第30讲 投影与视图（复习讲义，2考点7题型1重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 第30讲 投影与视图 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 投影 题型01 投影类型判断 题型02 平行投影计算 题型03 中心投影计算 命题点二 视图 题型01 三视图的识别 题型02 三视图的补全与绘制 题型03 由三视图还原 题型04 三视图的相关计算 05·重难突破·思维进阶难 27 突破一 投影与相似三角形综合 06·优题精选·练能提分 32 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 投影（平行投影、中心投影） / / 理解平行投影和中心投影的概念，能根据投影解决实际问题（如测量高度、影长计算等）。 视图（三视图、展开图） 长沙市卷T2 湖南省卷 T3 掌握三视图（主视图、左视图、俯视图）的概念，能根据几何体判断三视图，或根据三视图还原几何体。 命题预测 1. 三视图判断为必考基础（选择题，3分） 左视图判断：从左向右看，画出看到的形状；主视图判断：从前往后看，画出看到的形状； 俯视图判断：从上往下看，画出看到的形状；小正方体组合：由若干小正方体搭成的几何体三视图。 2. 由三视图还原几何体（选择题/填空题，3-4分） 确定小正方体个数：根据三视图判断所需小正方体的最少/最多个数；几何体形状判断：根据三视图确定几何体的形状。 3. 平行投影实际应用（填空题/解答题，6-8分） 影长计算：利用相似三角形求高度或影长；测量问题：太阳光下的测量（测旗杆高度、楼高） 4. 中心投影实际应用（填空题/解答题，4-6分） 灯光下的影子：利用相似三角形求高度或距离；位似关系：中心投影与位似图形的联系 备考建议 1. 基础知识巩固 三视图规则：主视图（前面）、左视图（左面）、俯视图（上面）；投影分类：平行投影（太阳光）、中心投影（灯光）；投影性质：平行投影物高与影长成正比；中心投影构成相似三角形 2. 解题能力提升 三视图：从给定几何体画出三视图，或由三视图想象几何体形状；投影计算：熟练运用相似三角形建立比例关系；画图训练：复杂几何体的三视图要画辅助线 3. 重点突破题型 ① 小正方体组合的三视图判断② 由三视图还原几何体（求小正方体个数）③ 平行投影测高问题④ 中心投影测高问题⑤ 投影与方位角、解直角三角形综合 平行投影 中心投影 定义 由平行光线形成的投影 由一点发出的光线形成的投影 区 别 光源 平行光源(如太阳等) 点光源(如台灯等) 投影线 平行 相交于一点 投影方向 同一时刻，同一地点相同 由点光源与物体的相对位置确定 影长 同一时刻,同一地点,平行投影下不同物体的影子长度与物体高度成比例 不同物体的影子长度与物体高度不一定 成比例 联系 1）都是投影现象，都是物体在光线下形成的影子； 2）影子都随投影面的变化而发生变化; 3）都可以根据物体与影子的对应点判断光线的来源和方向. 1.（25-26九年级上·湖南永州·期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（    ） A．500寸 B．450寸 C．100寸 D．50寸 【答案】B 【分析】本题主要考查了考查平行投影，根据同一地点，同一时刻物高与影长对应成比例，通过建立比例方程求解竹竿长度即可． 【详解】解：设竹竿长为x寸． ∵竹竿影长150寸，标杆高15寸，标杆影长5寸， ∴ ∴ ∴ 故竹竿长为450寸， 故选B． 2.（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平行投影的定义判断即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影． 故选：C． 3.（24-25九年级下·湖南·月考）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是．若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，位似图形的性质，由中心投影可知与是位似图形，进而根据位似图形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形， ∵， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故选：． 考点二 视图 1.三视图的定义及画法 定义 从正面观察物体得到的视图叫做主视图； 从左面观察物体得到的视图叫做左视图； 从上面观察物体得到的视图叫做俯视图。 画法 主视图与俯视图要长对正；主视图与左视图要高平齐；左视图与俯视图要宽相等； 看得见的轮廓线画成实线；看不见的轮廓线画成虚线。 2.常见几何体的三视图 1.（2025·湖南长沙·中考真题）下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，左视图即为从左面看到的图形，据此即可解答． 【详解】 解：它的左视图是． 故选：A． 2．（2024·湖南·中考真题）如图，该纸杯的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案． 此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 【详解】解：该纸杯的主视图是选项A， 故选：A． 3.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了小正方体的堆砌图形的俯视图，对几何体的三种视图的空间想象能力是解答本题的关键．根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：俯视图从左到右三列，每一列的正方形个数分别是1，1，2． 故选：A． 4.（24-25九年级下·湖南怀化·月考）下列各几何体中，俯视图与如图所示圆柱的俯视图形状相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，熟练掌握常见立体图形的三视图是解题的关键．先得出圆柱的俯视图是圆，再分别判断出选项中各立体图形的俯视图，即可得出结果． 【详解】解：圆柱的俯视图是圆， A中、三棱柱的俯视图为三角形，不相同，不符合题意； B中、球的俯视图为圆，相同，符合题意； C中、正方体的俯视图为正方形，不相同，不符合题意； D中、长方体的俯视图为长方形，不相同，不符合题意； 故选： B． 命题点一 投影 ►题型01 投影类型判断 根据两物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两个物体的顶端和其影子的顶端的连线所在直线是平行还是相交，若平行，则是在阳光下的投影，即平行投影；若相交，则是在灯光下的投影，即中心投影. 【典例】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平行投影的定义判断即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影． 故选：C． 【变式1】（2025-2026九年级下·湖南长沙·期末）如图，这是三个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，属于同一种投影是_________．    【答案】 【分析】根据平行投影和中心投影的特点和规律，进行判断即可． 【详解】由图可知“L”是中心投影，“K”是中心投影，“C”是平行投影， 属于同意投影的是， 故答案为：． 【点睛】本题考查投影的定义，能正确区分平行投影和中心投影的特点是解题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·月考）日晷是中国古代利用日影测定时刻的计时器．“晷”字，古义是太阳的影子．如图所示的晷针在晷面上形成的投影（   ） A．是平行投影 B．是中心投影 C．既是中心投影，也是平行投影 D．既不是中心投影，也不是平行投影 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键．根据中心投影的定义：把光由一点向外发散形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影． 故选：A． ►题型02 平行投影计算 【典例】如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作、的平行线，交于H，根据平行线分线段成比例得出点H是的中点，得出，再由正切函数求解即可； （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，利用相似三角形的判定和性质得出，确定四边形是平行四边形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图，过点O作、的平行线，交于H， 由题意可知，点O是的中点， ∵， ∴， ∴点H是的中点， ∵， ∴， ∴， 又∵由题意可知： ∴， ∴， 解得， ∴点O、M之间的距离等于； （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得， ∵， ∴， ∵由题意可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴叶片外端离地面的最大高度等于． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例和相似三角形的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式1】（2024-2025九年级下·湖南娄底·期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长米，它的影长是3米，同一时测得是274米，则金字塔的高度是________米． 【答案】 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，物高与影长对应成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴； 故答案为：137． 【变式2】为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． ►题型03 中心投影计算 【典例】（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)灯泡离地面的高度为 【分析】本题考查投影，相似三角形的应用． （1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子； （2）证明，根据对应边成比例列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴灯泡离地面的高度为． 【变式1】如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（　　） A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m 【答案】D 【分析】由题意过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，证△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，得，解得BC=1.2（m），DE=2.4（m），即可解决问题． 【详解】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H， 则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH， ∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP， ∴， 即， 解得：BC=1.2，DE=2.4， ∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m）， 即此时小明影子的长度缩短了1.2m. 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及中心投影等知识；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·湖南常德·期中）如图，三角形硬纸板（记为）在灯光照射下形成投影，若，，则的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查中心投影的定义和性质，位似三角形的性质，熟练掌握中心投影和位似三角形的性质是解题的关键．利用中心投影得定义可得与是位似三角形，再利用位似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由中心投影的定义可得与是位似三角形， ∴，且由位似得， ∴， 得：， 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，，然后利用相似比可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图，    ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 命题点二 视图 ►题型01 三视图的识别 【典例】．（2025·四川雅安·中考真题）如图，下面几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线，即可求解． 【详解】从上面看到一个长方形，凹槽口的两条棱能看得到，应画为实线； 凹槽底的两条棱被顶面遮挡，应画为虚线． 故选：C． 【变式1】（2025·四川绵阳·中考真题）如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查小正方体的组合体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键． 根据三视图的概念逐项判断即可． 【详解】解：根据三视图的概念，主视图为正方向上看所得图形， 其中C选项符合该特征， 故选：C． 【变式2】（2025·四川·中考真题）以下几何体的主视图是圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的主视图概念及常见几何体的主视图特征，解题的关键是明确主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，并熟记球体、正四面体、正方体、正八面体的主视图形状． 先明确主视图的定义（从正面观察几何体所得到的平面图形）；再分别判断各选项几何体的主视图，球体无论从哪个方向观察主视图均为圆，正四面体主视图为三角形，正方体主视图为正方形，正八面体主视图为菱形（或正方形），据此筛选出主视图是圆的几何体． 【详解】解：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，分析各选项：   A． 几何体为球体，从正面观察球体，其主视图为圆，此选项符合题意；   B． 几何体为正四面体，从正面观察正四面体，其主视图为三角形，此选项不符合题意；   C． 几何体为正方体，从正面观察正方体，其主视图为正方形，此选项不符合题意；   D． 几何体为正八面体，从正面观察正八面体，其主视图为菱形（或正方形），非圆，此选项不符合题意．   故选：A． 【变式3】（2025·江苏镇江·中考真题）如图所示的几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义即可得． 【详解】 解：这个几何体的主视图是， 故选：D． 【变式4】（2025·宁夏·中考真题）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（    ） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． ►题型02 三视图的补全与绘制 【典例】用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题： (1)a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； (2)这个几何体最少由 　 　个小立方体搭成，最多由 　 　个小立方体搭成． (3)当d＝2，e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图． 【答案】(1)a=3，， (2)9，11 (3)作图见解析 【分析】（1）根据主视图结合俯视图直接解答即可； （2）由主视图得b，e，f中有一个等于2时，小立方体个数最少，当b=e=f=2时，小立方体个数最多； （3）根据三视图的要求画图即可． 【详解】（1）解：根据主视图可知第三列的高度为3，故a=3，第二列的高度为1，故b=c=1， 故答案为：3，1，1； （2）由主视图得b，e，f中有一个等于2时，小立方体个数最少，最少=1+1+2+1+1+3=9； 当b=e=f=2时，小立方体个数最多，最多=2+2+2+1+1+3=11； 故答案为：9，11； （3）左视图如图： 【点睛】此题考查了小立方体组成的几何图形，掌握由三视图确定小立方体的个数，会画几何图形的三视图，正确掌握由三视图确定几何图形是解题的关键． 【变式1】下列几何体共有（   ）个小正方体．分别画出正视图、俯视图、左视图． 【答案】7；见解析 【分析】本题主要考查了画小立方体组成的立体图形的三视图，解题的关键是熟练掌握三视图的定义．根据从上面、正面、左面看到的平面图形，画出三视图即可． 【详解】解：几何体共有7个小正方体，正视图、俯视图、左视图，如图所示： 【变式2】（2025·四川凉山·中考真题）如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都不相同 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，据此结合图形画出对应的三视图即可得到答案． 【详解】解：该几何体的三视图如下所示： ∴主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同， 故选：A 【变式3】（2025·黑龙江·中考真题）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（   ） A．7 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 根据三视图的知识，俯视图是由5个小正方形组成，而主视图是由两层小正方形组成，故这个几何体的底层最少有5个小正方体，第2层最少有2个小正方体． 【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有2个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最少有个． 如图：（其中一种情形） 故选：A． ►题型03 由三视图还原 1)视图中有两个是矩形的几何体是柱体； 2)视图中有两个是三角形的几何体是锥体； 3)视图有两个是梯形的几何体是台体； 4)视图中有两个是圆的几何体是球. 【典例】（2025·山东潍坊·中考真题）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据给出的三视图可知，该物体为长方体和圆柱体的组合体，长方体在上，圆柱体在下，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，该物体可能是 故选B． 【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 【答案】D 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，根据常见几何体的三视图可得出答案，掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：根据主视图和左视图是长方形可知，该几何体是柱体，俯视图判断几何体的底面形状是正方形，说明几何体是长方体， 故选：． 【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．四棱柱 【答案】A 【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体，熟知常见几何体的三视图是解题的关键； 由题目给出的三视图可知，这个几何体是圆柱，即得答案. 【详解】解：根据题意可得：这个几何体是圆柱； 故选：A. 【变式3】（2025·河北·中考真题）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． ►题型04 三视图的相关计算 1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体； 2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长； 3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体； 4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解. 【典例】（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由三视图，解题的关键是通过三视图判定几何体． 由三视图可确定该几何体，根据图中数据计算底面周长即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由图中数据可知，圆锥的底面半径为, ∴根据圆的周长公式得，底面圆的周长 故选：． 【变式1】某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按的比例画出准确的三视图（如图②）．已知在中，，又知．求： (1)的长； (2)这个直三棱柱的体积． 【答案】(1)厘米 (2)立方厘米 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三棱柱的三视图及三棱柱的体积计算： （1）过点E作于点H，则根据题意可得出，然后由勾股定理计算即可得出答案； （2）根据三棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高进行计算即可． 【详解】（1）解：过点E作于点H，如图． 在中，， ∴． ∴． ∴由勾股定理，得， ∴． 由图形可知． （2）解：直三棱柱的体积． 【变式2】（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 突破一 投影与相似三角形综合 【典例】（2025·湖南·模拟预测）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解． 【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 【变式1】【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)B (3)灯杆高度为5.4m 【分析】（1）连接，并延长交于点O，再连接，过点E作，交于点K； （2）小明从点A出发，影子越来越短，到路灯下方达到最短，之后越来越长，可知B符合题意； （3）先说明，即可得出 ，再代入数值可得然后根据求出答案． 【详解】（1）解：如图，光源O、线段即为所求； （2）解：B； 根据题意可知影子越来越短，至最短，随后越来越长，可知B符合题意； （3）解：如图所示，设， 由题意得，， ， ， ， ， ， 解得， ∴ ． ∵， 解得， ∴灯杆高度为． 【变式2】如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，，点光源到胶片的距离为，求胶片与屏幕的距离． 【答案】胶片与屏幕的距离为 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，先根据相似三角形的判定和性质得出，再结合相似三角形对应边上的高的比等于相似比得出，设，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵，，， ∴， 设， 故， 解得， 即． 故胶片与屏幕的距离为． 【变式3】如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 【答案】AB在直线m上的正投影的长是 【分析】本题考查直角三角形和相似三角形的应用，掌握利用直角三角形的边角关系和相似三角形的性质求解线段长度是解题的关键． 先在中求出和的长度，再在中求出的长度，接着证明，求出的长度，最后将和相加得到在直线上的正投影长度． 【详解】解：在中， ， , 在中， ． 点在直线上的正投影分别为点， ，即， , ， ， ， ， ， ． 故在直线上的正投影的长是． 1.如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东． 【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低高低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长短长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键 2.《哪吒之魔童闹海》在2025年春节期间在各大影院上映，广受大家喜爱，成为中国史上票房最高的国产电影，哪吒的莲花宝座可以抽象视为一个“正六边形”，下列选项中俯视图为正六边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图，根据俯视图的定义得到所示的几何体的俯视图，即可得到答案．掌握从上面看几何体得到的图形就是几何体俯视图是解题的关键． 【详解】解： A．该几何体的俯视图是一个圆，故此选项不符合题意； B．该几何体的俯视图是一个正方形，故此选项不符合题意； C．该几何体的俯视图是一个矩形，故此选项不符合题意； D．该几何体的俯视图是一个正六边形，故此选项符合题意． 故选：D． 3.榫卯结构是中国传统建筑，家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：榫的主视图为： 故选：B． 4.一位同学根据如图1所示的几何体，画出了它的三视图（图2），则下列说法正确的是（    ） A．只有主视图正确 B．只有俯视图正确 C．只有左视图正确 D．只有主视图不正确 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三种视图．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出答案． 【详解】解：改几何体的三视图为： 与图2比较，只有左视图正确， 故选：C． 5.下列命题为真命题的是（　　） A．三角形的外心是三条角平分线的交点 B．圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆 C．“长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件 D．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是： 【答案】C 【分析】本题考查了命题，选项根据三角形的外心的定义判断即可；选项根据圆锥的三视图判断即可；选项根据三角形的三边关系判断即可；选项根据第四象限的点的特点判断即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：．三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，原命题是假命题，故本选项不符合题意； ．正立的圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆（带圆心），原命题是假命题，故本选项不符合题意； ．“长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件，是真命题，故本选项符合题意； ．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是：，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：． 6.（2025·湖南娄底·模拟预测）一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥体的表面积．根据题意可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3，先求出圆锥的母线长，即可求出物体的表面积． 【详解】解：∵物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆， ∴可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3， ∴圆锥的母线长为， ∴这个物体的表面积为． 故答案为： 7.某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的形状图，解题关键点：熟记常见几何体的形状图．由几何体的形状图可知该几何体为圆柱，进而利用圆柱体积公式求解即可得解． 【详解】解：由图可知该几何体是底面直径为2，高为3的圆柱， ∴该几何体的体积是：， 故选：A． 8.如图是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（　　） A．200 cm2 B．600 cm2 C．100πcm2 D．200πcm2 【答案】D 【详解】试题解析：由三视图可知，该几何体为圆柱，由俯视图可得底面周长为 cm，由主视图可得圆柱的高为20 cm，所以圆柱的侧面积为 . 所以本题应选D. 点睛：圆柱体的侧面积=底面周长×高. 9.图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2． 故选A． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 10.空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 【答案】(1)点到水平地面的距离的长约为173.6cm (2)在水平地面上的正投影的长约为128.5cm 【分析】本题考查了正投影，解直角三角形的应用--仰角和俯角问题，熟悉仰角和俯角的概念，构造出直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点．构造，利用三角函数求出的长，进而求出的长； （2）由图形可知在地面的正投影长即的长，所以求出问题得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，， ， ． 故点到水平地面的距离的长约为173.6cm． （2）解：在中，， ， ． 故在水平地面上的正投影的长约为128.5cm． 11.一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图1，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ， °（注：，） (2)求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液底面积高） (3)在图1的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱或交于点P、点Q始终在棱上，设，，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围． 【答案】(1)，3， (2) (3)时，， ， 【分析】（1）本题根据水面与水平面平行可以得到与平行，利用勾股定理即可求得的长； （2）本题根据液体正好是一个以是底面的直棱柱，利用直棱柱体积等于底面积乘高，即可求得液体的体积； （3）本题根据以棱为轴将容器向左或向右旋转，分情况分析，利用液体体积不变，建立y与x的联系，即可解题． 【详解】（1）解：液体的形状为直三棱柱， ， 由题知，,, 根据勾股定理得．； 在中， ， ． 故答案为：，3，． （2）解：（）． （3）解：当容器向左旋转时，， 液体体积不变， ， ． 当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点重合时，如图5， ，且， ， ， ． ． 此时； 当容器向右旋转时，， 液体体积不变， ， ； 综上所述，图3中y与x的函数关系式为，相应的的范围是， 图4中y与x的函数关系式为，相应的的范围是． 【点睛】本题考查了几何变换、三视图、直棱柱体积、勾股定理、以及求函数解析式，解题的关键在于掌握直棱柱体积求法，利用液体体积不变，建立y与x的联系，从而得到函数关系式． 1.（2025·山东·中考真题）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键． 根据主视图是从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为 ． 故选：C． 2.（2025·四川自贡·中考真题）如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组体合的三视图，熟练掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：根据题意得：其主视图是 故选：D． 3.（2025·山东威海·中考真题）如图是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体．其左视图是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，明确左视图是从物体的左面看到的图形是解题的关键； 根据左视图是从物体的左面看到的图形判断即可． 【详解】解：几何体的左视图是：    故选：C． 4.（2025·山东东营·中考真题）下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的定义， 根据“从左面看几何体，所看到的视图是左视图”即可求解．画轮廓线时，看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】解：由题意得，此领奖台的左视图是： 故选：C． 5.（2025·广东深圳·中考真题）如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同 【答案】A 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：根据三视图的定义，可知该几何主视图和左视图相同． 故选：A． 6.（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 第30讲 投影与视图 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 投影 题型01 投影类型判断 题型02 平行投影计算 题型03 中心投影计算 命题点二 视图 题型01 三视图的识别 题型02 三视图的补全与绘制 题型03 由三视图还原 题型04 三视图的相关计算 05·重难突破·思维进阶难 14 突破一 投影与相似三角形综合 06·优题精选·练能提分 15 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 投影（平行投影、中心投影） / / 理解平行投影和中心投影的概念，能根据投影解决实际问题（如测量高度、影长计算等）。 视图（三视图、展开图） 长沙市卷T2 湖南省卷 T3 掌握三视图（主视图、左视图、俯视图）的概念，能根据几何体判断三视图，或根据三视图还原几何体。 命题预测 1. 三视图判断为必考基础（选择题，3分） 左视图判断：从左向右看，画出看到的形状；主视图判断：从前往后看，画出看到的形状； 俯视图判断：从上往下看，画出看到的形状；小正方体组合：由若干小正方体搭成的几何体三视图。 2. 由三视图还原几何体（选择题/填空题，3-4分） 确定小正方体个数：根据三视图判断所需小正方体的最少/最多个数；几何体形状判断：根据三视图确定几何体的形状。 3. 平行投影实际应用（填空题/解答题，6-8分） 影长计算：利用相似三角形求高度或影长；测量问题：太阳光下的测量（测旗杆高度、楼高） 4. 中心投影实际应用（填空题/解答题，4-6分） 灯光下的影子：利用相似三角形求高度或距离；位似关系：中心投影与位似图形的联系 备考建议 1. 基础知识巩固 三视图规则：主视图（前面）、左视图（左面）、俯视图（上面）；投影分类：平行投影（太阳光）、中心投影（灯光）；投影性质：平行投影物高与影长成正比；中心投影构成相似三角形 2. 解题能力提升 三视图：从给定几何体画出三视图，或由三视图想象几何体形状；投影计算：熟练运用相似三角形建立比例关系；画图训练：复杂几何体的三视图要画辅助线 3. 重点突破题型 ① 小正方体组合的三视图判断② 由三视图还原几何体（求小正方体个数）③ 平行投影测高问题④ 中心投影测高问题⑤ 投影与方位角、解直角三角形综合 平行投影 中心投影 定义 由平行光线形成的投影 由一点发出的光线形成的投影 区 别 光源 平行光源(如太阳等) 点光源(如台灯等) 投影线 平行 相交于一点 投影方向 同一时刻，同一地点相同 由点光源与物体的相对位置确定 影长 同一时刻,同一地点,平行投影下不同物体的影子长度与物体高度成比例 不同物体的影子长度与物体高度不一定 成比例 联系 1）都是投影现象，都是物体在光线下形成的影子； 2）影子都随投影面的变化而发生变化; 3）都可以根据物体与影子的对应点判断光线的来源和方向. 1.（25-26九年级上·湖南永州·期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（    ） A．500寸 B．450寸 C．100寸 D．50寸 2.（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 3.（24-25九年级下·湖南·月考）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是．若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 考点二 视图 1.三视图的定义及画法 定义 从正面观察物体得到的视图叫做主视图； 从左面观察物体得到的视图叫做左视图； 从上面观察物体得到的视图叫做俯视图。 画法 主视图与俯视图要长对正；主视图与左视图要高平齐；左视图与俯视图要宽相等； 看得见的轮廓线画成实线；看不见的轮廓线画成虚线。 2.常见几何体的三视图 1.（2025·湖南长沙·中考真题）下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·中考真题）如图，该纸杯的主视图是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25九年级下·湖南怀化·月考）下列各几何体中，俯视图与如图所示圆柱的俯视图形状相同的是（   ） A． B． C． D． 命题点一 投影 ►题型01 投影类型判断 根据两物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两个物体的顶端和其影子的顶端的连线所在直线是平行还是相交，若平行，则是在阳光下的投影，即平行投影；若相交，则是在灯光下的投影，即中心投影. 【典例】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【变式1】（2025-2026九年级下·湖南长沙·期末）如图，这是三个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，属于同一种投影是_________．    【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·月考）日晷是中国古代利用日影测定时刻的计时器．“晷”字，古义是太阳的影子．如图所示的晷针在晷面上形成的投影（   ） A．是平行投影 B．是中心投影 C．既是中心投影，也是平行投影 D．既不是中心投影，也不是平行投影 ►题型02 平行投影计算 【典例】如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 【变式1】（2024-2025九年级下·湖南娄底·期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长米，它的影长是3米，同一时测得是274米，则金字塔的高度是________米． 【变式2】为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． ►题型03 中心投影计算 【典例】（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【变式1】如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（　　） A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m 【变式2】（24-25九年级下·湖南常德·期中）如图，三角形硬纸板（记为）在灯光照射下形成投影，若，，则的长是__________． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 命题点二 视图 ►题型01 三视图的识别 【典例】．（2025·四川雅安·中考真题）如图，下面几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川绵阳·中考真题）如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（   ） A．B． C． D． 【变式2】（2025·四川·中考真题）以下几何体的主视图是圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·江苏镇江·中考真题）如图所示的几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·宁夏·中考真题）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（    ） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变 ►题型02 三视图的补全与绘制 【典例】用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题： (1)a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； (2)这个几何体最少由 　 　个小立方体搭成，最多由 　 　个小立方体搭成． (3)当d＝2，e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图． 【变式1】下列几何体共有（   ）个小正方体．分别画出正视图、俯视图、左视图． 【变式2】（2025·四川凉山·中考真题）如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都不相同 【变式3】（2025·黑龙江·中考真题）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（   ） A．7 B．8 C．6 D．5 ►题型03 由三视图还原 1)视图中有两个是矩形的几何体是柱体； 2)视图中有两个是三角形的几何体是锥体； 3)视图有两个是梯形的几何体是台体； 4)视图中有两个是圆的几何体是球. 【典例】（2025·山东潍坊·中考真题）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．四棱柱 【变式3】（2025·河北·中考真题）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（    ） A． B． C． D． ►题型04 三视图的相关计算 1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体； 2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长； 3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体； 4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解. 【典例】（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按的比例画出准确的三视图（如图②）．已知在中，，又知．求： (1)的长； (2)这个直三棱柱的体积． 【变式2】（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 突破一 投影与相似三角形综合 【典例】（2025·湖南·模拟预测）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米． 【变式1】【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【变式2】如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，，点光源到胶片的距离为，求胶片与屏幕的距离． 【变式3】如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 1.如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（    ） A． B． C． D． 2.《哪吒之魔童闹海》在2025年春节期间在各大影院上映，广受大家喜爱，成为中国史上票房最高的国产电影，哪吒的莲花宝座可以抽象视为一个“正六边形”，下列选项中俯视图为正六边形的是（   ） A． B． C． D． 3.榫卯结构是中国传统建筑，家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A． B． C． D． 4.一位同学根据如图1所示的几何体，画出了它的三视图（图2），则下列说法正确的是（    ） A．只有主视图正确 B．只有俯视图正确 C．只有左视图正确 D．只有主视图不正确 5.下列命题为真命题的是（　　） A．三角形的外心是三条角平分线的交点 B．圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆 C．“长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件 D．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是： 6.（2025·湖南娄底·模拟预测）一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为________． 7.某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（） A． B． C． D． 8.如图是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（　　） A．200 cm2 B．600 cm2 C．100πcm2 D．200πcm2 9.图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 10.空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 11.一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图1，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ， °（注：，） (2)求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液底面积高） (3)在图1的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱或交于点P、点Q始终在棱上，设，，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围． 1.（2025·山东·中考真题）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·四川自贡·中考真题）如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·山东威海·中考真题）如图是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体．其左视图是（　　）    A．   B．   C．   D．   4.（2025·山东东营·中考真题）下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（   ） A． B． C． D． 故选：C． 5.（2025·广东深圳·中考真题）如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同 6.（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $