第12章 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学复数单元复习课件系统梳理了复数的定义、表示、运算及几何意义，通过知识框架将代数形式、三角形式、复平面表示等核心内容整合，构建“概念-运算-几何意义”的逻辑脉络，帮助学生建立完整的复数知识体系。 其亮点在于采用“概念辨析-运算强化-几何应用”的分层复习策略，如通过例1分类讨论复数为纯虚数、实数的条件，结合跟踪训练中高考真题变式，培养学生的数学抽象和逻辑推理能力。这种设计既巩固基础又提升综合应用，教师可精准定位学生薄弱点，提高复习效率。

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 体系构建 体系构建 数学·必修第二册（SJ） 素养提升 素养提升 一、复数的有关概念 　　复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的 模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答. 【例1】　已知z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，试求实数m的 取值，使： （1）z是纯虚数； 解 由 得m＝3. ∴当m＝3时，z是纯虚数. 数学·必修第二册（SJ） （2）z是实数； 解： 由 得m＝－1或m＝－2. ∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数. （3）z在复平面内对应的点位于第二象限. 解： 由 得－1＜m＜1－ 或1＋ ＜m＜3. ∴当－1＜m＜1－ 或1＋ ＜m＜3时，复数z在复平面内对应的点位 于第二象限. 数学·必修第二册（SJ） 反思感悟 处理复数概念问题的两个注意点 （1）当复数不是a＋bi（a，b∈R）的形式时，要通过变形化为a＋bi的 形式，以便确定其实部和虚部； （2）求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若复数z＝1＋i（i为虚数单位）， 是z的共轭复数，则z2＋ 的虚部 为（　　） A. 0 B. －1 C. 1 D. －2 解析： 　因为z＝1＋i，所以 ＝1－i，所以z2＋ ＝（1＋i）2＋（1－ i）2＝2i＋（－2i）＝0. √ 数学·必修第二册（SJ） 2. 已知复数z1＝m＋（4－m2）i（m∈R）和z2＝2 cos θ＋（λ＋3 sin θ）i（θ∈R），若z1＝z2，则实数λ的取值范围为 ⁠. 解析：由题设及复数相等的定义，知m＝2 cos θ，且4－m2＝λ＋3 sin θ，消去参数m，得λ＝4－4 cos 2θ－3 sin θ＝4 sin 2θ－3 sin θ＝ 4 － .∵－1≤ sin θ ≤1，∴当 sin θ＝ 时，λmin＝－ ； 当 sin θ＝－1时，λmax＝7.故－ ≤λ≤7，即λ∈ . ［－ ，7］　 数学·必修第二册（SJ） 二、复数的四则运算 　　复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除法法 则是关键，注意与多项式的四则运算法则做类比. 【例2】　（1）（2024·全国甲卷理1题）若z＝5＋i，则i（ ＋z）＝ （　A　） A. 10i B. 2i C. 10 D. 2 解析： 　因为z＝5＋i，所以 ＝5－i，所以i（ ＋z）＝10i.故选A. A 数学·必修第二册（SJ） （2）设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2， 的值. 解：因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i. 所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i， z1z2＝（3－2i）（5＋4i）＝23＋2i， ＝ ＝ ＝ ＝ － i. 数学·必修第二册（SJ） 反思感悟 进行复数代数运算的策略 （1）复数运算的基本思路就是应用运算法则进行计算； （2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另 一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 1. （2024·新高考Ⅰ卷2题）若 ＝1＋i，则z＝（　　） A. －1－i B. －1＋i C. 1－i D. 1＋i √ 解析： 　法一　因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1＋ ＝1－i. 故选C. 法二　由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝ ＝1 －i. 数学·必修第二册（SJ） 2. （1＋i）20－（1－i）20＝（　　） A. －1 024 B. 1 024 C. 0 D. 512 解析： 　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－2i， ∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－（－4）5＝0. √ 数学·必修第二册（SJ） 三、复数的几何意义 　　复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用复数 运算将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平面内的 点、向量之间的关系解题. 数学·必修第二册（SJ） 【例3】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－i） 对应的点位于（　A　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： ∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3 －i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平 面内对应的点在第一象限.故选A. A 数学·必修第二册（SJ） （2）已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi（a，b∈R），z3＝1－4i，它们在 复平面内所对应的点分别为A，B，C. 若O为原点，且 ＝2 ＋ ，则a＝ ，b＝ ⁠. 解析： ∵ ＝2 ＋ ，∴1－4i＝2（2＋3i）＋（a＋bi），即 ∴ －3　 －10　 数学·必修第二册（SJ） 反思感悟 在复平面内确定复数对应的点的步骤 （1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数 对（a，b）； （2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）； （3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量 ＝（a，b）（O为坐标原 点），同时也对应复数z＝a＋bi（a，b∈R）. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1， ），则z的共轭复数 ＝（　　） A. 1＋ i B. 1－ i C. －1＋ i D. －1－ i 解析： 　∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1， ），∴z＝ －1＋ i，则z的共轭复数 ＝－1－ i，故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 2. 已知i为虚数单位，复数z满足｜z｜＝1，则 的最大值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 因为复数z满足｜z｜＝1，所以复数z对应的点Z的轨迹为单位 圆，圆心为原点，半径r＝1，圆心O到复数i对应的点（0，1）的距离为 1，所以 的最大值为1＋r＝1＋1＝2.故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） $