专题03 图形的变换20大题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材苏科版

专题03 图形的变换（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 生活中的平移问题 题型02 利用平移的性质求解 题型03 利用平移解决实际问题 题型04 平移作图 题型05 轴对称图形 题型06 根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 题型07 台球桌面上的轴对称问题 题型08 轴对称中的光线反射问题 题型09 镜面对称 题型10 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 题型11 对称轴问题 题型12 折叠问题 题型13 生活中的旋转现象 题型14 找旋转中心、旋转角、对应点 题型15 根据旋转的性质求解 题型16 利用旋转设计图案 题型17 画已知图形关于某点对称的图形 题型18 中心对称图形 题型19 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型20 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平移现象 认识平移特征，会判断平移、确定平移方向与距离，并能正确画出平移后的图形。 基础考点，一般在选择题考查，2分 平移的性质 理解并掌握平移的性质，明确平移前后图形的形状、大小不变，对应线段平行且相等、对应角相等，能运用性质解决简单的几何问题。 重要考点，一般在小题中考查，分值在3分左右 利用平移解决问题 掌握平移性质，能通过平移转化线段与角，巧妙求解周长、面积及几何证明问题，提升数形转化与推理能力。 基础考点，要会根据实际情况，难度不大，分值在3分左右 平移作图 掌握平移作图步骤，能准确确定关键点平移后的位置，规范画出平移后的图形，保证对应点、线段、角度正确无误。 核心考点，要保留作图痕迹，分值在5分左右 轴对称图形 认识轴对称图形与对称轴，能准确判断轴对称图形、找出对称轴，理解对应点、对应线段、对应角的关系，会画简单轴对称图形。 基础考点，一般在选择题考查，2分 轴对称的性质 掌握轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等，能运用性质进行简单推理与计算。 核心考点，重点抓住轴对称的边、角关系，分值在5分左右 垂直平分线 理解线段垂直平分线的定义与性质，掌握 “垂直平分线上的点到线段两端距离相等”，能运用性质进行计算、证明和作图。 重要考点，一般在解答题中出现，注意和其他知识点一起考查，3分左右 折叠问题 理解折叠本质是轴对称变换，掌握折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，能利用方程思想求解边长、角度及面积问题。 核心考点，所有题型均可能考查，分值在6分左右，难度较大 旋转现象 认识旋转的三要素（旋转中心、方向、角度），能判断生活中的旋转现象，知道旋转不改变图形的形状和大小。 基础考点，一般在选择题考查，2分 旋转性质 掌握旋转性质：旋转前后图形形状、大小不变，对应点到旋转中心距离相等，对应角相等，旋转角相等，能运用性质进行判断与计算。 核心考点，掌握旋转过程中的对应边、对应角和旋转中心，分值5分左右 中心对称图形 理解中心对称图形的概念，能准确识别常见中心对称图形，明确其对称中心及性质，会判断图形是否为中心对称图形。 基础考点，一般在选择题考查，2分 中心对称的性质 掌握中心对称性质：对称点连线经过对称中心且被平分，对应线段平行且相等、对应角相等，能利用性质进行推理与计算。 核心考点，一般在解答题中出现，3分左右 知识点01 有理数的概念 知识点01 平移及其性质 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 【要点提示】 (1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 4.平移的性质 性质1：平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 性质2：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 知识点02 平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 知识点03 轴对称的相关概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 3.轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 4.轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点04 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 知识点05 旋转的概念与性质 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点06 中心对称与中心对称图形 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 题型一 生活中的平移问题 易｜错｜点｜拨 1、把转动、摆动当成平移，忽略平移 “方向不变、沿直线移动” 的特点。 2、判断平移时只看位置，忽略形状、大小、方向都不变。 3、数平移格数时只数间隔，不数对应点之间的格数，多数或少数。 4、混淆 “平移了几格” 和 “两图之间空几格”，导致距离判断错误。 5、简单认为只要移动就是平移，忽略必须沿直线、不翻转这一关键。 1．（24-25七年级下·江苏·期中）下列现象属于平移的是（    ） A．投篮时的篮球运动 B．随风飘动的树叶在空中的运动 C．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 D．急刹车时汽车在地面上的滑动 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为______ cm2． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图是小明利用平移设计出的一张图案，根据图案我们可以得到 的度数为______________．       题型二 利用平移的性质求解 易｜错｜点｜拨 1、忽略平移只变位置、不变形状大小，乱改边长、角度。 2、找不对对应线段、对应角，导致相等关系用错。 3、求平移距离时，不找对应点，直接估测或数错格数。 4、用平移转化周长、面积时，线段拼接出错，漏算或多算边长。 5、混淆平移与旋转、轴对称，性质混用导致解题错误。 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，中，，把沿方向平移到的位置，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．62 B．64 C．66 D．68 6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，经过平移得到了，下列说法错误的是（   ） A．平移的方向是射线的方向 B．平移的距离是线段的长度 C．，且 D． 7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为________． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 题型三 利用平移解决实际问题 易｜错｜点｜拨 1、不会把不规则图形通过平移转化为规则图形，直接硬算导致复杂易错。 2、平移转化周长时，容易漏算或多算线段长度，忽略平移后线段相等。 3、找不准对应点和平移方向、距离，导致列式错误。 4、忽略平移不改变图形形状大小，随意改变边长、角度计算。 5、题目有多个平移步骤时，思路混乱，前后条件不对应。 9．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的正中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ）    A．90米 B．98米 C．80米 D．88米 10．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的小路的左边线向右边平移1米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 11．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，甲、乙两只机器狗同时从A处向终点O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果速度相等，请判断谁先回到洞中？ 答：_______回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）． 12．（24-25七年级下·江苏·期中）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计． (1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米； (2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米． 题型四 平移作图 易｜错｜点｜拨 1、找不准图形的关键点，漏点导致图形变形。 2、平移方向或距离出错，对应点没有按同一方向、相同距离移动。 3、只移点不连线，或连线混乱、线段不对应。 4、平移后图形形状、大小改变，违背平移性质。 5、数格子时粗心，多数、少数一格造成位置偏差。 13．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1．三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出平移后的三角形； (2)连接，那么与的数量和位置关系是___________；线段扫过的图形面积为__________________． 14．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点位置如图所示． (1)将先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点，请画出平移后的； (2)若连接，则这两条线段之间的数量关系是 ，位置关系是 ； (3)如果点P是线段的中点，画出平移后点P的对应点Q的位置．（利用网格点和直尺画图）． 15．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 16．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，位置如图所示．现将平移，使的中点平移到点，点、、的对应点分别是点、、．    (1)请画出平移后的； (2)连接、，这两条线段之间的关系是 ； (3)平移后，扫过的面积 ． 题型五 轴对称图形 易｜错｜点｜拨 1、把中心对称图形当成轴对称图形，混淆两种对称。 2、找对称轴时漏画、多画，或认为只有一条对称轴。 3、对折后不能完全重合的图形，误判为轴对称图形。 4、汉字、字母、数字类图形，忽略细节笔画是否对称。 5、画图时对应点到对称轴距离不相等，导致图形不对称。 17．（25-26八年级上·江苏南京·期中）以下是有关南京的图标，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（24-25七年级下·江苏常州·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 _____．（填序号） 题型六 根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 21．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 22．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则______． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______． (3)如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______． 23．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图1，“金牛”奶牛养殖区A和“绿野牛”奶牛养殖区B位于笔直的“金光”高速公路x同侧． (1)要在高速公路x旁修建一牛奶检测、收购、加工站P，收购A，B运送来的鲜牛奶．P到A，B的距离之和最小，请确定点P的位置． (2)拟建的“致富”高速公路y与“金光”高速公路垂直，建立图2所示的平面直角坐标系，若再在旁和y旁各修建一牛奶检测、收购、加工站P，Q，使P，A，B，Q组成的四边形的周长最小．试确定点P，Q的位置． 24．如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 题型七 台球桌面上的轴对称问题 25．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 26．（2025八年级上·江苏·期中）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 27．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 28．（24-25八年级上·北京海淀·期中）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 题型八 轴对称中的光线反射问题 29．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______． 30．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是______． 31．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 32．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 题型九 镜面对称 易｜错｜点｜拨 混淆镜面成像与轴对称，忽略左右相反、上下不变的特点。 看镜子里的数字、时钟时，直接按原数读取，不会左右翻转判断。 忽略物体与镜像到镜面距离相等，对应点连线垂直于镜面。 复杂图形镜像判断时，细节部分忘记翻转，导致判断错误。 33．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 34．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若看到镜子中的一串数字为“  ”，则这串数字为______． 35．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是________． 36．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 题型十 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 37．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知两个小区和两条公路，（点，表示小区，，表示公路），现计划在内建造一所超市，希望这所超市到这两个小区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，你能确定一下超市的位置吗？请在所给的图中标出超市所在的位置，保留作图痕迹． 38．（24-25七年级下·江苏南京·期中）尺规作图：（不要求写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在长方形中，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，请在图中画出折痕l； (2)如图2，四边形，E为边上一点，在四边形内找一点P，使，且直线为的对称轴． 39．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，．用两种不同的方法在边上找一点，使点到点的距离等于点到的距离．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 40．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）尺规作图： (1)如图1，，在内部找一点，使． (2)如图2，线段长度为6，在线段上找一点，使． （不写作法，保留作图痕迹） 题型十一 对称轴问题 41．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）下列图形中对称轴最多的是（    ） A．圆 B．矩形 C．等腰梯形 D．八边形 42．正方形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 43．如图是采用我国非遗纺织印染工艺——蜡染制作的精美图案，该图案有_____________条对称轴． 44．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如果正三角形有条对称轴，那么_____． 题型十二 折叠问题 45．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图， 把长方形沿对折， A的对应点是H， B 的对应点是G， 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图①，已知四边形纸片．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A．40° B．45° C．50° D．60° 47．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则______． 48．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 题型十三 生活中的旋转现象 49．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 50．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 51．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）下列物体的运动中，属于平移的是（    ） A．电梯上下移动 B．翻开数学课本 C．电扇扇叶转动 D．落叶随风飘零 题型十四 找旋转中心、旋转角、对应点 52．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以______（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着______（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转______度． 53．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，在中，是中点．求作，使它与关于点对称； (2)如图②，线段是由线段旋转所得，且点对应点，求作该变换的旋转中心； (3)图③是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺作一条直线，使它平分该图形的面积． 54．（24-25七年级下·江苏南京·期中）（1）尺规作图： 如图1，已知线段和直线，作线段关于直线对称的线段； 如图2，已知线段绕点旋转得线段（其中与对应），作出点． （2）结合（1）中的图形，根据轴对称和旋转的性质用符号语言各写出两条不同类型的正确结论． 轴对称：①__________；②__________． 旋  转：①__________；②__________． 55．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为外一点． (1)将先向右平移4个单位长度得到，作出平移后的图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的图形； (3)可以看作是经过什么变换得到的？ 56．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 题型十五 根据旋转的性质求解 易｜错｜点｜拨 1、混淆旋转与平移、轴对称，乱用对应边、对应角的相等关系。 2、忽略对应点到旋转中心的距离相等，找错对应点导致计算错误。 3、不清楚旋转角都相等，把旋转角找成其他角度。 4、只记得形状大小不变，忘记旋转会改变图形方向。 5、复杂图形中分不清旋转中心、旋转方向与角度，推理出错。 57．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）有两个形状、大小完全相同的直角三角板和，其中．将它们如图放置．点，，在直线上． (1)三角板位置不动，将三角板绕点顺时针旋转一周， ①请用无刻度的直尺和圆规在图中作图：画出三角板绕点顺时针旋转后的图形（要求：保留作图痕迹，不写画法） ②在①的条件下，_______，； ③在旋转过程中，与有怎样的数量关系？请说理． (2)在图1基础上，三角板和同时绕点顺时针旋转，若三角板的边从处开始绕点旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点旋转，转连为秒，当旋转一周再落到上时，两个三角板都停止转动设旋转时间为秒， ①当______秒时，三角板和重合； ②当______秒时，． 58．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知直角三角板中，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点．．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 59．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． ． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． 60．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转 °，使得与重合； (2)如图2，如果把图1所示的 以O为中心顺时针旋转得到，当 为多少度时，射线平分； (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，如果把 以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时， 两条斜边？ 题型十六 利用旋转设计图案 61．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 62．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，线段可以看成是线段先绕点C___________旋转，再向___________平移___________小格得到的． 63．（24-25七年级上·江苏南京·期末）（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 64．