专题02 实数（期中真题汇编，湖北专用）七年级数学下学期新教材人教版

专题02 实数 4大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数的概念和分类 考点04 实数的运算 地 城 考点01 平方根 1．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．是4的平方根 C． D． 2．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题为真命题的有（　　） ①1的平方根是1；②无理数都是无限小数；③同角的余角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）有下列说法，其中真命题的个数为（ ） 是的一个平方根； 若，则； 如果两个角是内错角，那么这两个角相等； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）6的算术平方根是（   ） A．6 B． C． D． 8．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 9．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·湖北荆门·期中）的平方根是_____；的立方根是_____；的算术平方根是_____． 12．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知的大小满足，其中是地球表面的重力加速度，约等于9.8（单位：），R是地球半径，约等于（单位：m），那么第二宇宙速度约为_____． 13．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）的立方根是_______，的平方根是______；的算术平方根是______． 14．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算：的平方根是______． 15．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知一个正数的两个平方根分别是a和，则a的值为______． 16．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）的立方根是 ___，的平方根是____，的算术平方根是_____． 17．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）一个正数的两个平方根分别为和，则______，这个正数为______． 18．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则________ 19．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的x： (1) (2) 20．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 21．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的立方根的值． 22．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知，，c是的整数部分．求的平方根． 23．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 24．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 25．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 地 城 考点02 立方根 26．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）下列说法正确的是（　） A．的立方根是8 B．的算术平方根是 C．的平方根是3 D．的平方根是 27．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长为（   ）cm． A． B． C．6 D． 29．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题：①平方根是它本身的数是0；②数轴上的点与实数是一一对应的关系；③无限小数都是无理数；④若，则；是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）写一个比小的无理数_______． 31．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知，则___________． 32．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）有一组按规律排列的数：，则第n个数是_______；这组数的前1000个数中，无理数有_______个． 33．（24-25七年级下·湖北武汉·期中），，则 ______． 34．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）（1）若为的算术平方根，为的立方根，求的立方根． （2）若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程，求k的值． 35．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）计算： (1) (2) 36．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）解方程： (1)； (2) ． 37．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）解方程： (1)； (2)． 38．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）计算： (1)； (2)． 地 城 考点03 实数的概念和分类 39．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）在下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．π C． D． 40．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列四个数中，是无理数的是（   ）． A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）下列命题中，是假命题的是（    ） A．若，则 B．两直线平行，内错角相等 C．对顶角相等 D．无理数是无限小数 43．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列实数中无理数是（   ） A． B．0 C． D． 44．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列四个数中，是无理数的是（ ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）下列各数中无理数是（　　） A．3.141 B． C． D． 46．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两个锐角的和是锐角 C．相等的角是对顶角 D．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等 47．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）写出一个在2与4之间的无理数______ 48．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列关于无理数的表述错误的个数是（   ） （）有理数与无理数的和一定是无理数； （）无理数与无理数的积一定是无理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始．沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 49．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·湖北·期中）《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于28“面”的值说法正确的是（    ） A．是4和5之间的实数 B．是5和6之间的实数 C．是6和7之间的实数 D．是7和8之间的实数 51．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）下列命题：①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③实数与数轴上的点一一对应；④正数的平方根是正数；⑤负数有立方根，没有平方根．其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 52．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）下列命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④平方根等于它本身的数只有0；⑤实数和数轴上的点一一对应；⑥无理数都是无限小数．其中真命题的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 54．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在0，，，2这四个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D．2 55．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）比较大小． （1） ____3；（2）_____；（3）_____． 56．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）比大小：______5． 57．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在数轴上，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，若点沿数轴向左平移1个单位长度到达点，且，则的值是___________，的值是___________． 58．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图（1）边长为1的两个正方形可以拼成图（2）的大正方形，下图数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，以为边在数轴上方作一个正方形，以为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点（点在点的左侧），若点，表示的数分别为，，则________． 59．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）是小于的整数，且，则的可能值为_______________． 60．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）小于的所有正整数之和是___________． 地 城 考点04 实数的运算 61．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）计算： (1)； (2)解方程组：． 62．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 63．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 64．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）计算： (1) (2) 65．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）计算：． 66．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）计算： (1)； (2)解方程组：． 67．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 68．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 一般地，如果一个数的立方等于，即，，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：________； (2)探究性质： ①81的四次方根是______；0的四次方根是_________； _______（填“有”或“没有”）四次方根； ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_______． (3)巩固与应用 ①计算：； ②比较大小：和． 69．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）（1）； （2）． 70．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）（1）计算： （2）求方程中x的值：． 71．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）计算： (1)； (2)． 72．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【阅读理解】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 我国著名数学家华罗庚先生在飞机上看到一个智力题：已知一个整数的立方是59319，求这个整数．他迅速得出答案是39．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？①由，确定是一个两位数；②由于0到9十个数字中只有9的立方末位为9，确定的个位上的数是9；③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，确定的十位上的数是3，∴． (1)若一个整数的立方是12167，直接写出这个整数个位上的数字________； (2)若一个整数的四次方是4100625，类比上述方法，求这个整数的值； (3)若，其中m为整数，，求的值． 73．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与2的大小． ， 又则， ． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_________； (2)比较与的大小； (3)已知的小数部分是的小数部分是，求的值． 74．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，则 ， ． (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b．求的值； (3)已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的平方根． 75．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题： (1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）； (2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）； (3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值． 76．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即_______．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，_______． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 4大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数的概念和分类 考点04 实数的运算 地 城 考点01 平方根 1．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．是4的平方根 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，根据平方根，立方根和算术平方根的定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、是4的平方根，原说法正确，符合题意； C、，原说法错误，不符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选B． 2．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，因为，所以的平方根是． 【详解】解：， 的平方根是． 故选：C． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的平方根，算术平方根，立方根，根据平方根，算术平方根，立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式正确，符合题意； D、，原式错误，不符合题意； 故选C． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的定义；根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为0．由此建立方程求解a的值，再代入平方根表达式计算即可． 【详解】解：∵正数n的两个不同平方根为和， 根据平方根互为相反数的性质，得方程： ， ， ， ， 将代入平方根表达式： 因此，n的平方根为1和． ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题为真命题的有（　　） ①1的平方根是1；②无理数都是无限小数；③同角的余角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了命题真假的判断，平方根的概念，无理数的定义，余角的性质，平行与垂直公理等知识；逐一判断各命题的真假：①平方根概念错误；②无理数定义正确；③余角性质正确；④平行线条件缺失；⑤垂线条件缺失． 【详解】解：1. 命题①：1的平方根是1； 平方根的定义是若一个数的平方等于a，则这个数是a的平方根。1的平方根应为±1，故①为假命题； 2. 命题②：无理数都是无限小数； 无理数的定义为无限不循环小数，因此所有无理数都是无限小数，②为真命题； 3. 命题③：同角的余角相等； 同角的余角指与同一个角相加为90°的两个角，它们的度数必然相等，③为真命题； 4. 命题④：过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 平行公理要求“在同一平面内且点在直线外”，题目未明确条件，故④为假命题； 5. 命题⑤：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 垂直的性质需明确“在同一平面内”，否则在三维空间中不成立，题目未限定平面，故⑤为假命题； 综上，真命题为②、③，共2个； 故选C． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）有下列说法，其中真命题的个数为（ ） 是的一个平方根； 若，则； 如果两个角是内错角，那么这两个角相等； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查命题真假，平方根，立方根，内错角，平行线的判定； 根据①混淆平方根与平方的关系；②利用立方根的性质推导；③内错角成立的条件；④平行线的判定定理．逐一分析四个命题的真假即可． 【详解】解：命题①：0.4的平方是0.16，因此0.4是0.16的平方根，而非0.16是0.4的平方根．故①错误． 命题②：由，得．两边立方得，故②正确． 命题③：内错角相等的前提是两直线平行．若两直线不平行，内错角不一定相等．故③错误． 命题④：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线不相交（同位角均为90°，故平行）．故④正确． 真命题的个数为2个， 故选：A． 7．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）6的算术平方根是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，非负数a的算术平方根是指非负的平方根进行作答即可． 【详解】解：6的算术平方根是， 故选：B 8．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 9．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根的计算，根据算术平方根、立方根的定义及运算性质逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：，算术平方根非负，故A错误； 选项B：，结果应为正数，故B错误； 选项C：，负数的立方根为负数，且，故C正确； 选项D：，平方根内应先求和再开根，，，故D错误． 故选：C． 10．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的概念是关键；根据算术平方根的定义，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A、 ，但选项结果为，错误． B、 ，（因，其平方为），错误． C、表示16的算术平方根，结果为，而非，错误． D、 ，故，正确． 故选：D． 11．（24-25七年级下·湖北荆门·期中）的平方根是_____；的立方根是_____；的算术平方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握各知识点是解题的关键． 分别根据平方根、立方根、算术平方根的定义判断即可． 【详解】的平方根是；的立方根是；的算术平方根是， 故答案为：；； ． 12．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知的大小满足，其中是地球表面的重力加速度，约等于9.8（单位：），R是地球半径，约等于（单位：m），那么第二宇宙速度约为_____． 【答案】11.2 【分析】本题考查代数式求值，算术平方根的应用，把字母的值代入，再求出算术平方根即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴； 故答案为：11.2． 13．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）的立方根是_______，的平方根是______；的算术平方根是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根等知识点，掌握算术平方根是正的平方根成为解题的关键． 直接根据立方根、平方根、算术平方根即可解答． 【详解】解：的立方根是，的平方根是；的算术平方根是． 故答案为：，，． 14．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算：的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义求出的立方根，再计算的值，然后根据绝对值的性质求出，最后再求出它的平方根即可． 本题主要考查了平方根和立方根，解题关键是熟练掌握平方根与立方根的定义． 【详解】解：， ∴的平方根是． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知一个正数的两个平方根分别是a和，则a的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：8． 16．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）的立方根是 ___，的平方根是____，的算术平方根是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，平方根和算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，则a叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：的立方根是，的平方根是，的算术平方根是， 故答案为：；；． 17．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）一个正数的两个平方根分别为和，则______，这个正数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，所以可得：，解方程可得：；由可得这个正数的一个平方根是，所以这个正数是. 【详解】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得：； ， 这个正数是． 故答案为：，． 18．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则________ 【答案】3 【分析】本题考查了平方根，一元一次方程的应用；根据一个正数的两个平方根互为相反数列式计算即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：3． 19．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的x： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或． （2）解： ∴ ∴． 20．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方根的性质解方程． （1）根据二次根式的乘法和除法法则和二次根式的性质计算即可求解； （2）整理后，利用平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 整理得， 开方得， 解：或． 21．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的立方根的值． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，求一个数的立方根，平方根的概念，熟知平方根和立方根的概念是解题的关键． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，则，解方程可求出a；根据立方根的定义可得，解方程可求出b； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵27的立方根为3， ∴的立方根的值为3． 22．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知，，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】先计算出a，b，c的值，再计算的和，最后求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴.     ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴. ∴． 【点睛】本题考查了平方根，算术平方根是，立方根，无理数的公估算，熟练掌握定义和估算是解题的关键． 23．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 【答案】(1)长为 ，宽为 (2)不能裁出面积为的正方形，理由见解析 (3)不能裁出面积为的完整圆形，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）设这个纸片的长为，宽为，根据面积的计算方法求出的值，进而确定原长方形的长与宽； （2）根据面积的大小进行判断即可； （3）根据圆面积的计算方法求出圆的半径，进而求出直径，再根据原长方形纸片的长、宽进行判断即可． 【详解】（1）解：设这个纸片的长为，宽为，由题意得： ， 解得：，负值舍去， 即长为，宽为； （2）解：不能裁出想要的正方形纸片， 原长方形纸片的面积为，而要裁出的正方形的面积为， 不能裁出想要的正方形纸片； （3）解：不能裁出想要的圆形纸片，理由如下： 圆形纸片的面积为，即， 半径，负值舍去， 直径为，即， ∵， 不能裁出想要的圆形纸片． 24．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，； （2）解：由题知，， ∵， ∴的平方根是． 25．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别根据立方根，算术平方根，得出，，再结合，得出，即可作答． （2）直接把，，代入，得，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴， 解得，， ∵， ∴． ∴的整数部分为3， 即， 因此，，． （2）解：当，，时， 则， ∴的平方根为． 地 城 考点02 立方根 26．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）下列说法正确的是（　） A．的立方根是8 B．的算术平方根是 C．的平方根是3 D．的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义，准确掌握以上知识点是解题的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、的立方根是4（因为），而非8，故本选项错误，不符合题意； B、算术平方根仅针对非负数，是负数，无算术平方根，故本选项错误，不符合题意； C、，3的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D、的平方根是（因为），故本选项正确，符合题意； 故选：D． 27．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 28．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长为（   ）cm． A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根的应用，根据正方体体积公式求棱长即可． 【详解】解：正方体的体积公式为 ，其中为棱长， 已知体积，代入公式得：， 解得 ． 故选：C． 29．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题：①平方根是它本身的数是0；②数轴上的点与实数是一一对应的关系；③无限小数都是无理数；④若，则；是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、数轴与实数，无理数的定义，立方根，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：平方根是它本身的数是0，故①是符合题意的； 数轴上的点与实数是一一对应的关系，故②是符合题意的； 无限不循环小数都是无理数，故③是不符合题意的； 若，则，故④是符合题意的； ∴①②④是真命题， 故选：C 30．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）写一个比小的无理数_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查无理数的定义，立方根，实数的大小比较．先根据立方根的定义求出，再根据无理数的定义结合实数的大小比较，直接写出一个符合条件的无理数即可． 【详解】解：∵，， ∴比小的无理数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 31．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知，则___________． 【答案】 【分析】本题考查立方根求值，根据题中条件，将，运用立方根性质求解即可得到答案．熟记立方根定义与求法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 32．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）有一组按规律排列的数：，则第n个数是_______；这组数的前1000个数中，无理数有_______个． 【答案】 994 【分析】本题考查了立方根，数字规律的探索，找到规律是解题的关键；由再结合其它数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，可确定前1000项中的有理数，从而可确定无理数的个数，完成第二空． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵， 即前1000个数中是有理数的有2，4，6，8，10，12共6个，其余的数都是无理数， 而，即无理数有994个； 故答案为：． 33．（24-25七年级下·湖北武汉·期中），，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向右移动三位，其立方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 34．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）（1）若为的算术平方根，为的立方根，求的立方根． （2）若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程，求k的值． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，解二元一次方程组，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据算术平方根的根指数为，立方根的根指数为，可得出关于、的方程组，解方程组求出、，然后代入计算结合平方根的定义求得答案． （2）将原方程组化简为，然后联立，求解方程组，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解：（1）解：由题意得：， 解得， 所以， 所以的立方根是． （2）， 得：， ∵二元一次方程组的解满足方程， ∴联立， 解得：， 将其代入①得：． 35．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据计算即可． （2）计算即可． 本题考查了算术平方根的计算，立方根的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 36．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）解方程： (1)； (2) ． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程，熟知求立方根的方法和求平方根的方法是解题的关键． （1）把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以64后开立方，并解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 37．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 则， 解得：或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 38．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根，立方根的求解，绝对值的化简等知识，准确计算为解题关键． （1）根据算术平方根，立方根的定义求解各项再算加减法即可； （2）先化简绝对值再加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 地 城 考点03 实数的概念和分类 39．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）在下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．π C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，求一个数的算术平方根，立方根，根据无限不循环小数即为无理数进行分析，即可作答． 【详解】解：A、是分数，分数均为有理数，排除； B、是无限不循环小数，无法表示为分数，属于无理数，符合题意； C、，结果为整数，属于有理数，排除； D、是整数，属于有理数，排除； 故选：B 40．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求立方根． 【详解】解：A、是无理数，故符合题意； B、是有理数，故不符合题意； C、是有理数，故不符合题意； D、是有理数，故不符合题意； 故选：A． 41．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列四个数中，是无理数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键，根据无理数的定义（无限不循环小数或根号开不尽的数），逐一判断各选项是否为无理数。 【详解】选项A、是有限小数，是有理数，此项错误； 选项B、是有限小数，是有理数，此项错误； 选项C、为根号开不尽的数，是无理数，此项正确； 选项D、，是有理数，此项错误． 故选：C． 42．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）下列命题中，是假命题的是（    ） A．若，则 B．两直线平行，内错角相等 C．对顶角相等 D．无理数是无限小数 【答案】A 【分析】本题考查了判断命题的真假，熟记相关结论即可． 【详解】解：A：时，与可能相等或互为相反数，故A是假命题；符合题意； B：两直线平行，内错角相等，故B是真命题；不符合题意； C：对顶角相等，故C是真命题；不符合题意； D：无理数的定义为无限不循环小数，因此所有无理数都是无限小数，故D是真命题；不符合题意； 故选：A 43．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列实数中无理数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．分别根据无理数、有理数的定义即可得出结果． 【详解】解：，0，是有理数，是无理数， 故选：C 44．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列四个数中，是无理数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的定义，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数比的数即可求出． 【详解】解：A． ，是有限小数，属于有理数． B． 是有限小数，属于有理数． C． 是分数，可表示为整数比，属于有理数． D． 是9的立方根，而9不是完全立方数，其立方根无法表示为整数比，属于无理数． 故选：D． 45．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）下列各数中无理数是（　　） A．3.141 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的定义；能够准确辨识无理数是解题的关键．无理数的定义：无限不循环小数，再根据定义逐一进行判断即可． 【详解】解：，，是有理数，是无理数， 故选D 46．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两个锐角的和是锐角 C．相等的角是对顶角 D．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，钝角及锐角的定义，对顶角的定义，平方根的定义．利用知识点分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、根据平行线性质，两直线平行时同位角相等，正确，是真命题； B、两个锐角（如和）的和可能为钝角（），存在反例，不是真命题； C、相等角不一定是对顶角（如平行线的同位角），错误，不是真命题； D、平方相等的实数可能互为相反数（如3和），不一定相等，错误，不是真命题； 故选：A． 47．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）写出一个在2与4之间的无理数______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算.设这个无理数为，则，则且，然后选择一个开方开不尽的数即可． 【详解】解，设这个无理数为， 则根据题意得， ∴， ∴且满足题意， 可取， 故答案为：（答案不唯一）． 48．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列关于无理数的表述错误的个数是（   ） （）有理数与无理数的和一定是无理数； （）无理数与无理数的积一定是无理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始．沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，根据实数的运算法则、无理数的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）有理数与无理数的和一定是无理数，该选项说法正确； （）无理数与无理数的积一定是无理数，该选项说法错误，比如是有理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数，该选项说法正确，表示的数是； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数，该选项说法正确，交点表示的数是和； 综上，表述错误的有个， 故选：． 49．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 50．（23-24七年级下·湖北·期中）《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于28“面”的值说法正确的是（    ） A．是4和5之间的实数 B．是5和6之间的实数 C．是6和7之间的实数 D．是7和8之间的实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴28“面”的值是5和6之间的实数， 故选：B． 51．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）下列命题：①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③实数与数轴上的点一一对应；④正数的平方根是正数；⑤负数有立方根，没有平方根．其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．逐一判断各命题的真假：①需两直线平行才成立；②缺少“直线外一点”的条件；③实数与数轴点一一对应正确；④正数平方根有正负；⑤负数无平方根但有立方根．掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故①为假命题． ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②为假命题． ③实数与数轴上的点一一对应，故③为真命题． ④正数的平方根有两个，它们互为相反数，故④为假命题． ⑤负数有立方根，但没有平方根，故⑤为真命题． 综上，真命题为③和⑤，共2个． 故选：B． 52．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数在数轴上表示和计算，熟练掌握中点的性质和实数在数轴上的计算是解题的关键．首先可以求出线段的长度，然后利用中点的性质即可解答． 【详解】解：表示2，的对应点分别为，， ， 点是的中点， ， 点表示的数是， 故选：B． 53．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）下列命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④平方根等于它本身的数只有0；⑤实数和数轴上的点一一对应；⑥无理数都是无限小数．其中真命题的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相交线与平行线，点到直线距离的定义，平方根，实数与数轴以及无理数．熟练掌握相交线与平行线，点到直线距离的定义，平方根，实数与数轴以及无理数是解题的关键． 根据相交线与平行线，点到直线距离的定义，平方根，实数与数轴以及无理数相关知识进行判断即可． 【详解】解：①中只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等．若两条直线不平行，被第三条直线所截时内错角不相等，所以命题①是假命题； ②中在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．如果这个点在已知直线上，是无法作出与已知直线平行的直线的，所以命题②是假命题； ③中根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，所以命题③是真命题； ④中，设这个数为，若的平方根等于它本身，则，当时，；当时，，所以平方根等于它本身的数只有0，命题④是真命题； ⑤中，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点一一对应，所以命题⑤是真命题； ⑥中，无理数也称为无限不循环小数，所以无理数都是无限小数，所以命题⑥是真命题； 综上所述，真命题的个数是4个， 故选B． 54．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在0，，，2这四个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查实数比较大小，根据“正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．”进行判断即可． 【详解】解：， ∴最大的数是2． 故选：D 55．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）比较大小． （1） ____3；（2）_____；（3）_____． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的性质、实数的大小比较．根据算术平方根的性质、实数的大小关系是解决此题即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， 又∵， ∴， 故答案为：． 56．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）比大小：______5． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先把这两个数平方，比较平方后的数的大小，从而比较这两个数的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即， 故答案为：＜． 57．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在数轴上，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，若点沿数轴向左平移1个单位长度到达点，且，则的值是___________，的值是___________． 【答案】 / 【分析】本题用数轴表示数，根据题意得到，，且，再由算术平方根的性质得到或，开平方求出值，进而得到即可确定答案，熟记数轴表示数及算术平方根性质是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，若点沿数轴向左平移1个单位长度到达点， ，，且， ， 或， 即或， 或（舍去）或（舍去）， ， 故答案为：，． 58．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图（1）边长为1的两个正方形可以拼成图（2）的大正方形，下图数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，以为边在数轴上方作一个正方形，以为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点（点在点的左侧），若点，表示的数分别为，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，数轴与实数，二次根式的混合运算等知识点，解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的运算． 利用勾股定理求出的长度，根据数轴和实数的关系确定的值，最后利用二次根式的混合运算进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得， ∴， ∴， 故答案为：． 59．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）是小于的整数，且，则的可能值为_______________． 【答案】或或 【分析】本题考查了估算无理数的大小，绝对值的应用，关键是求出的范围． 先求出的范围，再根据求出的范围，最后得出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 是小于的整数， ， 为，，， 故答案为：或或． 60．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）小于的所有正整数之和是___________． 【答案】21 【分析】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键． 根据无理数的估算方法得到，即的整数部分是6，由此得到正整数值，得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴小于的所有正整数有， ∴和为21， 故答案为：21． 地 城 考点04 实数的运算 61．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）计算： (1)； (2)解方程组：． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟知实数的运算法则，解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 62．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再计算减法即可得到答案； （2）先去绝对值，再计算减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 63．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用绝对值的性质，立方根的定义计算后再算加减即可； （2）利用算术平方根的定义计算后再算减法即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 64．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、绝对值、立方根、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先计算根号下的被开方数，再根据算术平方根化简，然后再计算即可； （2）先运用绝对值、立方根、二次根式的运算化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 65．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是关键，根据实数的混合运算法则分别得到算术平方根，立方根，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 66．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）计算： (1)； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，以及解二元一次方程组，掌握运算顺序和法则，以及加减消元法是本题的关键． （1）根据平方根、立方根、绝对值的定义计算，再根据实数的混合运算法则进行计算即可； （2）运用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：． （2）解： 把①代入②，得：， 解得：． 把代入①，得：， ∴原方程组的解为． 67．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，立方根，算术平方根，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）利用实数的混合运算法则计算即可； （2）先计算立方根和算术平方根，再进行加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 68．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 一般地，如果一个数的立方等于，即，，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：________； (2)探究性质： ①81的四次方根是______；0的四次方根是_________； _______（填“有”或“没有”）四次方根； ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_______． (3)巩固与应用 ①计算：； ②比较大小：和． 【答案】(1)一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，，那么这个数x叫做a的四次方根 (2)①；0；没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数：0的四次方根是0；负数没有四次方根 (3)①；② 【分析】本题考查了实数的大小比较，平方根和立方根的意义． （1）类比平方根的定义解答即可； （2）根据四次方根的定义求解即可； （3）根据实数的大小比较方法比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． 故答案为：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． （2）①根据题意： 的四次方根是：，的四次方根是，没有四次方根． 故答案为：，，没有； ②四次方根的性质：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根， 故答案为：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． （3）①； ②∵， ∴， ∴． 69．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据实数的运算法则和运算顺序进行计算即可； （2）先开方，去绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 70．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）（1）计算： （2）求方程中x的值：． 【答案】（1）  （2） 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，利用立方根的含义解方程； （1）先去括号，化简绝对值，再合并即可； （2）直接利用立方根的含义解方程即可； 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴， 解得：． 71．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据立方根定义和算术平方根定义，绝对值意义进行求值即可； （2）根据算术平方根的定义进行化简，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【阅读理解】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 我国著名数学家华罗庚先生在飞机上看到一个智力题：已知一个整数的立方是59319，求这个整数．他迅速得出答案是39．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？①由，确定是一个两位数；②由于0到9十个数字中只有9的立方末位为9，确定的个位上的数是9；③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，确定的十位上的数是3，∴． (1)若一个整数的立方是12167，直接写出这个整数个位上的数字________； (2)若一个整数的四次方是4100625，类比上述方法，求这个整数的值； (3)若，其中m为整数，，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了立方根和四次方根的求解方法，通过对已知数的范围分析、末尾数字特征以及剩余数字与对应次方数的比较来确定方根的值． （1）根据题意得， 是一个两位数，到十个数字中只有的立方末位为，可判断其个位是； （2）类比题目中给定的判断方法，由到十个数字中只有的四次方末位为可知 的个位数字是， 再由划去后面的四位得到数， 而可得的十位数字是，从而可确定该整数； （3）由 而与非常接近，故，（由可确认该范围) ，从而可得，再根据为整数， 求出，的值，代入计算解题． 【详解】（1）解：， 是一个两位数， ∵到十个数字中只有的立方末位为， 的个位上的数是， 故答案为：； （2）解：， 是一个两位数， ∵到十个数字中只有的四次方末位为， 的个位数字是， 划去后面的四位得到数， 而， 的十位数字是， ， 即该整数的值为； （3）解：， ， ， 即， ∵为整数，， ，， ． 73．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与2的大小． ， 又则， ． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_________； (2)比较与的大小； (3)已知的小数部分是的小数部分是，求的值． 【答案】(1)5； (2)； (3)． 【分析】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． （1）首先估算出，得到的整数部分是5；推出，得到，据此即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）先仿照题意求出，进而求出，，据此求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是5； ∴， ∴， ∴的整数部分是1，则的小数部分是， 故答案为：5；； （2）解：， ∴； （3）解：， ，即， ，， 的整数部分为5，的整数部分为12， ∴，， ． 74．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，则 ， ． (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b．求的值； (3)已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】./..本题考查了无理数的估算、不等式的性质，以及平方根的求解，理解并掌握题中的估算方法是解题的关键． （1）由，，即可得到，的值； （2）由，利用不等式的性质，即可得到，，从而得到，的值，由此得解； （3）由，即可得到，的值，代入可求出的值，再计算平方根即可； 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为2，小数部分， ，即 ， 的整数部分为． （2）解： ， ，， 的小数部分为， 的小数部分为， ． （3）解： ， ，， ， 的平方根为：. 75．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题： (1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）； (2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）； (3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）估算无理数的大小即可； （2）估算无理数的大小即可； （3）估算无理数的大小即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为1， 又，而， ， ； （2），即， 的整数部分为3， 又，， ，即的十分位上数字是6， ； ； （3） 的整数部分是2， 又，， （精确到十分位）； 的整数部分为，小数部分为， ，其中m为正整数，， ， ， ， ． 76．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即_______．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，_______． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)她的想法不可行，理由见解析 【分析】本题考查反证法，算术平方根的应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． （3）求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （3）她的想法不可行，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴她的想法不可行． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $