专题08 解三角形7大题型（期中复习讲义）高一数学下学期沪教版

专题08 解三角形（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、正弦定理解三角形 题型二、正弦定理判定三角形解的个数 题型三、正弦定理求外接圆半径 题型四、正弦定理边角互化的应用 题型五、三角形面积公式及其应用 题型六、余弦定理解三角形 题型七、余弦定理边角互化的应用 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正弦定理解三角形 掌握正弦定理及常用变形公式，能解已知两角一边、两边及其中一边对角的三角形，能解决航海、工程测量等实际应用问题，规范完成两小问解答题 基础必考点，填空、解答题均有考查，常结合实际场景命题，易错点为实际问题中角度转化错误 正弦定理判定三角形解的个数 掌握已知两边及其中一边对角时三角形解的个数的判断方法，能根据解的个数（一解、两解、无解）求参数的取值范围 中档必考点，选择、填空题型为主，是上海期中高频易错点，易错点为临界值判断错误 三角形面积公式 掌握三角形面积的多种公式，能结合正弦、余弦定理求三角形面积，能结合基本不等式解决三角形面积最值问题 必考点，填空、解答题小问为主，常与解三角形其他知识点综合考查，易错点为面积公式记错、夹角对应错误 余弦定理解三角形 掌握余弦定理及变形公式，能解已知三边、两边及夹角的三角形，能解决圆内接四边形、四边形面积等综合问题，能解决露营基地、道路规划等实际应用问题 核心必考点，填空、解答题压轴常考，常结合基本不等式求最值、圆内接四边形性质命题，易错点为余弦定理公式记错、增解未舍去 知识点01 三角形的面积公式 三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为 推论： ， 其中 为 的外接圆的半径． 三角形常用面积公式 （1） 表示边 上的高）． （2） 是三角形内切圆的半径）． （3） 即海伦公式，其中 c），为 的半周长． 知识点02 正弦定理 1.正弦定理 2.正弦定理的推广及常用变形公式 在 中，若角 、、 所对边的边长分别为 、、 ，其外接圆半径为 ，则 （1） ． （2） ． （3） ． （4） （比例的性质） （5）（可以实现边到角的转化）． （6） （可以实现角到边的转化）． 3.正弦定理的齐次结构 结构特点：每一项中都有边 、、 或正弦角 、、且次数一致，即可实现边和对应正弦角的互化． 结构示例： （1）整式齐次式 边的齐次式： 角的齐次式： （2）分式齐次式： ． 知识点03 余弦定理 1.余弦定理 在 中，设角 、 及 所对边的边长分别为 、 及 ，则有 余弦定理的变形： (1)正弦定理和余弦定理的选择:已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论，如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程,即可求出边，比较两种方法，采用余弦定理较简单 (2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数，因此解题时需特别注意三角形三边长度应满足的基本条件 (3)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广 (4)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的! （5）余弦定理不但适用于已知三边和已知两边及夹角的情况，也可以解决已知两边及其中一边对角的三角形求解问题 2.反三角符号的意义 等式 条件的取值范围 满足条件的角 3.用反三角符号表示角 方程 方程的解集 . 知识点04 解三角形在实际问题中的应用 1.实际问题中的常用角 名称 定义 图示 基线 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于 90°) 方位角 从正北的方向线按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角 题型一、正弦定理解三角形 【典例01】（23-24高一下·上海奉贤·期中）在中，角的对边分别为，若，则角__________． 【变式1】（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．      【变式2】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 【变式4】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 【变式5】（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 题型二、正弦定理判定三角形解的个数 【典例02】（23-24高一下·上海·期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】满足下列条件的三角形中，有1解的个数是（    ） （1）    （2） （3）    （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 【变式3】在中，，，，则的解的个数是______个. 【变式4】在中，已知，，设，以下说法正确的是______ ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 题型三、正弦定理求外接圆半径 【典例03】在中，已知，设以下说法错误的是（    ） A．若有两解， B．若有唯一解， C．若无解， D．当，外接圆半径为10 【变式1】中，，为边上的中点，则与的外接圆的面积之比为___________. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C，. (1)若，求的外接圆的半径； (2)若，且，求; (3)若，求的周长. 【变式3】已知、、分别为三个内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，求外接圆的面积． 题型四、正弦定理边角互化的应用 【典例04】（24-25高一下·上海·期中）在中，若，则的形状为__________. 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 _____ 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于_____. 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为______. 【变式4】（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 题型五、三角形面积公式及其应用 【典例05】（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，，其面积为，则边______. 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为______. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，，，，则△ABC的面积为_____________. 【变式3】在中，已知，，，求和. 【变式4】在中，分别是三个内角的对边，若，，.求： (1) (2)的面积 题型六、余弦定理解三角形 【典例06】（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知圆的内接四边形的边长依次为、、、，则圆的面积为________. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角_____. 【变式4】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，则_____． 【变式5】（23-24高一下·上海嘉定·期中）在中， 内角所对的边分别为， 已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【变式6】（23-24高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 题型七、余弦定理边角互化的应用 【典例07】（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为______. 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则=______. 【变式2】在中，若，则___________ 【变式3】某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【变式4】在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c (1)若，求∠B； (2)若，试判断△ABC的形状． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在中，设、、分别是三个内角、、所对的边，，，面积，则内角的大小为__． 2．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于__________． 3．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 4．（24-25高一下·上海·期中） 中，若 ，则该三角形的最大角为_____ 5．（24-25高一下·上海·期中）如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 6．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，已知，，. (1)求； (2)求的面积S及外接圆半径R. 7．（24-25高一下·上海·期中）（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 3．（24-25高一下·上海·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为__________． 2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解三角形（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、正弦定理解三角形 题型二、正弦定理判定三角形解的个数 题型三、正弦定理求外接圆半径 题型四、正弦定理边角互化的应用 题型五、三角形面积公式及其应用 题型六、余弦定理解三角形 题型七、余弦定理边角互化的应用 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正弦定理解三角形 掌握正弦定理及常用变形公式，能解已知两角一边、两边及其中一边对角的三角形，能解决航海、工程测量等实际应用问题，规范完成两小问解答题 基础必考点，填空、解答题均有考查，常结合实际场景命题，易错点为实际问题中角度转化错误 正弦定理判定三角形解的个数 掌握已知两边及其中一边对角时三角形解的个数的判断方法，能根据解的个数（一解、两解、无解）求参数的取值范围 中档必考点，选择、填空题型为主，是上海期中高频易错点，易错点为临界值判断错误 三角形面积公式 掌握三角形面积的多种公式，能结合正弦、余弦定理求三角形面积，能结合基本不等式解决三角形面积最值问题 必考点，填空、解答题小问为主，常与解三角形其他知识点综合考查，易错点为面积公式记错、夹角对应错误 余弦定理解三角形 掌握余弦定理及变形公式，能解已知三边、两边及夹角的三角形，能解决圆内接四边形、四边形面积等综合问题，能解决露营基地、道路规划等实际应用问题 核心必考点，填空、解答题压轴常考，常结合基本不等式求最值、圆内接四边形性质命题，易错点为余弦定理公式记错、增解未舍去 知识点01 三角形的面积公式 三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为 推论： ， 其中 为 的外接圆的半径． 三角形常用面积公式 （1） 表示边 上的高）． （2） 是三角形内切圆的半径）． （3） 即海伦公式，其中 c），为 的半周长． 知识点02 正弦定理 1.正弦定理 2.正弦定理的推广及常用变形公式 在 中，若角 、、 所对边的边长分别为 、、 ，其外接圆半径为 ，则 （1） ． （2） ． （3） ． （4） （比例的性质） （5）（可以实现边到角的转化）． （6） （可以实现角到边的转化）． 3.正弦定理的齐次结构 结构特点：每一项中都有边 、、 或正弦角 、、且次数一致，即可实现边和对应正弦角的互化． 结构示例： （1）整式齐次式 边的齐次式： 角的齐次式： （2）分式齐次式： ． 知识点03 余弦定理 1.余弦定理 在 中，设角 、 及 所对边的边长分别为 、 及 ，则有 余弦定理的变形： (1)正弦定理和余弦定理的选择:已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论，如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程,即可求出边，比较两种方法，采用余弦定理较简单 (2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数，因此解题时需特别注意三角形三边长度应满足的基本条件 (3)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广 (4)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的! （5）余弦定理不但适用于已知三边和已知两边及夹角的情况，也可以解决已知两边及其中一边对角的三角形求解问题 2.反三角符号的意义 等式 条件的取值范围 满足条件的角 3.用反三角符号表示角 方程 方程的解集 . 知识点04 解三角形在实际问题中的应用 1.实际问题中的常用角 名称 定义 图示 基线 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于 90°) 方位角 从正北的方向线按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角 题型一、正弦定理解三角形 【典例01】（23-24高一下·上海奉贤·期中）在中，角的对边分别为，若，则角__________． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以为锐角，则， 所以， 故答案为：． 【变式1】（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．      【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】在中，可得，，，结合正弦定理，即可求解 【详解】如图所示，由题意得，在中，可得， ，， 所以 由正弦定理得． 因此，点与灯塔的距离为是.    故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 【答案】(1)无解 (2)或 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理进行求解； （2）由正弦定理进行求解． 【详解】（1）由正弦定理得，，得， 故无解． （2）由正弦定理得，，得， 因为，所以或． 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)米 (2)当时，为最大值，最大值为. 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）设，利用正弦定理表示出，从而表示出，，将转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在为直角三角形，，，， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以（米）. （2）设，则， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以当，即时为最大值，且最大值为， 即当时，为最大值，最大值为. 【变式4】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，则，且. 由正弦定理得（为外接圆的半径），即， 即，， 因为，所以， 因此，； （2）因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. 【变式5】（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据题意，由正弦定理，得到，即可求解； （2）由（1）知，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由正弦定理得，所以. （2）解：由，可得，所以，且， 又由（1）知，所以， 因为，则， 所以的面积为. 题型二、正弦定理判定三角形解的个数 【典例02】（23-24高一下·上海·期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据三角形解的个数结合已知条件确定的取值范围，逐个选项判断即可. 【详解】由题意可知三角形只有一个解， 由上图可知： 若只有一解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有一个交点， 则或，即或， 所以的取值不可能为， 故选：B 【变式1】满足下列条件的三角形中，有1解的个数是（    ） （1）    （2） （3）    （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据各组条件中的两边一对角的值，利用正弦定理，求出另一边的对角的正弦值，根据其值的大小，结合大边对大角，判定角的解的个数，即为△ABC的解的个数. 【详解】（1）又∵,∴为锐角，故有唯一解，∴满足（1）中的条件的三角形有唯一解； （2）又∵,∴,∴为锐角，故有唯一解，∴满足（2）中的条件的三角形有唯一解； （3）无解，∴满足（3）中的条件的三角形无解； （4）又∵,∴,∴为锐角或钝角，故有两解，∴满足（4）中的条件的三角形有两解； 故选：C. 【点睛】由两边一对角判定三角形的解的个数，利用正弦定理求得这两边中另一边的对角的正弦，若正弦值大于1，则无解；若正弦值等于1，则只有一解；若正弦值小于1，要结合大边对大角进行判定解的个数. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 【变式3】在中，，，，则的解的个数是______个. 【答案】2 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理即可判断三角形有两解. 【详解】在中，，，， ，由则，如图： 所以此时有两解. 故答案为: 2. 【变式4】在中，已知，，设，以下说法正确的是______ ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 【答案】①③④ 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由题设可得到上的高为，根据各项三角形解的个数及三角形性质判断的范围，应用正弦定理求外接圆半径. 【详解】 由，即到上的距离为， 若有两解，则，即，①对； 若有唯一解，则或，即，②错； 若无解，则，即，③对； 当时，△ABC外接圆半径，④对. 故答案为：①③④ 题型三、正弦定理求外接圆半径 【典例03】在中，已知，设以下说法错误的是（    ） A．若有两解， B．若有唯一解， C．若无解， D．当，外接圆半径为10 【答案】B 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】首先计算，再根据正弦定理判断三角形解的个数的公式，即可判断选项. 【详解】， 若有两解，则，即，故A正确； 若有唯一解，则，或，即或，故B错误； 若无解，则，即，故C正确； 当时，根据正弦定理，得，故D正确. 故选：B 【变式1】中，，为边上的中点，则与的外接圆的面积之比为___________. 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理求外接圆半径 【分析】根据边长，在中利用正弦定理求得的正弦值比，据正弦定理求得与外接圆直径，即可得外接圆的面积之比. 【详解】因为，，，由正弦定理得, 从而△与 △的外接圆的半径分别为和， ∴, 因此对应外接圆的面积之比为 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C，. (1)若，求的外接圆的半径； (2)若，且，求; (3)若，求的周长. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理求外接圆半径、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）由正弦定理求解即可； （2）由求出，然后由向量的数量积求解即可； （3）由求出，，分类讨论求出，然后由正弦定理求出各边长求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径为. （2）因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以，由于， 所以，即，所以，. （3）因为，所以， 又，所以， 即，， 所以，所以， 若为钝角，则，， 所以， 由正弦定理得， 所以，， 故的周长为； 若为锐角，则，， 所以， 由正弦定理得， 所以，， 故的周长为； 故的周长为或. 【变式3】已知、、分别为三个内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，求外接圆的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的范围即得； （2）利用正弦定理求出外接圆的半径，结合圆的面积公式可求. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即，即， 因为、，所以，，，则有，故. （2）设外接圆的半径为，由正弦定理，，故， 因此，外接圆的面积为. 题型四、正弦定理边角互化的应用 【典例04】（24-25高一下·上海·期中）在中，若，则的形状为__________. 【答案】直角三角形 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理角化边，进而判断三角形形状. 【详解】在中，及正弦定理，得， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 _____ 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由可得， 故, 由于，故， 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于_____. 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化为角，然后求解角的值. 【详解】已知，由正弦定理可得到，即 可得.因为是三角形内角，且为锐角,则 . 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为______. 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，设，再利用正弦定理可得，分析可知，即可求三角形面积. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 整理可得， 且，则，可得，整理可得， 且，则，可得，即， 如图，设，则， 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 且为锐角，可得，即 可知，则， 所以的面积为. 故答案为：. 【变式4】（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)4. 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正余弦公式计算即得. （2）由（1）的信息，利用和差角的余弦公式、二倍角的余弦公式化简即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即 则，而， 因此，， 则，所以. （2）由（1）知，， . 题型五、三角形面积公式及其应用 【典例05】（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，，其面积为，则边______. 【答案】10 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】由三角形的面积公式求解． 【详解】由，得， 得， 故答案为：10 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为______. 【答案】12 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用 【分析】先由同角三角函数的关系求出，然后利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，， 所以， 所以的面积为， 故答案为：12 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，，，，则△ABC的面积为_____________. 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】由，计算可求面积. 【详解】因为在中，，， 所以. 故答案为：. 【变式3】在中，已知，，，求和. 【答案】或，或 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】与正弦定理可得，则或，即可求出，再由两角和与差的余弦公式结合三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以， 由正弦定理可得：，则，则， 则或. 若，，则， 则， 若，，则， 则. 故或，或. 【变式4】在中，分别是三个内角的对边，若，，.求： (1) (2)的面积 【答案】(1)； (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、三角函数与解三角形综合、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据二倍角公式可求得，，根据三角形内角和以及和差公式即可求得； （2）根据正弦定理，可求得，代入面积公式即可求得面积. 【详解】（1）由已知可得，，， 所以. 则. （2）由（1）知，，又，， 由正弦定理可得，， 所以，的面积. 题型六、余弦定理解三角形 【典例06】（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】切化弦后化简，利用正弦定理得出，再由余弦定理及三角形面积公式转化为关于的二次函数求最值. 【详解】，， 则， ， 所以的面积 ， ，即时，的面积的最大值为 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知圆的内接四边形的边长依次为、、、，则圆的面积为________. 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】在和中分别利用余弦定理，再由，则，从而可求出的长，由正弦定理得出圆的半径即可. 【详解】因为四边形为圆内接四边形，所以， 所以， 因为、、、， 所以在中，由余弦定理得 , 在中，由余弦定理得 ， 所以，解得， 所以，， 因为，所以， 由正弦定理可知，所以圆的面积， 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角_____. 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 【变式4】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，则_____． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】先根据正弦定理得到三边的关系，再由余弦定理求出角，再利用分式的性质求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理， 可得，设， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由，可得， 因为 ， 所以， 故答案为：. 【变式5】（23-24高一下·上海嘉定·期中）在中， 内角所对的边分别为， 已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的余弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦边角关系及已知可得，化简整理得，结合角的范围确定大小； （2）由三角形面积公式列方程求得，再由余弦定理得，即可得. 【详解】（1）由正弦边角关系，， 所以， 所以，，可得. （2）由（1）知，又, 则，，则， 由余弦定理， 所以的周长为. 【变式6】（23-24高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米， 【知识点】正、余弦定理的其他应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值． 【详解】（1）由余弦定理得，． （2），解得， 又为钝角，所以， 由余弦定理得， 米． （3），当且仅当时等号成立， 此时，， 设， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以应设计米，米，． 题型七、余弦定理边角互化的应用 【典例07】（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为______. 【答案】 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则=______. 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理化角为边，得，再由余弦定理化边为角即可求解. 【详解】由结合正弦定理得，则， 即，由余弦定理有， 而，所以. 故答案为：. 【变式2】在中，若，则___________ 【答案】 【知识点】余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理可知，设，利用余弦定理即可求出． 【详解】由正弦定理，且，则，设， 由余弦定理，可得. 故答案为：. 【变式3】某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】设的边上的高分别为,由此可令，，由余弦定理即可判断三角形形状. 【详解】设的内角的对边分别是， 且边上的高分别为, 则,令，则， 故，故A为钝角， 又，A为三角形最大角，故该三角形为钝角三角形， 故选：C 【变式4】在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c (1)若，求∠B； (2)若，试判断△ABC的形状． 【答案】(1) (2)△ABC是等腰三角形 【知识点】余弦定理边角互化的应用、特殊角的三角函数值、正、余弦定理判定三角形形状、二倍角的正弦公式 【分析】（1）由二倍角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而确定其大小； （2）由余弦边角关系可得，整理化简即可确定形状. 【详解】（1）由，而，故， 又，故. （2），故，即， 所以△ABC是等腰三角形. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在中，设、、分别是三个内角、、所对的边，，，面积，则内角的大小为__． 【答案】或 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】由三角形面积公式进行求解即可. 【详解】∵的面积， ∴， ∵， ∴或． 故答案为：或. 2．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于__________． 【答案】/ 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】不妨令的三边、、，利用余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】不妨令的三边、、， 由余弦定理， 所以， 由正弦定理，所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 【答案】; 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理即可求解，结合基本不等式求得最大值，即可求解. 【详解】由题意得， 因，故， 由，结合基本不等式：， 得，所以，当且仅当时取等号， 所以． 故答案为： 4．（24-25高一下·上海·期中） 中，若 ，则该三角形的最大角为_____ 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由题意可得，可得最大，利用余弦定理可求最大角. 【详解】在中，由正弦定理可得， 设，所以在中，最大， 由余弦定理可得， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期中）如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________. 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、扇形面积的有关计算、余弦定理解三角形 【分析】连接，易得，，在中，求得，然后在中，利用余弦定理结合，求得，求出扇形OBC的面积为，然后由图中阴影区域的面积为求解. 【详解】连接， 因为，所以，， ， 在中，由余弦定理得 因，则，得， 所以， ， 扇形OBC的面积为， 所以图中阴影区域的面积为. 故答案为： 6．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，已知，，. (1)求； (2)求的面积S及外接圆半径R. 【答案】(1) (2)， 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果，再由正弦定理即可得到外接圆的半径. 【详解】（1）由余弦定理可得. （2）由（1）可知，且，则， 则， 由正弦定理可得，即，则. 7．（24-25高一下·上海·期中）（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理化简即得证； （2）利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式代入化简，利用同角的基本关系式化弦为切即可得证. 【详解】（1）由和余弦定理，可得，化简得：，即得； （2）由和正弦定理，可得， 因， 代入上式并整理得：(*)， 因是的内角，故，， 将（*）两边同除以，可得. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】由正弦定理得，余弦定理得，进一步可将目标式子转换为的二次函数即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以，则的最大值为． 故选：B． 2．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）运用正弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可得到； （2）运用余弦定理，结合完全平方公式求出，再运用三角形的面积公式即可得所求． 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即， 所以，即 因为 所以， 因为，所以. （2）由（1）知，， 由余弦定理，得， ∵，， ∴，得， 所以的面积. 3．（24-25高一下·上海·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】连接，利用余弦定理得到的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案. 【详解】连接， 因为在圆内接四边形中，，，，， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，， ，即， 解得或（舍去），则， 所以圆内接四边形的面积. 故答案为：. 2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $