专题04整式的乘除期中复习讲义(17大题型+题型突破+压轴专练)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题04整式的乘除期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记幂的 4 大运算、整式乘除 3 法则、2 个乘法公式，公式应用零混淆 2.掌握零指数、负整数指数幂概念，科学记数法快速转化 3.明晰整式化简步骤，区分运算类型，理清混合运算顺序 1.快速判断题型，精准套用公式，系数、符号运算不出错 2.会用 “不含某一项则系数为 0”“整体代入” 解题，突破求值难题 3.能辨识 8 大易错点，主动避坑，提升运算准确率 1.基础计算秒出答案，正确率 100% 2.中档综合题（公式变形、整体代入）快速拆解，不丢分 3.压轴题（材料阅读、构造公式）能切入，轻松拿分 题型01.幂的运算 题型02.幂的运算逆用 题型03.特殊幂的运算 题型04.单项式乘法运算 题型05.单项式乘法的求值问题 题型06.整式乘法的几何与实际应用 题型07.多项式的乘法运算 题型08.多项式乘积不含某项求字母值 题型09.多项式乘多项式化简求值 题型10.多项式乘法中的规律性问题 题型11.整式四则混合运算 题型12.平方差公式的运算与应用 题型13.完全平方公式运算与应用 题型14.完全平方公式系数与变形求值 题型15.绝对值小于1的科学记数法 题型16.整式的除法运算 题型17.新定义运算 解答题11题 知识点01.幂的运算性质 运算类型 法则表达式 适用条件 核心要点 同底数幂乘法 aman=am+n a0，m、n为正整数 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n=amn a0，m、n为正整数 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn a0，b0，n为正整数 把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 同底数幂除法 am÷an=am−n （a0，m>n） 底数不变，指数相减 零指数幂 a0=1 （a0) 非零数的零次幂等于 1 负整数指数幂 a−p= a0，n 为正整数 负指数幂等于正指数幂的倒数 知识点02.整式的乘法 1. 单项式 × 多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 多项式 × 多项式 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有积相加。 口诀：逐项相乘，再相加，不重不漏。 3.单项式单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式 知识点03.整式的除法 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除，单独字母照抄 多项式除以单项式：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m0) 知识点04.乘法公式 知识点05.科学记数法 形式：a×10n，其中1⩽∣a∣<10，n为整数 绝对值小于 1 的数：n为负整数，∣n∣等于原数左边第一个非零数字前零的个数 题型01.幂的运算 【典例】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】.下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】若的值为256，则_________． 【跟踪专练5】______． 【跟踪专练6】已知，，m，n为正整数，求=________． 【跟踪专练7】已知x满足，则___________． 【跟踪专练8】已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）． 【跟踪专练9】已知，则________． 【跟踪专练10】若整数a，b，c满足，则______． 题型02.幂的运算逆用 【典例】（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】，则（　　）里可以填写的式子是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知 ，，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】若，则____． 【跟踪专练4】若，则的值是________ 【跟踪专练5】已知正整数满足，则___________． 题型03.特殊幂的运算 【典例】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则________． 【跟踪专练2】若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知：（n是自然数）．那么的值是（    ） A． B． C． D． 题型04.单项式乘法运算 【典例】下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【跟踪专练3】若，则的值为______． 【跟踪专练4】观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为______ （提示：） 题型05.单项式乘法的求值问题 【典例】已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则__________． 【跟踪专练2】若，则________． 【跟踪专练3】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 题型06.整式乘法的几何与实际应用 【典例】定义一种新运算：（a，b为实数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各式，①；②；③；④能够表示图中阴影部分的面积的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【跟踪专练2】如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为_______．（用含有m和n的式子表示） 【跟踪专练3】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则阴影部分的面积为（    ）平方米． A． B． C． D． 题型07.多项式的乘法运算 【典例】若，则的值分别为（    ） A．1，6 B．3，6 C．5，6 D．，6 【跟踪专练1】已知，则、的大小关系为__________．（用连接） 【跟踪专练2】若关于x的二次三项式则m的值是________． 【跟踪专练3】已知，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练4】计算：________． 题型08.多项式乘积不含某项求字母值 【典例】若的展开式中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【跟踪专练1】定义一种新运算：．若，则的值为______； 【跟踪专练2】如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 题型09.多项式乘多项式化简求值 【典例】若，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【跟踪专练1】若，则代数式的值为_______． 【跟踪专练2】若实数x，y，z满足，求（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 题型10.多项式乘法中的规律性问题 【典例】我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【跟踪专练1】观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 【跟踪专练2】观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 题型11.整式四则混合运算 【典例】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对任意整数，若按下列程序计算，则输出的答案为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知，，．求的值为__________． 【跟踪专练4】定义运算：，例如：，则的运算结果是______． 【跟踪专练5】已知，则的值为______． 【跟踪专练6】有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是_______． 题型12.平方差公式的运算与应用 【典例】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】数形结合是初中数学重要的思想方法，图①到图②的变化过程描述了一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知实数a，b满足，，且，则的值为______． 【跟踪专练3】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 题型13.完全平方公式运算与应用 【典例】已知，，则的值是（　　） A．6 B．14 C． D．4 【跟踪专练1】如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则的值是 ________． 【跟踪专练3】如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型14.完全平方公式系数与变形求值 【典例】已知是一个完全平方式，则k的值是（） A． B．或 C．或 D．或 【跟踪专练1】若，，则的值为（      ） A． B．7 C．14 D．50 【跟踪专练2】如果多项式是个完全平方式，则________． 【跟踪专练3】已知，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．2或 D．10 【跟踪专练4】若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 题型15.绝对值小于1的科学记数法 【典例】袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的孢子直径约为，则数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将化为小数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】是指大气中直径小于或等于的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，则数据用科学记数法表示为________． 【跟踪专练4】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 题型16.整式的除法运算 【典例】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算______． 【跟踪专练3】已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 题型17.新定义运算 【典例】若规定符号的意义是：，则当时，的值为________________． 【跟踪专练1】规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，． （1）计算：________． （2）的值为________． 【跟踪专练2】定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 3．如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 4．若多项式与多项式的乘积中不含项和项，求，的值． 5．先化简，再求值：，其中，． 6．观察下列各式： (1)根据以上的规律得：______（为正整数） (2)根据这一规律，计算： 7．按要求完成下列计算： (1)计算：． (2)用简便方法计算：． 8．计算： (1)； (2)． 9．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 10．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 11．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04整式的乘除期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记幂的 4 大运算、整式乘除 3 法则、2 个乘法公式，公式应用零混淆 2.掌握零指数、负整数指数幂概念，科学记数法快速转化 3.明晰整式化简步骤，区分运算类型，理清混合运算顺序 1.快速判断题型，精准套用公式，系数、符号运算不出错 2.会用 “不含某一项则系数为 0”“整体代入” 解题，突破求值难题 3.能辨识 8 大易错点，主动避坑，提升运算准确率 1.基础计算秒出答案，正确率 100% 2.中档综合题（公式变形、整体代入）快速拆解，不丢分 3.压轴题（材料阅读、构造公式）能切入，轻松拿分 题型01.幂的运算 题型02.幂的运算逆用 题型03.特殊幂的运算 题型04.单项式乘法运算 题型05.单项式乘法的求值问题 题型06.整式乘法的几何与实际应用 题型07.多项式的乘法运算 题型08.多项式乘积不含某项求字母值 题型09.多项式乘多项式化简求值 题型10.多项式乘法中的规律性问题 题型11.整式四则混合运算 题型12.平方差公式的运算与应用 题型13.完全平方公式运算与应用 题型14.完全平方公式系数与变形求值 题型15.绝对值小于1的科学记数法 题型16.整式的除法运算 题型17.新定义运算 解答题11题 知识点01.幂的运算性质 运算类型 法则表达式 适用条件 核心要点 同底数幂乘法 aman=am+n a0，m、n为正整数 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n=amn a0，m、n为正整数 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn a0，b0，n为正整数 把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 同底数幂除法 am÷an=am−n （a0，m>n） 底数不变，指数相减 零指数幂 a0=1 （a0) 非零数的零次幂等于 1 负整数指数幂 a−p= a0，n 为正整数 负指数幂等于正指数幂的倒数 知识点02.整式的乘法 1. 单项式 × 多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 多项式 × 多项式 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有积相加。 口诀：逐项相乘，再相加，不重不漏。 3.单项式单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式 知识点03.整式的除法 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除，单独字母照抄 多项式除以单项式：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m0) 知识点04.乘法公式 知识点05.科学记数法 形式：a×10n，其中1⩽∣a∣<10，n为整数 绝对值小于 1 的数：n为负整数，∣n∣等于原数左边第一个非零数字前零的个数 题型01.幂的运算 【典例】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵， ∴该选项正确； B、∵， ∴该选项错误； C、∵， ∴该选项错误； D、∵， ∴该选项错误． 【跟踪专练1】.下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可求解． 【详解】解：对选项A：∵ ，∴ 结果符合要求， 对选项B：∵ ，∴ 结果不符合要求， 对选项C：∵ ，∴ 结果不符合要求， 对选项D：∵ ，∴ 结果不符合要求， 【跟踪专练2】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得. 【跟踪专练3】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则，幂的乘方、积的乘方运算法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、，计算正确； D、，原计算错误． 【跟踪专练4】若的值为256，则_________． 【答案】3 【分析】本题考查幂的运算．将指数表达式统一化为以2为底，利用指数运算法则简化，再根据相等关系求解． 【详解】解：，， 原式化为 ． 令，得， 解得． 故答案为：3． 【跟踪专练5】______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练6】已知，，m，n为正整数，求=________． 【答案】/ 【分析】先将已知条件中转化为以为底的幂，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式子变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴将，代入得： 原式． 【跟踪专练7】已知x满足，则___________． 【答案】4 【分析】利用同底数幂的乘法法则将方程左边变形，提取公因式化简后，根据同底数幂相等则指数相等求解x即可． 【详解】解：原方程根据同底数幂的乘法法则，变形为， 提取：得， 整理得， 即， 由同底数幂相等，底数为正且不等于1，则指数相等，可得， 解得 ． 【跟踪专练8】已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可． 【详解】解：∵，，． ∴，，， ∴a+2＝b+1＝c， 即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2， 于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2， 所以a+c＝2b，因此①正确； ②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1， 所以a+b＝2c﹣3，因此②正确； ③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确； ④b＝a+1，因此④不正确； 综上所述，正确的结论有：①②③三个， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系． 【跟踪专练9】已知，则________． 【答案】-3． 【分析】根据幂的运算法则进行计算，再根据指数相同列方程即可． 【详解】解：由得，， ∴， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算化简等式，再整体代入． 【跟踪专练10】若整数a，b，c满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算（积的乘方、同底数幂的乘法与除法），解题关键是将各项底数分解，根据幂的运算法则将等式转化为关于的方程组，求解后计算 将方程左边各分数分解为质数的幂的形式，利用幂的运算法则化简，通过比较指数建立方程组，解出整数a、b、c的值，再计算． 【详解】， 又， ， ， 解得， ． 故答案为． 题型02.幂的运算逆用 【典例】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先拆分指数，再逆用积的乘方解答，然后合并同指数幂计算即可． 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练1】，则（　　）里可以填写的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；需将等式左边的式子转化为平方形式，再与选项对比即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴括号里可填写的式子是， 故选：C． 【跟踪专练2】已知 ，，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，得，，根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【跟踪专练3】若，则____． 【答案】 【分析】先利用幂的相关运算法则及其逆运算，将待求代数式恒等变形为题目条件中的幂，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：， 当时，原式． 【跟踪专练4】若，则的值是________ 【答案】2 【分析】本题考查指数运算，幂的乘方，同底数幂相乘等．根据题意先将等式左边整理，再将等式右边整理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练5】已知正整数满足，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 ，简化底数后得到 ，从而求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 题型03.特殊幂的运算 【典例】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据零指数幂和负整数指数幂的定义，逐项计算即可判断正确选项． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 【跟踪专练1】若，则________． 【答案】2 【分析】分三种情况讨论：底数为1、底数为且指数为偶数、底数不为0且指数为0，分别求解并验证． 【详解】解：①当底数为1，指数为任意数， 当底数时，1的任何次幂都等于1， ∴，解得， ∴指数，则，满足条件； ②当底数为，指数为偶数， 当底数时，的偶次幂等于1， ∴，解得， ∴指数，由于是奇数，则，不满足条件； ③当底数不为0，指数为0， 当指数且底数时，非零数的0次幂等于1， ∴，解得，此时底数为，与底数的要求矛盾，故此情况不成立， ∴． 【跟踪专练2】若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，乘方求解即可； 【详解】解：，，， 由， 故，，的大小关系是； 【跟踪专练3】已知：（n是自然数）．那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算 再求解 再化简 再计算即可得到答案. 【详解】解：由题意得：， ∴ ， 则 ∴． 故选D． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键. 题型04.单项式乘法运算 【典例】下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据合并同类项、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、幂的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于A选项，，计算正确，该选项符合题意； 对于B选项，，计算错误，该选项不符合题意； 对于C选项，，计算错误，该选项不符合题意； 对于D选项，，计算错误，该选项不符合题意． 【跟踪专练1】一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方体体积公式及单项式乘多项式的运算，关键是熟练应用公式列代数式；需先根据体积公式列出算式，再按运算法则计算求解． 【详解】解：由题意得   故选：C． 【跟踪专练2】计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）运用单项式乘以单项式法则计算即可； （2）运用积的乘方以及单项式乘以单项式法则计算即可； （3）运用单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3） 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 由题意易得且，然后将原式变形为后两边同乘以即可求得答案． 【详解】解：， 且，， 将两边同乘以得， 故答案为：． 【跟踪专练4】观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为______ （提示：） 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探究，根据前几个式子得到规律，，即可求解． 【详解】解：根据规律可得 故答案为：． 题型05.单项式乘法的求值问题 【典例】已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 【跟踪专练1】关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则__________． 【答案】 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 【跟踪专练2】若，则________． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【跟踪专练3】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 题型06.整式乘法的几何与实际应用 【典例】定义一种新运算：（a，b为实数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简待求式的第一个运算项，再按照新运算规则代入展开，合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 【跟踪专练1】下列各式，①；②；③；④能够表示图中阴影部分的面积的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是弄清根据面积公式求阴影部分面积时各种数量之间的关系．根据题意可以画出相应的图形，从而求出阴影部分的面积，从而判断题目中的结论正确与否． 【详解】解：如图1，阴影部分的面积的是 如图2，阴影部分的面积的是， 如图3，阴影部分的面积的是 如图4，阴影部分的面积的是， 综上：①②③④都可以表示阴影部分的面积． 故选D． 【跟踪专练2】如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为_______．（用含有m和n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图1和图2的阴影面积，可推出，则可推出，图3的阴影面积，据此求解即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即 ∴图3的阴影面积， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则阴影部分的面积为（    ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，分别利用多项式乘法法则计算出两个长方形的面积，再作差化简即可得出答案． 【详解】解：由图可知，大长方形的长为米，宽为米， 中间空白长方形的长为米，宽为米， ∴阴影部分的面积为： 题型07.多项式的乘法运算 【典例】若，则的值分别为（    ） A．1，6 B．3，6 C．5，6 D．，6 【答案】C 【分析】将等式左边展开，再对比对应项的系数即可得到的值． 【详解】解： ， 又， 对比等式两边对应项系数，可得 ． 【跟踪专练1】已知，则、的大小关系为__________．（用连接） 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法，先根据多项式乘多项式法则分别展开和，计算的结果，根据结果的符号判断与的大小关系． 【详解】解：展开， ， 展开， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】若关于x的二次三项式则m的值是________． 【答案】7 【分析】根据多项式的乘法法则展开，对比两个结果得到，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 【跟踪专练3】已知，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先利用多项式乘多项式法则对进行化简，然后比较即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，． 【跟踪专练4】计算：________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，涉及了整式的乘法．观察式子结构，发现存在大量重复的分数和，可通过换元法简化运算，将重复部分设为字母，再利用多项式乘法法则展开，合并同类项后得到结果． 【详解】解：设，则： 原式 ． 题型08.多项式乘积不含某项求字母值 【典例】若的展开式中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据展开式中不含项可知，项的系数为0，即可得解． 【详解】解： 展开式中不含项， ， 解得：． 【跟踪专练1】定义一种新运算：．若，则的值为______； 【答案】 【分析】根据新定义运算规则，将转化为，然后展开多项式，比较系数得到a、b、c的值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴，，， ∴． 【跟踪专练2】如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，代数式求值，根据新定义，求出的值，判断①，根据新定义得到，判断②，将转化为，计算后，根据不含一次项，得到，判断③，根据新定义得到，判断④． 【详解】解：若， 则：， ∴， ∴；故①正确； ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵为常数， ∴；故②正确； ∵， ∴ ∵代数式（k为正整数）不含一次项， ∴， ∵均为非0常数， ∴， ∴， ∵k为正整数， ∴当时，最大为；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 故选C． 题型09.多项式乘多项式化简求值 【典例】若，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 【跟踪专练1】若，则代数式的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查整式的运算，化简求值，利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则，将代数式进行化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 原式 ； 故答案为：2． 【跟踪专练2】若实数x，y，z满足，求（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】令，分别求出，，，，最后根据分别代入化简求解即可． 【详解】解：令，则 ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵ ， ， ∵ ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是用换元法，将各个式子进行改写化简． 题型10.多项式乘法中的规律性问题 【典例】我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】利用“杨辉三角”将展开，据此解答即可． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：1，5，10，10，5，1； 的系数行：1，6，15，20，15，6，1； 即 则的展开式中，含项的系数是15． 【跟踪专练1】观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 【答案】 【分析】（1）根据题意得到规律，即可求出的值； （2）将转化为，根据计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得， ∴； （2） ． 【跟踪专练2】观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， 故选：A． 题型11.整式四则混合运算 【典例】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．根据整式的运算性质，逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选A． 【跟踪专练1】对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算；根据新定义的运算规则代入，再利用完全平方公式展开化简即可． 【详解】解：∵☆， ∴☆， ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】对任意整数，若按下列程序计算，则输出的答案为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据程序正确列式是解题的关键． 根据程序正确列式计算即可． 【详解】解：根据程序得 ， 故选：D． 【跟踪专练3】已知，，．求的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键． 根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解． 【详解】解：已知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练4】定义运算：，例如：，则的运算结果是______． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据定义运算规则，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练5】已知，则的值为______． 【答案】48或 【分析】先利用等式的性质求出m的值，再利用整式的四则混合运算法则化简，最后代入求值． 【详解】解：，， ∴ 当时，原式； 当时，原式， 综上，的值为48或． 【跟踪专练6】有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是_______． 【答案】a=2b 【分析】分别表示出左上角和右下角部分的面积，表示出它们的差，根据差与BC无关得到结果． 【详解】设左上角的长方形的长为AE，则宽为AF=a，右下角长方形的长为PC，则宽为2b， ∵AD=BC， 即AE+ED=AE+4b，BC=BP+PC=a+PC， ∴AE+4b=a+PC， ∴AE=a-4b+PC， ∴阴影部分面积差为：AE·a-PC·2b=a（a-4b+PC）-2bPC=（a-2b）PC+a2-4ab, ∵面积差与PC无关， 故a-2b=0， 所以a=2b， 故答案为a=2b． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是列出面积差的代数式． 题型12.平方差公式的运算与应用 【典例】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B正确． 对选项C：，C错误． 对选项D：，D错误． 【跟踪专练1】数形结合是初中数学重要的思想方法，图①到图②的变化过程描述了一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个图形的面积相等，列出等式即可． 【详解】解：图①中长方形的面积为：， 图②中相应图形的面积为：， 因此可以得出相应的公式：． 【跟踪专练2】已知实数a，b满足，，且，则的值为______． 【答案】10 【分析】根据已知条件，将两式相减得到，根据得到，最后将两式相加，即可得到的值． 【详解】解：，， ， 又 ． ，即， 两边同时除以得，， ． 【跟踪专练3】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 题型13.完全平方公式运算与应用 【典例】已知，，则的值是（　　） A．6 B．14 C． D．4 【答案】A 【分析】本题利用完全平方公式对所求代数式变形，再整体代入已知条件计算即可得到结果. 【详解】∵，，， ∴ 原式 ； 【跟踪专练1】如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形先求出拼接后大正方形的边长和小正方形的边长，再由阴影部分的面积关系建立等式即可； 【详解】解：由图可知，拼接后大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的面积， 阴影部分的面积是4个小长方形的面积和， 阴影部分的面积， ． 【跟踪专练2】若，则的值是 ________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平方数以及二次根式的非负性，准确理解相关知识点是解题的关键．由平方数以及二次根式的非负性可得，且，建立二元一次方程组，解出的值即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∴且， 即， ①-②得：， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练3】如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式．设，从而可得，，，再利用完全平方公式可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 即， ， ， 所需防滑瓷砖的面积为， 故选：B． 题型14.完全平方公式系数与变形求值 【典例】已知是一个完全平方式，则k的值是（） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的结构特征，逆用完全平方公式即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴原式可化为， ∴， ∴，即的值为或． 【跟踪专练1】若，，则的值为（      ） A． B．7 C．14 D．50 【答案】B 【分析】利用完全平方公式可得：，，两式相加即可得出答案． 【详解】解：， ①，②， ，得， ． 【跟踪专练2】如果多项式是个完全平方式，则________． 【答案】3或 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 当时，解得， 当时，解得， 综上可知，或． 【跟踪专练3】已知，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．2或 D．10 【答案】B 【分析】先根据已知条件得到的值，再计算，开方得到的所有可能值，最后代入目标式计算即可． 【详解】解：∵， 展开得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【跟踪专练4】若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 【答案】C 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列方程，分解因式，结合绝对值和平方数的非负性，根据几个非负数的和为0，得到它们同时为0，求出，的值，根据完全平方公式变形即得． 此题主要考查了相反数，绝对值，完全平方公式．熟练掌握相反数性质，完全平方公式分解因式，绝对值与平方数的非负性，完全平方公式变形，是解决问题的关键． 【详解】∵若与互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 题型15.绝对值小于1的科学记数法 【典例】袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的孢子直径约为，则数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法表示小于的正数，一般形式为，其中，为正整数，的值等于原数变为时小数点移动的位数，确定和的值即可解题． 【详解】解：根据科学记数法表示小于的正数，一般形式为，其中，为正整数， ∵将变为（满足）时，需将小数点向右移动位，得到， ∴． 【跟踪专练1】将化为小数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将用科学记数法表示的数化为原数；对于，当是负整数时，把的小数点向左移动位，位数不够时，用0补足即可． 【详解】解：． 故选：B． 【跟踪专练2】中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法、单项式除法，先把14亿用科学记数法表示，再根据总面积除以总人口计算即可． 【详解】解：14亿 故选：B 【跟踪专练3】是指大气中直径小于或等于的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，则数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练4】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 题型16.整式的除法运算 【典例】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式的除法和平方差公式．根据合并同类项、积的乘方、单项式除以单项式和平方差公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【跟踪专练1】某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据“份数总花费单价”，用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵总花费为元，每份奖品的价格是元， ∴购买的奖品的份数为： ． 故选：D． 【跟踪专练2】计算______． 【答案】 【分析】根据积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式运算法则分别计算再合并，即可得到答案． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据乘法与除法的互逆关系，可得整式的除法，根据整式的除法，可得答案． 【详解】解：由与一个多项式之积是，得 ， 即这个多项式是． 故选：C． 题型17.新定义运算 【典例】若规定符号的意义是：，则当时，的值为________________． 【答案】21 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 当时，原式． 【跟踪专练1】规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，． （1）计算：________． （2）的值为________． 【答案】 3 7 【分析】此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质． （1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可； （2）应用规定和积的乘方计算即可． 【详解】解：（1）根据定义，即， ∵， ∴， 解得：， 因此，． 故答案为：3； （2） ， 根据定义，，即，解得：． 故答案为：7． 【跟踪专练2】定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算． （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 的代数式中不含的一次项， ，， ， ， 时，； （3）解：， ， ， ， ，， ，即， ． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 2．解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)81 (2)32 【分析】（）由，得，然后由，最后代入求解即可； （）由，把，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 3．如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 【答案】(1) (2)说明见解析 【分析】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案； （2）根据题意表示出空白部分的面积即可求解． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积： ； （2）解：空白部分的面积为 空白部分面积与无关． 4．若多项式与多项式的乘积中不含项和项，求，的值． 【答案】， 【分析】利用多项式乘以多项式的法则进行计算，再根据乘积中不含项和项，得到含项和项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， 乘积中不含项和项， ，， 解得：，． 5．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】首先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并同类项后代数求解． 【详解】解： ∵， ∴原式． 6．观察下列各式： (1)根据以上的规律得：______（为正整数） (2)根据这一规律，计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察已知等式即可求解； （2）化为，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 7．按要求完成下列计算： (1)计算：． (2)用简便方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号、合并同类项即可； （2）利用完全平方公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）原式根据单项式乘以单项式运算法则进行计算即可； （2）原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可； （3）原式分别根据多项式乘多项式运算法则和完全平方公式将括号再合并即可得到结果； （4）原式分别根据单项式乘多项式运算法则和平方差公式将括号再合并即可得到结果； （5）原式分别根据单项式乘多项式运算法则和平方差公式将括号再合并即可得到结果； （6）原式分别计算乘方和乘法运算，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 10．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 11．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析    【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $