件直接求出R,即可求解；对于C,设B严=BC(0≤1≤1)，求出AP与AD,再利用 线线角的向量法，即可求解：对于D,P(x,2,),根据条件，利用线线角的向量法，得到(x-2)+z2=3, 即可求解 【详解】由BP=BB+BC,元，∈[O,1]可知：P是侧面BCCB,内的动点，包括边界， 对于选项A,因为AC L BD,又CC⊥面ABCD,BDC面ABCD, 所以CC⊥BD,又AC∩CC=C,AC,CCC面ACC,所以BD⊥AC, 连接AD,同理可证AD⊥AC,又AD⌒BD=D,AD,BDC面ABD,所以AC⊥面ABD, 又ACC面APC1,所以平面APC⊥平面ABD,故选项A正确， 对于选项B,如图建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为2， 则A(2,0,0),A(2,0,2),B(2,2,0),D(0,0,0),C(0,2,2),D(0,0,2) 设四面体A-BDC的外接球球心O(x,y,=),半径为R, 由OA=OD=lOC=|OB,得到 R2=(x-2)2+y2+(5-2)2=x2+y2+2=x2y-22{:-32tx-)2(y-32+ 解得x=y=z=1,则R2=3,则球O的表面积为4πR2=12元，所以选项B错误， 对于选项C,因为点P在线段BC上，设BP=BC(0≤入≤1)， 因为AB=(0,2,-2),BC1=(（-2,0,2),AD=(-2,0,2),又AP=AB+BF=(-22,2,21-2), 设异面直线AP与AD,所成的角为日，则 3 AP.AD 82-4 22-元+ cos0=cosAP,AD= 4 4 AP.AD 2W2×V822-8元+8 Y22-+1 22-元+1 外D 又0≤，则-41(-，所以o00 B 又0∈0， 所以θ∈ 兀兀 （2 32 故选项C正确， 对于选项D,易知E(2,1,0),设P(x,2,),则PE=(2-x,-1,-z),又CD=(0,-2,0), PE.CD 则cos(PE,cD) 2 1 1 PC⑦ 2V(2-)+1+2V2-92+1+E2 整理得到(x-2)2+z2=3,其轨迹为平面BCCB上，以B为圆心，√5为半径的圆， 又P是侧面BCCB,内的动点，所以点P的轨迹长度为×2x5=3m,所以选项D正确，故选：ACD, 2 11.如图所示的长方体ABCD-AB,CD中，边长AB=3,AD=4,AA=5,下列结论正确的是() D A.直线DB,与长方体十二条棱所在的直线所成的最大的角的余弦值是 2 B B.直线DB与长方体六个面所成的最大的角的正弦值是 2 C.在直线DB,上任取一点Q,则Q点必在以A点为球心，半径为3的球外 D.点Q在直线DB上，BQ⊥DB,M是BC中点，则平面AMQ截长方体所得截面 图形的面积是19 【答案】BCD 【分析】建立坐标系，利用向量的夹角即可求解线线角以及线面角，可判断AB,根据点点距离公式即可判 断C,根据余弦定理求解夹角，即可利用三角形面积公式求解D 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,3,0),D(0,0,5),B(4,3,5), 所以DB=(4,3,5),DA=(4,0,0),DC=0,3,0)DD=0,0,5), 由于cos DB,DA=43,5)-(4,00)2W2 5√2×4 cosD8,DC-435)(0,30).3W5 5√2×3 10 cosDB,DD=435)0,05)V5 5√2×5 2 因此线DB,与长方体十二条棱所在的直线所成的最大的角的余弦值是35，A错误， 10 DA=(4,0,0),DC=(0,3,0)DD,=0,0,5)分别为长方体的前后、左右、以及上下两个平面的一个法向量， 由于线面角的正弦值等于DB的方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值， 庙选项A可知，直线D8,与长方体六个面所成的最大的角的正弦值是2，B正确 DO=mDB =(4m3m 5m,AO=DO-DA-(4m-4,3m5m,meR, A@=V50m2-32+16= 225=3 因此Q点必在以A点为球心，半径为3的球外，C正确， 由于DB=V32+4+5=5V2,DB|=V32+4=5=|BBl, 所以△DBB,为等腰三角形，故当BQ⊥DB,时，Q为DB的中点，即Q为长方体的中心， 取AD的中点为N,连接NC,NA,MC,AM,则四边形AMCN即为截面， 由于M=V32+22=3,CM=52+22=b9, 故c0s∠AMG=13+29-50_4 19 25xN29529sAM71329 故截面面积为2Se=AM.MC,sin∠AMC,=B×b的x19 13×√29 19,故D正确， 故选：BCD D N B D A M X 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若函数fx)=x3-3x一a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m,h,则m一n= 【答案】20 【分析】利用导函数求函数的最值即得 【详解】fw)=3x2-3, .当x>1或x<-1时，x)>0:当-1<x<1时，fw)<0. ∴x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增. .∴x)mim=f(1)=1-3-a=-2-a=n 又.f0)=-a,f(3)=18-a, 0)≤f(3) ∴fx)mm=f(3)=18-a=, ∴.-1=18-a-(-2-)=20. 故答案为：20 13.如图，在棱长都为1的平行六面体A8CD-48GA中，店，D,AA两两夹角均为写，则 AC·BD=】 ；请选择该平行六面体的三个项点，使得经过这三个顶点的平面与直线AC,垂直. 这三个顶点可以是 B A D B D 【答案】 0 点A,B,D或点C,B,D(填出其中一组即可) LILRE 【分析】(1)以向量AB,AD,A4为基底分别表达出向量AC和BD,展开即可解决：(2)由上一问可 知AC·BD=0,用上一问同样的方法可以证明出AC·AD=0,这样就证明了平面ABD与直线AC垂直 【详解】(1)令a=AA,b=AB,c=AD, 则-=斗-1，a）-a）a）-于 则有BD=AD-AB=c-b, AC=AC+CC=AB+AD+AA=b+c+a, AC.BD=(c-B)-(c+B+a)=c+b.c+a-c-B.c-B-a.b 2 222 (2)令a=AA,b=AB,C=AD, 则--f-1,a）=(ad）=6.c= 则有AD=AD-AA=c-a, AC=AC+CC=AB+AD+AA=b+c+a, 故AC4D=c-a.c+b+四=c+b.c+ac-ac-ab-a =+11*分1w1P-1+分}10， 2 2222 故AC⊥AD,即AC1⊥AD, 又由(I)知AC⊥BD,AD∩BD=D,AD,BDC平面ABD, 故直线AC⊥平面ABD: 同理可证直线AC,⊥平面B,DC 故答案为：0；点A,B,D或点C,B,D 14.正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-AB,C的底面边长为2，侧棱长为2√2，则AC与侧面 ABBA的夹角为一· 【答案】 6 【分析】如图过C作CC2⊥AB,于C,连接AC2,根据条件可得∠CAC2为直线AC,与平面ABBA1所成的 角，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法，即可求解 【详解】如图过C作CC,⊥AB,于C,连接AC2, 因为A4⊥面ABC,又CC,c平面ABC1,所以AA⊥CC,, 又AA∩AB1=A,A4,ABC平面ABBA,所以CC2⊥平面ABBA, 则∠CAC,为直线AC,与平面ABBA所成的角，以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则a2a0ycaa2.c[352 所以4c-(202.aC（}525） AC·AC2 则coS∠C,AC2 1+0+85 AC AC 28.又-c4ce 所以0- B B 故答案为：君 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知函数f(x)=2-(a+2)x+lnx,其中a∈R (1)若∫(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求a的值： (②)当a=时，求函数y=f)在区间c上的最值. 【答案】(1)a=-1 2)f(x)mn=h2-3,f(x)x=-2 【分析】(1)先求导，计算f'(1),由切线与直线x-2y+1=0垂直即可求解： (2)利用导数研究函数f(x)的单调性，进而求得函数f(x)的最值. 【详解】(1)∫(x)的定义域为(0，+∞)， 1 f'(x)=2-(a+2)+-, ∴.f'(1)=2a-(a+2)+1=a-1, 由题意知a-1=-2, .a=-1. 2)当a=时e)--多 2 f'(x)=x- 5+1_2x2-5x+2_(2x-1-2) 2+ 2x 2x 又x∈[，e],当1≤x<2时，f'(x)<0,当2<x<e时，f(x)>0, ∴.f(x)在(1,2)单调递减，在(2，e)单调递增， ∴.f(x)ma=f(2)=ln2-3, 又∫①)=-2， fe-e -e+1, ÷1e0-c +3=e+6-5c_e-2e-3）<0, 2 2 ∴.f(e)<f(1), ∴f(x)x=f(0)=-2. 湘教版高中数学选择性必修第二册第1-2章综合检测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】因为，则，， 所以函数在区间上的平均变化率为.故选：C 2．在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据瞬时速度的定义直接求解即可． 【详解】运动员在时的瞬时速度即为，令， 根据导数的定义， ， 所以，故运动员在时的瞬时速度为.故选：A． 3．已知函数，则在点处的切线斜率是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率. 【详解】函数，求导得， 所以所求切线的斜率为.故选：D 4．某质点的运动方程是，则该质点在时的加速度大小为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据导数在物理上的应用，对函数二次求导，然后把代入即可求解． 【详解】因为某质点的运动方程是，则，加速度为， 所以该质点在时的加速度大小为6．故选：C． 5．函数在上的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】利用排除法，根据函数奇偶性排除CD，再根据函数单调性排除B. 【详解】因为， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故CD错误； 且，则， 可知在内存在递减区间，故A错误；故选：B. 6．若两个非零向量与满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用模长公式结合数量积公式求解即可． 【详解】因为，两边平方，得到 ，即，即(1), 又＝(2)，(3)．并且， 则，将(1),(2),(3)代入，得到，，则． 故选：B. 7．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，， 所以的最大值为.故选：B. 8．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用、、表示出，根据数量积的运算律求出，然后根据数量积公式即可求出结果. 【详解】由已知可得，，，，，， 所以，. 又因为， ， 所以.又. 所以.故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的导函数为，且函数的图象如图，则以下结论正确的有（    ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减 C．当时，函数有极大值 D．当时，函数有极小值 【答案】ACD 【分析】根据导函数的图象分析原函数的单调性，再结合单调性得到极值点. 【详解】由函数的图象可知，当时，，所以函数在区间上单调递减，故A正确； 当时，，所以函数在区间上单调递增，当时，，所以函数在区间上单调递减，故B错误； 当时，单调递增，当时，单调递减，所以函数在处有极大值，故C正确； ，当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增，所以函数在处有极小值，故D正确． 故选：ACD． 10．在棱长为2的正方体中，为的中点，若（），下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C．当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用线面垂直的性得到，，由线面垂直的判定得面，再由面面垂直的判定，即可求解；对于B，建立空间直角坐标系，设四面体的外接球球心，半径为，根据条件直接求出，即可求解；对于C，设，求出与，再利用线线角的向量法，即可求解；对于D，，根据条件，利用线线角的向量法，得到，即可求解. 【详解】由，可知：是侧面内的动点，包括边界， 对于选项A，因为，又面，面， 所以，又，面，所以， 连接，同理可证，又，面，所以面， 又面，所以平面平面，故选项A正确， 对于选项B，如图建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为， 则, 设四面体的外接球球心，半径为， 由，得到， 解得，则，则球的表面积为，所以选项B错误， 对于选项C，因为点在线段上，设， 因为，，，又， 设异面直线与所成的角为，则， 又，则，所以， 又，所以，故选项C正确， 对于选项D，易知，设，则，又， 则， 整理得到，其轨迹为平面上，以为圆心，为半径的圆， 又是侧面内的动点， 所以点的轨迹长度为，所以选项D正确， 故选：ACD. 11．如图所示的长方体中，边长，，，下列结论正确的是（    ） A．直线与长方体十二条棱所在的直线所成的最大的角的余弦值是 B．直线与长方体六个面所成的最大的角的正弦值是 C．在直线上任取一点，则点必在以点为球心，半径为3的球外 D．点在直线上，，是中点，则平面截长方体所得截面图形的面积是19 【答案】BCD 【分析】建立坐标系，利用向量的夹角即可求解线线角以及线面角，可判断AB,根据点点距离公式即可判断C，根据余弦定理求解夹角，即可利用三角形面积公式求解D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, 所以, 由于 因此线与长方体十二条棱所在的直线所成的最大的角的余弦值是，A错误， 分别为长方体的前后、左右、以及上下两个平面的一个法向量， 由于线面角的正弦值等于的方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值， 由选项A可知，直线与长方体六个面所成的最大的角的正弦值是，B正确， 设,, ， 因此点必在以点为球心，半径为3的球外，C正确， 由于, 所以为等腰三角形，故当时，为的中点，即为长方体的中心， 取的中点为，连接,则四边形即为截面， 由于, 故， 故截面面积为,故D正确， 故选：BCD    三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝ . 【答案】20 【分析】利用导函数求函数的最值即得. 【详解】∵f′(x)＝3x2－3， ∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0. ∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增． ∴f(x)min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n. 又∵f(0)＝－a，f（3）＝18－a， ∴f(0)＜f（3）． ∴f(x)max＝f（3）＝18－a＝m， ∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20. 故答案为：20. 13．如图，在棱长都为1的平行六面体中，，，两两夹角均为，则 ；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线垂直.这三个顶点可以是 .    【答案】 点或点 （填出其中一组即可） 【分析】（1）以向量，，为基底分别表达出向量和，展开即可解决；（2）由上一问可知，用上一问同样的方法可以证明出，这样就证明了平面与直线垂直. 【详解】（1）令，，， 则，， 则有， ， 故 ； （2）令，，， 则， 则有， ， 故 ， 故，即， 又由（1）知，，平面， 故直线平面； 同理可证直线平面. 故答案为：；点或点 14．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为 ．    【答案】 【分析】如图过作于，连接，根据条件可得为直线与平面所成的角，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图过作于，连接， 因为面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 则．又，所以，    故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，其中. (1)若在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)当时，求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先求导，计算，由切线与直线垂直即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求得函数的最值. 【详解】（1）的定义域为， ， ∴， 由题意知， ∴. （2）当时， ∴， 又，当时，，当时，， ∴在单调递减，在单调递增， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴. 16．（15分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.    (1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)证明：平面； (3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值. 【答案】(1)是的， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由鳖臑的结构即可判断； （2）由，即可求证； （3）建系，由空间两点间距离公式即可求解. 【详解】（1）由平面平面，可知四面体的四个面都是直角三角形， 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是. （2）因为底面，在底面内， 所以，由底面为长方形，有， 而，都在平面内， 所以平面平面，所以 又因为，点是的中点，所以，而，都在平面内， 所以平面 （3）    由题意，如图建立空间直角坐标系，设，，， 所以 当且仅当时，取得最小值. 17．（15分）已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知得，应用向量数量积的坐标运算求结果； （2）首先求得，再由向量平行的坐标表示列方程求参数值，最后应用向量减法、模的坐标运算求结果； （3）应用向量加减的坐标运算求，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】（1）由题设，所以； （2）由（1），又， 所以，可得，即， 所以，则； （3）由（1）， ， 由，则， 所以，则. 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在一点，满足？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在；为的四等分点（靠近点）. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据可得结果； （2）设，根据向量垂直可得，求出点的位置. 【详解】（1）以A为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图， 则 所以， 设平面的法向量为 则，令则， ， 即直线与平面所成角的正弦值. （2）由（1）知， 假设存在点，设，则， 由得，解得， 即当为的四等分点（靠近点）时，成立． 19．（17分）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【详解】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）由（1）可知，，所以，由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面，所以直线平面. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第二册第1-2章综合检测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.函数f(x)=x2+2x在区间[1,3]上的平均变化率为() A.2 B.4 C.6 D.8 2.在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度（单位：m)是h(t)=4.92+6.5t+10,则运动员在 t=1s时的瞬时速度为() A.-3.3m/s B.-8.2m/s C.3.3m/s D.1.6m/s 3.己知函数f(x)=√，则在(2，f(2》点处的切线斜率是() A.√2 B.号 C.2 D.V2 4.某质点的运动方程是S=t,则该质点在t=1时的加速度大小为() A.1 B.3 C.6 D.9 5.函数f(x)=+coSx在[兀，上的图象大致为（) 4 6.若两个非零向量a与满足a+=丘-=2，则向量a+b与a-b的夹角为() A B. D.π 76 7.已知棱长为1的正方体ABCD-ABCD,以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点P在 球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则PAPB的最大值为() A.2 g c D. A 8.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，底面是边长为2的正方形，若∠AAD=∠AAB=60°， 且A4=3,则c0s(4C,AB)=(). D A.⑤ B.5 10 5 c._v5 D.-5 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选鳍的得0分。 9.己知函数f(x)的导函数为'(x),且函数f"(x)的图象如图，则以下结论正确的有() A.函数f(x)在区间(2,4)上单调递减 B.函数f(x)在区间(1,3)上单调递减 C.当x=-时，函数f"(x)有极大值 过 D.当x=-2时，函数f(x)有极小值 10.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E为AB的中点，若BP=BB+BC(,L∈[0,1])，下列 说法正确的是() A.平面APC,⊥平面ABD B.若四面体A-BDC的四个项点均在球O的表面上，则球O的表面积为48π C.当点P在线段BC上运动时，异面直线AP与AD所成角的取值范围是 元兀 3’2 D.当直线PE与直线CD所成的角是时，点P的轨迹长度为V3m 11.如图所示的长方体ABCD-ABCD中，边长AB=3,AD=4,A4=5,下列结论正确的是() D A.直线DB,与长方体十二条棱所在的直线所成的最大的角的余弦值是 2 A B B.直线DB,与长方体六个面所成的最大的角的正弦值是2 2 C.在直线DB上任取一点Q,则2点必在以A点为球心，半径为3的球外 1- D.点Q在直线DB上，BQ⊥DB,M是BC中点，则平面AMQ截长方体所得截面图形的面积是19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若函数x)=x3-3x一a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m,,则m一n= B 13.如图，在棱长都为1的平行六面体ABCD-AB,CD中，A正，AD,A4两两夹 A D 角均为5，则4CBD= ；请选择该平行六面体的三个项点，使得经过 B 这三个项点的平面与直线AC,垂直这三个顶点可以是 D 14.正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-AB,C的底面边长为2，侧棱长为2√2， 则AC与侧面ABB,A的夹角为 四、解窖题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+nx,其中aeR (1)若f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求a的值： (2)当a=时，求函数y=f(x)在区间L,©上的最值 16.(15分)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中， 四边形ABCD为矩形，点P不在四边形ABCD所在平面上，PD⊥平面ABCD,PD=CD,点E是PC的中 点，连接DE,BD,BE E D B (1)判断四面体EBCD是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）：若不是，请说明理由： (2)证明：DE⊥平面PBC: (3)设PD=CD=BC=3,若点M在BD上运动，点N在PC上运动，求线段MN长度的最小值. 17.(15分)已知a=(2,-2,2),a+b=(6,-3,2). (1)求a.b的值： (2)设向量c=(4,m,n),c11(⑦-a),求-d: (3)若(a+b)1(位-b),求k的值. 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB/DC,AD=DC=AP=2,AB=1, 点E为棱PC的中点. ◇ E D (1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值： (2)在棱PC上是否存在一点F,满足BF LAC？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 19.(17分)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，以D为原点，分别以DA,DC,DD为x,y,z 轴建立空间直角坐标系. D C (1)写出点A,B,C的坐标： B (2)求平面ABC的一个法向量： (3)证明：直线AD,/1平面ABC. B