专题03 诱导公式6大题型（期中复习讲义）高一数学下学期沪教版

专题03 诱导公式（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、诱导公式一 题型二、诱导公式二、三、四 题型三、诱导公式五、六 题型四、正切的诱导公式 题型五、三角函数恒等式的证明——诱导公式 题型六、三角函数的化简、求值——诱导公式 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 诱导公式一（终边相同的角） 掌握终边相同角的三角比相等规律，能求任意终边相同角的三角比，能判断角终边所在象限，能解决已知一个三角比求终边相同角三角比的问题 基础入门考点，填空小题为主，常结合象限判断、点的坐标命题，是“大化小”化简步骤的核心基础 诱导公式二、三、四（π±α、-α） 掌握“函数名不变，符号看象限”规律，能准确判断原函数在对应象限的符号，完成单角、两角差的简单式子化简与条件求值 基础必考点，占比最高，填空题型为主，是所有诱导公式应用的基础 诱导公式五、六（π/2±α） 掌握正弦与余弦的函数名互化规律，能解决含π/2±α、3π/2±α的化简与条件求值，能结合角的范围判断三角比符号 易错必考点，填空高频题型，是失分重灾区 正切的诱导公式 掌握正切的诱导公式，能结合“切化弦”“1的代换”技巧，解决正切相关的化简、求值，能完成正切求值的两小问解答题 解答题必考点，常以两小问解答题形式出现，分值6 - 8分，核心考查齐次式求值 三角函数恒等式的证明（诱导公式） 掌握“从繁到简”“左右归一”两种证明方法，能针对题设与结论的差异有针对性地变形，完成简单三角恒等式证明 中档考点，解答题或填空证明题形式，考查诱导公式的灵活变形能力 三角函数的化简、求值（诱导公式） 严格掌握“负化正→大化小→小化锐→锐求值”四步通用步骤，能综合运用“切化弦”“1的变式”完成复杂式子的化简与条件求值 综合必考点，填空压轴常考，难度中等偏上，常结合多个诱导公式综合命题 知识点01 诱导公式 题型一、诱导公式一 【典例01】_______． 【答案】/ 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值可得. 【详解】. 故答案为：. 【变式1】________ 【答案】/0.5 【知识点】诱导公式一 【分析】由诱导公式一计算可得. 【详解】. 故答案为：. 【变式2】在平面直角坐标系中，点位于第_____象限． 【答案】四 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、诱导公式一 【分析】利用诱导公式一及三角函数值的符号法则判断出点的横、纵坐标的正负即可． 【详解】， ， 所以点位于第四象限. 故答案为：四 【变式3】已知，则____. 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的正切公式、诱导公式一 【分析】利用诱导公式及二倍角的正切可求三角函数式的值. 【详解】 故答案为： 题型二、诱导公式二、三、四 【典例02】（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简______. 【答案】/ 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期中）若，则_____. 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算、诱导公式二、三、四 【分析】根据同角三角函数之间的关系以及诱导公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 可得，所以； 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）若，则________. 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式求出，再由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海普陀·期中）化简：________． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四 【分析】根据诱导公式直接进行化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 【变式4】（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】由，得， . 故答案为：. 【变式5】（24-25高一下·上海青浦·期中）若，则__________. 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四 【分析】由诱导公式结合题意可得答案. 【详解】注意到，则. 故答案为： 【变式5】（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________． 【答案】 【知识点】正切函数图象的应用、求正切（型）函数的周期、诱导公式二、三、四 【分析】根据阴影面积得出，再结合诱导公式求出函数值. 【详解】函数的最小正周期， 由图可知，，函数， 所以， 故答案为： 题型三、诱导公式五、六 【典例03】（23-24高一下·上海普陀·期中）已知，则________． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】由诱导公式得，再根据二倍角公式代入求值即可． 【详解】， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若，则__． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式化简即得. 【详解】. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）化简__________. 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式和同角的商数关系化简计算即可求解. 【详解】. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）若角满足，则__________． 【答案】4 【知识点】诱导公式五、六、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用诱导公式和同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】. 故答案为：4. 【变式4】（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，则___________． 【答案】/0.2 【知识点】诱导公式五、六 【分析】由诱导公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 【变式5】（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是_____ 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式，化简得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 所以函数的对称中心的坐标为. 故答案为：. 【变式6】（23-24高一下·上海·期中）已知，且，则的最大值为______. 【答案】 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、求含tanx的函数的单调性 【分析】根据商数关系将整理成，借助诱导公式和函数的单调性可得，设，则可将转化为二次函数求最值问题，根据函数的单调性即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因，故， 则， 因函数，均在上单调递增， 则函数在上单调递增， 故有：， 设，其中， 则 当且仅当时取等号， 则此时，故， 又函数在时单调递减，在时单调递增， 而， 故当时，取到最大值，此时，． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用同角三角函数基本关系式和三角函数的单调性，将求的最大值问题转化成求函数在的最大值. 题型四、正切的诱导公式 【典例04】已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】正切函数的诱导公式、诱导公式五、六 【分析】根据化简可得，求出并代入到中求解即可． 【详解】由题意知， 所以，则，解得， 则． 故选：C． 【变式1】（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是______. 【答案】2 【知识点】诱导公式二、三、四、正切函数的诱导公式 【分析】直接利用诱导公式计算即可. 【详解】根据诱导公式知：. 故答案为：2. 【变式2】若，则________ 【答案】/ 【知识点】正切函数的诱导公式 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】由诱导公式可得：. 因为， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、正切函数的诱导公式 【分析】（1）由商数关系得，再应用诱导公式求函数值； （2）应用齐次式得到关于的表达式，即可求值. 【详解】（1）由，则，得， 所以； （2）. 题型五、三角函数恒等式的证明——诱导公式 解｜题｜技｜巧 关于三角恒等式的证明的常用方法 （1）从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简； （2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子。 无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异． 【典例05】证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 【变式1】已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式、诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 【变式2】（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【详解】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 题型六、三角函数的化简、求值——诱导公式 解｜题｜技｜巧 三角函数式的化简方法 （1）利用诱导公式，将 的三角比转化为 的三角比； （2）注意＂切化弦＂法的应用； （3）注意＂ 1 ＂的变式应用，如： 。 利用诱导公式求任意角三角比的步骤 （1）＂负化正＂：用公式一或二（注：实际常用公式三，即 相关公式），将任意负角的三角比转化为任意正角的三角比； （2）＂大化小＂：用公式一，将任意正角的三角比转化为 到 之间角的三角比； （3）＂小化锐＂：用公式三或四（注：实际常用公式二或四，即 相关公式），将 到 之间、大于 的角的三角比转化为锐角的三角比； （4）＂锐求值＂：将角化为锐角后，计算对应的三角比数值。 【典例06】（24-25高一下·上海·期中）化简：__________． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的关系化简即可. 【详解】 . 故答案为： 【变式1】（22-23高一下·上海松江·期中）化简______． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】 利用三角函数的诱导公式，准确化简，即可求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式，可得. 故答案为：. 【变式2】已知，则______． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式五、六 【分析】由，利用诱导公式求解. 【详解】． 故答案为：. 【变式3】若，则______. 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可． 【详解】， 故答案为： 【变式4】已知，则的值为______________； 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用诱导公式求出和的值,再求得的值,即可得到的值. 【详解】， ， ， ， . 故答案为：. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据正弦的诱导公式结合充分不必要条件定义判断求解. 【详解】由，得或， 所以“”是“，”的必要不充分条件 故选：B. 2．已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】由角和的终边关于轴对称，可得，，代入各个选项，根据诱导公式即可判断． 【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，， 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确， 对于D，由，故D错误， 故选：C． 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，则__________. 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用诱导公式化简，然后弦化切可得. 【详解】因为， 所以，原式. 故答案为： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为______. 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】首先确定终边对应的角，再结合三角函数的定义，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由题意，点所在终边为角，，，， 顺时针旋转后终边对应的角为，且， 则，， 所以，，所以. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为__________． 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、诱导公式五、六 【分析】由诱导公式得，设，结合二次函数图象即可求解． 【详解】，设， 则， 故答案为：． 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则______. 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 4．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是____________. 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式求出点的坐标是. 【详解】设点所在角的终边为，所以点所在角的终边为， 易知， 可得， 所以点的坐标为，即. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期中）已知，.若命题：“存在，使得”是假命题，则满足条件的有序实数对为_____________.（写出所有可能的结果） 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、三角函数图象的综合应用、特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据，可分类讨论时，结合正弦函数的图象和性质，即可得出答案. 【详解】“存在，使得”是假命题， 则，，任意实数均有， ①当时，任意实数均有，且， ，时，符合题意； ②当时，任意实数均有，即， ，， 当且仅当任意实数均有，则， 当时，，则，解得，， ，，符合题意； 当时，，则，解得，， ，，符合题意； 综上所述：满足条件的有序实数对为：. 故答案为：. 1/30 学科网（北京）股份有限公司 $专题03 诱导公式（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、诱导公式一 题型二、诱导公式二、三、四 题型三、诱导公式五、六 题型四、正切的诱导公式 题型五、三角函数恒等式的证明——诱导公式 题型六、三角函数的化简、求值——诱导公式 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 诱导公式一（终边相同的角） 掌握终边相同角的三角比相等规律，能求任意终边相同角的三角比，能判断角终边所在象限，能解决已知一个三角比求终边相同角三角比的问题 基础入门考点，填空小题为主，常结合象限判断、点的坐标命题，是“大化小”化简步骤的核心基础 诱导公式二、三、四（π±α、-α） 掌握“函数名不变，符号看象限”规律，能准确判断原函数在对应象限的符号，完成单角、两角差的简单式子化简与条件求值 基础必考点，占比最高，填空题型为主，是所有诱导公式应用的基础 诱导公式五、六（π/2±α） 掌握正弦与余弦的函数名互化规律，能解决含π/2±α、3π/2±α的化简与条件求值，能结合角的范围判断三角比符号 易错必考点，填空高频题型，是失分重灾区 正切的诱导公式 掌握正切的诱导公式，能结合“切化弦”“1的代换”技巧，解决正切相关的化简、求值，能完成正切求值的两小问解答题 解答题必考点，常以两小问解答题形式出现，分值6 - 8分，核心考查齐次式求值 三角函数恒等式的证明（诱导公式） 掌握“从繁到简”“左右归一”两种证明方法，能针对题设与结论的差异有针对性地变形，完成简单三角恒等式证明 中档考点，解答题或填空证明题形式，考查诱导公式的灵活变形能力 三角函数的化简、求值（诱导公式） 严格掌握“负化正→大化小→小化锐→锐求值”四步通用步骤，能综合运用“切化弦”“1的变式”完成复杂式子的化简与条件求值 综合必考点，填空压轴常考，难度中等偏上，常结合多个诱导公式综合命题 知识点01 诱导公式 题型一、诱导公式一 【典例01】_______． 【变式1】________ 【变式2】在平面直角坐标系中，点位于第_____象限． 【变式3】已知，则____. 题型二、诱导公式二、三、四 【典例02】（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简______. 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期中）若，则_____. 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）若，则________. 【变式3】（24-25高一下·上海普陀·期中）化简：________． 【变式4】（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________． 【变式5】（24-25高一下·上海青浦·期中）若，则__________. 【变式5】（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________． 题型三、诱导公式五、六 【典例03】（23-24高一下·上海普陀·期中）已知，则________． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若，则________． 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）化简__________. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）若角满足，则__________． 【变式4】（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，则___________． 【变式5】（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是_____ 【变式6】（23-24高一下·上海·期中）已知，且，则的最大值为______. 题型四、正切的诱导公式 【典例04】已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式1】（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是______. 【变式2】若，则________ 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 题型五、三角函数恒等式的证明——诱导公式 解｜题｜技｜巧 关于三角恒等式的证明的常用方法 （1）从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简； （2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子。 无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异． 【典例05】证明：． 【变式1】已知，求证：. 【变式2】（1）求证：； （2）设，求证. 题型六、三角函数的化简、求值——诱导公式 解｜题｜技｜巧 三角函数式的化简方法 （1）利用诱导公式，将 的三角比转化为 的三角比； （2）注意＂切化弦＂法的应用； （3）注意＂ 1 ＂的变式应用，如： 。 利用诱导公式求任意角三角比的步骤 （1）＂负化正＂：用公式一或二（注：实际常用公式三，即 相关公式），将任意负角的三角比转化为任意正角的三角比； （2）＂大化小＂：用公式一，将任意正角的三角比转化为 到 之间角的三角比； （3）＂小化锐＂：用公式三或四（注：实际常用公式二或四，即 相关公式），将 到 之间、大于 的角的三角比转化为锐角的三角比； （4）＂锐求值＂：将角化为锐角后，计算对应的三角比数值。 【典例06】（24-25高一下·上海·期中）化简：__________． 【变式1】（22-23高一下·上海松江·期中）化简______． 【变式2】已知，则______． 【变式3】若，则______. 【变式4】已知，则的值为______________； 1/30 学科网（北京）股份有限公司 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，则__________. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为______. 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为__________． 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则______. 4．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是____________. 5．（23-24高一下·上海·期中）已知，.若命题：“存在，使得”是假命题，则满足条件的有序实数对为_____________.（写出所有可能的结果） $