精品解析：福建省南安市第三中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

南安三中2027届高二年下学期第一次月考卷 时间：120分钟 总分：150分 出卷人：吴志贤 审核人：洪典明 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 2. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 4 C. D. 16 3. 等比数列的前项和为，，则（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 4. 已知4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 5. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 8 B. 3 C. 4 D. -4 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处取得极值0，则（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 12或24 8. 已知，则下列选项中错误的是（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递减数列 C. 当时， D. 10. 已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 当时，函数取得极小值 D. 当时，函数取得极小值 11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则______． 13. 若函数在处的切线与直线垂直，则________． 14. 已知函数的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 16. 盒子中有个不同的白球和个不同的黑球. （1）若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？ （2）随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？ （3）将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 17. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 18. 如图，已知平面，为矩形，，M，N分别为线段，的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. （3）若Q是线段的中点，求点Q到平面的距离. 19. 已知函数（a为实常数）． （1）若，求证：在上是增函数； （2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； （3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安三中2027届高二年下学期第一次月考卷 时间：120分钟 总分：150分 出卷人：吴志贤 审核人：洪典明 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数，再将代入即可求得结果. 【详解】因为，所以，故. 故选：B 2. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 4 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】对于的展开式， 含的项为， 故该项的系数为16. 3. 等比数列的前项和为，，则（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的性质和基本量运算求出公比，再由前项和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，因，且， 故可将看成一元二次方程的两根，解得或. 当，则，解得，故； 当，则，解得，故. 故选：C. 4. 已知4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先将4位学生分成三组，再分配到A、B、C三地学习，根据分步乘法计数原理即可求解． 【详解】根据题意，先从4人中选2人组成一组，有种方法， 然后将3组学生分配到A、B、C三地学习，有种方法， 由分步计数原理知共有种不同的分配方法， 故选：D． 5. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 8 B. 3 C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合导数的几何意义分析求解即可. 【详解】因为切线方程为， 可知当时，，且切线斜率为3， 即，，所以. 故选：C. 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，， 令，得， ， 所以 ， 当时上式也符合，所以，则， 所以. 7. 已知函数在处取得极值0，则（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 12或24 【答案】C 【解析】 【分析】根据在处取得极值0可得，解出即可. 【详解】由题意知，，又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，， 则. 故选：C. 8. 已知，则下列选项中错误的是（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，求出分析判断AB；赋值计算判断CD. 【详解】展开式的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，解得，当时， 即有，因此的最大值为，B正确； 对于C，当分别取时，，则，C错误； 对于D，当分别取时，，则， 而，因此，D正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递减数列 C. 当时， D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和性质来求解判断即可. 【详解】因为，又， 所以数列是首项为9，公差为的等差数列. 记公差为d，则，所以. 选项A：.所以选项A错误. 选项B：因为公差为，所以数列是递减数列.所以选项B正确. 选项C：当，，即.所以选项C正确. 选项D：，所以选项D正确. 10. 已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 当时，函数取得极小值 D. 当时，函数取得极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题图判断原函数的函数符号，进而确定在对应区间上的符号，判断区间单调性、极值. 【详解】由图知：，即，A对； 由上，故，则在区间上单调递增，B错； 和上，和上， 所以、上，、上， 故在、上递增，、上递减，则为极大值，为极小值，C错，D对. 故选：AD 11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【解析】 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则______． 【答案】147 【解析】 【分析】结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法则求解即可. 【详解】 ． 故答案为：147 13. 若函数在处的切线与直线垂直，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】对函数求导，结合垂直关系有，即可求. 【详解】由题设，又在处的切线与直线垂直， 所以切线斜率为2，则，可得. 14. 已知函数的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数______________. 【答案】3 【解析】 【分析】结合一元三次方程韦达定理和等差中项列出等式求解即可. 【详解】先证：一元三次方程韦达定理. 设方程有三个根，则有， 证明：因为方程有三个根， 所以方程即为， 变形为， 比较两个方程可得. 由题意函数的三个零点从小到大依次成等差数列， 也即的三个根从小到大依次成等差数列， 设三个根分别为， 由韦达定理可得：， 即， 将代入， 可得，即， 所以， 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义列式计算即可求解； （2）设，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合中点坐标公式及弦长公式计算即可求解. 【小问1详解】 由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； 【小问2详解】 设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 16. 盒子中有个不同的白球和个不同的黑球. （1）若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？ （2）随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？ （3）将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将个不同的黑球进行排序，然后将个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，结合插空法可求得结果； （2）对摸出的黑球的个数进行分类讨论，结合组合计数原理以及分类加法计数原理可得结果； （3）先将这个小球分为组，确定每组球的个数，然后再将这三组小球分配给三个不同的盒子，利用分步乘法计数原理可得结果. 【小问1详解】 解：将个不同的白球和个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻， 只需先将个不同的黑球进行排序，然后将个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. 【小问2详解】 解：随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球， 则黑球得个数可以是或或， 由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为种. 【小问3详解】 解：先将这个小球分为组，则这三组小球的个数分别为、、或、、， 再将这三组小球分配给三个盒子， 由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种. 17. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明； （2）由分组求和及错位相减法即可求解． 【小问1详解】 由，① 当时，，由，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 18. 如图，已知平面，为矩形，，M，N分别为线段，的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. （3）若Q是线段的中点，求点Q到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）的中点，通过证明来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面所成角的正弦值. （3）利用向量法求得点Q到平面的距离. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，， 因为为的中点，所以， 因为四边形为矩形，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，，平面， 所以，， 因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设与平面所成的角为，则 ， 所以与平面所成角的正弦值. 【小问3详解】 依题意可知，所以， 设到平面的距离为d， 则. 19. 已知函数（a为实常数）． （1）若，求证：在上是增函数； （2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； （3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； 【小问2详解】 由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； 【小问3详解】 由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $