第九章 图形的变换（章节复习课件）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

该初中数学课件系统梳理了图形的变换（平移、轴对称、旋转）的核心知识，通过定义、性质、作图步骤的结构化整合，将三者内在逻辑联系串联成知识网络，帮助学生构建完整的图形变换认知体系。 其亮点在于采用“考点讲练-真题实战-分层训练”模式，如平移性质应用的典例与变式训练，培养学生的空间观念和推理能力。分层设计兼顾基础与拔高，助力学生巩固知识，教师可精准实施复习教学。

第九章 图形的变换 苏科版数学七年级下册章节复习培优精讲练 CONTENTS 目 录 知识点梳理 1. 2. 3. 重点难点考点讲练 难度分层训练 4. 真题实战演练 知识点梳理 PART 01 定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 性质 （1）平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的两个图形全等. （2）对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等. （3）对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 作图步骤 （1）确定平移的方向和距离. （2）找出原图形的关键点. （3）按平移方向和距离，分别作出各关键点的对应点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到平移后的图形. 知识点一 平移 定义 （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 性质 （1）关于某条直线对称的两个图形全等; （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; （3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 知识点二 轴对称 作图步骤 （1）确定对称轴. （2）找出原图形的关键点. （3）作出各关键点关于对称轴的对称点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对称点，得到轴对称后的图形. 知识点二 轴对称 定义 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 性质 （1）旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 知识点三 旋转 作图步骤 （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角，分别作出各关键点的对应点； （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到旋转后的图形. 知识点三 旋转 重点难点考点讲练 PART 02 考点讲练一 利用平移的性质求解 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【解答】解：由平移的性质得，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 考点讲练一 利用平移的性质求解 【变式训练】如图，直线a与直线b垂直于点O，点A，B分别在直线a，b上，，向右平移得三角形，线段与直线b交于点F．若图中阴影的面积为，求的长度． 【解答】解：∵直线于点O， ∴ ∵三角形向右平移得三角形，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴ , ∴． 考点讲练二 利用平移解决实际问题 【典例分析】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 考点讲练二 利用平移解决实际问题 【解答】解：（1）正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：； （2）图1中的长方形周长为， ， 整理得， 利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长， 图2的长方形周长为， 正方形的周长为，阴影部分的周长为， 图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为， 故答案为：． 考点讲练三 作垂线（尺规作图） 【典例分析】小明用尺规作图作钝角三角形边上的高．下面是打乱的作图步骤：如图，①分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E；②作射线，交于点H；③以点C为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点D；则就是所求作的高．下列作图步骤正确的顺序是（　　） A．①③② B．③①② C．③②① D．①②③ 【解答】解：以点C为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点D； 分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E；作射线，交于点H； 则就是所求作的高．即作图步骤正确的顺序是③①②． 故选：B． 考点讲练四 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则______． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______． (3)如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______． 考点讲练四 根据成轴对称图形的特征进行判断 【解答】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， 故答案为：40． （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． 故答案为：46． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C与点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l与点E，再以点E为圆心，为半径画弧交与点，连接交l与点O，点O即为所求． 考点讲练四 根据成轴对称图形的特征进行判断 （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 考点讲练五 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例分析】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，和的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点）上，且和关于直线成轴对称． (1)用直尺作出对称轴； (2)要在直线上找到一点，使的周长最小，淇淇的作法是直接连接，与直线的交点为点，淇淇的作法_____________；（填“正确”或“不正确”） (3)用尺规在直线上找一点，使．（保留作图痕迹，不要求写作法） 考点讲练五 根据成轴对称图形的特征进行求解 【解答】（1）解：如图所示，直线m即为所求； （2）如图所示，淇淇的作法正确； （3）如图所示：点O即为所求． 考点讲练五 根据成轴对称图形的特征进行求解 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． (1)若，，求EF的长． (2)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由． 【解答】（1）解：和关于直线对称，，， ， ． （2）解：． 理由如下：由题意知，， ． 考点讲练六 作角平分线（尺规作图） 【典例分析】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，四边形中，，，点为上一点，将沿翻折得到，沿着某条直线翻折，使得恰与重合，折痕与交于点． (1)请用尺规作图法作出折痕，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，试说明，，三点共线． 考点讲练六 作角平分线（尺规作图） 【解答】（1）解：补全图形如图所示： （2）证明：∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴、M、F三点共线． 考点讲练六 作角平分线（尺规作图） 【变式训练】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在四边形中，仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图，在边上确定点，使点到边、的距离相等． (2)如图，在四边形的边上确定点的位置，使，若点有不同位置，请用、…区分； 考点讲练六 作角平分线（尺规作图） 【解答】（1）解：如图中，点即为所求： （2）解：如图2中，点，，即为所求． 考点讲练七 台球桌面上的轴对称问题 【典例分析】如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 考点讲练七 台球桌面上的轴对称问题 【解答】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 考点讲练八 轴对称中的光线反射问题 【典例分析】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 考点讲练八 轴对称中的光线反射问题 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 考点讲练八 轴对称中的光线反射问题 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 考点讲练八 轴对称中的光线反射问题 【解答】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为，所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． 考点讲练八 轴对称中的光线反射问题 （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围，故答案为：． 考点讲练九 折叠问题 【典例分析】（23-24七年级下·湖北恩施·月考）图①是一段矩形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数为____________． 【解答】解：在图①中，四边形是矩形， ， ，， ． 在图②中，， ． 在图③中，． 故答案为：． 考点讲练十 旋转中的规律性问题 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第________个箭头方向相同．（填序号） 【解答】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同． 故答案为：1． 考点讲练十 旋转中的规律性问题 【变式训练】（25-26九年级上·四川广安·期末）已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________． 【解答】解： 滚动1次后，骰子朝上一面的点数是5， 滚动2次后，骰子朝上一面的点数是4， 滚动3次后，骰子朝上一面的点数是2， 滚动4次后，骰子朝上一面的点数是3， 滚动5次后，骰子朝上一面的点数是5， …… ∴每滚动4次为一个循环， ∵， ∴连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是4． 故答案为：4 考点讲练十一 根据旋转的性质求解 【典例分析】（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）如图，有一副三角板和，它们的斜边和按图1所示摆放在直线上，，，已知平分，平分． (1)求初始位置的度数． (2)若将三角板绕点A转到如图2位置，使，且，求的度数． (3)在（2）的基础上，若继续将三角板绕点A转动到图3位置，使，求与存在的等量关系． 考点讲练十一 根据旋转的性质求解 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 考点讲练十一 根据旋转的性质求解 （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 考点讲练十二 根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例分析】如图，，O是上一点，直线与所夹角，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转______度． 【解答】解：若旋转到时， 则， ∵ ∴， ∴要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转16度． 故答案为：16． 考点讲练十三 求旋转对称图形的旋转角度 【典例分析】在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，三角形的顶点都在格点上，将三角形绕点O按顺时针方向旋转得到三角形，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【解答】解：如图：由旋转角的定义可：对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角，即旋转角是， 由图可知：． 故选：D． 考点讲练十三 求旋转对称图形的旋转角度 【变式训练】如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转_________度与它本身重合． 【解答】点M是边CD的中点，不是正方形ABCD的中心， 正方形ABCD绕点M至少旋转360度才能与它本身重合， 故答案为：360． 考点讲练十四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例分析】（23-24八年级下·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 考点讲练十四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【解答】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． 考点讲练十五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【典例分析】（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，根据要求作答． (1)请画出绕点O旋转后的； (2)请画出绕点逆时针旋转后的，并写出坐标． 考点讲练十五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【解答】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求，坐标为， 真题实战演练 PART 03 中考真题 实战演练 【真题演练1】（2024·山东枣庄·中考真题）将数字“6”旋转，得到数字“9”；将数字“9”旋转，得到的数字是“6”，现将数字“69”旋转，得到的数字是（　　） A．96 B．69 C．66 D．99 【解答】解：现将数字“69”旋转，得到的数字是：69， 故选：B． 中考真题 实战演练 【真题演练2】（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为__________度． 【解答】∵由作图可得，是的角平分线 ∴． 故答案为：55． 中考真题 实战演练 【真题演练3】（2024·吉林·中考真题）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，，均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形． (1)在图①中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形． 中考真题 实战演练 【解答】（1）解：如图①，四边形是轴对称图形． （2）解：先将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点， 则将点按照同样的平移方式可得到点， 如图②，平行四边形是中心对称图形． 难度分层训练 PART 04 基础夯实 能力提升 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，两点分别与，对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【解答】解：如图： 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 基础夯实 能力提升 2．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）如图，将长方形分别沿、折叠，点落在处，点落在点处，使得，若，则的度数为______． 【解答】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴． 基础夯实 能力提升 3．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则___________； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 基础夯实 能力提升 【解答】（1）解：由折叠知，， ， ． （2）解：①由折叠知，， ， 由折叠知，， ， 点落在， ， ， ，即； 基础夯实 能力提升 ②由折叠知，，， ， ， ， 即． 创新拓展 拔尖冲刺 1．．如图，图（1）是一段长方形纸带，，将纸带沿折叠，交于点，如图（2）所示，则图（2）中的的度数为（　　） A． B． C． D． 创新拓展 拔尖冲刺 【解答】解：∵图（1）中的纸带是长方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ 由折叠的性质得：图（2）中， ∴； 故选：B． 创新拓展 拔尖冲刺 2．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则___________． 【解答】解：∵，将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 即旋转角． 故答案为：． 创新拓展 拔尖冲刺 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）点、分别是长方形纸条边、上一点，分别沿、折叠，如图，点落在处，点落在点处，使得，若________． 【解答】解：四边形是长方形， ， ， ， ， 由折叠的性质得，，， ， ， ． 故答案为：． 谢谢大家 $