期中真题百练通关106种常考题型（期中复习专项训练）高一数学下学期人教A版

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03期中真题百练通关（常考） 题型归纳·内容导航 题型1向量及相关概念 题型57复数与复平面内的向量 题型2相等向量与共线向量 题型58已知复数坐标特征求参数 题型3相反向量的概念 题型59复数的模 题型4向量的加减法 题型60复数模的几何意义 题型5向量的三角不等式 题型61共轭复数 题型6向量的数乘运算 题型62复数的加减法运算 题型7证明或判断三点共线 题型63复数加减法的几何意义 题型8根据向量共线求参数 题型64复数的乘法运算 题型9基底的概念 题型65复数的除法运算 题型10用基底向量表示已知向量 题型66虚数单位的周期 题型11平面向量基本定理的应用 题型67复数范围内因式分解 题型12向量数量积的概念 题型68复数范围内根与系数的关系 题型13求向量的数量积 题型69简单几何体的结构特征 题型14数量积与向量的垂直 题型70几何体中的基本计算 题型15向量的夹角 题型71几何体的展开与最值问题 题型16已知夹角求参数取值范围 题型72立体图形的直观图 题型17投影与投影向量 题型73棱柱、棱锥、棱台、组合体的表面积 题型18向量的模 题型74求棱柱、棱锥、棱台的体积 题型19数量积有关的取值范围问题 题型75圆柱、圆锥、圆台的表面积 题型20向量的正交分解及坐标表示 题型76圆柱、圆锥、圆台的体积 题型21向量线性运算的坐标表示 题型77球的表面积与体积 题型22向量共线的坐标表示 题型78球的截面问题 题型23向量定比分点的应用 题型79与球有关的切、接问题 题型24向量数量积的坐标运算 题型80证明多线共面问题 题型25向量的模的坐标运算 题型81证明三点共线问题 1/436 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型26向量夹角的坐标运算 题型82证明三线共点问题 题型27向量垂直的坐标运算 题型83空间两条直线的位置关系 题型28投影向量的坐标运算 题型84空间直线与平面的位置关系 题型29极化恒等式的应用 题型85空间中平面与平面的位置关系 题型30等和线的应用 题型86线面平行的判定 题型31与向量有关的取值范围问题 题型87利用线面平行证明线线平行 题型32余弦定理解三角形 题型88线面平行性质有关的计算问题 题型33正弦定理解三角形 题型89确定线面平行的点的位置 题型34三角形中的边角转化 题型90面面平行的判定 题型35判断三角形形状 题型1利用面面平行证明线面平行 题型36判断三角形的个数问题 题型92利用面面平行证明线线平行 题型37根据解的个数求参数 题型93面面平行有关的计算 题型38三角形的面积问题 题型94确定面面平行的点的位置 题型39距离问题 题型95线面垂直的判定与证明 题型40高度问题 题型96线面垂直的性质 题型41角度问题 题型97面面垂直的判定与证明 题型42判断三角形四心的位置 题型98面面垂直的性质 题型43根据三角形四心处理向量问题 题型99求异面直线的夹角 题型44奔驰定理与面积问题 题型100已知异面直线的夹角求其他量 题型45求面积的范围与最值 题型101直线与平面的夹角 题型46求周长的范围与最值 题型102求二面角 题型47求线段的范围与最值 题型103空间点到平面的距离问题 题型48求角或三角函数值的范围 题型104立体几何的动点问题 题型49三角形中的中线问题 题型105立体几何的翻折问题 题型50三角形中的角分线问题 题型106立体几何的截面问题 题型51三角形中的高线问题 题型52多三角形组合问题 题型53复数的概念 2/436 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 !题型54复数的分类 题型55复数的相等 !题型56复数与复平面内的点 题型通关·靶向提分 题型1向量及相关概念 1.(2024高二上·黑龙江佳木斯学业考试)下列量中是向量的为() A,功 B.距离 C.拉力 D.质量 【答案】c 【分析】根据向量的定义即可判断 【详解】功，距离，质量只有大小没有方向，不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量 故选：C 2.(23-24高二下山东菏泽·月考)下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路 程；⑦密度其中是向量的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【分析】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解 【详解】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C 3.【多选】(24-25高一下·福建福州期中)下列说法错误的是() A,加速度是向量 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C,零向量的方向是任意的 D.向量就是有向线段 【答案】BD 【分析】根据向量的有关定义依次判断即可. 【详解】对于A,由向量的定义知，加速度是向量，故A正确； 对于B,两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错 误： 3/436 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 对于C,由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确： 对于D,向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误. 故选：BD 4.【多选】(24-25高一下·河北石家庄·月考)下列说法正确的是(）) A.向量B与向量BA的长度相等 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的长度都为0 D,两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【分析】根据题意，由向量的概念逐一判断，即可得到结果。 【详解】向量4B与向量BA互为相反向量，所以模长相等，故A正确： 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 5.(22-23高一下·新疆期中)已知向量ā如下图所示，下列说法不正确的是() Ma→N A.向量a可以用MN表示 B.向量ā的方向由M指向N C.向量a的起点是M D.向量a的终点是M 【答案】D 【分析】根据向量的几何表示逐个选项分析可得答案. 【详解】由图可知，向量ā可以用N表示，故A正确；向量ā的方向由M指向N,故B正确： 向量a的起点是M,故C正确；向量a的终点是N,故D不正确. 故选：D 题型相等向量与共线向量 6.【多选】(22-23高一下四川绵阳期中)下列叙述中错误的是（) A.若a>b,则3a>2b B.若a/b,则a与的方向相同 a C.若a/b,c1b,则a11c D.对于任意非零向量a,可是一个单位向量 4/436 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】ABC 【分析】A.由平面向量不能比较大小判断；B.由共线向量的定义判断；C.由b=0判断；D.由单位向量的定 义判断」 【详解】A平面向量不能比较大小，故错误； B.若a/乃，则a与b的方向相同或相反，故错误； C.当b=0时，不成立，故错误： D.对于任意非零向量a,可是一个单位向量，正确， 故选：ABC 7.【多选】(24-25高二上·湖北开学考试)关于非零向量a,b,下列命题中正确的是() A.若a=5,则a=方 B.若a=-b,则a/B c.若d>,则a> D.若a=b,i=c,则a=c 【答案】BD 【分析】根据相等向量、向量的定义逐一判断即可. 【详解】A:两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确； B:由ā=-五，可以得到非零向量a,b的方向相反，所以a/乃，因此本选项命题正确； C:两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确； D:由向量相等的定义可以判断本选项命题正确， 故选：BD 8.(25-26高三上湖南·期中)已知平面向量ā，6是单位向量，则ā，五是相等向量”是“ā，的方向相 同”的() A.充要条件 B,充分不必要条件 C.必要不充分条件 D,既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据单位向量及相等向量的定义和性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系 【详解】若a=b,则ā，b的方向必相同，充分性成立， 5/436 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若a,b的方向相同，又a,b是单位向量，则ā=b,必要性成立， 所以“ā，b是相等向量”是“ā，b的方向相同的充要条件 故选：A 9.(21-22高一湖南·课后作业)如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA=a,OB=b, OC=c,在以A,B,C,D,E,F,O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： (1)与ā相等的向量有哪些？ (2)五的相反向量有哪些？ (3)与c共线的向量有哪些？ 【答案】(1)DO、EF,CB (2)BO、AF、CD、OE 3AB,BAFO.OF COFC CF ED.DE 【分析】根据相等向量、相反向量、平行向量的概念结合图形进行分析求解 【详解】(1)与ā长度相同，方向相同的向量有：DO,EF,CB; (2)与6长度相同，方向相反的向量有：BO.AF CD,OE; (3)与c方向相同或相反的向量有：AB,BAFO,OFCO、FC、CF ED DE 10.(24-25高一下·河南洛阳·期中)下列结论正确的是() A.若a与b都是单位向量，则a=b B.方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C.直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量 D.若a与i是平行向量，则a=b 【答案】B 【分析】根据单位向量、方位角、平行（共线）向量等的定义判断各项的正误 【详解】A:由单位向量只是模长相等，但方向任意，故ā=b不一定成立，错： 6/436 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B:如下图，上北右东，则南偏西60°的向量0B,北偏东60的向量OA, 显然它们是方向相反的向量，即为共线向量，对； N B C:直角坐标系中，x、y轴有方向，但无大小，与向量的概念不符，错： D:a与i是平行向量，也有可能方向相反的情况，故a=b不一定成立，错 故选：B 11.(23-24高一下·广东阳江·月考)下列说法正确的是 (填序号) ①若a∥6，则a=b; ②若a=l,则a=6; ③若a=b,则a与6共线； ④若a≠b,则ā一定不与b共线 【答案】③ 【分析】根据共线向量、相等向量、模长等的定义，逐一判断即可得出结论 【详解】对于①，若ā∥i,则可知a,b共线，不一定有a=b,也可能a=2b,因此①错误： 对于②，若d=,但ā，6的方向不一定相同，因此②错误； 对于③，若d=b,则ā与共线，显然③正确； 对于④，若a≠b,则可能ā=-b,此时ā与6共线，所以④错误 故答案为：③ 题型3相反向量的概念 12.(24-25高一下·四川遂宁·月考)关于平面向量，下列说法正确的是() A.零向量没有方向 B.若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C.起点相同的单位向量，终点必相同 D.向量的模是一个正实数 【答案】B 7/436 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】根据零向量和单位向量以及相反向量的定义即可判断 【详解】大小为零的向量为零向量，方向任意，故A错误， 大小相等，方向相反的向量为相反向量，故B正确： 大小为1的向量为单位向量，方向任意，故C错误， 零向量的模为O,故D错误 故选：B 13.(1920高二全国课后作业)向量ā，i互为相反向量，已知=3，则下列结论正确的是() A.a=b B.a+b为实数0C.a与i方向相同 D.d=3 【答案】D 【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项 【详解】向量ā，6互为相反向量，则ā，6模相等、方向相反，所以a=-b,故A错误； a+b=0,故B错误；ā与6方向相反，故C错误；d==3,故D正确 故选：D 题型4向量的加减法 14.(24-25高一下·广东期中)AB+CA+BC=() A.0 B.0 C.2CA D.2BC 【答案】B 【分析】利用向量的加法的三角形法则即可求解 【详解】AB+CA+BC=AB+BC+CA=AC+CA=0. 故选：B 15.(24-25高一下.甘肃定西·月考)如图，在平行四边形ABCD中，AB+AD=() D A.BD B.CD C.BC D.AC 【答案】D 【分析】直接由向量加法的平行四边形法则即可求解 【详解】由向量加法的平行四边形法则得，AB+AD=AC, 故选：D 8/436 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.(24-25高一下·安徽马鞍山期中)等腰三角形ABC中，AB=AC,D,E在边BC上，满足 BD=DE=EC,则下列各式中正确的是() A.AD=AE B.BD=CE C.AB+AE=AC+AD D.AB+AC=AD+AE 【答案】D 【分析】结合图形和题设条件，逐一判断各选项即可 【详解】 B D E 对于A,如图，AD与AE方向不同，故A错误； 对于B,BD与CE方向相反，故B错误； 对于C,因D,E在边BC上，满足BD=DE=EC, 则AB+AE=2AD,AC+AD=2AE,由A项知AD与AE不相等，故C错误； 对于D,由图知，AB+AC=AD+DB+AE+EC=AD+AE+(DB+EC), 因DB+EC=0,故有AB+AC=AD+A正，即D正确 故选：D 17.【多选】（22-23高一下·江西吉安：期中)下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是() A.AB+BC+CA B.AB+BC+AC C.CB-AB-CA D.AM-OB+0A-BM 【答案】ACD 【分析】根据向量的加减运算逐项分析即可 【详解】因为AB+BC+CA=0,CB-AB-CA=(CB-CA-AB=AB-AB=0, AM-OB+0A-BM=AM+MB+0A-OB=AB+BA=0,AB+BC+AC=2AC0 故选：ACD 9/436 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.【多选】(25-26高三上·江西南昌·期中)已知平面四边形ABCD,点E,F分别是BC,CD的中点，下 列说法正确的是() A.AB+BC+CD=AD B.AB+BC-AD=DC C.(BC+BD)= D.AB-AE+EF=FB 【答案】ABC 【分析】利用平面向量的平行四边形法则和三角形法则求解 【详解】A:因为AB+BC+CD=AC+CD=AD,故A正确； B:因为AB+BC-AD=AC-AD=DC,故B正确： C:因为AB+(Bc+BD)=B+BF=AF,故C正确： D:因为AB-A正+EF=EB+EF≠FB,故D错误， 故选：ABC 题型向量的三角不等式 19.(24-25高一下·内蒙古包头期中)已知a和都是单位向量，则a+的取值范围() A.(0,1) B.(0,2) c.[o,2] D.[0,1] 【答案】C 【分析】直接根据向量的三角不等式进行求解即可. 【详解】根据向量的三角不等式a-≤a+bsa+6得0≤a+6≤2 故选：C 20.(24-25高-下山东济宁·月考)已知a=2,=4,则a+6的取值范围为 【答案】[2,6] 【分析】根据向量模的性质以及向量方向的不同情况来确定|ā+b的取值范围 【详解】当ā和b方向相同时，根据向量模的性质可知|ā+b日ā+|b 已知ā=2，|b=4,将其代入可得ā+b上2+4=6，即ā+b1的最大值为6 当ā和i方向相反时，根据向量模的性质可知|ā+ba1-b川 己知|ā=2,1b=4,将其代入可得ā+b曰2-4曰-2=2，即|a+b1的最小值为2 10/436专题03 期中真题百练通关（常考） 题型1向量及相关概念 题型57复数与复平面内的向量 题型2相等向量与共线向量 题型58已知复数坐标特征求参数 题型3相反向量的概念 题型59复数的模 题型4向量的加减法 题型60复数模的几何意义 题型5向量的三角不等式 题型61共轭复数 题型6向量的数乘运算 题型62复数的加减法运算 题型7证明或判断三点共线 题型63复数加减法的几何意义 题型8根据向量共线求参数 题型64复数的乘法运算 题型9基底的概念 题型65复数的除法运算 题型10用基底向量表示已知向量 题型66虚数单位的周期 题型11平面向量基本定理的应用 题型67复数范围内因式分解 题型12向量数量积的概念 题型68复数范围内根与系数的关系 题型13求向量的数量积 题型69简单几何体的结构特征 题型14数量积与向量的垂直 题型70几何体中的基本计算 题型15向量的夹角 题型71几何体的展开与最值问题 题型16已知夹角求参数取值范围 题型72立体图形的直观图 题型17投影与投影向量 题型73棱柱、棱锥、棱台、组合体的表面积 题型18向量的模 题型74求棱柱、棱锥、棱台的体积 题型19数量积有关的取值范围问题 题型75圆柱、圆锥、圆台的表面积 题型20向量的正交分解及坐标表示 题型76圆柱、圆锥、圆台的体积 题型21向量线性运算的坐标表示 题型77球的表面积与体积 题型22向量共线的坐标表示 题型78球的截面问题 题型23向量定比分点的应用 题型79与球有关的切、接问题 题型24向量数量积的坐标运算 题型80证明多线共面问题 题型25向量的模的坐标运算 题型81证明三点共线问题 题型26向量夹角的坐标运算 题型82证明三线共点问题 题型27向量垂直的坐标运算 题型83空间两条直线的位置关系 题型28投影向量的坐标运算 题型84空间直线与平面的位置关系 题型29极化恒等式的应用 题型85空间中平面与平面的位置关系 题型30等和线的应用 题型86线面平行的判定 题型31与向量有关的取值范围问题 题型87利用线面平行证明线线平行 题型32余弦定理解三角形 题型88线面平行性质有关的计算问题 题型33正弦定理解三角形 题型89确定线面平行的点的位置 题型34三角形中的边角转化 题型90面面平行的判定 题型35判断三角形形状 题型91利用面面平行证明线面平行 题型36判断三角形的个数问题 题型92利用面面平行证明线线平行 题型37根据解的个数求参数 题型93面面平行有关的计算 题型38三角形的面积问题 题型94确定面面平行的点的位置 题型39距离问题 题型95线面垂直的判定与证明 题型40高度问题 题型96线面垂直的性质 题型41角度问题 题型97面面垂直的判定与证明 题型42判断三角形四心的位置 题型98面面垂直的性质 题型43根据三角形四心处理向量问题 题型99求异面直线的夹角 题型44奔驰定理与面积问题 题型100已知异面直线的夹角求其他量 题型45求面积的范围与最值 题型101直线与平面的夹角 题型46求周长的范围与最值 题型102求二面角 题型47求线段的范围与最值 题型103空间点到平面的距离问题 题型48求角或三角函数值的范围 题型104立体几何的动点问题 题型49三角形中的中线问题 题型105立体几何的翻折问题 题型50三角形中的角分线问题 题型106立体几何的截面问题 题型51三角形中的高线问题 题型52多三角形组合问题 题型53复数的概念 题型54复数的分类 题型55复数的相等 题型56复数与复平面内的点 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 向量及相关概念 1．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 2．（23-24高二下·山东菏泽·月考）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．【多选】（24-25高一下·福建福州·期中）下列说法错误的是（ ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 4．【多选】（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 5．（22-23高一下·新疆·期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 题型2 相等向量与共线向量 6．【多选】（22-23高一下·四川绵阳·期中）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同 C．若，，则 D．对于任意非零向量，是一个单位向量 7．【多选】（24-25高二上·湖北·开学考试）关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 8．（25-26高三上·湖南·期中）已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．（21-22高一·湖南·课后作业）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： （1）与相等的向量有哪些？ （2）的相反向量有哪些？ （3）与共线的向量有哪些？ 10．（24-25高一下·河南洛阳·期中）下列结论正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 D．若与是平行向量，则 11．（23-24高一下·广东阳江·月考）下列说法正确的是___________.（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 题型3 相反向量的概念 12．（24-25高一下·四川遂宁·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．向量的模是一个正实数 13．（19-20高二·全国·课后作业）向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．为实数0 C．与方向相同 D． 题型4 向量的加减法 14．（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 15．（24-25高一下·甘肃定西·月考）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 17．【多选】（22-23高一下·江西吉安·期中）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 18．【多选】（25-26高三上·江西南昌·期中）已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5 向量的三角不等式 19．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知和都是单位向量，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·山东济宁·月考）已知，，则的取值范围为______. 21．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 22．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量满足，则的最小值是______，最大值是______． 题型6 向量的数乘运算 23．【多选】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 24．（15-16高一下·河北石家庄·课后作业）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 25．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 26．【多选】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ） A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 27．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·贵州毕节·期中）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 29．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型7 证明或判断三点共线 30．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 31．（23-24高一下·四川泸州·月考）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 32．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 题型8 根据向量共线求参数 33．（2026·山东泰安·一模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 34．（23-24高一下·广东广州·期中）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 35．（22-23高一下·山东菏泽·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数________. 36．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则___________. 题型9 基底的概念 37．【多选】（24-25高一下·福建泉州·期中）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 38．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 39．（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 40．（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 题型10 用基底向量表示已知向量 41．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一下·重庆·月考）在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 45．（2025高二上·河南·学业考试）平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 题型11 平面向量基本定理的应用 46．（25-26高三上·北京丰台·期中）若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 _______ 47．（25-26高三上·河南·期中）在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高三上·四川成都·期中）在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为__________. 49．（25-26高三上·安徽六安·月考）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为______. 50．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 51．【多选】（25-26高三上·辽宁·期末）在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 题型12 向量数量积的概念 52．（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 53．（22-23高一下·甘肃兰州·期末）等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 55．【多选】（23-24高一下·河南周口·月考）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 题型13 求向量的数量积 56．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两个单位向量的夹角为，且向量，则______． 57．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 58．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 59．【多选】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知平面向量，，两两的夹角相等，且，则（    ） A．3 B． C． D． 60．（25-26高三上·广东·月考）已知是边长为2的等边三角形，点，满足，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 61．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知平行四边形，，点满足，记．用表示____________；若，则____________． 62．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 题型14 数量积与向量的垂直 63．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____. 64．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 65．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知非零向量满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 66．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知平面向量与的夹角为，且. (1)求； (2)若与垂直，求的值. 题型15 向量的夹角 67．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 68．（25-26高三上·云南昆明·期中）单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 69．（22-23高一下·山东青岛·期中）设，，则与的夹角________． 70．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知向量满足则（ ） A． B． C．1 D． 题型16 已知夹角求参数取值范围 71．（24-25高一下·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 72．（24-25高一下·山东淄博·期中）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 73．（24-25高一下·天津武清·月考）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)求； (3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围． 题型17 投影与投影向量 74．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 75．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 76．（25-26高三上·山东威海·期中）已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 77．【多选】（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 78．（2025高三上·广东广州·专题练习）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 题型18 向量的模 79．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________ 80．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知向量，满足，，且，的夹角为，则______． 81．（2025·四川成都·三模）已知向量满足，则__________. 82．（25-26高三上·湖北武汉·月考）平面向量，满足，，，则______． 83．（2025·河北·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．2 C． D． 84．（24-25高一下·湖北·期末）已知向量满足．若与夹角是，则______． 题型19 数量积有关的取值范围问题 85．（25-26高三上·江苏·月考）P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 86．（2025·河南·模拟预测）在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 87．（25-26高三上·天津·月考）已知平面四边形，，，，，则______；动点E，F分别在线段，上，且，，则的取值范围为______． 88．（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 89．（25-26高三上·北京海淀·月考）在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 90．（25-26高三上·天津·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则___________：若点为线段上的动点，则的取值范围为___________．    题型20 向量的正交分解及坐标表示 91．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）若点，点，则的坐标为___________． 92．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知点，，，若向量，则点D的坐标为______． 93．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 94．（24-25高一下·江苏·期中）与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 95．（22-23高一下·陕西安康·期末）已知，，，以、为基底将分解为的形式为____________. 96．（22-23高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 题型21 向量线性运算的坐标表示 97．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，，,则（   ） A． B． C． D． 98．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，分别用基底表示向量，，，则（  ） A． B． C． D． 99．（25-26高三上·湖南·月考）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 100．（24-25高一下·广东广州·月考）在平行四边形ABCD中，，，，则的坐标为（   ）. A． B． C． D． 题型22 向量共线的坐标表示 101．【多选】（24-25高一下·山西长治·期中）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 102．【多选】（24-25高一下·广东东莞·月考）已知两点，，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 103．（24-25高一下·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 104．（2026高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．6 D．9 105．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知向量，，，若与共线，则的最小值为__________. 题型23 向量定比分点的应用 106．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为__________. 107．（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 108．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 109．（21-22高一下·山西运城·期中）已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为______． 110．（21-22高一下·湖北·期中）已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为__________． 题型24 向量数量积的坐标运算 111．（25-26高三上·广东·月考）已知，若与的夹角为，则（    ） A．10 B． C．15 D． 112．（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知向量，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 113．（25-26高三上·河北衡水·期中）正方形的边长为是的中点，是边上靠近的三等分点，则的值为___________． 114．（25-26高二上·上海嘉定·期中）如图，已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则= ________； 115．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D．5 116．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 117．（25-26高三上·辽宁·期中）已知.若，则__________. 题型25 向量的模的坐标运算 118．（25-26高三上·福建福州·月考）已知向量，，则__________． 119．（25-26高三上·河北石家庄·期中）已知平面向量，若，则（   ） A． B．2 C． D．5 120．（25-26高三上·安徽·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 121．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 122．（2025·辽宁·二模）已知向量，向量满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型26 向量夹角的坐标运算 123．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 124．（2025·江西新余·模拟预测）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 125．【多选】（25-26高三上·江西南昌·期中）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与向量的夹角为钝角，则 D．的最小值为4 126．（24-25高三下·贵州·开学考试）设，向量且，则（    ） A． B． C． D． 127．（25-26高三上·湖北·期中）在中，已知，，则的面积为（   ） A． B．2 C． D． 128．（23-24高一下·湖北·月考）若，且为锐角，则实数的取值范围是______. 129．（23-24高一下·重庆·月考）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为_________． 130．（23-24高一下·天津和平·期末）设向量，，若与的夹角为钝角，则实数x的取值范围为_________． 131．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知向量，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型27 向量垂直的坐标运算 132．（25-26高三上·山西太原·期中）已知，且，则实数（   ） A．-3 B．6 C．-1或-2 D．1或2 133．（25-26高三上·山东·月考）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D．11 134．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知平面向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 135．（25-26高三上·山西大同·期中）已知向量，，若，则实数，满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 136．（25-26高二上·河北·期中）如图，在长方形中，，则（   ） A．-9 B．-4 C．4 D．9 题型28 投影向量的坐标运算 137．（25-26高三上·山东东营·期末）已知向量，若向量在方向上的投影的数量为，则（   ） A． B． C．1 D．2 138．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 139．（25-26高三上·江西上饶·月考）记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 140．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．1 D． 141．（2025·广东江门·模拟预测）已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型29 极化恒等式的应用 142．（22-23高三上·全国·月考）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 143．（22-23高三上·江苏南通·期中）如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________． 144．（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为4，，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是______ 145．（2021高三·全国·专题练习）半径为2的圆上有三点，，，满足，点是圆内一点，则的取值范围是________． 题型30 等和线的应用 146．（18-19高二上·上海嘉定·期末）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 147．（山东省烟台市2022届高三三模数学试题）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 题型31 与向量有关的取值范围问题 148．（25-26高三上·新疆·月考）已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为__________. 149．（25-26高三上·山东德州·期中）已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 150．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 151．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 152．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 153．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 154．（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型32 余弦定理解三角形 155．（2025高二上·山西·学业考试）若在中，，，，则边BC的长为______. 156．（25-26高三下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则________． 157．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 158．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 题型33 正弦定理解三角形 159．（21-22高二上·辽宁朝阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 160．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 161．（2026高二上·云南·学业考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 162．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型34 三角形中的边角转化 163．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 164．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 165．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角_____. 166．（25-26高三上·安徽·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A． B． C． D． 167．（25-26高二上·浙江·期中）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型35 判断三角形形状 168．（21-22高一下·江苏南京·期中）中，“”是“是以为的直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 169．（24-25高一下·天津静海·期中）在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 170．（25-26高三上·北京顺义·期中）在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 171．（22-23高二下·黑龙江鸡西·期中）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 172．（20-21高一下·天津滨海新区·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 173．（24-25高一下·广东·期中）在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（    ） A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是30°的直角三角形 D．等边三角形 174．（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 175．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 题型36 判断三角形的个数问题 176．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 177．（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 178．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则（   ） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150° 179．（24-25高一下·浙江台州·期中）符合下列条件的三角形有2个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型37 根据解的个数求参数 180．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 181．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 182．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（    ） A． B． C． D． 183．（24-25高一下·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 184．（24-25高三上·江苏淮安·期中）在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型38 三角形的面积问题 185．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 186．（25-26高三上·河北·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若则的面积为（    ） A． B． C． D． 187．（25-26高二上·广东深圳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，， ，则的面积为（    ） A． B． C． D． 188．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）在中，，，，则的面积为（    ）． A．8 B．16 C．32 D．64 189．（25-26高三上·山东临沂·期中）已知的内角，，满足，其外接圆半径为2，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 190．（24-25高一下·福建漳州·期中）已知三个顶点坐标分别为：，，，则的面积为（    ）． A．42 B．21 C．14 D．10.5 191．（25-26高三上·辽宁营口·期中）已知三边的中线、、的长分别为、、，则的面积为（   ） A． B． C． D． 192．（25-26高三上·山东聊城·期中）记内角、、的对边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D．或 193．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 194．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（    ） A． B． C． D． 题型39 距离问题 195．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 196．（25-26高二上·广东深圳·期中）位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 197．（25-26高三上·河南南阳·期中）某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的，两点之间的距离，该班学生在这条河流另一侧的点处测得点在点的北偏东30°方向上，点在点的北偏东60°方向上，从点出发，沿正东方向走2千米，到达点，在点处测得点在点的北偏西15°方向上，点在点的北偏东15°方向上，则，两点之间的距离（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 198．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 199．（24-25高一下·广西·期中）3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 200．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ）    A．200 m B．400 m C． D． 题型40 高度问题 201．（25-26高三上·山东青岛·期中）如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 202．（25-26高一下·全国·期中）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 203．（25-26高三上·福建宁德·期中）某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（   ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 204．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．200m B． C．400m D．600m 205．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 题型41 角度问题 206．（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 207．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 208．（23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 209．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 210．（22-23高一下·云南曲靖·月考）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（    ） A． B． C． D． 题型42 判断三角形四心的位置 211．（2023高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 212．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 213．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 214．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 215．（22-23高三上·浙江·期中）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 题型43 根据三角形四心处理向量问题 216．（2025·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 217．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 218．【多选】（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 219．（19-20高三下·广东深圳·月考）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （    ） A． B． C． D． 220．（22-23高一下·陕西西安·期中）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值． 题型44 奔驰定理与面积问题 221．【多选】（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 222．【多选】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则 C．若为的内心，，则 D．若是的外心，，则 223．【多选】（24-25高一下·江苏常州·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知是内一点，的面积分别为，且.则下列说法正确的是（    ）. A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 224．【多选】（22-23高一下·湖南常德·月考）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 225．【多选】（22-23高一下·山东·月考）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 题型45 求面积的范围与最值 226．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 227．（22-23高一下·山西阳泉·期中）已知中，角所对的边分别为，那么面积的取值范围是__________. 228．（22-23高一下·上海金山·月考）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为___________ 229．（15-16高二上·吉林松原·期中）已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______． 230．（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点在线段上，且，则面积最大值为（    ） A． B． C． D． 231．（25-26高一上·广东·期中）古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 232．（24-25高一下·河南郑州·期末）数学必修二55页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若，，则面积的最大值为（    ）． A．3 B． C． D． 233．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 234．（25-26高三上·河北沧州·期中）记内角的对边分别是，已知且. (1)求的值； (2)若，求面积的最大值. 235．（25-26高二上·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 236．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形中，，，，.    (1)求的长. (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 237．（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 题型46 求周长的范围与最值 238．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 239．（25-26高三上·江苏泰州·期中）在中，点是的中点，且. (1)若，求的值； (2)求的值； (3)求周长的取值范围. 240．（2025·陕西榆林·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)求周长的取值范围． 241．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的周长取最大值时，的面积为_____. 242．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若，求的周长的取值范围. 题型47 求线段的范围与最值 243．（2025·湖南·一模）在锐角中，内角的对边分别是，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 244．（25-26高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 245．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 246．（2025·河南·模拟预测）在中，内角、、的对边分别是、、，且． (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 247．（25-26高二上·山东青岛·期中）记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求B； (2)若，求的取值范围． 248．（25-26高三上·福建龙岩·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，则___________； （2）的取值范围是___________. 249．（25-26高三上·河北雄安·期中）记的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 250．（25-26高三上·河北石家庄·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求的大小； (2)若，且，求的取值范围． 251．（25-26高三上·湖北·月考）外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则__________；的最大值为__________. 252．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知中，角对应的边分别为，是上的四等分点（靠近点）且，则的最大值是___________． 253．（24-25高一下·新疆·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 254．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 255．（2025高三·全国·专题练习）已知在锐角中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)当时，求的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 题型48 求角或三角函数值的范围 256．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在中，内角所对的边分别为，满足． (1)求证：； (2)求的最大值． 257．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒·开学考试）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从以下条件①，条件②中选择一个作为已知． ①        ② ． (1)求角A； (2)求的取值范围． 258．（21-22高一下·福建三明·期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)若，且，求△ABC的面积； (2)求的最大值． 259．（24-25高一下·四川乐山·月考）在中，内角对应的边分别是，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积是，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 260．（24-25高一下·广东江门·期中）在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且 (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 261．（24-25高二下·浙江温州·月考）已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 题型49 三角形中的中线问题 262．（24-25高一下·江苏淮安·月考）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 263．（24-25高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（    ） A． B． C． D． 264．（23-24高一下·江苏无锡·月考）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 265．（21-22高一下·辽宁沈阳·期中）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（    ） A．3 B． C．1或2 D．2或3 266．（25-26高三上·山东德州·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角C的值； (2)若AB边上的中线CD长为，求的面积； (3)求的取值范围． 267．（25-26高三上·河南·期中）在中，角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若的中线长为，求的最大值. 268．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型50 三角形中的角分线问题 269．（25-26高三上·江苏南京·期中）在中，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 270．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若的角平分线交边于，且，，求的面积. 271．（23-24高三上·福建厦门·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是，，，的面积记为S，已知，. (1)求； (2)若边上的中线长为，为角的角平分线，求的长. 272．（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)已知的角平分线交于，且，求． 273．（2025·安徽·一模）在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且. (1)求角的大小； (2)若为边上的高，且，求的面积； (3)若为的角平分线，求的最小值. 274．（25-26高三上·山东临沂·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)设为边上一点， （ⅰ）若为中点，，的面积为，求的长度； （ⅱ）若为锐角的角平分线，，求长度的取值范围. 275．（25-26高三上·湖北荆州·月考）记的内角的对边分别为，已知 (1)求 (2)的角平分线交于点，若，求的周长． 276．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 277．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 题型51 三角形中的高线问题 278．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且． (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 279．【多选】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，点D为边上一动点，则（    ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角A的角平分线时， 280．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）在中，A，B，C所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求BC边上的高线AD的最大值. 281．（2024·全国·模拟预测）已知在△中，内角的对边分别为，且． (1)若为边上的高线，求的最大值； (2)已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积． 题型52 多三角形组合问题 282．（25-26高三上·重庆·期中）如图，记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的值； (2)设边的中点为，若，求的面积. 283．（25-26高三上·上海徐汇·期中）如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.    (1)若，求. (2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 284．（25-26高三上·新疆·期中）某艺术园区有一块场地如下图所示，该园区规划在三块区域，，建设办公楼，已知，，，设（单位：百米）. (1)请用表示； (2)当取何值时，的面积最大，并求最大值. 285．（25-26高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． (1)求角的大小； (2)若，求； (3)若，求 286．（25-26高三上·山东·期中）如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 287．（24-25高二上·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，且．    (1)求； (2)如图，若点是边上一点，且，，求． 288．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，平面四边形中，的三个内角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求四边形的周长. 289．（25-26高三上·山东·开学考试）如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 290．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    291．（24-25高一下·云南·期中）如图，在四边形中，，，是等边三角形． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积； (3)求的面积的最大值． 题型53 复数的概念 292．【多选】（21-22高一·全国·课后作业）下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 293．【多选】（2022高一·全国·专题练习）有下面四个命题，真命题的是（    ） A． B．若，且，则 C．，则 D．两个虚数不能比较大小 294．（23-24高二下·浙江·期末）复数（为虚数单位）的虚部是（    ） A．1 B． C．2024 D． 295．（22-23高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 296．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 297．（25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 题型54 复数的分类 298．【多选】（23-24高一下·湖南株洲·期中）下列复数是纯虚数的为（    ） A． B． C． D． 299．（22-23高一下·上海奉贤·期末）“”是“复数是纯虚数”的（   ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 300．（21-22高一下·山东青岛·期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．4 301．（22-23高一下·新疆喀什·月考）已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值； (1)z为实数； (2)z为虚数； (3)z为纯虚数. 题型55 复数的相等 302．（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 303．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）已知，其中，则____. 304．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 305．（24-25高一下·福建莆田·期中）定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 306．（2025·安徽六安·模拟预测）已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 307．（24-25高一下·广东·期中）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____. 题型56 复数与复平面内的点 308．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 309．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知复数（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 310．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 311．（24-25高一下·四川德阳·期中）复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 312．（24-25高一下·黑龙江·月考）在复平面内，复数对应的点是，则的虚部是（ ） A．2 B．2i C． D．i 313．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 题型57 复数与复平面内的向量 314．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 315．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______． 316．（23-24高一下·广东广州·期中）已知复平面内的点，分别对应的复数为和，则向量对应的复数为___________. 317．（2024·云南曲靖·一模）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 318．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，复数与对应的向量分别是与，其中O是原点，则两点间的距离为__________. 319．（23-24高一下·广东惠州·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后，则所得向量对应的复数为________（用代数形式表示）. 320．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 321．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点对应的复数； (2)三角形的面积. 322．【多选】（24-25高一下·山西·期中）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C． D．若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环 323．【多选】（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 324．（22-23高一下·山东菏泽·期中）设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. (1)求实数的值； (2)求的坐标； (3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 题型58 已知复数坐标特征求参数 325．（20-21高一下·重庆渝中·期中）复数，对应点在虚轴上，实数的值为___________. 326．（20-21高三上·西藏·期中）设复数，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 327．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 328．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 题型59 复数的模 329．（25-26高二上·云南曲靖·期中）复数，则（    ） A．3 B． C．6 D．10 330．（24-25高二下·云南·期末）记为虚数单位，复数，则（   ） A．5 B． C． D．2 331．（20-21高二下·浙江湖州·期中）复数是纯虚数，则_____________，_____________． 332．（25-26高三上·上海宝山·期中）设（i为虚数单位），则__________. 333．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）_____. 334．（24-25高一下·内蒙古兴安·期中）设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 335．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 336．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则________. 337．（23-24高三上·上海虹口·期中）设复数（i为虚数单位）且，若，则________． 题型60 复数模的几何意义 338．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 339．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 340．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 341．（19-20高一下·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 题型61 共轭复数 342．（25-26高三上·安徽淮北·期中）若，则复数的共轭复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 343．（25-26高三上·山东·月考）已知，则的虚部为（    ） A． B．2 C．3 D．6 344．（25-26高二上·陕西西安·期中）设复数为纯虚数（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 345．（25-26高三上·河南周口·期中）在复平面内，若复数z与复数关于虚轴对称，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 346．（2025·云南大理·模拟预测）已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 347．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知复数为，则（   ） A．4 B． C． D． 题型62 复数的加减法运算 348．（25-26高三上·山西运城·期中）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 349．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若复数满足，则________. 350．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 351．（24-25高一下·北京通州·期中）已知复数，，若为纯虚数，则实数________． 352．（25-26高三上·河南·开学考试）设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 353．（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 题型63 复数加减法的几何意义 354．（22-23高二下·陕西咸阳·期中）已知，，则的取值范围为______. 355．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型64 复数的乘法运算 356．（25-26高三上·河北衡水·期中）（   ） A． B． C． D． 357．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）计算：__________. 358．【多选】（25-26高二上·云南怒江·期中）已知复数，则（   ） A．的实部是7 B．的实部是 C．的虚部是 D．的虚部是13 359．（25-26高三上·山西·月考）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 360．（25-26高三上·湖南·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 361．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知，（为虚数单位），则（   ） A．3 B．1 C． D． 362．（25-26高三上·四川成都·期中）已知复数，，为虚数单位，若z为纯虚数，则（    ） A． B．6 C．12 D．20 363．（25-26高二上·湖南永州·期中）如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数（　　）    A． B． C． D． 364．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知复数，，，则“是实数”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 题型65 复数的除法运算 365．（25-26高一下·全国·期中）如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则____________． 366．（2025·广东·模拟预测）的虚部为（    ） A． B． C． D． 367．（2025·四川德阳·一模）复数的虚部为（   ） A．-3 B． C． D． 368．（25-26高三上·全国·期中）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 369．【多选】（2025·湖北武汉·二模）若复数，则（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 370．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知复数， 则的虚部为（    ） A． B． C． D． 371．（2024·湖南长沙·一模）复数在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 372．（25-26高二上·云南普洱·期中）已知为纯虚数，则（    ） A． B．2 C．1 D． 题型66 虚数单位的周期 373．（25-26高三上·江西南昌·期中）若为虚数单位，则计算__________. 374．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则_______ 375．（23-24高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 376．（21-22高三上·江苏南通·期末）已知复数z满足，则z＝（ ） A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i 题型67 复数范围内因式分解 377．（22-23高一下·吉林·期中）（1）已知复数满足，求； （2）在复数范围内因式分解：. 378．（22-23高一下·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为__________. 379．（22-23高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：______． 380．（21-22高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内，把多项式分解为一次因式的积：__________. 381．（21-22高三下·上海浦东新·期中）在复数范围内分解因式：______. 382．（21-22高一下·福建福州·期中）多项式在复数集中因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 383．（20-21高一下·山西吕梁·期中）在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则_______________． 题型68 复数范围内根与系数的关系 384．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若是关于x的实系数方程的一个复数根，则________． 385．（25-26高二上·上海·期中）若关于的方程的一个虚根的模为2，则实数的值为______． 386．（25-26高三上·上海松江·期中）若复数为方程的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 387．（25-26高二上·上海·开学考试）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________ 388．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（   ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 389．【多选】（25-26高三上·河北·期中）已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程可能只有这一个根 D．设方程的另一根为，则 390．（25-26高三上·安徽·期中）已知复数，． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 391．【多选】（25-26高二上·辽宁·月考）已知复数，则（    ） A． B． C．z在复平面内对应的点位于第一象限 D．z是方程的一个复数根 392．【多选】（23-24高一下·重庆·期中）已知是虚数单位，若，则（    ） A．复数的虚部为 B．复数对应的点在第二象限 C． D．复数是关于的方程的一个根 题型69 简单几何体的结构特征 393．（25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 394．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图所示，长方体被平面截成两个几何体，点分别在棱上，点分别在棱上，且，则截得的两个几何体分别是（   ） A．三棱柱和五棱柱 B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台 395．（24-25高一下·甘肃武威·期中）下列立体图形为平行六面体的是（   ）. A．B． C． D． 396．（24-25高一下·河南·期末）关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 397．【多选】（2024·全国·模拟预测）我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 398．（23-24高一下·安徽·月考）下列说法正确的是（    ） A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆台的所有母线延长不一定交于一点 D．一个多面体至少有3个面 399．【多选】（24-25高二上·山东菏泽·期中）用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．圆 D．椭圆 400．（25-26高三上·广东揭阳·期中）设一个简单几何体的棱数与面数之和为.用表示正棱台，表示正棱锥，则（    ） A． B．存在，使得 C． D．存在，使得 题型70 几何体中的基本计算 401．（25-26高二上·北京海淀·期中）如果一个长方体的长、宽、高分别是4，5，3，则它的体对角线为（   ） A．50 B．60 C． D． 402．（25-26高三上·重庆江北·期中）用半径为4 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高是_____cm. 403．（25-26高二上·上海·期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为_________. 404．（25-26高二上·北京怀柔·期中）如图，正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧棱长为__________. 405．（24-25高一下·山东济南·期中）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为10的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥)，若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为___________ 406．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为_________．       题型71 几何体的展开与最值问题 407．（2006·江西·高考真题）已知正三棱柱，底面边长为1，高为8．一只蚂蚁自点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达点的最短路线长为_________． 408．（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________.    409．（25-26高二上·上海松江·月考）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 410．（24-25高一下·河北邢台·期中）正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为_________． 411．（24-25高一下·浙江·期中）在长方体中，为线段的中点，是棱的中点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 412．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 413．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 414．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 415．（24-25高二上·上海·期中）在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为__________. 416．（24-25高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 417．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    418．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为______________公里. 419．（2024·陕西西安·模拟预测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（    ） A． B．6 C． D． 题型72 立体图形的直观图 420．（25-26高二上·上海松江·月考）如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于______． 421．（25-26高二上·广东肇庆·期中）一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为（   ） A．2 B．4 C． D． 422．（25-26高二上·四川内江·期中）如图所示为一个平面图形采用斜二测画法得到的直观图，其直观图是一个边长为2的菱形，则该平面图形的面积为（   ）    A．4 B． C．8 D． 423．（24-25高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 424．（25-26高二上·上海·期中）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为__________. 425．（25-26高二上·上海·期中）如图，该平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为______. 426．（21-22高一下·浙江湖州·期中）如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 427．（20-21高一下·河北保定·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 题型73 棱柱、棱锥、棱台、组合体的表面积 428．（25-26高二上·上海·期中）正四棱锥的底面边长为，高为，则它的表面积为________. 429．（25-26高二上·上海浦东新·期中）一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是_____. 430．（24-25高一下·重庆·期中）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 431．（25-26高二上·上海·期中）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 432．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（    ） A． B．8 C． D．32 433．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是__________.    434．（24-25高一下·天津·期中）在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 435．（24-25高一下·山西太原·期中）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正八面体（每个面都是棱长相等的正三角形）的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去六个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为__________．    436．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 题型74 求棱柱、棱锥、棱台的体积 437．（23-24高三上·福建厦门·期中）在正四棱台中，，则该棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 438．（25-26高三上·湖南·期中）已知正四棱台上､下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为（    ） A． B．688 C． D．888 439．（25-26高三上·江苏南京·期中）清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为（    ） A． B． C． D． 440．（25-26高二上·上海·期中）的三边分别是的中点，沿，将折起，使得重合于，则四面体的体积为_________. 441．【多选】（25-26高三上·贵州·期中）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）    A． B． C． D． 442．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知三棱柱的体积为，，，分别为侧棱，，上的点，且，则_____________. 题型75 圆柱、圆锥、圆台的表面积 443．（25-26高三上·上海·期中）若一个圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面积为___________． 444．（25-26高二上·广东肇庆·期中）将一个上底为2，下底为5，高为4的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（   ） A．14π B．21π C．28π D．35π 445．（25-26高二上·北京海淀·期中）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的表面积为________． 446．（25-26高二上·上海·期中）已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___________． 447．（2025·甘肃武威·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 题型76 圆柱、圆锥、圆台的体积 448．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 449．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知平面，，，，，是的中点，则绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积是___________． 450．（25-26高二上·四川达州·期中）如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为20 cm，取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为，则该几何体上部分圆台的体积约为（    ） A． B． C． D． 451．（24-25高一下·福建福州·期中）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是，则上、下两圆台的高之比是（    ）    A． B． C． D． 452．（24-25高一下·广西南宁·期中）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 453．（2022·福建·三模）《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两个等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等.该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为，下底直径为6cm，上下底面间的距离为3cm，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是__________cm；卧足杯的容积是____________（杯的厚度忽略不计） 题型77 球的表面积与体积 454．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（   ） A．1 B． C．2 D． 455．（25-26高二上·上海·期中）已知球的表面积是，则其体积是___________. 456．（25-26高二上·上海·期中）若球的表面积膨胀为原来的两倍，则膨胀后的球的体积变为原来的（    ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．4倍 457．（2025·海南海口·模拟预测）石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 题型78 球的截面问题 458．（25-26高二上·上海·期中）已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 459．（24-25高二下·上海·期中）已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面的面积是．则球心到这个平面的距离为______． 460．（2025高三·全国·专题练习）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 461．（2015·浙江台州·三模）如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 462．（25-26高二上·上海·期中）动点在棱长为的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为___________． 463．（24-25高一下·浙江·期中）已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 题型79 与球有关的切、接问题 464．（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 465．（25-26高二上·广东肇庆·期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 466．（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 467．（25-26高二上·贵州遵义·期中）四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 468．（2025·江西宜春·模拟预测）已知棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 469．（25-26高二上·上海·期中）＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为_________. 470．（25-26高二上·北京·期中）在三棱锥中，，、、两两垂直，则该三棱锥外接球的体积为（    ）． A． B． C． D． 471．（25-26高二上·广东肇庆·期中）一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 472．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为____ . 473．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，，则球O与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 474．（24-25高一下·山西·期中）如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 475．（24-25高一下·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 476．（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为______． 题型80 证明多线共面问题 477．（24-25高一下·浙江·期中）已知空间中三条直线、、，那么“、、两两相交”是“、、共面”的（   ）条件 A．充分不必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要不充分 478．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型81 证明三点共线问题 479．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 480．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．    481．（22-23高一下·福建龙岩·期中）在长方体中，是和的交点，与平面交于点.    (1)证明：三点共线. (2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积. 482．（22-23高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 题型82 证明三线共点问题 483．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 484．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 485．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 486．【多选】（23-24高一下·四川攀枝花·月考）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 题型83 空间两条直线的位置关系 487．（25-26高二上·上海浦东新·期中）“两条直线异面”的（   ）条件是“两条直线不相交” A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分且非必要 488．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若空间三条直线满足，与相交，则、的位置关系是_____. 489．（25-26高二上·北京·期中）在正方体中，下列直线与异面的是（    ） A． B． C． D． 490．（2023·上海嘉定·一模）如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 491．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与 异面的有________条    492．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有_____条    493．（25-26高二上·上海·期中）如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条．    494．【多选】（24-25高一下·福建福州·期中）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（   ） A．与平行 B． C．与是相交直线 D．与是异面直线 495．（24-25高一下·江苏南通·期中）在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 496．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（   ） A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 题型84 空间直线与平面的位置关系 497．（25-26高二上·上海·期中）已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（    ） A．平面内的所有直线均与直线异面； B．平面内存在与直线垂直的直线； C．平面内存在直线与直线平行； D．平面内所有直线均与直线相交. 498．（20-21高一下·广东茂名·期中）若直线不平行于平面，则下列结论正确的是（    ） A．平面内的所有直线都与直线异面 B．平面内不存在与直线平行的直线 C．平面内的所有直线都与直线相交 D．直线与平面一定有公共点 499．（25-26高二上·北京·期中）已知平面，两条不重合的直线，.“”是“存在直线，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 500．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）已知两条直线若平面，，则与平面的位置关系是（    ） A．平面 B．平面或平面 C．平面 D．平面或平面 题型85 空间中平面与平面的位置关系 501．【多选】（2025·云南昆明·一模）已知，，为三个两两垂直的平面．若平面，的交线为，则下列结论中一定不成立的有（    ） A． B． C． D． 502．（23-24高一下·北京·开学考试）已知是异面直线，是两个不同的平面，，直线满足，，则（   ） A．，且 B．，且 C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于 503．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 504．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 505．（25-26高三上·天津·期中）设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（   ） A．若，，则； B．若，，，，，则； C．若，，则，； D．若，，，则； 506．（25-26高三上·山东德州·月考）在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则 507．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型86 线面平行的判定 508．（25-26高三上·上海·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.    (1)求证: 平面； (2)求三棱锥的体积. 509．（2025高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成的角. 510．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 511．（25-26高二上·贵州·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 512．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 513．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 题型87 利用线面平行证明线线平行 514．（24-25高一下·广东·期中）如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于． (1)求该多面体的体积； (2)求证：平面； (3)判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明． 515．（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 516．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正方体的棱长为2，为中点，与平面交于点.    (1)求证：为的中点； (2)求到平面的距离. 517．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 518．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)求证：面； (2)求证：面； (3)当平面时，面与交于，求的值． 519．（23-24高一下·江苏南通·月考）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 题型88 线面平行性质有关的计算问题 520．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点．若平面ADE，则的值为______． 521．（21-22高二下·江西南昌·月考）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点，为的中点，在上，，平面，则的值为________． 522．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（   ） A． B． C．2 D． 523．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为________. 题型89 确定线面平行的点的位置 524．（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 525．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 526．（21-22高一下·山东淄博·期中）如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA=5∶8．    (1)在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由； (2)假设存在满足条件（1）的点N，求线段MN的长． 527．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方体中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 528．（21-22高一下·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． (1)求证：平面； (2)求证：F为的中点； (3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型90 面面平行的判定 529．（2021高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的侧面积． 530．（25-26高二上·安徽亳州·期中）如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 531．（24-25高一下·山西忻州·期中）如图所示，正四棱锥S-ABCD中，，．    (1)求正四棱锥S-ABCD的体积； (2)若P为侧棱SD上的点，且，Q是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且，求证：． 532．（24-25高一下·天津·期中）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)取中点，求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 533．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 题型91 利用面面平行证明线面平行 534．（23-24高一下·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 535．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明. 536．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：//平面； (2)求证：； (3)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由. 537．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 538．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 539．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 题型92 利用面面平行证明线线平行 540．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 541．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． (1)证明：平面； (2)过F点作平面平面交于点，交于点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 542．（23-24高一下·广东佛山·月考）如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，． (1)证明：平面平面． (2)若G是棱的中点，证明：． 543．（22-23高一下·浙江杭州·期中）如图，斜三棱柱中，D，分别为AC，上的点．    (1)当时，求证平面； (2)若平面平面，求的值，并说明理由． 题型93 面面平行有关的计算 544．（21-22高一下·河南商丘·期中）在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 545．（25-26高二上·北京西城·期中）在正方体中，点为的中点，平面内动点满足平面，若，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．4 546．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是棱的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线与平面EFG没有公共点，则线段PB长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 题型94 确定面面平行的点的位置 547．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)在棱CD上是否存在点H，使得平面平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说明理由. 548．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 549．（24-25高一下·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 550．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 题型95 线面垂直的判定与证明 551．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 552．（25-26高二上·陕西渭南·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.    (1)求证：平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 553．（25-26高二上·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 554．（25-26高三上·福建三明·期中）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面. 555．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，在直三棱柱中，，若，    (1)设的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 556．（25-26高二上·北京·期中）如图，在平行六面体中，，点E，F分别是，BD的中点．    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面． 题型96 线面垂直的性质 557．（21-22高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 558．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心， (1)求证：； (2)已知平面，且平面．求证：． 559．（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：. 560．（25-26高二上·上海·月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. (1)证明：； (2)求点到平面BDE的距离； 561．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面. 562．（24-25高一下·重庆·期中）如图，在多面体中，是平面与平面的交线，，且，，． (1)证明：； (2)证明：； (3)若，求多面体的体积． 563．（24-25高一下·吉林·期中）已知四面体，，.如图. (1)证明：； (2)若，求四面体的体积. 564．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转得到的.已知，，P是上的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O. (1)求该几何体的表面积； (2)求证：； (3)若M是上的一点，且满足平面平面ABEF，求的值. 题型97 面面垂直的判定与证明 565．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，且分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 566．（25-26高二上·安徽·期中）如图，为等边三角形，和都垂直平面，且，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求该几何体的体积． 567．（25-26高三上·河北·期中）如图，在三棱锥中，的中点分别为，点在上，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求平面与平面的夹角的大小. 568．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，三棱锥中，是一个边长为2的正三角形，.    (1)求证：平面平面ABC； (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 569．（25-26高二上·北京怀柔·期中）已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 570．（25-26高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的表面积； (2)证明：平面平面； (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 题型98 面面垂直的性质 571．（25-26高三下·上海浦东新·期中）如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面PAD； (2)若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 572．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 573．（25-26高三上·上海·月考）如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 574．（25-26高二上·湖南·期中）如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 题型99 求异面直线的夹角 575．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 576．（25-26高二上·广东清远·期中）已知四面体各棱长都等于1，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 577．（18-19高一·全国·假期作业）如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于（   ） A． B．45° C．60° D．90° 578．（25-26高二上·北京·期中）已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，点为中点，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型100 已知异面直线的夹角求其他量 579．（23-24高二上·上海浦东新·期中）四面体中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则线段的长为_____________. 580．（24-25高二上·上海·月考）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 581．（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 题型101 直线与平面的夹角 582．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）正四面体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 583．（25-26高二上·北京·期中）如图，在正三棱柱中，，.则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 584．（2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ） A． B． C． D． 585．（25-26高三上·北京·月考）已知正三棱柱的所有棱长均为2，且点在上运动，则直线与平面所成角的最大正弦值为（   ） A． B． C． D． 586．（25-26高二上·上海·期中）如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．    (1)是否可能是的垂心，请说明理由 (2)若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 587．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，圆柱轴截面是正方形，，点E在底面圆周上（除外），，F为垂足． (1)求证：平面； (2)当直线DE与平面所成角的正切值为时，求三棱锥的体积． 题型102 求二面角 588．（25-26高二上·四川自贡·期中）如图，正四棱锥中，，．点在上，． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； 589．（25-26高三上·江西抚州·期中）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中， ，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； 590．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，等边三角形所在的平面垂直于底面．    (1)求证：平面． (2)若，求二面角的夹角余弦值． 591．（25-26高三上·江苏徐州·期中）如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，. (1)求二面角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 592．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)求点B到面PAC的距离； (2)若，证明：平面； (3)若，且二面角的正弦值为，求AD. 593．（25-26高三上·河北承德·期中）如图，圆锥CO 的底面直径，其侧面展开图为半圆，AD 是底面圆的一条弦.    (1)当时，证明：; (2)若二面角的余弦值为求AD. 594．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 595．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 题型103 空间点到平面的距离问题 596．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 597．（25-26高三上·河北·期中）在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为的面积为.则点到平面的距离为（    ） A． B．2 C． D． 598．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知正方体的棱长为2，为的中点，则点到平面的距离等于（   ） A． B． C． D． 599．（25-26高二上·北京·期中）在三棱锥中，三条棱，，两两相互垂直，，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 题型104 立体几何的动点问题 600．（2026·广东江门·一模）已知正方体的棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 601．（25-26高三上·云南普洱·期末）如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（   ） A．4 B． C．6 D． 602．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 603．（25-26高三上·四川自贡·期末）在棱长为2的正方体中，棱，的中点分别为，，且点在侧面内，若平面，则点的轨迹长度为（   ） A． B．2 C． D． 604．【多选】（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的是（   ） A．点的轨迹长度为 B．的最小值为 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的最大体积为4 题型105 立体几何的翻折问题 605．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 606．（25-26高二上·广东肇庆·期中）已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 607．【多选】（25-26高三上·云南曲靖·期中）在矩形ABCD中，，，以对角线BD为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，（    ） A．三棱锥体积的最大值为 B．点，B，C，D都在同一球面上 C．存在点在某一位置时，可使 D．当时， 608．（25-26高三上·江西南昌·期中）在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是______． 609．（25-26高二上·湖南·期中）如图1，在平面四边形中，，．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的三棱锥．    (1)证明：． (2)当点到平面的距离最大时，求三棱锥外接球的表面积． (3)当时，求平面与平面夹角的余弦值． 题型106 立体几何的截面问题 610．（22-23高一下·江苏盐城·期中）在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（    ） A．三角形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 611．（24-25高二下·上海嘉定·期末）平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 612．【多选】（24-25高一下·江苏·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 613．（24-25高一下·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为__________. 614．（24-25高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 615．（24-25高二上·广西柳州·期中）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为______. 616．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为______. $