专题05 两角和与差的正弦、余弦、正切公式5大题型（期中复习讲义）高一数学下学期沪教版

专题05 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 题型二、用和、差角的余弦公式化简、求值 题型三、用和、差角的正弦公式化简、求值: 题型四、逆用和、差角的正 弦公式化简、求值 题型五、用和、差角的正切公式化简、求值 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 掌握两角差的余弦公式，能结合角的范围判断三角函数符号，完成已知单角正余弦、求和差角余弦的基础计算 基础必考点，填空小题为主，是所有和差角公式应用的基础 用和、差角的余弦公式化简、求值 掌握两角和与差的余弦公式正用，能结合诱导公式构造和差角结构，能用反三角函数表示指定区间内的角 中档必考点，填空高频题型，易错点为角的范围判断错误导致符号失误 用和、差角的正弦公式化简、求值 掌握两角和与差的正弦公式正用，能结合三角形内角和定理解决三角形内的三角求值问题，能判断锐角三角形中角的取值范围 高频核心考点，填空为主，常结合锐角三角形综合命题 逆用和、差角的正弦公式（辅助角公式）化简、求值 掌握辅助角公式，能将a sinx + b cosx化成A sin的形式，能解决函数最值问题及直角走廊过杆等实际应用问题 填空压轴 + 解答题必考点，难度中等偏上，常以两小问解答题形式考查，易错点为辅助角φ的符号与大小判断错误 用和、差角的正切公式化简、求值 掌握两角和与差的正切公式及常见变形，能结合韦达定理、同角三角比关系完成正切相关求值，能解决两小问的正切综合解答题 解答题核心考点，常以两小问解答题形式出现，分值6 - 8分，易错点为正切公式定义域遗漏、公式符号记错 知识点01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.两角和与差的正弦公式 （1）公式中的 、 都是任意角． （2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即 . （3）注意公式的逆向运用．如： 2.两角和与差的余弦公式 （1） 为任意角，可以是一个角，也可以是角的组合． （2） 般不成立，但在特殊情况下也可能成立．例如：当 时， ． （3）要注意公式的逆用．如： ． （4）在转化过程中，充分利用诿导公式，构造两角和与差的余较会式的结构形式，然后逆用分式求健。 3.两角和与差的正切公式 知识点02 两角和与差的正切公式的常见变形 题型一、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【典例01】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则_____． 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先由同角三角函数关系求得，再通过“配角”利用两角和的余弦公式求解即得. 【详解】∵，，∴ 又∵，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 【变式2】（22-23高一下·上海静安·期中）若，，则______. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由平方和关系，两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为，，所以. 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）已知，则______. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的正弦、余弦公式计算可得，结合与求得，利用计算即可求解. 【详解】由， 得， 所以，又， 所以，又， 得， 所以. 故答案为： 题型二、用和、差角的余弦公式化简、求值 【典例02】（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足，则______. 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】首先求出，再由及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以 . 故答案为： 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则______.（结果用反三角表示） 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，利用同角公式、差角的余弦公式求出即可. 【详解】由，，得，而， 则，，， 又，则， 因此 ， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的余弦公式展开，计算可得. 【详解】因为， 解得. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则__________． 【答案】/ 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由同角三角函数的平方关系求得，再根据两角和的余弦公式即可求解． 【详解】因为，所以， 则， 故答案为：． 【变式4】（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知是第一象限角，是第四象限角，且满足，则__________ 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】先根据同角三角关系可得，再结合两家和差公式运算求解. 【详解】因为是第一象限角，是第四象限角，， 则， 所以. 故答案为：. 【变式5】（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则___________. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先利用已知条件和同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以 . 故答案为： 题型三、用和、差角的正弦公式化简、求值 【典例03】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据平方公式与正弦两角和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据三角函数的同角求值，可求得，再结合两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 . 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角，满足及，则______. 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】结合角的范围根据同角关系求，，再根据两角差的正弦公式求. 【详解】由已知，， 所以， 因为，， 所以，， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知，，则__________． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由平方关系求出，利用两角差的公式求出得解. 【详解】，， ， 则，所以. 故答案为：0. 【变式4】（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简______. 【答案】/ 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 【变式5】（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________. 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据正弦的和差角公式即可求解. 【详解】，，， , 由于，所以. 故答案为： 【变式6】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由，结合两角差的正弦公式可得答案； 【详解】因则. 又，则， . 则 ； 故答案为：. 【变式7】（23-24高一下·上海·期中）若，且为第三象限的角，则______. 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先由同角三角函数的基本关系求出、，再由两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为且为第三象限的角， 即，解得（舍去）或， 所以 . 故答案为： 【变式8】（24-25高一下·上海普陀·期中）在锐角中，若，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用三角恒等变换可得，利用锐角三角形可求得，可求范围. 【详解】 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型四、逆用和、差角的正 弦公式化简、求值 【典例04】（24-25高一下·上海浦东新·期中）一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为______m. 【答案】 【知识点】辅助角公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用三角函数定义可得，即可得，再利用换元法令，并由函数单调性求得最小值. 【详解】由题意，因为,, 所以, 所以,, 令, 因为， 所以，即，则， 所以， 易知在上单调递增， 则在上单调递减， 所以， 即能够通过这个直角走廊的材料的最大长度为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）化简：_____________. 【答案】/ 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由正弦函数的和差角公式，代入计算，即可求解. 【详解】. 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）将化成（其中，）的形式为___________. 【答案】 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】逆用两角差的正弦公式即可得解. 【详解】 . 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，设，. (1)若，试求，； (2)若，试求，； (3)若，且，试确定整数的最大值. 【答案】(1)， (2)，或 (3)3 【知识点】已知函数值求自变量或参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】（1）分别令，，即可求出集合，； （2）由辅助角公式可得的解析式，分别令，即可求出集合，； （3）设，则，由题意可得，可得，然后分和两种情况讨论，由三角函数的有界性，可得，即恒成立，可得整数的值，从而可求得整数的最大值. 【详解】（1）令，即，得，所以， 令，即，得，所以； （2）， 令，则，得, 解得，所以， 令，则， 所以， 解得， 由正弦函数的有界性，可得只有满足，所以， 所以或， 解得，或， 所以或 （3）设，则， 因为，所以， 所以， 所以，得， 所以， 当时，，显然满足条件， 当时，， ， 所以， 因为，，且， 因为，所以，即恒成立， 所以，所以整数为， 所以整数的最大值为3. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数的性质，考查函数与方程的综合问题，解题的关键是对方程的化简，考查计算能力，属于较难题. 题型五、用和、差角的正切公式化简、求值 【典例05】（24-25高一下·上海·期中）若方程的两根为与，则_____. 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】应用根与系数关系及和角正切公式求值即可. 【详解】由题设，，， 所以. 故答案为： 【变式1】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是______. 【答案】-1 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由余切公式及两角和的正切公式求解． 【详解】， 故答案为：-1 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则_________. 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则______． 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】求出，根据的范围可得答案. 【详解】角的终边经过点， 可得， 因为，，所以， 可得. 故答案为：. 【变式4】（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义的，再利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解； （2）由（1）求得，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为点的横坐标分别为， 由三角函数的定义，可得， 因为角为锐角，可得， 则. （2）解：由（1）知，且， 可得，所以. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则________． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用同角公式及和角的正弦公式计算即可. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·期中）已知，且，求的值 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由诱导公式化简，求出，然后利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】，又，. . 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则___________． 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】设，结合题意可得，结合两家和差公式整理即可. 【详解】设， 由题意可得：， 因为，即，则， 两式平方相加可得，则， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【详解】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、比较正弦值的大小 【分析】利用正弦函数的单调性可判断①，利用辅助角公式结合最小值性质以及正弦函数对称性可判断②，利用正切的和角公式可判断③. 【详解】对于①，由在锐角中，由，可知，则， 根据锐角可知，， 又因为正弦函数在上单调递增，所以，故①正确； 对于②，由，其中， 因为在处取得最小值， 所以， 即，则， 所以有函数， 由于正弦函数关于点对称，可得函数的图像关于点对称，故②正确； 对于③，由为斜三角形，则，根据内角和定理有：， 再由两角和正切公式得：， 去分母得：， 整理得：，故③正确； 故选：A. 4．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．    (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2)当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大 【知识点】基本（均值）不等式的应用、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）先在直角三角形中和直角三角形中，求出,，再利用两角差的正切公式求出； （2）点距离底线米，过点作，垂足为，计算出和，，求出，利用基本等式求出最大值. 【详解】（1），，， ， ，，    （2）设点距离底线米，过点作，垂足为，，则，   ，， ，， 当时，即时，等号成立， 此时取得最大值， 又因为函数在上严格增，所以对应的取得最大值, 所以当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大. 试卷第1页，共3页 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 题型二、用和、差角的余弦公式化简、求值 题型三、用和、差角的正弦公式化简、求值: 题型四、逆用和、差角的正 弦公式化简、求值 题型五、用和、差角的正切公式化简、求值 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 掌握两角差的余弦公式，能结合角的范围判断三角函数符号，完成已知单角正余弦、求和差角余弦的基础计算 基础必考点，填空小题为主，是所有和差角公式应用的基础 用和、差角的余弦公式化简、求值 掌握两角和与差的余弦公式正用，能结合诱导公式构造和差角结构，能用反三角函数表示指定区间内的角 中档必考点，填空高频题型，易错点为角的范围判断错误导致符号失误 用和、差角的正弦公式化简、求值 掌握两角和与差的正弦公式正用，能结合三角形内角和定理解决三角形内的三角求值问题，能判断锐角三角形中角的取值范围 高频核心考点，填空为主，常结合锐角三角形综合命题 逆用和、差角的正弦公式（辅助角公式）化简、求值 掌握辅助角公式，能将a sinx + b cosx化成A sin的形式，能解决函数最值问题及直角走廊过杆等实际应用问题 填空压轴 + 解答题必考点，难度中等偏上，常以两小问解答题形式考查，易错点为辅助角φ的符号与大小判断错误 用和、差角的正切公式化简、求值 掌握两角和与差的正切公式及常见变形，能结合韦达定理、同角三角比关系完成正切相关求值，能解决两小问的正切综合解答题 解答题核心考点，常以两小问解答题形式出现，分值6 - 8分，易错点为正切公式定义域遗漏、公式符号记错 知识点01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.两角和与差的正弦公式 （1）公式中的 、 都是任意角． （2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即 . （3）注意公式的逆向运用．如： 2.两角和与差的余弦公式 （1） 为任意角，可以是一个角，也可以是角的组合． （2） 般不成立，但在特殊情况下也可能成立．例如：当 时， ． （3）要注意公式的逆用．如： ． （4）在转化过程中，充分利用诿导公式，构造两角和与差的余较会式的结构形式，然后逆用分式求健。 3.两角和与差的正切公式 知识点02 两角和与差的正切公式的常见变形 题型一、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【典例01】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 【变式1】（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则_____． 【变式2】（22-23高一下·上海静安·期中）若，，则______. 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）已知，则______. 题型二、用和、差角的余弦公式化简、求值 【典例02】（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足，则______. 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则______.（结果用反三角表示） 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）已知，则________． 【变式3】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则__________． 【变式4】（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知是第一象限角，是第四象限角，且满足，则__________ 【变式5】（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则___________. 题型三、用和、差角的正弦公式化简、求值 【典例03】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________． 【变式2】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角，满足及，则______. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知，，则__________． 【变式4】（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简______. 【变式5】（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________. 【变式6】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______． 【变式7】（23-24高一下·上海·期中）若，且为第三象限的角，则______. 【变式8】（24-25高一下·上海普陀·期中）在锐角中，若，则的取值范围是________． 题型四、逆用和、差角的正 弦公式化简、求值 【典例04】（24-25高一下·上海浦东新·期中）一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为______m. 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）化简：_____________. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）将化成（其中，）的形式为___________. 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，设，. (1)若，试求，； (2)若，试求，； (3)若，且，试确定整数的最大值. 题型五、用和、差角的正切公式化简、求值 【典例05】（24-25高一下·上海·期中）若方程的两根为与，则_____. 【变式1】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是______. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则_________. 【变式3】（23-24高一下·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则______． 【变式4】（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则________． 2．（23-24高一下·上海·期中）已知，且，求的值 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则___________． 2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．    (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 试卷第1页，共3页 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $