热点07 四边形13大题型（培优热点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

热点07 四边形 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 多边形内角和与外角和的应用 题型02 平行四边形性质的应用 题型03 平行四边形的判定 题型04 三角形中位线的应用 题型05 矩形性质与判定的综合 题型06 矩形背景下的最值问题 题型07 矩形的折叠问题 题型08 菱形性质的应用 题型09 菱形的判定与证明 题型10 正方形性质的应用 题型11 正方形的图形旋转与折叠 题型12 中点四边形问题 题型13 四边形背景下的动点问题题型 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“四边形”部分分值占比约15%—20%，是几何板块的重中之重。考查覆盖五大核心模块：多边形与平行四边形（内角和定理、性质判定、三角形中位线）、矩形（四个直角、对角线相等性质及判定）、菱形（四边相等、对角线垂直平分且平分对角）、正方形（兼具矩形与菱形所有性质）、中点四边形及四边形综合问题（与折叠、动点、图形变换等结合的压轴题）。试题突出数形结合与分类讨论思想，综合性强，常以压轴题形式考查。 预测2026年：多边形与平行四边形：多边形内角和以正多边形镶嵌、角度计算等新情境形式考查；平行四边形更注重与三角形全等、函数、解直角三角形的综合。 矩形：折叠问题是热点，需利用全等性质、勾股定理和方程思想求解；与动点结合的最值问题难度提升。 菱形：将菱形放置于坐标系中考查计算；动点存在性问题中菱形判定作为压轴考点频现。 正方形：以正方形为载体的综合探究题增多，涉及旋转、对称等变换，渗透“从一般到特殊”的类比思想。 题型01 多边形内角和与外角和的应用 解｜题｜策｜略 ：牢记内角和公式S=(n−2)×180°、外角和恒为360°，正多边形每个内角=内角和/n。已知内角求边数时，可转化为外角求解，设未知数列方程是通用方法。 1．（2026·安徽合肥·一模）一个正五边形和正方形按如图方式摆放，其中，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正方形及正五边形内角，结合平行线性质得到四边形中，，由四边形内角和为即可求出度数． 【详解】解：如图所示： 正方形的每一个内角为；正五边形的每一个内角为； ， ， 在四边形中，，则． 2．（2025·湖北·一模）若一个多边形的外角和与内角和相等，则这个多边形的边数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，由题意可得这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可得解，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵一个多边形的外角和与内角和相等， ∴这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数是，则， 解得：， 故选：A． 3．（2025·陕西西安·三模）芳芳同学用两个全等的正五边形硬纸片和一个正n边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图是所拼的这个平面图形的一部分，则可求得n的值为_________． 【答案】10 【分析】根据无缝拼接的条件计算出正n边形的内角的度数，再由多边形内角和公式即可求解． 【详解】解：∵正五边形的内角为， ∴由题意得：正n边形的内角为， ∴， 解得， ∴n的值为10． 4．（2026·江苏南京·一模）图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 【答案】8 【分析】延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ， ∵是正边形纸片， ∴， 即正多边形的一个外角为， ． 【点睛】重点掌握正多边形和外角的关系． 题型02 平行四边形性质的应用 解｜题｜策｜略 根据已知条件选择适用性质——求角度用对角相等、邻角互补；求边长用对边相等、对角线互相平分。涉及面积时，过对称中心的直线等分面积。 5．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点落在点处，与边交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，，垂足分别为，，则，证明四边形是矩形，则，由题意得，求得，在中，通过勾股定理得，由折叠性质知，所以，则，设，则，，再通过得，即，求出的值即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得， ∴， 在中，， ∵， ∴， 由折叠性质知， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴的长为． 6．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为______． 【答案】10 【分析】平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，再进一步说明即可解答． 【详解】解：∵中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即． 7．（2026·山东济南·一模）如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 【答案】 【分析】先计算正六边形的内角，再利用平行四边形的对角相等得到，根据图形即可求出的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， ， 四边形是平行四边形，， ， ． 8．（2026·河北邢台·一模）如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分，若，，则的长为_____． 【答案】13 【分析】如图所示，延长交于点，连接，根据平行四边形的性质得到，，由角平分线的定义得到，，再证明，，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ ． 题型03 平行四边形的判定 解｜题｜策｜略 灵活选用五种判定方法（定义、一组对边平行且相等、两组对边分别相等、两组对角分别相等、对角线互相平分）。判定时优先寻找已知条件，再选择最简路径。 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A、由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； B、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； C、，可能是等腰梯形，不能判定这个四边形是平行四边形； D、由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形． 10．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接并延长至点，连接．有下列条件：①；②；③．要使四边形为平行四边形，可以增加的一个条件是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或②或③ 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定条件分析即可； 【详解】， ， ， 当时，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形； 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形． 11．（2026·重庆·一模）学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了的中线，并延长（如图）．请利用尺规作图，在右侧作，与的延长线相交于点，连接，四边形即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：，， 【分析】第一步：以点为圆心，任意长为半径画弧，与、相交于、两点；以点为圆心，相同长为半径画弧，与相交于一点，以该点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于一点，过点与该点作射线，与的延长线相交于点，连接即可； 第二步：根据可得，根据中线的性质结合对顶角相等证明，得到，从而得证． 【详解】解：第一步：如图所示，四边形即为所求； 第二步：证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 12．（2024·湖北·模拟预测）如图，在四边形中，，边上的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（）由平行线的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进而由“”即可求证； （）由全等三角形的性质得到，进而可得四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可求证； 本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 题型04 三角形中位线的应用 解｜题｜策｜略 识别中点条件，构造中位线。中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可同时用于证明平行和计算线段长度。 13．（2026·山西阳泉·一模）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】延长交于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长交于H， ， ， ， 是的中位线， ． 14．（2026·江苏连云港·一模）如图，中，，点在的延长线上，点在边上，分别是的中点．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，取的中点F，连接，根据中位线的性质得，再说明是直角三角形，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：连接，取的中点F，连接， ∵点M，N，F分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，． ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 15．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，过点作于点.利用菱形对角线互相垂直平分求出和的长，再利用相似三角形求出和的长，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点，过点作于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ∵， ， ， 是的中点， ， ，， ，， ， 在中，． 16．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，为斜边的中点，延长至点，使，连接，为的中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，根据中点的定义求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵为斜边的中点， ∴． ∵，为的中点， ∴是的中位线， ∴． 题型05 矩形性质与判定的综合 解｜题｜策｜略 判定矩形有两种路径——先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等；或直接证三个角为直角。利用四个直角、对角线相等进行角度和线段计算、证明。 17．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是矩形的判定及性质、勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 首先过作于点，利用矩形的判定可得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由求得的长，然后再在中，利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 18．（2026·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点是边延长线上一点，，点是边上一点，，连接并延长交于点，则的长为_____． 【答案】10 【分析】根据，证明，过点G作于点M，则四边形是矩形，得到，， 在中，根据勾股定理，得． 【详解】解：∵矩形，， ∴， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点G作于点M， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理，得． 19．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 20．（2026·山西太原·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题．已知矩形中，．点E是平面内的一个动点，且，的平分线交射线于点F，连接，过点E作的平行线交直线于点G，连接． (1)初步思考：如图1，点E在矩形内部，猜想四边形的形状，并证明你的结论； (2)深入探究：如图2，已知，当点E落在边上，且恰好是的中点时，求此时的长； (3)保持（2）中矩形的形状大小不变，继续改变点E的位置．若，请直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明，可得，，同理，再由，可得到，从而得到，即可解答； （2）延长交于点H，连接，证明四边形为矩形，可得，，再结合点E是的中点，可得垂直平分，可得到为等边三角形，从而得到，，再证明为等边三角形，可得，在中，利用勾股定理解答即可； （3）连接交于点P，由（1）得：四边形是菱形，由（2）得：，然后分两种情况：当点F在边上时；当点F在的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵四边形为矩形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，延长交于点H，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 即垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 解得：； （3）解：连接交于点P， 由（1）得：四边形是菱形，由（2）得：， ∴， 如图，当点F在边上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图，当点F在的延长线上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 题型06 矩形背景下的最值问题 解｜题｜策｜略 动点问题先设运动时间t，用含t的式子表示线段长，再根据等量关系列方程。最值问题常转化为将军饮马模型，利用对称“化折为直”。 21．（2024·安徽合肥·二模）如图，P是矩形内的任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，矩形的面积为，，，下列结论中正确的有（    ）个 ①若，则周长最小值为8 ②若，则最小值为 ③若，则最小值为 ④的最小值为10 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】过点P作于点M，交于点N，证明，根据条件，利用两点之间线段最短，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，面积的性质解答即可． 本题考查了矩形的性质，线段最短，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】过点P作于点M，交于点N， ∵矩形， ∴四边形，都是矩形，， ∴ ， 同理可证，， ∴， ①若，则 ∴， ∴ ∴， ∴直线是矩形的对称轴， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， ∵，， ∴， ∴周长最小值为， 正确； ②连接，设的中点为点O， 若，且 ∴， ∴点P在， 根据垂线段最短， ∴时，最小， ∵，， ∴， ∴最小值为 故最小值为， 正确； ③若，则， 过点D作，交延长线于点F，过点B作于点E， 则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得(舍去)， ∴， 根据垂线段最短， ∴最小值为， 正确； ④根据， ∴ 故的最小值为10， 正确； 故选：A． 22．（25-26九年级上·福建漳州·期末）在矩形中，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作垂足为，垂足为，连接，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理的应用．关键是通过矩形的性质将的长度转化为的长度，将求最小值的问题转化为求点到直线的最短距离，再利用面积法求解该垂线段长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由勾股定理得； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴； 根据垂线段最短的性质，当时，的长度最小，此时的长度即为点到的距离； 设点到的距离为， ∵，又， ∴，解得， ∴的最小值为； 故答案为：． 23．（2026·河北沧州·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． (1)当点在边上时，的度数为______； (2)连接，在旋转过程中求出的最小值，并求出此时的长； (3)若点到直线的距离为3时，求边扫过区域的面积； (4)连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时的长为； (3)或； (4) 【分析】（1）由旋转得，结合可知垂直平分，故；用证，结合矩形，得． （2）在以为圆心、为半径的圆上，矩形对角线，故最小值为；设，在中列方程求解得． （3）边扫过区域为扇形，分在矩形内、外两种情况：由到距离为得，在矩形内时旋转角，面积；在矩形外时，面积． （3），取中点，由斜边中线得；在中算得，故最小值为． 【详解】（1）解：∵边绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴． 在和中， ， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． （2）解：∵绕点旋转， ∴点在以为圆心，为半径的圆上． ∵四边形是矩形，，， ∴． 根据两点之间线段最短，当在线段上时，取得最小值，最小值为． 由（1）， ∴，，， ∴，． 设，则． 在中，，解得， ∴． （3）解：如图，过点作于，由题意得． ∵，在中，， ∴． 当在矩形内时，， 此时． 当在矩形外时，， 此时． 综上，边扫过区域的面积或． （4）解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，，， ∴，． 在中，由勾股定理得． ∵，当且仅当、、三点共线时，取得最小值， ∴最小值为． 24．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【问题分析】 小明发现、的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题． 【问题解决】如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求的值；（提示：可构造相似三角形求解） （2）线段的最小值为________． 【方法应用】 如图③，，，，则最小值为________． 【答案】问题解决：（1）；（2）；方法应用： 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识，能正确作出辅助线构造平行解答本题的关键． （1）①过点作于点，证明，可得出的值 ②由是的中点得，由勾股定理得，由得，过点作，且，连接，则四边形是平行四边形，得，则，当，，三点共线时，最小值为，由勾股定理得即可； （2）过点作，且，连接，过作于点，，当、、三点共线时的值最小，最小值为；由平行四边形的性质得，，得，，，由勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）①过点作于点，则，如图， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②∵是的中点， ∴， 在中， ∵, ∴， 过点作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小值为， ∵，， ∴ ∴； （2）过点作，且，连接，过作于点，图， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时的值最小，最小值为； 在中，， ∴的最小值为． 题型07 矩形的折叠问题 解｜题｜策｜略 折叠的本质是全等变换。解题时先标出折叠前后的对应点和对应边，在折叠形成的直角三角形中，设未知数表示各边，利用勾股定理列方程求解。注意：折痕垂直平分对应点的连线。 25．（2026·湖北荆州·一模）如图，在矩形中，点E为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】过点E作于点G，由线段中点得，根据折叠可得，，从而得出为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得到，在中利用即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点G，    ∵四边形为矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴． 26．（2026·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形 ，则下列结论错误的是（   ） A．若交对角线于点，则 B．若点 在边上时， C．若射线经过点，则线段、互相平分 D．若， ，点、两点间距离最小为 【答案】D 【分析】根据点、的运动速度可知，根据矩形的性质可以判断，根据相似三角形的性质可得；若点在边上时，四边形 为矩形，根据点、的运动速度可知；若射线经过点，可知，，，可证，根据全等三角形对应边相等可证、互相平分；连接交于点，连接，作于点，可得点 在以为圆心，以为半径的圆弧上，当垂直平分时，点、两点间距离最小为． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知， 又， ， ， 故A选项正确； 如下图所示，若点在边上时，四边形 为矩形， ， ， 故B选项正确； 如下图所示， 若射线经过点， 则， ， 设 ，则， ，   ， 又， ， ，    ， ，， 、互相平分， 故C选项正确； 如下图所示，连接交于点，连接，作于点， ，， ，，， ， ， ， ， 点 在以为圆心，以为半径的圆弧上， ， ， 垂直平分， 即， 点、两点间距离最小为， 故D选项错误． 27．（2026·江苏连云港·一模）如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】连接，依据折叠性质可得：，，，，，，再利用矩形性质，可证明四边形是菱形，由，运用三角函数定义可求得，进而可证是等边三角形，且，由，求得，再由，可求得答案． 【详解】解：连接，如图： 由折叠，得：，，，，，， 是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 由折叠知：， 是等边三角形，且， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题以矩形两次折叠为背景，融合折叠性质、菱形与等边三角形判定、解直角三角形，通过线段比例推导边长关系，考查几何逻辑推理与转化化归的核心数学思想． 28．（2026·河北邯郸·一模）【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 【答案】(1) (2)图形见解析 (3) (4)①；② 【分析】（1）根据矩形纸片，得到，由折叠可得； （2）先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； （3）由正方形得到，，由折叠可得，再由勾股定理求出，得到； （4）①由折叠可得，，根据，得到； ②由折叠可得，，再在中由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴； （2）解：如图，先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则 （3）解：∵矩形纸片， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （4）解：①∵正方形纸片， ∴，， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； ②由折叠可得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵中， ∴， 解得． 题型08 菱形性质的应用 解｜题｜策｜略 菱形对角线互相垂直且平分，可将菱形分割为四个全等的直角三角形，利用勾股定理求解。求角度时，利用对角线平分对角的性质和等腰三角形性质转化角度。 29．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，已知四边形是菱形，连接，过点分别作于点于点，连接，若，则菱形的面积为_____． 【答案】80 【分析】连接，证明四边形是矩形，得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 30．（2026·河南南阳·一模）如图，在菱形中，，，为射线上一点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为_____． 【答案】或 【分析】先利用菱形性质和等边的条件，证得，推出，再结合证得为等边三角形，得；设，分两种情况讨论：①当点在线段上时，作，用勾股定理列方程，解得后算出；②当点在的延长线上时，同理作，列方程，解得后算出，最终得到的两个可能长度． 【详解】解：四边形为菱形，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ，． ， ， ， 为等边三角形， ， 设，则， 分两种情况讨论： ①当点在线段上时，如解图，过点作于点， ， ， ，， ，． ， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， ②当点在的延长线上时， 如解图，过点作于点 同理①，可得，， ，， 在中，， 即，解得（负值已舍去）， ， 综上所述，的长为或． 31．（2025·陕西西安·三模）如图，在菱形中，点P是边的中点，延长至Q，使得，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得到，则可证明，再由线段中点的定义和已知条件证明，据此可证明，则． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点P是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．（2026·湖南株洲·一模）如图，菱形中，点P是对角线上一点，连接并延长交于点F，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得出，，结合，证明，得出，再证明，得出，根据平行线的性质得出，等量代换，即可得证； （2）连接，过点作于点，先证明，是等边三角形，再证明，则，进而根据三线合一，即可求解． 【详解】（1）证明： ∵四边形是菱形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ∵ ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴，是等边三角形， ∴， 在中， ∵， ∴重合， ∴是直角三角形， ∴ 又∵ ∴ ∵是等边三角形， ∴ 题型09 菱形的判定与证明 解｜题｜策｜略 判定菱形有两种常见路径——先证平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直；或直接证四边相等。判定时通常先证平行四边形，再添加条件。 33．（19-20八年级下·山西·月考）如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，该选项符合题意； D、因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以平行四边形是菱形，该选项不符合题意． 34．（2026·安徽池州·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，是对角线，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当平分时，四边形是矩形 【答案】A 【分析】根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∵分别为边的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， 当时，不能得到，故不能判定四边形是菱形，即 A 选项符合题意， 当时，， ∴四边形是菱形，即 B 选项不符合题意， 当时，， ， ∴四边形是矩形，即C选项不符合题意， 当平分时，如图，延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形，即D选项不符合题意． 35．（2026·山东枣庄·一模）如图，在四边形中，，，点E为的中点． (1)尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． (2)求证：四边形是菱形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用角平分线和平行线得出，可得，利用直角三角形斜边中线的性质得出，可得，结合，证明四边形为平行四边形，再结合，即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角平分线． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 36．（2026·河北·模拟预测）综合与实践 【情境】已知平行四边形，利用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，要求：所作菱形的四边至少经过平行四边形的两个顶点；且菱形的面积等于平行四边形的面积． 【操作】甲、乙两位同学提交了如下两种正确作图，如图和图． 甲的作图如下： ①以点为圆心，为半径画弧，交边于点，连接； ②以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点； ③连接．    乙的作图如下： ①连接，作的垂直平分线； ②过点作交的垂直平分线于点，连接，； ③以点为圆心，为半径画弧，与的垂直平分线交于点，连接．    【探究】 (1)如图，已知平行四边形的面积为，且，求的值． (2)根据图的作图痕迹，请说明乙的作图符合要求； (3)【拓展】结合乙的作图，若平行四边形的边恰好是所作菱形的其中一条对角线，且满足“情境”中的要求，请在图3中作出符合上述要求的菱形（不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（）首先利用平行四边形面积公式求出高，结合菱形性质得到，再在中用勾股定理算出，最后根据正切定义求出； （）先根据垂直平分线的性质得出，结合证得四边形是菱形；再利用得到与面积相等，结合平行四边形和菱形的面积与对应三角形面积的倍数关系，推出菱形的面积等于平行四边形的面积，从而说明乙的作图符合要求； （）以为对角线作垂直平分线交于、下方于，连接，即可得到菱形． 【详解】（1）解：过点作于点， 平行四边形的面积为15，且， ， 四边形为菱形， ， 在中， ； （2）解：由尺规作图痕迹可知，垂直平分， ，又， ， 四边形为菱形， ， ， 又，， ， 即乙的作图符合要求； （3）解：以平行四边形的为目标对角线，作的垂直平分线交于、连接，过作交垂直平分线于点，连，得到菱形，即可得到以为一条对角线的菱形，此时，得，菱形即为所求： 题型10 正方形性质的应用 解｜题｜策｜略 正方形具备矩形（四个直角、对角线相等）和菱形（四边相等、对角线垂直平分且平分对角）的全部性质，解题时根据条件灵活选用。对角线将正方形分成四个等腰直角三角形-。 37．（2026·安徽合肥·一模）如图，正方形中，点，分别为边，上的点，连接，过点作于点，且． （1）______； （2）连接，分别交，于点，，已知，，则的长为_______． 【答案】 【分析】（1）证明得，证明得，推出，可得答案； （2）如图，连接，，根据正方形的性质及垂直的定义得，，证明得，，证明得，，推出，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）∵在正方形中，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接，， ∵正方形中，，，， ∴，， 由（1）知：，， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 即的长为． 38．（2025·海南·三模）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），在的右侧作正方形．过点作，交的延长线于点．连接，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当点是的中点时，若，求的长； (3)点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2) (3)不变， 【分析】（1）由正方形的性质得出，，推出，证明得，即可说明结论； （2）根据勾股定理求出，证明得，代入数据计算即可； （3）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，根据四边形是矩形，推出，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）∵点是的中点时，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）的值不变． 如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 39．（2025·四川南充·一模）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，于点H，，． (1)求的值； (2)设，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； (3)当时，判断与是否相似并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)当时，，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，由正方形的性质求出，由直角三角形的性质求出和的长，则可得出答案； （2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案； （3）由锐角三角函数的定义得出，求出，，证明和都是等腰直角三角形，则可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， ， 四边形是正方形，，， ，， ，， ， ； （2）解：四边形是边长为3的正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，， 理由：， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 40．（2025·湖南永州·二模）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，设，根据余角的性质，正方形的性质求出，即可判断①；根据①中可求出，，结合，可证明，根据相似三角形的性质即可判断②；根据②中，结合即可判断③；根据勾股定理求出，结合②中求出，然后根据三角形的面积公式求出和的面积，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴，故①正确， ∴，即， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故③错误； 在中，， ∴， ∴， 又， ∴，故④错误， 故答案为：①②． 题型11 正方形的图形旋转与折叠 解｜题｜策｜略 旋转、折叠前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。寻找旋转中心、旋转角和旋转方向以及对称轴，，利用全等三角形建立等量关系。 41．（2022·浙江台州·二模）如图，把正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形，和分别交于点，，在正方形旋转过程中，的大小（　　）      A．随着旋转角度的增大而增大 B．随着旋转角度的增大而减小 C．不变，都是 D．不变，都是 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质的综合运用．连接，，，，依据正方形的性质，即可得到，进而得出，根据全等三角形的性质，可得．同理可得，，根据，可知在正方形旋转过程中，的大小不变，是． 【详解】解：如图所示，连接，，，，   正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形， ， ， 又， ， ， 又， ， ． 同理可得，， ． 在正方形旋转过程中，的大小不变，是． 故选：D． 42．（2026·四川德阳·模拟预测）如图，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其他顶点均不重合，连接，． (1)当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：； (2)如图，如果，，，连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，，然后依据可证明，然后依据全等三角形的性质进行证明即可； （2）连接、，延长交与．当时，可证明为等腰直角三角形，然后可求得和的长，根据，进行求解即可。 【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，由正方形的性质可知：，． 在和中， ， ∴． ． （2）连接、，延长交于． 当时，则． ． ． 又， ． 又，， 为等腰直角三角形． ．， ，与平行． ． 43．（2025·广东·一模）【动手操作】在数学课上，老师让同学们开展“正方形的折叠”的相关研究．如图，四边形为正方形纸片，为上一动点，将该纸片沿所在的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，将该纸片再沿着过点的直线折叠，使和刚好重合，折痕交于点． (1)【观察思考】在点移动的过程中，同学们发现，，三点共线且的大小不变．请证明，，三点共线，并求出的大小； (2)【拓展探究】如图，继续将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在线段的点处，折痕交于点，求证：． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，平行线分线段成比例定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由折叠可知，，则有，从而可得，，三点共线，再由角度和差即可求出的大小； （）由正方形性质得，又折叠可知，，，证明，则，然后代入求证即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，，， ∴， ∴，，三点共线， 由题意可知，，， ∵， ∴，即， ∴； （2）证明：∵四边形为正方形， ∴， 由折叠可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 44．（2024·江苏徐州·模拟预测）综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为， 连接， 如图②，请根据以上条件填空． ①点在以点为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上．求面积的最大值； 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了圆的性质，正方形的折叠、勾股定理等． （1）①利用圆的基本性质，即可求解； ②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解； （）由题意知点在以点为圆心，半径长为的圆上，的面积要最大，只要以为底的高最长即可，此时当时，的面积最大． 【详解】解：（1）正方形中，，， 根据折叠的性质知：，，，， ①点在以点为圆心，的长为半径的圆上； ② ； 故答案为：①，②， （），， ， 故点在以点为圆心，半径长为的圆上， 的面积要最大，只要以为底的高最长即可， 当时，的面积最大，如图： 的面积最大值． 题型12 中点四边形问题 解｜题｜策｜略 形状由原四边形对角线决定——对角线相等得菱形，对角线垂直得矩形，对角线相等且垂直得正方形。熟记口诀“矩中菱，菱中矩，正中正”-62。计算时利用中位线性质，中点四边形周长=原四边形对角线之和。 45．（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，点分别是的中点，顺次连接，在从逐渐增大到的过程中，四边形形状的变化依次是（   ） A．平行四边形→菱形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 D．平行四边形→矩形→正方形→平行四边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中位线．熟练掌握三角形的中位线性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，是解题的关键． 根据三角形中位线定理，得到，得到，得到四边形是平行四边形，当时，是矩形，，得到，得到是菱形；当时，或时，，∴，四边形是平行四边形， 【详解】连接， ∵E、F、G、H是的各边中点， ∴， ∴， 当时， ∵中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形， 当时， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形形状的变化依次是：平行四边形→菱形→平行四边形． 故选：A． 46．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，三角形中位线定理以及中点四边形的性质．根据中点四边形的性质以及三角形中位线定理得出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 同理， ∴， 同理， ∴， ∴， 同理，， ∴飞镖命中阴影区域的概率为． 故答案为：． 47．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了中点四边形、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识成为解题的关键． 如图：连接，设交于点O，证明四边形是矩形，然后逐个判断即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，故①正确； ∴，故③正确； ∴，若，则，故④正确； ∵，， ∴， ∴四边形不是正方形，故②错误， 综上可知，正确的有①③④． 故答案为①③④． 48．（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；（2）；（3）5 【分析】（1）根据旋转性质或全等三角形的判定与性质证明，，进而证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得结论； （2）根据（1）中结论，得到，，，，从而可得四边形为平行四边形，再根据平行线的性质求得，过H作于M，利用正弦函数定义求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）连接，取的中点M，连接，，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质和三角形的外角性质可推导出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）操作1：将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，则，，， ∴，即， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； 操作2．延长到点F，使，连接． ∵E分别为的中点， ∴，又， ∴, ∴，， ∴，即， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； ∴三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半， 故答案为：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 （2）∵四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形； ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， 过H作于M，则， ∴四边形的面积为； （3）连接，取的中点M，连接，， ∵点P和点Q分别为边和边的中点，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即小路的长度为5． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、矩形的判定、菱形的判定、解直角三角形、三角形的外角性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键． 题型13 四边形背景下的动点问题 解｜题｜策｜略 先假设存在，设出动点坐标（用参数表示），根据特殊四边形的判定条件（如平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分）转化为方程求解，最后验证解的合理性。常用方法：分类讨论、数形结合、方程思想。 49．（2025·吉林长春·二模）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．          (1)当四边形是正方形时，求的长； (2)当四边形是菱形时，求证：； (3)面积的最大值为________；此时的长为________； (4)在点运动的过程中，请直接写出点运动的路线长为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)； (4) 【分析】本题考查矩形、正方形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明即可解决问题； （2）连接，理由平行线的性质证明即可； （3）当点与重合时，的值最小，的面积最大，由勾股定理及三角形面积可得出答案； （4）由（3）可得到的距离为，证明点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ．， ， ． （2）证明：连接，如图2， 四边形为矩形， ， ， 四边形为菱形， ， ， ， 即； （3）解：如图，过点作于点 ∴ 由（2）可得，又 到的距离为 如图，设， 当点与重合时，则的值最小，最大，此时的面积最大， ，， ， 在中， 故答案为：；． （4）如图，当时，过点，则四边形是矩形， ∴， 由（3）可得到的距离为，又点落在矩形内或其边上 点的运动轨迹是平行的线段， ，， 点运动的路线长 故答案为：． 50．（2024·江苏泰州·一模）已知，点是边长为(为常数)的正方形内部一动点，于， 于，连结，，，，记，，的面积分别为，，，令，． (1)如图，点P在对角线上． ①求（用含、的代数式表示） ②是否存在实数，使的值与点在上的位置无关．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (2)若 ，当点在内部(不含边界)时(如图)． ①求的取值范围； ②试说明：的值随着的增大而增大． 【答案】(1)①；②存在， (2)①；②理由见解析 【分析】（1）①证明四边形是矩形，得到，，继而得到，，根据等边对等角得到，，再根据三角形的面积即可得解； ②求出，根据题意即可得解； （2）①连接，，根据四边形是矩形，，得，延长交于，作于，证明，得，继而得到，得，再根据点在内部（不含边界）可得解； ②根据，利用二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：①∵点是边长为的正方形的对角线上的一点，且， ，，，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，，的面积分别为，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵四边形是矩形，，， ∴， ∴ ， ∵的值与点在上的位置无关，即与值无关， ∴， 解得：， ∴当时，的值为，与点在上的位置无关； （2）①连接，， 由（1）知：，， ∵四边形是矩形，即， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 延长交于，作于， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵点在内部（不含边界） ∴； ②∵， ∴对称轴为：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 即的值随的增大而增大． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识点．掌握矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键． 51．（2024·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段从出发沿方向匀速运动，速度为，交于点E，交延长线于点M；连接交于点Q，连接．设运动时间为（）．解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，求y与t的函数关系式； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据四边形为矩形时，，建立关于t的方程求解即可； （2）根据，得到，进而得到， ，求出，根据的面积为，即可求解； （3）根据，得到，进而得到，证明，即，建立关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， ， （2）解：， 在和中 ， ； （3）解：当平分时， 则 又 ， 由（2）知， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 时，平分． 【点睛】本题考查了矩形的判定性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，平行线的性质，动点问题及一元一次方程的实际应用，熟练掌数形结合的思想是解题关键． 52．（2025·广东深圳·二模）【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形的“对动线”，折线的长叫做对动线的长． (1)如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． (2)如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． (3)平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 【答案】(1) (2) (3)或或或或或或或． 【分析】（1）先根据题意得出，在中根据勾股定理求出的长度，进而在中由勾股定理求出DE的长度，即可求出答案． （2）通过延长和交于点先根据题意推出，再由平行线分线段成比例求得，即可由求出结论． （3）根据题意分类讨论：，；，；，；，由题意得到由“对动线”围成的三角形的相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例，结合勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ． 在中，设，由得． ，即， 解得（负值舍去）． ． 在中，根据菱形的性质． 对动线长为：． 故答案为： （2）解：如图，延长和交于点 ， ，． ， ． ． ， ，． ． 和a的数量关系为：． （3）解：当，时，设，如图，根据点E的分为两种情况：；． 过点E作． ，则，． 由可得． ． ，即． 解得：． 在中，，即， ， ．即 解得：． ． 由勾股定理可得：． 即： 解得：． 故． ，则，． 同理由可得． 解得． 由和，可得，． 由勾股定理可得：，求解关于n的方程可得：． 则． 故的长度为或． 当，时，如图： 同理可求的长度为：或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或 综上，平行四边形另外一边的长度为： 或或或或或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识点，分类讨论是本题的难点． 试卷第82页，共84页 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点07 四边形 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 多边形内角和与外角和的应用 题型02 平行四边形性质的应用 题型03 平行四边形的判定 题型04 三角形中位线的应用 题型05 矩形性质与判定的综合 题型06 矩形背景下的最值问题 题型07 矩形的折叠问题 题型08 菱形性质的应用 题型09 菱形的判定与证明 题型10 正方形性质的应用 题型11 正方形的图形旋转与折叠 题型12 中点四边形问题 题型13 四边形背景下的动点问题题型 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“四边形”部分分值占比约15%—20%，是几何板块的重中之重。考查覆盖五大核心模块：多边形与平行四边形（内角和定理、性质判定、三角形中位线）、矩形（四个直角、对角线相等性质及判定）、菱形（四边相等、对角线垂直平分且平分对角）、正方形（兼具矩形与菱形所有性质）、中点四边形及四边形综合问题（与折叠、动点、图形变换等结合的压轴题）。试题突出数形结合与分类讨论思想，综合性强，常以压轴题形式考查。 预测2026年：多边形与平行四边形：多边形内角和以正多边形镶嵌、角度计算等新情境形式考查；平行四边形更注重与三角形全等、函数、解直角三角形的综合。 矩形：折叠问题是热点，需利用全等性质、勾股定理和方程思想求解；与动点结合的最值问题难度提升。 菱形：将菱形放置于坐标系中考查计算；动点存在性问题中菱形判定作为压轴考点频现。 正方形：以正方形为载体的综合探究题增多，涉及旋转、对称等变换，渗透“从一般到特殊”的类比思想。 题型01 多边形内角和与外角和的应用 解｜题｜策｜略 ：牢记内角和公式S=(n−2)×180°、外角和恒为360°，正多边形每个内角=内角和/n。已知内角求边数时，可转化为外角求解，设未知数列方程是通用方法。 1．（2026·安徽合肥·一模）一个正五边形和正方形按如图方式摆放，其中，则度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·一模）若一个多边形的外角和与内角和相等，则这个多边形的边数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2025·陕西西安·三模）芳芳同学用两个全等的正五边形硬纸片和一个正n边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图是所拼的这个平面图形的一部分，则可求得n的值为_________． 4．（2026·江苏南京·一模）图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 题型02 平行四边形性质的应用 解｜题｜策｜略 根据已知条件选择适用性质——求角度用对角相等、邻角互补；求边长用对边相等、对角线互相平分。涉及面积时，过对称中心的直线等分面积。 5．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点落在点处，与边交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为______． 7．（2026·山东济南·一模）如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 8．（2026·河北邢台·一模）如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分，若，，则的长为_____． 题型03 平行四边形的判定 解｜题｜策｜略 灵活选用五种判定方法（定义、一组对边平行且相等、两组对边分别相等、两组对角分别相等、对角线互相平分）。判定时优先寻找已知条件，再选择最简路径。 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接并延长至点，连接．有下列条件：①；②；③．要使四边形为平行四边形，可以增加的一个条件是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或②或③ 11．（2026·重庆·一模）学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了的中线，并延长（如图）．请利用尺规作图，在右侧作，与的延长线相交于点，连接，四边形即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 12．（2024·湖北·模拟预测）如图，在四边形中，，边上的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 题型04 三角形中位线的应用 解｜题｜策｜略 识别中点条件，构造中位线。中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可同时用于证明平行和计算线段长度。 13．（2026·山西阳泉·一模）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 14．（2026·江苏连云港·一模）如图，中，，点在的延长线上，点在边上，分别是的中点．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 15．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 16．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，为斜边的中点，延长至点，使，连接，为的中点，连接，则的长为_________． 题型05 矩形性质与判定的综合 解｜题｜策｜略 判定矩形有两种路径——先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等；或直接证三个角为直角。利用四个直角、对角线相等进行角度和线段计算、证明。 17．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 18．（2026·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点是边延长线上一点，，点是边上一点，，连接并延长交于点，则的长为_____． 19．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 20．（2026·山西太原·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题．已知矩形中，．点E是平面内的一个动点，且，的平分线交射线于点F，连接，过点E作的平行线交直线于点G，连接． (1)初步思考：如图1，点E在矩形内部，猜想四边形的形状，并证明你的结论； (2)深入探究：如图2，已知，当点E落在边上，且恰好是的中点时，求此时的长； (3)保持（2）中矩形的形状大小不变，继续改变点E的位置．若，请直接写出所有满足条件的的长． 题型06 矩形背景下的最值问题 解｜题｜策｜略 动点问题先设运动时间t，用含t的式子表示线段长，再根据等量关系列方程。最值问题常转化为将军饮马模型，利用对称“化折为直”。 21．（2024·安徽合肥·二模）如图，P是矩形内的任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，矩形的面积为，，，下列结论中正确的有（    ）个 ①若，则周长最小值为8 ②若，则最小值为 ③若，则最小值为 ④的最小值为10 A．4 B．3 C．2 D．1 22．（25-26九年级上·福建漳州·期末）在矩形中，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作垂足为，垂足为，连接，若，则的最小值为________． 23．（2026·河北沧州·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． (1)当点在边上时，的度数为______； (2)连接，在旋转过程中求出的最小值，并求出此时的长； (3)若点到直线的距离为3时，求边扫过区域的面积； (4)连接，直接写出的最小值． 24．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【问题分析】 小明发现、的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题． 【问题解决】如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求的值；（提示：可构造相似三角形求解） （2）线段的最小值为________． 【方法应用】 如图③，，，，则最小值为________． 题型07 矩形的折叠问题 解｜题｜策｜略 折叠的本质是全等变换。解题时先标出折叠前后的对应点和对应边，在折叠形成的直角三角形中，设未知数表示各边，利用勾股定理列方程求解。注意：折痕垂直平分对应点的连线。 25．（2026·湖北荆州·一模）如图，在矩形中，点E为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D． 26．（2026·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形 ，则下列结论错误的是（   ） A．若交对角线于点，则 B．若点 在边上时， C．若射线经过点，则线段、互相平分 D．若， ，点、两点间距离最小为 27．（2026·江苏连云港·一模）如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________． 28．（2026·河北邯郸·一模）【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 题型08 菱形性质的应用 解｜题｜策｜略 菱形对角线互相垂直且平分，可将菱形分割为四个全等的直角三角形，利用勾股定理求解。求角度时，利用对角线平分对角的性质和等腰三角形性质转化角度。 29．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，已知四边形是菱形，连接，过点分别作于点于点，连接，若，则菱形的面积为_____． 30．（2026·河南南阳·一模）如图，在菱形中，，，为射线上一点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为_____． 31．（2025·陕西西安·三模）如图，在菱形中，点P是边的中点，延长至Q，使得，连接，求证：． 32．（2026·湖南株洲·一模）如图，菱形中，点P是对角线上一点，连接并延长交于点F，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型09 菱形的判定与证明 解｜题｜策｜略 判定菱形有两种常见路径——先证平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直；或直接证四边相等。判定时通常先证平行四边形，再添加条件。 33．（19-20八年级下·山西·月考）如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 34．（2026·安徽池州·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，是对角线，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当平分时，四边形是矩形 35．（2026·山东枣庄·一模）如图，在四边形中，，，点E为的中点． (1)尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． (2)求证：四边形是菱形 36．（2026·河北·模拟预测）综合与实践 【情境】已知平行四边形，利用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，要求：所作菱形的四边至少经过平行四边形的两个顶点；且菱形的面积等于平行四边形的面积． 【操作】甲、乙两位同学提交了如下两种正确作图，如图和图． 甲的作图如下： ①以点为圆心，为半径画弧，交边于点，连接； ②以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点； ③连接．    乙的作图如下： ①连接，作的垂直平分线； ②过点作交的垂直平分线于点，连接，； ③以点为圆心，为半径画弧，与的垂直平分线交于点，连接．    【探究】 (1)如图，已知平行四边形的面积为，且，求的值． (2)根据图的作图痕迹，请说明乙的作图符合要求； (3)【拓展】结合乙的作图，若平行四边形的边恰好是所作菱形的其中一条对角线，且满足“情境”中的要求，请在图3中作出符合上述要求的菱形（不写作法，保留作图痕迹）．    题型10 正方形性质的应用 解｜题｜策｜略 正方形具备矩形（四个直角、对角线相等）和菱形（四边相等、对角线垂直平分且平分对角）的全部性质，解题时根据条件灵活选用。对角线将正方形分成四个等腰直角三角形-。 37．（2026·安徽合肥·一模）如图，正方形中，点，分别为边，上的点，连接，过点作于点，且． （1）______； （2）连接，分别交，于点，，已知，，则的长为_______． 38．（2025·海南·三模）如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），在的右侧作正方形．过点作，交的延长线于点．连接，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当点是的中点时，若，求的长； (3)点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值． 39．（2025·四川南充·一模）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，于点H，，． (1)求的值； (2)设，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； (3)当时，判断与是否相似并说明理由． 40．（2025·湖南永州·二模）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______．（填序号） 题型11 正方形的图形旋转与折叠 解｜题｜策｜略 旋转、折叠前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。寻找旋转中心、旋转角和旋转方向以及对称轴，，利用全等三角形建立等量关系。 41．（2022·浙江台州·二模）如图，把正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形，和分别交于点，，在正方形旋转过程中，的大小（　　）      A．随着旋转角度的增大而增大 B．随着旋转角度的增大而减小 C．不变，都是 D．不变，都是 42．（2026·四川德阳·模拟预测）如图，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其他顶点均不重合，连接，． (1)当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：； (2)如图，如果，，，连接，，求的面积． 43．（2025·广东·一模）【动手操作】在数学课上，老师让同学们开展“正方形的折叠”的相关研究．如图，四边形为正方形纸片，为上一动点，将该纸片沿所在的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，将该纸片再沿着过点的直线折叠，使和刚好重合，折痕交于点． (1)【观察思考】在点移动的过程中，同学们发现，，三点共线且的大小不变．请证明，，三点共线，并求出的大小； (2)【拓展探究】如图，继续将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在线段的点处，折痕交于点，求证：． 44．（2024·江苏徐州·模拟预测）综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为， 连接， 如图②，请根据以上条件填空． ①点在以点为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上．求面积的最大值； 题型12 中点四边形问题 解｜题｜策｜略 形状由原四边形对角线决定——对角线相等得菱形，对角线垂直得矩形，对角线相等且垂直得正方形。熟记口诀“矩中菱，菱中矩，正中正”-62。计算时利用中位线性质，中点四边形周长=原四边形对角线之和。 45．（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，点分别是的中点，顺次连接，在从逐渐增大到的过程中，四边形形状的变化依次是（   ） A．平行四边形→菱形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 D．平行四边形→矩形→正方形→平行四边形 46．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 47．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 48．（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    题型13 四边形背景下的动点问题 解｜题｜策｜略 先假设存在，设出动点坐标（用参数表示），根据特殊四边形的判定条件（如平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分）转化为方程求解，最后验证解的合理性。常用方法：分类讨论、数形结合、方程思想。 49．（2025·吉林长春·二模）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．          (1)当四边形是正方形时，求的长； (2)当四边形是菱形时，求证：； (3)面积的最大值为________；此时的长为________； (4)在点运动的过程中，请直接写出点运动的路线长为________． 50．（2024·江苏泰州·一模）已知，点是边长为(为常数)的正方形内部一动点，于， 于，连结，，，，记，，的面积分别为，，，令，． (1)如图，点P在对角线上． ①求（用含、的代数式表示） ②是否存在实数，使的值与点在上的位置无关．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (2)若 ，当点在内部(不含边界)时(如图)． ①求的取值范围； ②试说明：的值随着的增大而增大． 51．（2024·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段从出发沿方向匀速运动，速度为，交于点E，交延长线于点M；连接交于点Q，连接．设运动时间为（）．解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，求y与t的函数关系式； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 52．（2025·广东深圳·二模）【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形的“对动线”，折线的长叫做对动线的长． (1)如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． (2)如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． (3)平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 试卷第82页，共84页 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $