12.4复数的三角形式（第1课时）（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

12.4 复数的三角形式 第十二章 复数 （第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 理解复数辐角、辐角主值的概念，掌握辐角主值的范围及确定方法； 掌握复数三角形式的定义及结构特征，能熟练进行复数代数形式与三角形式的互化； 理解复数相等的充要条件，了解辐角的多值性，培养数形结合、逻辑推理和数学抽象素养. 新课导入 上节课我们学习了复数的几何意义，复数与什么几何元素一一对应？平面向量由哪两个要素唯一确定？ ①复数与复平面内的点,向量对应. ②平面向量由模和方向唯一确定 我们已经用“模”定义了复数的模，那向量的“方向”能否用来表示复数？如果可以，复数能否只用“模”和 “方向”这两个量来表示？ 本节课我们就来探究如何用 "模 + 角" 的形式表示复数——复数的三角表示. 新知探究 探究一：复数的辐角与辐角主值 给定一个非零复数 ，它的辐角有多少个？这些辐角之间有什么关系？ 定义辐角：如图，以 轴的非负半轴为始边、向量 所在的射线（起点为原点）为终边的角 ，叫做复数 的辐角， 结合终边相同的角的性质，可得： 为了让复数的辐角有唯一确定的值，我们可以怎么规定？ 辐角主值定义：把适合 的辐角 的值 叫作复数 的辐角主值，记作 ，即 非零复数的辐角有无限多个，相差 的整数倍 即 ） 新知探究 为了让复数的辐角有唯一确定的值，我们可以怎么规定？ 规定： ①每一个非零复数，都有唯一确定的模与辐角主值； ②两个非零复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等； ③特殊规定：复数 对应零向量，模为 ，辐角是任意的，无辐角主值。 新知探究 如何确定一个复数的辐角主值呢？ 复数 在复平面内与原点 对应 向量 是零向量，这时复数的模为 0，辐角是任意的 由任意角三角函数的定义知道： 设复数 的辐角为 ，则 其中 。 典例分析 例1 求复数 ，，， 的辐角主值． 【分析】先计算各复数的模，再根据复数在复平面内的位置确定和,结合辐角主值范围 求出辐角主值. 解：设这 4 个复数的模分别为 ，，，，辐角主值分别为 ，，，． 因为 所以 典例分析 故 4 个复数的辐角主值分别为 ，，，． 又 ，故 ． 同理，可以求得 知识小结 复数的辐角与辐角主值 1.辐角： (非零复数有无限多个，终边相同) 2.辐角主值：argz, (非零复数唯一确定) 3.核心性质：非零复数相等模与辐角主值分别相等 特殊：z=0,模为 0,辐角任意 9 新知探究 探究二：复数的三角形式 设非零复数 的模为 ，辐角为 ，结合任意角三角函数的定义，可得： 由此， 和 可以用 、 怎么表示？ 让学生将 、 代入复数的代数形式，你能得到什么？ 定义：我们把 叫作复数 的三角形式 复数的三角形式 新知探究 对应的 叫作复数的代数形式，其中 ， 是 的任意一个辐角（通常优先写辐角主值）. 典例分析 例2 把下面的复数表示成三角形式： （1）；（2）． 【分析】先计算各复数的模，再根据复数在复平面内的位置确定和,结合辐角值范围求出辐角主值。 解 （1）因为 ， 所以 故 ． 从而 ． 典例分析 （2）因为 ， 所以 ， 故 ． 新知探究 对于复数i, 是它的三角形式吗？ 是它的三角形式吗？由此，你能得出 更一般的结论吗？ 因此 ②， 因此 因此它们都是对应复数的三角形式. ① ， 新知探究 由此能否得出更一般的结论？ （1）非零复数的三角形式不唯一 即：同一个非零复数的三角形式有无数个，它们的模完全相等（均为），辐角相差的整数倍。 （2）三角形式仅要求结构合法（、同角、在前在后、中间为加号），不要求辐角为辐角主值. 注：②只有当取辐角主值（）时，非零复数的三角形式才是唯一的（称为“主值三角形式”）. 典例分析 例3 求复数 的模与辐角. 【分析】可先将非标准三角形式化为代数形式，再求模与辐角；也可直接利用三角恒等式将其化为标准三角形式，直接得到模与辐角. 解法1： 因为 所以 从而 故 典例分析 解法2：因为 所以 由此可知, 这个复数的模为 2 , 辐角为 . 知识小结 复数的三角形式 1.推导：, 2.标准形式 4 个要求： 同角在前，sin 在后；中间为加号 18 巩固提升 题型1 复数的辐角于辐角主值 1.复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A A 巩固提升 题型1 复数的辐角与辐角主值 2.设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解. 【详解】因为， 所以的辐角的主值为. 故选：D. D 巩固提升 题型2 复数的三角形式 3.复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用复数的三角形式即可得解. 【详解】依题意，令， 则，所以， 因为，所以 所以的三角形式是. 故选：D. D 巩固提升 题型2 复数的三角形式 4.已知的三角形式为，则的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用复数的三角表示求解. 【解析】由题知，的三角形式是， 结合诱导公式知，， 故选：B B 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 复数的三角表示 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 复数的辐角与辐角主值 在复平面内，以 x 轴的正半轴为始边，向量 OZ 所在的射线（其中 Z 为复数 z 对应的点）为终边的角 θ 叫做复数 z 的 辐角。 任意一个不为零的复数的辐角有 无数 个，它们相差 2kπ (k ∈ Z) 的整数倍。 规定范围在 0 ≤ θ < 2π（或 -π < θ ≤ π，苏教版通常取前者）内的辐角 θ 叫做 辐角主值，记作 arg z。 复数的三角表示式 设复数 z = a + bi (a, b ∈ R) 的模为 r，辐角为 θ，则： z = r(cos θ + i sin θ) 其中 r = √(a² + b²)，这个式子叫做复数的 三角形式。 代数形式与三角形式的转换关系： a = r cos θ，b = r sin θ。 标准形式的判定 陷阱： 并不是所有形如 r(cos θ + i sin θ) 的式子都是三角形式。 模 r 必须为正： 若出现 z = -2(cos θ + i sin θ)，需将负号并入括号内。 结构必须固定： 中间必须是“+”号，虚部必须对应 sin，实部必须对应 cos。 角度必须一致： cos 和 sin 后面的角 θ 必须是同一个角。 零复数的特殊性 复数 0 的模等于 0，但它的辐角是 不确定 的。因此，复数 0 没有三角表示式。 数形结合确定辐角 求复数 z = a + bi 的辐角主值时，建议分三步： 计算模长 r = √(a² + b²)。 根据点 (a, b) 所在的 象限 确定角 θ 的终边位置。 结合特殊角的三角函数值求解。例如：若 z = -1 + i，点在第二象限，tan α = 1，则 θ = π - π 4 = 3π 4 。 非标准形式的转化技巧 符号错误： 利用诱导公式处理。如 cos θ - i sin θ = cos(-θ) + i sin(-θ)。 函数名颠倒： 利用 π 2 - θ 的诱导公式。如 sin θ + i cos θ = cos( π 2 - θ) + i sin( π 2 - θ)。 $