专题04 已知正弦、余弦或正切的值求角4大题型（期中复习讲义）高一数学下学期沪教版

专题04 已知正弦、余弦或正切的值求角（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、已知正弦或余弦求角 题型二、已知正切、余切求角 题型三、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角 题型四、已知三角函数值求角（复合型） 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 已知正弦或余弦求角 掌握正弦、余弦型简单三角方程的解集公式，能用整体思想套用公式求解，能根据特殊角的三角比求对应锐角 基础必考点，填空小题为主，是后续复杂求角问题的核心基础 已知正切、余切求角 掌握正切型三角方程的解集公式，能结合角终边上点的坐标求角，能利用正切函数的奇偶性、周期性化简方程求解 基础中档考点，填空题型为主，常结合同角三角比基本关系（弦化切）综合考查 给定区间上的三角方程求解 掌握“先求通解，再对整数k赋值求区间内特解”的通用步骤，能熟练用反正弦、反余弦、反正切表示指定区间内的角，做到不遗漏、不增解 期中核心必考点，填空高频题型，易错点为漏解、反三角函数定义域与值域混淆 复合型三角函数方程求角 能利用诱导公式、同角三角比基本关系先化简复合型方程，再转化为简单三角方程求解，能结合角的取值范围对解进行取舍 填空压轴常考点，难度中等偏上，常结合诱导公式综合命题，易错点为前期化简失误导致解错误 知识点01 简单三角方程的解集 以角为未知数的方程叫做三角方程.满足三角方程的所有的解的集合叫做三角方程的解集. 已知三角比值求角的结论: 图示 解集 题型一、已知正弦或余弦求角 解｜题｜技｜巧 解决此类问题，通常将等式两边化成同名的三角比，然后用整体的思想套用公式。 的解集为 或 ; 的解集为 或 . 【典例01】（23-24高一下·上海·期中）已知锐角满足，则______. 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】由特殊角的三角函数值即可求. 【详解】因为且为锐角，所以. 故答案为： 【变式1】已知，则实数______． 【答案】或 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】根据为特值三角函数，由或即可得解. 【详解】由， 可得或， 故答案为：或 【变式2】（23-24高一上·上海·期末）方程的解是______. 【答案】或 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以或， 即方程的解是或. 故答案为：或. 题型二、已知正切、余切求角 解｜题｜技｜巧 解决此类问题，通常将等式两边化成同名的三角比，然后用整体的思想套用公式。 的解集为 或 ; 的解集为 或 . 【典例02】已知，且角终边上有一点，则角_________. 【答案】 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、已知三角函数值求角、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先确定点所在的象限，结合，判断角的取值范围，再由角的正切值确定角的值. 【详解】因为：，所以是第四象限， 又，所以. 又， 所以. 取，得. 故答案为： 【变式1】已知，则的值为____________. 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】首先求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 则． 故答案为：． 【变式2】分别求满足下列条件的角x的集合． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数、已知三角函数值求角、正切型三角函数图象的应用 【分析】（1）把看成整体角，结合正切函数的图象和函数值，即可求得的范围即得； （2）利用函数奇偶性化简得到，即得，，解之即得. 【详解】（1）， ∴，，， ∴角x的集合是. （2）因正切函数的周期为， 由函数的奇偶性可得， ∴，， ∴角x的集合是. 【变式3】求方程的解集． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知三角函数值求角 【分析】由方程变形得到，求出方程在函数一个周期上的解，再推广到整个定义域上即得. 【详解】由，易得， 结合在上的图象可得， 考虑的周期为，故得，， ∴方程的解集为． 题型三、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角 解｜题｜技｜巧 已知三角比的值，在给定范围内求满足方程的角的集合，先不考虑其限制范围，求出满足方程的所有角，然后再对整数k取值，求出在给定范围内的所有角，不遗漏. 【典例03】（23-24高一下·上海普陀·期中）若，则____. 【答案】 【知识点】反三角函数 【分析】利用反正弦函数来表示角即可. 【详解】若，则，且， 因为， 所以由，得， 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，则__________.（用反余弦表示）. 【答案】 【知识点】反三角函数 【分析】根据反余弦函数可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【变式2】已知，则 x =____________ 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角、反三角函数 【分析】直接利用三角函数值，求解角即可． 【详解】因为，，， 可得， 故答案为：． 【变式3】已知 ，则______ 【答案】或 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、特殊角的三角函数值 【分析】由题求出，由特殊角的正切值，结合诱导公式，求得的值. 【详解】由，得. 因为，所以. 当时，； 当时，因为，所以. 故答案为：或. 【变式4】已知，，则满足条件的角x的集合是______. 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】根据方程直接求解即可. 【详解】因为，，解得或或或， 所以满足条件的角x的集合是. 故答案为：. 【变式5】已知，且，则的值是____________. 【答案】或 【知识点】已知三角函数值求角、特殊角的三角函数值 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由于，且，故或， 故答案为：或 【变式6】若，则实数___________． 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】根据特殊角的三角函数值求解得到答案. 【详解】因为，所以 故答案为：. 【变式7】已知，，则___________. 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角、反三角函数 【分析】根据反正弦函数的性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 【变式8】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，则________． 【答案】; 【知识点】反三角函数 【分析】由反三角函数的定义表示即可. 【详解】因为，，所以,又， 所以. 故答案为：. 【变式9】已知，，则角____________. 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】根据三角函数值求角的方法求解. 【详解】因为，， 所以角， 故答案为： 【变式10】在区间内的解是__________. 【答案】或 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】令得，根据的取值可得答案. 【详解】，得， 所以，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在区间内的解是或. 故答案为：或. 题型四、已知三角函数值求角（复合型） 【典例04】已知，，则______． 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角、特殊角的三角函数值 【分析】由题可得，利用特殊角的三角函数值即得. 【详解】由，可知，又， ∴，即. 故答案为：. 【变式1】集合______． 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】由求出的取值范围，然后解方程，可得出的值，即可得解. 【详解】当时，，则， 由，可得，所以，， 因为，则或，因此，. 故答案为：. 【变式2】已知角，且满足：，则角为________． 【答案】或 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】根据正切函数值求解． 【详解】由已知得，，，，，， 又因为，所以，． 故答案为：或． 【变式3】（22-23高一下·上海松江·期中）方程，的解为_______． 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角、特殊角的三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据给定条件，利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值求解作答. 【详解】依题意，，而，即，因此，解得， 所以所求方程的解为. 故答案为： 【变式4】（23-24高一下·上海松江·期末）若是方程的解，其中，则______． 【答案】/ 【知识点】特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】将代入方程，化简结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得：，即， 所以或， 所以或，， 又，则. 故答案为：. 【变式5】满足，的角的集合为__________. 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】借助余弦函数的性质计算即可得. 【详解】由，则， 即，又， 则，有， 当，有， 故角的集合为. 故答案为：. 【变式6】方程，在内的解集是__________. 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】由，求得或，利用的范围求得结果. 【详解】解：由， 则或 即或 又∵ ∴或 故答案为：. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海·期中）（）是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、判断命题的充分不必要条件 【分析】判断（）和之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当（）时,, 当时，有（）或（）， 故（）是的充分非必要条件， 故选：A 2．已知，则____________（用反正弦表示） 【答案】 【知识点】反三角函数 【分析】由反三角函数定义可直接得到结果. 【详解】由，可得. 故答案为： 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反三角函数 【分析】利用反三角函数进行求解. 【详解】由题意得：. 故选：D 4．已知，则的值为______． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据同角关系中的平方关系进行解答，注意涉及的函数值正负与角终边所在象限联系，结合，进一步缩小角的范围，进而在开方运算时得出正确的符号. 【详解】由已知得，即， ， 由，且， ， ， ， 故答案为：. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在 1．（23-24高一下·上海普陀·期中）下列命题中，真命题为（    ） A．若点为角终边上一点， 则 B．同时满足的角有且只有一个 C．的解集为 D．如果角满足那么角是第二象限的角 【答案】C 【知识点】确定已知角所在象限、已知三角函数值求角、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由正弦函数的定义及的正负即可判断A；由已知得出即可判断B；由正切值求得角即可判断C；根据象限角的定义即可判断D． 【详解】对于A，点为角终边上一点， 若，则 ，若，，故A错误； 对于B，同时满足的角为，故B错误； 对于C，的解集为，故C正确； 对于D，如果角满足，那么角是第三象限的角，故D错误； 故选：C． 2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】表达出各边长，得到，写出对偶式，计算出，，，设改造后停车位数量最大值为，作出辅助线，表达出顶点到线段距离为，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，，， 故，故， ，， ，， 则， 即①， 设②， 式子得，解得， 当时，，解得， 因为，，不合要求； 当时，， 解得，满足要求，此时， 设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为， 则顶点到线段距离为， 由图及题意可得，， 由（1）可得， 故， ，， 故， 由，解得，故取， 则该路段改造后的停车位比改造前增加个. 故选：B 3．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，则_____. 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由，得，代入，结合同角三角函数的平方关系，化简可得. 【详解】由，得. 由，得 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性. (2)若，求角.（用反三角符号表示） 【答案】(1)偶函数；证明见解析 (2) 【知识点】函数奇偶性的应用、反三角函数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可判断； （2）可以先化简内解析式，利用反正弦函数可求得角，再由偶函数可求得另一个解. 【详解】（1）为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称，， ，为偶函数. （2），当， ， 是偶函数， 5．（24-25高一下·上海·期中）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设.    (1)用含有的式子表示渔网长度，并写出定义域. (2)求养殖面积的最小值，并给出此时的值. 【答案】(1) (2)24， 【知识点】基本不等式求和的最小值、三角函数定义的其他应用、已知三角函数值求角、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）由题意可得出，进而求解； （2）由（1）得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）如图，    由图可知， 所以； （2）由（1）得， ， 则 当且仅当时取等号. 此时，所以. 试卷第1页，共3页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $专题04 已知正弦、余弦或正切的值求角（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、已知正弦或余弦求角 题型二、已知正切、余切求角 题型三、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角 题型四、已知三角函数值求角（复合型） 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 已知正弦或余弦求角 掌握正弦、余弦型简单三角方程的解集公式，能用整体思想套用公式求解，能根据特殊角的三角比求对应锐角 基础必考点，填空小题为主，是后续复杂求角问题的核心基础 已知正切、余切求角 掌握正切型三角方程的解集公式，能结合角终边上点的坐标求角，能利用正切函数的奇偶性、周期性化简方程求解 基础中档考点，填空题型为主，常结合同角三角比基本关系（弦化切）综合考查 给定区间上的三角方程求解 掌握“先求通解，再对整数k赋值求区间内特解”的通用步骤，能熟练用反正弦、反余弦、反正切表示指定区间内的角，做到不遗漏、不增解 期中核心必考点，填空高频题型，易错点为漏解、反三角函数定义域与值域混淆 复合型三角函数方程求角 能利用诱导公式、同角三角比基本关系先化简复合型方程，再转化为简单三角方程求解，能结合角的取值范围对解进行取舍 填空压轴常考点，难度中等偏上，常结合诱导公式综合命题，易错点为前期化简失误导致解错误 知识点01 简单三角方程的解集 以角为未知数的方程叫做三角方程.满足三角方程的所有的解的集合叫做三角方程的解集. 已知三角比值求角的结论: 图示 解集 题型一、已知正弦或余弦求角 解｜题｜技｜巧 解决此类问题，通常将等式两边化成同名的三角比，然后用整体的思想套用公式。 的解集为 或 ; 的解集为 或 . 【典例01】（23-24高一下·上海·期中）已知锐角满足，则______. 【变式1】已知，则实数______． 【变式2】（23-24高一上·上海·期末）方程的解是______. 题型二、已知正切、余切求角 解｜题｜技｜巧 解决此类问题，通常将等式两边化成同名的三角比，然后用整体的思想套用公式。 的解集为 或 ; 的解集为 或 . 【典例02】已知，且角终边上有一点，则角_________. 【变式1】已知，则的值为____________. 【变式2】分别求满足下列条件的角x的集合． (1)； (2)． 【变式3】求方程的解集． 题型三、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角 解｜题｜技｜巧 已知三角比的值，在给定范围内求满足方程的角的集合，先不考虑其限制范围，求出满足方程的所有角，然后再对整数k取值，求出在给定范围内的所有角，不遗漏. 【典例03】（23-24高一下·上海普陀·期中）若，则____. 【变式1】（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，则__________.（用反余弦表示）. 【变式2】已知，则 x =____________ 【变式3】已知 ，则______ 【变式4】已知，，则满足条件的角x的集合是______. 【变式5】已知，且，则的值是____________. 【变式6】若，则实数___________． 【变式7】已知，，则___________. 【变式8】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，则________． 【变式9】已知，，则角____________. 【变式10】在区间内的解是__________. 题型四、已知三角函数值求角（复合型） 【典例04】已知，，则______． 【变式1】集合______． 【变式2】已知角，且满足：，则角为________． 【变式3】（22-23高一下·上海松江·期中）方程，的解为_______． 【变式4】（23-24高一下·上海松江·期末）若是方程的解，其中，则______． 【变式5】满足，的角的集合为__________. 【变式6】方程，在内的解集是__________. 试卷第1页，共3页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海·期中）（）是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．已知，则____________（用反正弦表示） 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为______． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在 1．（23-24高一下·上海普陀·期中）下列命题中，真命题为（    ） A．若点为角终边上一点， 则 B．同时满足的角有且只有一个 C．的解集为 D．如果角满足那么角是第二象限的角 2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，则_____. 4．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性. (2)若，求角.（用反三角符号表示） 5．（24-25高一下·上海·期中）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设.    (1)用含有的式子表示渔网长度，并写出定义域. (2)求养殖面积的最小值，并给出此时的值. $