北京十一晋元中学2025-2026学年下学期九年级 第十一学段数学II课程周诊断

北京十一晋元中学2025-2026学年度初三年级第十一学段数学Ⅱ课程周诊断(2026.4) 考试时间：120分钟满分：100分 注意事项： 1. 本试卷共4页，共三道大题，28道小题 2. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 一。选择题（本题共16分，每题2分） 1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（) A.圆柱 B.五棱柱 C.长方体 D.五棱锥 Q 2m 第1题图 第4题图 第5题图 第7题图 2.科研人员利用人工智能设计出一种新型的纳米笼”.这种“纳米笼的直径为75纳米，1纳米等于109米.若 将这种新型纳米笼的直径记作n米，则n的值为（) A.7.5×106 B.7.5×107 C.7.5×108 D.7.5×109 3.实数，b在数轴上对应点的位置如右图所示，下列结论正确的是()· -1 0 A.ab0 B.a+b<0 C.+2>b+2 D.a-1>b-1 4.如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和() A.比原多边形多180°B.比原多边形多360°C.与原多边形相等D.比原多边形少180 5.如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为2，底面半径为1m,制作这把遮阳伞至少需要用布料() 1 A.4o2 B.22 C.n2 D.2m2 6.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出 一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是() 1 R月 1 A. C. n月 7.如图，点P为⊙O外一定点，连接OP,作以OP为直径的⊙A,与⊙O交于两点Q和R,根据切线的判断， 直线PQ和PR是⊙O的两条切线.由△OQP≌△ORP得，PQ=PR,∠OPQ=∠OPR,即切线长定理.上述过程 中，可以判定△OOP≌△ORP的依据是() A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等D.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 第1 8.如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O,H为AB延长线上的一点，且BH=BD,连接DH,分别交AC, BC于点E,F,连接BE,给出以下三个结论： 0 ①BE平分LCBD;②tanH=V2-1;③2AB2=DEDH: E 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ c.②③ D.①②③ H 二.填空题（本题共16分，每题2分） B 9.若式子√x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 10.因式分解：4a2a月 1 山.分式方程+1三2的解为 12.若关于x的一元二次方程x2+4x-m=0有实数根，则的取值范围是 13.某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率y与该班参加 测试人数x的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个 班合格人数最多的班级是 班. y y个 D E M 丙 B 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限内，⊙A经过坐标原点O,并与两坐标轴分别相交于B, C两点，点D在⊙A上，已知ntan-BD0=子点C的坐标为0,4)，则圆心A的坐标是 15.如图，点E为正方形ABCD上AB边上点，AMLDE于点M,CNLDE于点N,若AM=3,N为DM中点，则 AE长度是 16.甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数a,b,c(0<a<b<c)的三张卡片中各拿一张，获得与 卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏.如果他们做了（心2） 次游戏后，甲共获得25颗糖果，乙共获得15颗糖果，丙共获得11颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙 拿到的是写有整数c的卡片，那么n的值为：第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是 （填“d”,“b'或c) 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21题4分，第22题6分，第23题5分，第 24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17.计算：8sin60°+1-V27列+(-3)1-1-V30 2(x-1)<x+2 18.解不等式组： x+5<2x 19.已知：a~b-2=0,求代数式(2a25+a2)(a-b2的值. 20.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是CD边的中点，连接OE.过点O,E作直线BC的垂线， 垂足分别为F,G. (1)求证：四边形OEGF是矩形： (2)若四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=8,求矩形OEGF的面积. 0 E B C 21.在平面直角坐标系xOy中，函数y=+b(k0)的图象经过点A(0,2)和B(-2,5),与过点(0，-1) 且平行于x轴的直线交于点C. (1)求该函数的表达式及点C的坐标： (2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=~x+a的值于小于函数y=kx+b(0)的值且大于-1，直接写 出a的值. 第 22.羽毛球运动深受大众喜爱，该运 单打后发球线 动的场地是一块中间设有球网的 单、双打后发球线间亜 双打发球线 矩形区域，它既可以进行单打比赛 双单 中 打打 也可以进行双打比赛.如图是羽毛 边边 右发球区 我左发球区 球场地的平面示意图，己知场地上 各条分界线宽均为4c,场地的长 前我球线 比宽的2倍还多120cm(包含分界 线宽)，单、双打后发球线（球网 球网 同侧)间的距离与单、双打边线（中 1180cm 线同侧)间的距离之比是12：7.根 前发球线 据图中所给数据，求单、双打后发 球线间的距离. 单双 左发球区我右发球区 4cm= 单、双打后发球线间 双打发球线 4cm= 单打发球线 -510cm 4cm 4cm 单、双打边线间距 单、双打边线间距 23.某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成 绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A:90x≤100：B:80x<90:C:70sx<80:D:60Sx<70: E:50x<60).并绘制了如下尚不完整的统计图. a.抽取学生成绩等级人数统计表 等级 以 B C D E 人数 u 9 10 4 2 b.抽取学生成绩等级扇形统计图 其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120° A c.抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列： 120 B 70,71,72,73,74,76,76,77,78,79. 根据以上信息，回答下列问题： (1)该抽样的样本容量为一，抽取学生成绩的平均数x是否一定满足70≤x<80 (填“是”或“否”)； 2页 (2)全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为 (3)将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以 下的同学组成乙组.若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是； 若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为s子，s吃，则s子，s 的大小关系为：s S子（填写“>w<”或“=”). 24.如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD (1)求证：AC是⊙O的切线； C2)若点B是D的中点，连接A交BC于点R,当tanC--cD=4时，求4的。值 25.不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特 色的香水.某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置 在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为x(i)时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为 1,y2,,记录部分实验数据如下： x (min) 0 20 40 60 80 100 120 y 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 V2 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 V3 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 (1)在平面直角坐标系xOy中，函数y1,y3的图象如图所示，己描出表中(x,y2)所对应的部分点，请画出函 数y2的图象： (2)根据函数图象，当放置30in时，甲香料的香气强度约为 丙香料的香气强度为 (结果均保留二位小数) 第 (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香 料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用.用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制 为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置90in时，该时刻起主要作用的香料为一；（填“甲“乙”或“丙”) ②若总共放置时间为120min,则起主要作用时间最长的香料为」 (填“甲“乙”或“丙”)，该香料起主要作 用的时长为 2 5 7 T一 3 2 1y3 204060 80100120xmin) 26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+bx-4(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A的 坐标为（←1,0），且OC=OB (1)求抛物线的解析式： (2)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点P作PQ//x轴，点Q的横坐标为-m+5.已知点P与 点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小.当PQ≤10时，求线段PQ与二次函数y=x2+bx-4的图象 交点个数及对应的m的取值范围. 3页 27.在△ABC中，∠A=90°，AC=AB,D为线段AC上一点.在AB边上截取BE=2AD,过点E作EF1BD交BC 于点F,连接FD (I)如图1，若BD平分∠ABC,过点D作DM1BC交BC于点M,连接DM.求证：BF=V2CD: (2)如图2，猜想线段DF,EF,BD之间的数量关系，并证明. A E D E B F M B F 图1 图2 A A ◇入 D D E ⊙ B A A D D E B C B 备用图 第 28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA, CB中一条经过点O,另一条是OO的切线，则称点C是弦AB的“关联点”， (1)如图，点A(-1,0),2 (99.a95. 2，-2 ①在点C(-1,1),C,(-√2,0)，C,(0,V2)中，弦AB,的“关联点”是 ②若点C是弦AB,的“关联点”，直接写出OC的长： (2)已知点M0,3),N55 ,0,对于线段恤W上一点8，存在O0的弦P9,使得点S是弦PQ的“关联点 PO的长为t,当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围. y C 4页参考答案与试题解析 一。选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 答案 B D Y B 公 D D 一。选择题（共8小题） 1.如图是某几何体的三视图，该几何体是() A.圆柱 B.五棱柱 C.长方体 D.五棱锥 【解答】解：由几何体的左视图和俯视图都是长方形，故该几何体是柱体，又因为主视图是五边形，故该几何 体是五棱柱. 故选：B。 2.科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”.这种“纳米笼的直径为75纳米，1纳米等于109米.若 将这种新型纳米笼'的直径记作n米，则n的值为() A.7.5×106 B.7.5×107 C.7.5×108 D.7.5×109 【解答】解：=75×109=7.5×108. 故选：C 3.实数4，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是() 0 6 A.ab0 B.ab<0 C.H2>b+2 D.a-1>b-1 【解答】解：观察数轴可知：-1<a<0,1<b<2,bl>d,a<b, a-1<b-1, ab<0,b>0,t2<b+2,la-1>b-1, A,B,C选项均错误，D选项正确， 故选：D 4.如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和() 第 A.比原多边形多180° B.比原多边形多360 C.与原多边形相等 D.比原多边形少180° 【解答】解：设原多边形的边数为，则得出的新多边形的边数为+1， 即(+1-2)×180°-(n-2)×180°=180°， 即新多边形的内角和比原多边形的内角和多180°， 故选：A. 5.如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为2，底面半径为1m,制作这把遮阳伞至少需要用布料() 2m Im 1 A.4D2 B.22 C.02 D.5m2 【解答】解：根据侧面积公式进行计算可得： 制作这把遮阳伞至少需要用布料2×1×π=22； 故选：B. 6.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出 一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是() 吉 B. 1 2 C. D. 3 2 3 【解答】解：根据题意列表得： 锁1 锁2 钥匙1 (锁1，钥匙1) (锁2，钥匙1) 钥匙2 (锁1，钥匙2) (锁2，钥匙2) 钥匙3 (锁1，钥匙3) (锁2，钥匙3) 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种， 则随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是忌=号 是6=3 5页 故选：B 7.如图，点P为⊙O外一定点，连接OP,作以OP为直径的⊙A,与⊙O交于两点Q和R,根据切线的判断， 直线PO和PR是⊙O的两条切线.由△OQP≌△ORP得，PQ=PR,∠OPQ=LOPR,即切线长定理.上述过程 中，可以判定△OOP≌△ORP的依据是() Q A A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【解答】解：题中判定出直线PQ和PR是⊙O的两条切线， LOQP=LORP=90°， 在Rt△POO与Rt△POR P0=P0 0Q=0R .'Rt△POQ≌Rt△POR（HL), 判定依据为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 故选：D 8.如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O,H为AB延长线上的一点，且BH=BD,连接DH,分别交AC, BC于点E,F,连接BE,给出下面三个结论： ①BE平分LCBD: ②tamH=V2-1: ③2AB2=DEDH: 上述结论中，所有正确结论的序号是() 第6页 D C 、E F A B A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【解答】解：设AB=BC=CD=AD=a, 四边形ABCD是正方形， .CDIAB,BD=V2a=BH, tmi-器-a2a DA tanH=√2-l,故②正确； .BD=BH, ∴LH=∠BDH, .CDILAB, :LCDE=H, ∴LCDE=∠BDE=∠H, ~四边形ABCD是正方形， ∴AC垂直平分BD,∠CDB=∠CBD .DE=BE .LEDB=LEBD, ∠CDE=∠CBE ∠CBE=∠DBE, ∴BE平分LCBD,故①正确： .∠BDE=∠BDE,∠EDB=∠H=∠DBE, ∴△DEB∽△DBH DE DB 'DB =DH' ..DB2=DEDH, AC2=2AB2=DE.DH, 故③正确： 故正确的有①②③， 故选：D 二。填空题（共8小题） 9.若式子√x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥-3· 【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得之-3. 故答案为：之-3 10.因式分解：0-a= 三a(a+2)(a-2)_. 【解答】解：d-a =a(a2-4 =a(a+2)(a-2）). 故答案为：a(a+2)(a-2) 4 山.分式方程号+1=子的解为二2、 2 【解答】解：去分母，得x+1+x2-1=2, 整理，得x2+x-2=0, .（x+2)(x-1)=0 x1=-2,x2=1 当x=-2时，(x+1)(x-1)0, 所以x=-2是原方程的解： 当x=1时，(x+1)(x-1)=0, 所以x=1不是原方程的解. 故答案为：x=-2 12.若关于x的一元二次方程x2+4x-m=0有实数根，则m的取值范围是2-4· 【解答】解：关于x的一元二次方程x2+4x-m=0有实数根， △=42-4×1×(-m)≥0， 解得，12-4， 故答案为：2-4. 13.某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率y与该班参加 测试人数x的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个 班合格人数最多的班级是丙班. 第 y个 丙 0 【解答】解：甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 设反比例函数表达式为y=则令甲(x1,)、乙(2,2)、丙(x3,y)小、丁(x4,4), 过乙点作y轴平行线交反比例函数于(x2,y'2),过丙点作y轴平行线交反比例函数于(x3,y3),如图所示： y个 甲 A 0 由图可知y2>y2,y3'<3, (x1,y1)、乙（x2,y2)、丙（x3,y')、丁(x4,y4),在反比例函数图象上， 根据题意可知xy=优秀人数，则： ①xy1=k=x4y4,即甲、丁两个班级优秀人数相同： ②xy2<x2y'2=k,即乙班级优秀人数比甲、丁两个班级优秀人数少； ③xy>xy'3=k,即丙班级优秀人数比甲、丁两个班级优秀人数多； 综上所述：乙班级优秀人数<甲班级优秀人数=丁班级优秀人数<丙班级优秀人数， ·在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙， 故答案为：丙 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限内，⊙A经过坐标原点O,并与两坐标轴分别相交于B, C两点，点D在⊙A上，已知tam∠BD0-子点C的坐标为(0,4，则圆心A的坐标是(-素2》一· y C A D 7页 【解答】解：连接BC,过点A分别作AM1BO,ANICO,点M,N分别是垂足， 根据垂径定理得MO=0.5BO,NO=0.5CO, B0=B0, ∠BCO=∠BDO, ,2BC0=tan∠BD0-号 ~点C的坐标为(0,4)，∠BOC=90°， BC是直径 .C0=4,NVO=2 恕黄 3BO=8, 80-号 0-专 圆心A的坐标是(-号2)， 故答案为：(-素2). 15.如图，点E为正方形ABCD上AB边上点，AMLDE于点M,CNLDE于点N,若AM= 3V5 AE长度应是 2 D M 【解答】解：正方形ABCD中，AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°， .∠AD什∠CDN=90°， .CNLDE,AMLDE, ∴.∠DCNH∠CDN=90°，∠DNC=∠AD=90°， LDCN=∠ADM, '.△ADM≌△DCN(AAS), .AM=DN=3,DM=CN, N为DM中点， ..MN=DN=3, ..DM=MNADN-6, AD=VAM2+DM2=V32+62=3V5, .'∠ADM=∠EDA,∠AMD=∠EAD=90°， AM DM △AD△EDA, AE AD 是- 6 AE=35 2 3v5 故答案为： 2 16.甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数a,b,c(0<a<b<c)的三张卡片中各拿一张，获得与 卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏.如果他们做了（心2） 次游戏后，甲共获得25颗糖果，乙共获得15颗糖果，丙共获得11颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙 拿到的是写有整数c的卡片，那么的值为3；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是b.(填“d', “b”或“c”) 【解答】解：根据题意得，n(a+b+c)=25+15+11=51: 因为51=3×17，则n=3,atb+c=17. 3,N为DM中点，则 因为丙共获得11颗糖果，且0<a<b<c, 所以丙在前2次游戏中拿到的都是写有整数a的卡片，即a+a什c=11; 从而得到a=1,b=7,c=9. 因为乙共获得15颗糖果，所以乙不可能拿到写有整数c的卡片，则乙在第1次游戏中拿到的卡片上写的整数 只能是b. 故答案为：3；b. 三。解答题（共12小题） 17.计算：8sim60°+1-V271+(-3)1-1-V③° 【解答】解：8sin60+1-V27列+(-3)1-(1-V° 第8页 =8×受+3V5-3-1…每项化简正确各1分 =4v5+3v5-4 =73-4. …5 (2x-1)<x+2 18.解不等式组： x+5 <2x (2(x-1)<x+2① 【解答】解： x+5 3 <2x② 解不等式①得，x<4,…2 解不等式②得，x>1,…4 所以不等式组的解集为1<x<4.…5 19.已知：a-b-2=0求代数式(z5+a2)Q-)2的值. b b 【解答】解：（2a+2b+a2”z)(a-b)2 a-b 2b =【2a+a-D+2a+ba-可]a-b22 a+b =2a+ba-可(a-b)2…3 =0-b,…4 2 a-b-2=0, a-b=2, 则原式-号-1.…5 20.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是CD边的中点，连接OE.过点O,E作直线BC的垂线 垂足分别为F,G. (1)求证：四边形OEGF是矩形： (2)若四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=8,求矩形OEGF的面积· D 0 E B F C 【解答】(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=OD E是CD边的中点， ..DE=CE, OE是△BCD的中位线， OEBC, 即OEILFG, .OFLBC,EGLBC, OFIEG, 四边形OFGE是平行四边形， .∠OFG=90° 四边形OEGF是矩形；…3 (2)解：四边形ABCD是菱形， AC⊥BD MB0C=∠C0D=90,0B=0D=2BD=4,0C=3AC-3, BC=CD=V42+32=5, E是CD边的中点， 0B=2CD-多 .OFLBC, SABOC= BC-OR-T0B-OC, 0r=oB0c-3-号 BC 5 矩形OBGF的面积=O0B-×号 =6,…6 故答案为：6. 21.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k0)的图象经过点A(0,2)和B(-2,5),与过点(0，-1) 且平行于x轴的直线交于点C (1)求该函数的表达式及点C的坐标： (2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=-x+a的值于小于函数y=+b(0)的值且大于-1，直接写 出a的值. 【解答】解：1把点A0,2》和8(-2,5)代入y=+b(0)得：P2水子6=5 第9页 解相=一是 单打后发球线 (b=2 单、双打后发球线间硬 双打发球线 该函数的解析式为y=-之+2，…2 双 打打 由题意知点C的纵坐标为-1， 边妆右发球区 线左发球区 当=-多+2=1时， 解得：x=2, 前我球线 C(2,-1)…3 (2)由(1)知：当x=2时，=-2+2=1， 球网 1180c 因为当x<2时，y=-x+a的值于小于函数y=x+b(0)的值且大于-1， 所以当y=-x+a过点(2，-1)时满足题意， 前发球线 -1=-2+a, 单双 解得：a=1.…4 打打 左发球区我右发球区染招 22,羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以 线线 进行双打比赛.如图是羽毛球场地的平面示意图，己知场地上各条分界线宽均为4c,场地的长比宽的2倍还 4cm 双打发球线 多120m(包含分界线宽)，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离 单、双打后发球线间晻 4cm= 单打发球线 之比是12：7.根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离. 510cm 4cm4cm 单、双打边线间距 单、双打边线间距 【解答】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12xCm,则中线同侧的单、双打边线间的距离是 7xcl,…1 根据题意得：1180叶2×12x+4×4=2（510+2×7x+4×4)+120,…4 解得：x=6,…5 l2x=12×6=72(c1m).…6 答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm. 23.某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成 绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A:90x≤100：B:80x<90:C:70x<80:D:60x<70: E:50Sx<60).并绘制了如下尚不完整的统计图. a.抽取学生成绩等级人数统计表 等级 A B D 人数 0 10 第10页 b.抽取学生成绩等级扇形统计图 由表知，共有25种等可能结果，其中他们的分数 其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120°. 所以他们的分数之差不低于8分的概率为 3 c.抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列： 乙组数据为70、71、72、73、74、75， 70,71,72,73,74,76,76,77,78,79. 1 其平均数为-×(70+71+72+73+74+75)=72.5， 根据以上信息，回答下列问题： 6 (1)该抽样的样本容量为30，抽取学生成绩的平均数x是否一定满足70≤元<80否一（填“是或“否”）： 方差s好=君x[(70-725)24(71-725)24(72 (2)全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为200名： 甲组数据为75、76、76、77、78、79， (3)将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以 其平均数为×(75+76+76+77+78+79)=461 6 下的同学组成乙组，若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是 方差号-名x[(75-给)242x(7640)24(77 25一：若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为s子，，则 35、65 s,s的大小关系为：S1_<S吃（填写“>w<”或“=”）.…每空1分 “12361 s1<s2, 故答案为：25 120 24.如图，AB是⊙O的直径，∠B=LCAD (1)求证：AC是⊙O的切线： 【解答】解：(1)该抽样的样本容量为10÷0-30，抽取学生成领的平均数元-0× (2)若点E是BD的中点，连接AE交BC于点F, （5x95+9×85+10x75+4×65+2×5)=236 B 3 所以抽取学生成绩的平均数x7可能位于0≤x<80,但不能确定一定位于该组， F 故答案为：30、否： D 5 (2)全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为1200×0=200（名）， 故答案为：200名： 【解答】(1)证明：AB是⊙O的直径， (3)列表如下： .∠ADB=∠ADC=90°， 70 71 72 73 74 .∠B=∠CAD,∠C=∠C, 76 6 4 2 .∴△ADC△BAC 76 6 4 2 .∴∠BAC=∠ADC=90°， 77 7 6 3 ∴BALAC, 78 7 4 又AB是⊙O的直径， 79 9 8 7 6 AC是⊙O的切线.…3 第11页 之差不低于8分的只有3种结果， 72.5)24(73-72.5)24(74-72.5)24(75-72.5)1= 35 12 4)4(78)4(79给)-铝 当tamG-写CD-4时，求A的值. (2)解：在Rt△4CD中，tanc=5 CD=4, AD V5 CD 2 4D=2V5 .AC=VAD2+CD2=6, 点E是BD的中点， .BE DE ∴∠DAE=∠BAE ∴∠CAF=∠CADH∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD, .CA=CF=6 DF=CE-CD=2. 在Rt△AFD中，AF=VDF2+AD2=2V6. …6 25.不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特 色的香水.某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置 在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为x(i)时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为 1,y2,y3,记录部分实验数据如下： x (muin) 0 20 40 60 80 100 120 … VI 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 2 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 V3 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 (1)在平面直角坐标系xOy中，函数1，y3的图象如图所示，已描出表中(x,2)所对应的部分点，请画出 函数y2的图象； (2)根据函数图象，当放置30m时，甲香料的香气强度约为1.3，丙香料的香气强度约为0.9；（结 果均保留一位小数) (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他 香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用.用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调 制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置90in时，该时刻起主要作用的香料为丙一；（填“甲“乙”或“丙） ②若总共放置时间为120mim,则起主要作用时间最长的香料为乙（填“甲“乙”或“丙”），该香料起主要作 用的时长为60im. 第1 2 5 ----片---- 3 ----1---L------J 二----- ---- y 20 40 6080100120x(min) 【解答】解：(1)由题意，作图如下： 5 ----y3 y 204060 80100120cmin) …1 (2)由图可知：当放置30in时，甲香料的香气强度约为1.58，丙香料的香气强度约为0.91， 故答案为：1.58(1,57,1.56)；0.91；…3 （3)解：①由图象可知，当放置90in时，该时刻起主要作用的香料为丙， 故答案为：丙；…4 ②由图象可知，总共放置时间为120mim,则起主要作用时间最长的香料是乙，该香料起主要作用的时长为60nim, 故答案为：乙，60.…6 26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=m2+bx-4(0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A的 坐标为(-1,0)，且OC=OB. (1)求抛物线的解析式： (2)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点P作PQIx轴，点Q的横坐标为-m+5.已知点P与 点Q不重合，且线段P9的长度随m的增大而减小.当PQs10时，直接写出线段PQ与二次函数y=ax2+bx一 4(-≤m<)的图象交点个数及对应的m的取值范围. 【解答】解：(1)~点A的坐标为(-1,0)， a-b-4=0①， 令x=0,则y=-4, 2页 C(0,-4), .∴OC=4, .OC=OB, 0B=4, B(4,0), 16什4b-4=0②， 由①②可得a=1,b=-3, y=x2-3x-4;…2 (2)由题意可知P(,1m2-3-4),Q(-+5,2-3-4), P2=|2-5, 当P点在Q点右侧时，PQ=2-5, 此时PQ的长度随m的增大而增大，与题意不符： 当P点在Q点左侧时，PQ=-2叶5， 此时PQ的长度随的增大而减小， ∴.-+5>m m家 …3 PQ10, .-2+5≤10， ≤m 可得-m …4 当P、Q重合时，=-t5, 解得m= y=2-3x-4的对称轴为直线x= x=与x=对应的函数值相等。 2 2 当点P在对称轴上或右边时，即三≤m<时，线段P0与抛物线只有 当点P在对称轴左边时，如图， y 1111111 A 0 B Q 则P0=-2+5,PP=2(3-m)=-2m+3, PO>PF, 当-≤m<时，线段P0与抛物线有两个交点.… 27.在△ABC中，∠A=90°，AC=AB,D为线段AC上一点.在AB边上截取BE=2AD,过点E作EF1BD交BC 于点F,连接FD. (1)如图1，若BD平分LABC,求证：BF=√2CD: (2)如图2，猜想线段DF,EF,BD之间的数量关系，并证明， A D D B R 图1 图2 【解答】(1)证明：如图，过点D作DMLBC于M,设EF,AD交于O, A E 个交点（交点即点P):…5 D B BD平分∠ABC,∠A=90°，DMLBC, 第13页 DM=AD,∠EBO=∠FBO: 设AD=DM=a,则BE=2AD=2a, .∠A=90°，AC=AB, ∠C=∠ABC=45°， ∴△DMC是等腰直角三角形， ..CM=DM-a, CD =VDM2+CM2=V2a; .:EF⊥BD,∠BOE=∠BOF=90°， 又OB=OB, △BOE≌△BOF(ASA), ∴BF=BE=2a, ∴BF=√2CD:…3 (2)解：BD=EF叶DF,证明如下：…4 如图，作正方形ABHC,取BE中点G,连接HG交BD于T,延长EF交CH于M, D G B F C M 由正方形的性质可得AB=BH,∠A=∠ABH=90°，ABIICH, G是BE中点，BE=2AD, ∴BG=AD, '△BGH≌△ADB(SAS), .·GH=BD,∠ABD=∠BHG .∠BHG+∠BGH=90° ∴∠ABD+∠BGH=90°， .∠BTG=90°， GH⊥BD, .EFLBD, .GHEM, 又ABIICH, 四边形GHMB是平行四边形， BD=GH-EM,HM EG=BE AD, .AC-AD=CH-HM, 即CD=CM, .CF=CF,∠DCF=∠MCF=45°， .△DCF≌△MCF(SAS), ..DF-MF .EM-EF+MF, BD=EF叶DF.…7 28.（2023·北京)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和⊙0外一点C给出如下定义： 若直线CA,CB中一条经过点O,另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点” 1如图，白10,4(5，号.么（行写 ①在点C(-1,1),C,(V2,0),C,(0,V2)中，弦AB,的“关联点”是_CC一； ②若点C是弦AB,的“关联点”，直接写出OC的长； ②2)已知点MQ,3),N50,对于线段MW上一点8，存在OO的弦P9,使得点S是弦PO的“关联点”记 PQ的长为t,当点S在线段MW上运动时，直接写出t的取值范围. 【答案】(1)①C,C2;…2 ②0C=√2；…4 第14页