精品解析：上海市上海中学2025-2026学年高一下学期练习四数学试卷

上海市上海中学2025-2026学年高一下学期练习四数学试卷 班级________ 学号________ 姓名________ 成绩________ 一、填空题 1. 若，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式展开即可求得. 【详解】因为，所以，则， 且， 所以. 2. 化简：______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式即得. 【详解】 . 故答案为：. 3. 一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，根据题意，由，求解. 【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为， 则．① 由扇形的面积公式，得．② 由①②得，， ∴． ∴扇形的圆心角为． 故答案为： 4. 已知，则________． 【答案】11 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式与积化和差公式化简后代入求值即可. 【详解】因为 而， 代入可得：. 5. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题设，根据两角和与差的正弦公式及同角三角函数的基本关系可得，，进而求得，再结合二倍角公式求解即可. 【详解】由，则， 由，得， 则，即，， 所以， 则. 故答案为：. 6. 函数在上恰好取得5次最大值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出取最大值时的所有的解，再解不等式，由解的个数可以得出的取值范围. 【详解】令，得，，解得 ，， 所以，解不等式得 ， 由已知，满足条件的有个，所以的取值可能为0,1,2,3,4， 所以 ，解得 ，即. 7. 将函数的图像先向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，所得函数图像的解析式为______． 【答案】 【解析】 【详解】函数的图像先向左平移个单位得， 再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得. 8. 已知函数，若存在满足，且（，），则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取 即 考点：三角函数性质 9. 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点到水面的距离为（在水面下，则为负数），则米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当点从水面上浮现时开始计算时间，则米)关于时间（秒）的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的最大值和最小值求出，再根据每分钟转4圈求出周期，从而可求得和. 【详解】由图可知的最大值为15，最小值为， 所以，解得， 因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15， 所以，得， 当时，，即，则， 因为，则， 所以. 10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知分别是的重心和内心，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将变形得到，利用两角和的正弦公式得到，利用三角形内角和和诱导公式得到，利用正弦定理得到，从而得到的值，利用得到，由是的重心和内心和得到，从而得到，将其代入得到的值. 【详解】，， ， ，即， 由正弦定理，可得，，， 如图，延长交于点，延长交于点， 过点作于点，过点作于点， 设的内切圆的半径为，边上的高为， ，（*）， 是的重心和内心，且， ，， 将其代入（*），可得， 解得. 11. 如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________． 【答案】（，） 【解析】 【详解】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）. 考点：正余弦定理；数形结合思想 12. 设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先证明，再说明满足条件，即可得到的最小值是. 【详解】假设，则由可知，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 假设，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 以上结果表明必有，而当时，对任意，由可知，故. 而，，所以一定存在，使得，即，满足条件. 综上，的最小值是. 故答案为：. 二、选择题 13. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】先求出原函数的定义域，再运用三角恒等变换与同角三角函数将其化成正切函数，结合周期公式和原函数定义域即可求得其周期． 【详解】函数有意义，需使且， 即函数的定义域为：且， 因 ， 该函数的周期为π，但原函数的定义域且， 不满足以π为周期，而满足以2π为周期，故原函数的最小正周期为2π. 14. 能判断一定是一个直角三角形的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断AB；利用正弦定理角化边，结合平方关系判断CD. 【详解】对于A，取，则，显然，即，， ，因此，A不是； 对于B，取，则，， 且，因此，，B不是； 对于C，由及正弦定理，得，令， 则，显然，而， 因此的最大内角不是直角，C不是； 对于D，由，得， 整理得，由正弦定理得，，D是. 15. 若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期的定义以及三角函数诱导公式，由正整数以及因数，可得答案. 【详解】由题意可得 ， 则，，，， 或，，，， 解得，，，，① 或，，，，② ①由为正整数，且的因数为， 则的取值可能有， 此时的可能取值有， 由，则为的倍数，故的可能取值有. ②由为正整数，且的因数为， 则奇数的取值只可能有， 此时的可能取值有，由，则奇数，所以此时无取值. 故选：B. 16. 已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】D 【解析】 【分析】通过最大值点得到，通过最小值点得到，再结合函数的周期和区间长度，逐项判断即可. 【详解】由题意可知函数的周期，最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对A，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对B，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对C，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对D，若，当时，最大值点为2026，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误． 故选：D 三、解答题 17. 已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. （1）求实数的值； （2）设，当时，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期及三角函数的性质、不等式恒成立有，即可求参数值； （2）应用三角恒等变换有，令求解，结合即可求结果. 【小问1详解】 ， 由的最小正周期为，知， ， ∴. 【小问2详解】 由（1）可得：， ， 或，即或，， 又，则不妨令，故. 18. 对于，若存在，满足，则称为“A类三角形”.已知为“A类三角形”. （1）判断的形状（锐角、钝角还是直角三角形）； （2）小明经过探究发现“A类三角形”一定有一个角为定值，请求出该定值； （3）若（2）中大小为定值的角为A，且，求的最大值． 【答案】（1）钝角三角形； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合诱导公式确定的最大角即可判断. （2）由（1）的结论确定的最大角. （3）由（2）的结论，利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦及辅助角公式，结合正弦函数的性质求出最大值. 【小问1详解】 设的最大角为，则都为锐角， 由得均为锐角，故， 而，则，又， 即，因此，， 所以是钝角三角形. 【小问2详解】 由（1）知，当是的最大角时，； 同理当是的最大角时，；当是的最大角时，； 所以“A类三角形”一定有一个角为定值，该定值为. 【小问3详解】 由（2）知，而，由正弦定理得， 则，， 因此 ，其中锐角满足，显然， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为. 19. 已知函数其图像的一个对称中心是将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像． (1)求函数的解析式； (2)若对任意当时，都有求实数的最大值； (3)若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围． 【答案】（1） ； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由图像的一个对称中心是列方程即可求得，即可求得，利用平移规律得，问题得解． （2）由题可得在上单调递增，求得的增区间为，利用即可求得，问题得解． （3）的最小正周期为，由题可得：的区间长度满足，解不等式即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得， 又，∴， ∴， 从而； （2）对任意，且， ， 即在上单调递增， ， 易得其单调增区间为，由于， ∴当时，，从而，∴实数的最大值为； （3），其最小正周期为，而区间的长度为， 要满足题意，则，∴，解得. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象特点及函数图象平移规律，还考查了函数单调性概念及求三角函数的增区间知识，考查复合函数的单调性规律，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市上海中学2025-2026学年高一下学期练习四数学试卷 班级________ 学号________ 姓名________ 成绩________ 一、填空题 1. 若，则______． 2. 化简：______． 3. 一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______． 4. 已知，则________． 5. 已知，且，则________． 6. 函数在上恰好取得5次最大值，则实数的取值范围是______． 7. 将函数的图像先向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，所得函数图像的解析式为______． 8. 已知函数，若存在满足，且（，），则的最小值为__________． 9. 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点到水面的距离为（在水面下，则为负数），则米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当点从水面上浮现时开始计算时间，则米)关于时间（秒）的函数解析式为________． 10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知分别是的重心和内心，且，则________． 11. 如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________． 12. 设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是__________. 二、选择题 13. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 不存在 14. 能判断一定是一个直角三角形的条件是（ ） A. B. C. D. 15. 若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 16. 已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 三、解答题 17. 已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. （1）求实数的值； （2）设，当时，，求的值. 18. 对于，若存在，满足，则称为“A类三角形”.已知为“A类三角形”. （1）判断的形状（锐角、钝角还是直角三角形）； （2）小明经过探究发现“A类三角形”一定有一个角为定值，请求出该定值； （3）若（2）中大小为定值的角为A，且，求的最大值． 19. 已知函数其图像的一个对称中心是将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像． (1)求函数的解析式； (2)若对任意当时，都有求实数的最大值； (3)若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $