专题01二元一次方程组的计算与含参问题十类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题01 二元一次方程组计算与含参问题十类题型 典例详解 类型一、根据二元一次方程的定义求参数 类型二、代入法、加减法解决二元一次方程组 类型三、整体法思想解方程组 类型四、已知二元一次方程组的解求参数 类型五、根据二元一次方程组同解求参数 类型六、根据二元一次方程的整数解求参数 类型七、含参方程的解满足特定条件 类型八、二元一次方程组看错抄错类问题 类型九、二元一次方程组的唯一解 类型十、二元一次方程组的无穷解 压轴专练 类型一、根据二元一次方程的定义求参数 例1（21-22七年级下·云南西双版纳·期中）若是关于、的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义求解，需要满足x，y的次数为1，x，y的系数不为0，据此列等式和不等式即可求出m的值． 【详解】解：∵原方程是关于x，y的二元一次方程， ∴需要满足两个条件： ① x的次数为1，即， 即或， 解得或； ② y的系数不能为0，即，得， ∴综上，. 变式1-1（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 变式1-2（22-23七年级下·广西贵港·月考）若方程是二元一次方程，则a的值为________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，得到关于的约束条件，求解即可得到的值． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ∴， 由，得， 解得或， 由得， ． 故答案为：． 变式1-3（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 类型二、代入法、加减法解决二元一次方程组 例2（22-23七年级下·山东淄博·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 变式2-1（21-22七年级下·山东烟台·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程组整理后利用加减法求解即可； （2）利用加减法求解即可. 【详解】（1）解：整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴. 变式2-2（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】由二元一次方程组的解法步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得， 解得； 将代入①得； ； （2）解：， 去分母得， ①②得， 则； 将代入①得； ． 类型三、整体法思想解方程组 例3（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 变式3-1（25-26八年级上·全国·课后作业）在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小敏还想到了一种新的解法： 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．请你利用“整体代入消元法”解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 把看成一个整体代入①中求出，再将求出的代入②求出即可. 【详解】解：将方程组变形为 将②代入①，得，解得． 将代入②，得， 所以原方程组的解是 变式3-2（25-26七年级下·重庆·月考）阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． （1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出x，y，代入求解即可； （2）根据题意所给材料可得出，然后利用整体代换的思想求解． 【详解】（1）解：对于， 令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴将两边同时除以3得：， ∴， 解得：． 变式3-3（24-25七年级下·云南昆明·期中）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组 解：把②代入①，得，解得， 把代入②，得． 所以方程组的解为． (1)请用同样的方法解方程组； (2)已知方程组的解为，可以运用整体思想， 解方程组直接得出_____，_____， 所以该方程组的解为_____． 【答案】(1) (2)；； 【分析】本题考查了解二元一次方程组的整体代入法和换元法，解题关键是通过整体代入和换元，将复杂方程组转化为简单方程组求解； （1）仿照已知整体代入法求出方程组的解即可． （2）设，，利用换元，整体代入法求出方程组的解即可． 【详解】（1）解： 由①，得③． 把③代入②，得 解得．         把代入③，得．     所以方程组的解为 （2）令，，则 ， ∵方程组的解为， 即， 解得， 故答案为：，，． 类型四、已知二元一次方程组的解求参数 例4（21-22七年级下·四川眉山·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 【答案】 5 1 【分析】将已知代入方程，先求出即的值，再将与求得的代入，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入，得， 解得，即表示的数为， 将，代入，得， 即表示的数为． 变式4-1（25-26七年级下·广东江门·月考）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】将待求方程组变形，换元后可得到与已知方程组结构相同的同解方程组，结合已知方程组的解即可求出目标方程组的解． 【详解】解：将两边同时除以2， 变形可得， 令， 则方程组可化为， 该方程组与原方程组系数完全相同，为结构相同，故其解的形式也相同， 已知原方程组的解为， 因此可得， 即，解得． 变式4-2（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将与看作整体，对应已知方程组中的a与b，得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：对比两个方程组的结构可得， 由，得， 由，得， 因此方程组的解为． 变式4-3（21-22七年级下·湖北武汉·月考）关于， 的方程组的解是，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求一个数的平方根． 把关于，的方程组的解代入方程组，可得关于，的二元一次方程组，解方程组可得，，从而可得，求平方根即可． 【详解】解：∵关于， 的方程组的解是， ∴， 解得， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 类型五、根据二元一次方程组同解求参数 例5（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【分析】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 变式5-1（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含与的方程形成新的方程组，求解新方程组得到与的值，代入剩下的方程求出与的值，最后代入求解即可． 【详解】解：联立得：， ①②得：，即， 把代入①得：， 将代入得， 将代入得， 联立得， 解得：，， 则． 变式5-2（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 【答案】 4 【分析】先解方程组，再由关于x，y的方程组与有相同的解得到x，y的值，将x，y的值代入通过解二元一次方程组求得a，b的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴关于x，y的方程组的解也是， ∴，解得． 变式5-3（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】先根据题意得到方程组，解方程组求出，进而得到关于a、b的方程组，求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得：， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， ∴， 解得， ∴． 类型六、根据二元一次方程的整数解求参数 例6（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 【答案】3 【详解】解：， 由②得， 将代入①得， 整理得，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解均为整数， ∴或， 解得或或13或， ∵k为正整数， ∴或或13，共3个． 变式6-1（2026·重庆·二模）已知是关于的方程的一个解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则的值为______． 【答案】 【分析】根据方程，对的取值范围进行分类讨论，求解出可能的值， 再结合，得出，将的值代入，取使为整数所对应的的值即可． 【详解】解：∵是关于的方程， 由绝对值的几何意义， 表示的是所代表的数到和的距离为， 当时，得， 解得，即； 当时，此时，故不存在对应的值； 当时，得， 解得，即； 故的值为或， ， 上下相加得， 即， ∵方程组的解为整数， 当时，，不满足题意要求， 当时，，满足题意要求， 故的值为． 变式6-2（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 类型七、含参方程的解满足特定条件 例7（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数． 将两方程相加后根据求解即可． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 变式7-1（25-26八年级上·广东深圳·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题根据二元一次方程组解的情况求参数，将方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，然后代入已知条件，即可求出k的值． 【详解】解：方程组为：， 将两方程相加，得：， 即 ， ∴， 又 ∵ ， ∴， 故选：D． 变式7-2（25-26七年级上·安徽淮北·期末）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解． 【详解】解：由解互为相反数，得．与方程联立， 解得． 将代入方程， 得， 即2+5=3a+7，7=3a+7， 解得． 故答案为0． 变式7-3（25-26八年级上·四川成都·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为_____ 【答案】7 【分析】本题考查二元一次方程组的解与整体代入法．解题的关键是将两个方程相加， 得到与的关系式， 再代入求解． 【详解】解：将两个方程相加： 简化得： 即： 代入： 移项得： 解得： 故答案为：7． 类型八、二元一次方程组看错抄错类问题 例8（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 变式8-1（24-25七年级下·山东烟台·月考）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，解关于x，y的方程组即可解答． 【详解】解：把代入中可得：， 解得， 把代入中可得，， 解得：． 变式8-2（19-20七年级下·四川自贡·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 【答案】 【分析】甲的正确解满足原方程组，可先求出的值，乙仅抄错，其解满足方程组中第一个方程，代入第一个方程，得到关于、的二元一次方程组，求解得到、后，计算即可． 【详解】解：把代入，得， 解得； 把代入，得， ∴，解得， ∴． 变式8-3（21-22七年级下·辽宁鞍山·月考）甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的错解问题，甲乙都看错了一个方程，但是所得的解还是另一个正确方程的解，据此代入求出，，最后再利用加减法解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵甲解题时看错了①中的m，解得， ∴把代入得，， 解得； ∵乙解题时看错了②中的n，解得， ∴把代入得， 解得， ∴原方程组为， 得，， 解得， 把代入，解得， ∴原方程组的解． 类型九、二元一次方程组的唯一解 例9（22-23七年级下·山东济宁·月考）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将关于的方程组变形为，再根据关于的方程组的解可得，由此即可得出答案． 【详解】解：关于的方程组可变形为， 由题意得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键． 变式9-1（19-20八年级上·广东深圳·期末）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于，的方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将方程组变形为，根据题意得出，从而求出方程组的解．观察方程组的结构特征得出是解题的关键． 【详解】解：∵方程组可化为， 又∵关于x，y的方程组的唯一解是， ∴， 解得：， 即关于，的方程组的解是． 故答案为：． 类型十、二元一次方程组的无穷解 例10（25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组，其中为整数．若方程组有无穷多组解，求实数与的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先根据方程组中的第一个方程可得，代入第二个方程可得，再根据方程组有无穷多组解可得，，据此求解即可得． 【详解】解：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， ∵这个方程组有无穷多组解， ∴，， 由得：， 将代入得：，解得， 将代入得：， ∴． 变式10-1（22-23七年级下·山西吕梁·月考）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 二元一次方程组解的情况的讨论 我们知道，二元一次方程组的解法主要有代入消元法和加减消元法，它的解的情况有三种．一是唯一解，例如方程组，有唯一解；二是有无穷多个解，例如方程组有无穷多个解；三是无解，例如方程组无解．下面我们讨论一下方程组，在什么情况下有唯一解，有无穷多个解或无解．我们先利用加减消元法解方程组． 解：，得．下面我们分几种情况讨论： （1）当，即时，，进而可得方程组的唯一解为． （2）当，即时， ①若，即，也就是，方程组有无穷多个解； ②若，即，也就是，方程组无解． 任务： (1)上面小论文中的分析过程中，主要体现的数学思想是 （填选项）． A．整体思想；B．分类讨论思想；C．数形结合思想 (2)请参照小论文提供的方法直接写出下列方程组解的情况： ①；②；③． (3)运用小论文提供的公式，解方程组． 【答案】(1)B (2)①有无穷多个解；②有唯一解；③无解 (3) 【分析】（1）根据对分类讨论思想进行解答； （2）根据小论文中的判断方法进行方程组解的判断； （3）根据当，即时，，进而可得方程组的唯一解为，解出答案． 【详解】（1）解：分不同情况讨论得出结果，故为分类讨论思想． 故选B． （2）由题意得 ①中，，故有无穷多个解， ②中，，故有唯一解， ③中，，故方程组无解． （3）∵，，，，，， ∴，， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂例题中对不同方程组的解的情况分类． 1.（21-22七年级下·辽宁营口·期中）解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【详解】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 2.（21-22七年级下·贵州铜仁·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解，同时也是方程的解，则____． 【答案】 【分析】先根据方程组得出，再根据得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：， 又∵， ∴， 解得：， ∴k的值为． 3.（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 【详解】解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 4.（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于、的方程组，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：， 得， 即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 5.（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的值，利用二元一次方程组和解满足的条件，通过加减消元法求出 和 y的值，再代入方程求 即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解满足， ∴二元一次方程组的解也是二元一次方程组的解， 解，得， 把代入，得， 解得； 故答案为：． 6.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）已知是关于，的二元一次方程，则的值__________． 【答案】5 【分析】只含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是1的整式方程是二元一次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：，， ∴． 7.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程组和有相同的解，求a、b的值． 【答案】， 【分析】将两个方程组的第一个方程联立求出x和y的值，再代入另外两个方程得到关于a和b的二元一次方程组，从而求出a、b的值． 【详解】解：∵方程组和有相同的解， ∴①和③联立方程组得：， 解得：， 将代入②和④，并联立方程组得：， 解得：， 即a、b的值分别为、7． 8.（21-22七年级下·四川遂宁·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的m得到方程组的解为，乙看错了方程②中的n得到方程组的解为． (1)求m，n的值； (2)按正确的解，求的值． 【答案】(1)的值为2，n的值为1 (2) 【分析】（1）将甲得出的解代入方程②，可求出n的值，将乙得出的解代入方程①可得出m的值； （2）将m，n的值代入原方程组，解之可求出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：将甲得出的解代入方程②得：， 解得：； 将乙得出的解代入方程①得：， 解得： 的值为2，n的值为1； （2）解：将代入原方程组得：， 解得：， 9.（25-26七年级下·全国·课后作业）若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解与方程的综合应用，掌握通过消元法用参数表示方程组的解，再代入条件建立关于参数的方程是解题的关键． 先通过加减消元法解出方程组的解，再将解代入的条件，得到关于的一元一次方程，最后求解的值． 【详解】解： ，得，解得． 把代入②，得，解得． ∴方程组的解为 ， ， 解得． 10.（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)没有，理由见详解 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【详解】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程组计算与含参问题十类题型 典例详解 类型一、根据二元一次方程的定义求参数 类型二、代入法、加减法解决二元一次方程组 类型三、整体法思想解方程组 类型四、已知二元一次方程组的解求参数 类型五、根据二元一次方程组同解求参数 类型六、根据二元一次方程的整数解求参数 类型七、含参方程的解满足特定条件 类型八、二元一次方程组看错抄错类问题 类型九、二元一次方程组的唯一解 类型十、二元一次方程组的无穷解 压轴专练 类型一、根据二元一次方程的定义求参数 例1（21-22七年级下·云南西双版纳·期中）若是关于、的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 变式1-1（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 变式1-2（22-23七年级下·广西贵港·月考）若方程是二元一次方程，则a的值为________． 变式1-3（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 类型二、代入法、加减法解决二元一次方程组 例2（22-23七年级下·山东淄博·期中）解方程组： (1)； (2)． 变式2-1（21-22七年级下·山东烟台·期中）解方程组： (1) (2) 变式2-2（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 类型三、整体法思想解方程组 例3（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 变式3-1（25-26八年级上·全国·课后作业）在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小敏还想到了一种新的解法： 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．请你利用“整体代入消元法”解方程组 变式3-2（25-26七年级下·重庆·月考）阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，解方程组． 变式3-3（24-25七年级下·云南昆明·期中）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组 解：把②代入①，得，解得， 把代入②，得． 所以方程组的解为． (1)请用同样的方法解方程组； (2)已知方程组的解为，可以运用整体思想， 解方程组直接得出_____，_____， 所以该方程组的解为_____． 类型四、已知二元一次方程组的解求参数 例4（21-22七年级下·四川眉山·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 变式4-1（25-26七年级下·广东江门·月考）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 变式4-2（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 变式4-3（21-22七年级下·湖北武汉·月考）关于， 的方程组的解是，则的平方根是_________． 类型五、根据二元一次方程组同解求参数 例5（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 变式5-1（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 变式5-2（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 变式5-3（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 类型六、根据二元一次方程的整数解求参数 例6（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 变式6-1（2026·重庆·二模）已知是关于的方程的一个解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则的值为______． 变式6-2（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 类型七、含参方程的解满足特定条件 例7（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 变式7-1（25-26八年级上·广东深圳·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．3 变式7-2（25-26七年级上·安徽淮北·期末）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 变式7-3（25-26八年级上·四川成都·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为_____ 类型八、二元一次方程组看错抄错类问题 例8（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 变式8-1（24-25七年级下·山东烟台·月考）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 变式8-2（19-20七年级下·四川自贡·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 变式8-3（21-22七年级下·辽宁鞍山·月考）甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 类型九、二元一次方程组的唯一解 例9（22-23七年级下·山东济宁·月考）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是 A． B． C． D． 变式9-1（19-20八年级上·广东深圳·期末）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于，的方程组的解是______． 类型十、二元一次方程组的无穷解 例10（25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组，其中为整数．若方程组有无穷多组解，求实数与的值． 变式10-1（22-23七年级下·山西吕梁·月考）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 二元一次方程组解的情况的讨论 我们知道，二元一次方程组的解法主要有代入消元法和加减消元法，它的解的情况有三种．一是唯一解，例如方程组，有唯一解；二是有无穷多个解，例如方程组有无穷多个解；三是无解，例如方程组无解．下面我们讨论一下方程组，在什么情况下有唯一解，有无穷多个解或无解．我们先利用加减消元法解方程组． 解：，得．下面我们分几种情况讨论： （1）当，即时，，进而可得方程组的唯一解为． （2）当，即时， ①若，即，也就是，方程组有无穷多个解； ②若，即，也就是，方程组无解． 任务： (1)上面小论文中的分析过程中，主要体现的数学思想是 （填选项）． A．整体思想；B．分类讨论思想；C．数形结合思想 (2)请参照小论文提供的方法直接写出下列方程组解的情况： ①；②；③． (3)运用小论文提供的公式，解方程组． 1.（21-22七年级下·辽宁营口·期中）解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 2.（21-22七年级下·贵州铜仁·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解，同时也是方程的解，则____． 3.（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 4.（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于、的方程组，若，则的值为_____． 5.（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______． 6.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）已知是关于，的二元一次方程，则的值__________． 7.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程组和有相同的解，求a、b的值． 8.（21-22七年级下·四川遂宁·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的m得到方程组的解为，乙看错了方程②中的n得到方程组的解为． (1)求m，n的值； (2)按正确的解，求的值． 9.（25-26七年级下·全国·课后作业）若方程组的解满足，求的值． 10.（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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