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在的网格纸中给定了图形Ⅰ和格点O的位置（图形I的顶点均在格点上）． (1)画出图形I先向下平移4格，再向右平移2格后的图形Ⅱ； (2)画出图形Ⅰ绕点O旋转后的图形Ⅲ； (3)在（1），（2）所作的图形中，图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 题型十七 画已知图形关于某点对称的图形 65．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）在如图所示的正方形网格图中，的顶点均在格点上，线段与线段关于点O成中心对称． (1)按要求画图． ①画出，使和关于点O成中心对称； ②画出关于直线a对称的． (2)与是否关于某条直线成轴对称？若是，请在图中画出这条直线． 66．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边．    (1)画出线段的垂直平分线； (2)画出关于直线成轴对称的； (3)画出关于点成中心对称的． 67．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）【综合实践】：如图，在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，若每个小正方形边长为1，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此时四边形的面积是　　． (4)【知识拓展】在图4中线段关于点O中心对称的线段（A对应C，B对应D）；点P是平面内任一点，请仅用无刻度的直尺作出点P关于点O中心对称的点Q（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹）． 68．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）作图：①如图，已知点P为边上一点，请用直尺和圆规作一条直线l，使得点A关于l的对称点为P． ②在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)画出向上平移2个单位后的． (2)画出关于点O的中心对称图形． (3)画出与的对称中心D（黑点标记）． 题型十八 中心对称图形 69．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 70．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种． 71．（2025·江苏无锡·模拟预测）线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 72．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）． (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性． 题型十九 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 易｜错｜点｜拨 1、混淆中心对称与轴对称，错把 “对称中心” 当 “对称轴”。 2、忘记对称点的连线必过对称中心且被它平分，做题时不会用这个等量关系。 3、对应线段只记得相等，忽略通常还互相平行，导致几何推理漏条件。 4、把 “中心对称” 和 “中心对称图形” 概念混用，答题表述不规范。 5、解题时找错对应点、对应角，导致角度、边长计算出错。 73．（2026七年级下·江苏·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 74．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 75．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 76．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）一个L形图如图1所示，现需解决如何画一条直线将其分为面积相等的两部分的问题．    (1)分析问题： 本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，______图形绕其对称中心旋转______后能与原图形重合，因此过其______的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． (2)操作发现 如图2，该图形可以看成由左、右两个正方形构成，分别确定两个正方形的对称中心，然后连线即可得到符合要求的分割线．类似的，该图形还可以看成由上、下两个长方形构成，分别确定两个长方形的对称中心，然后连线也可得到符合要求的分割线．请按此要求画出分割线，在图3上完成（保留作图痕迹，不写画法）． (3)深度探究： 由于本题的分割线不唯一，如果采取把图形右上角弥补一个小正方形，让L形先变为长方形后，再分别找正方形和长方形的……，请再按此要求画出分割线，在图4上完成（保留作图痕迹，不写画法）． 题型二十 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 77．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． (1)请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2)请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 78．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 79．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，方格纸中四边形的四个顶点均在格点上，将四边形向右平移4格得到四边形．将四边形绕点A旋转，得到四边形． (1)在方格纸中画出四边形和四边形； (2)四边形经过一次________可以与四边形重合（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (3)写出四边形与四边形经过（2）中变换的两条性质． 80．图①，图②，图③均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：    (1)在图①中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)在图③中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（期中八年级下·江苏苏州·期中）如图图案中，不是中心对称图形的是（   ） A．∽ B． C．> D．= 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（　） A．4 B．6 C．8 D．9 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将绕点O按顺时针方向旋转至，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，与的交点为，、分别在、的位置上，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）\如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为_______． 8．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，有一个英语单词（只画出了部分），四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的中文是_______． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点 恰好落在上， 且的度数为， 则 的度数是______． 10．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，把绕点A按逆时针方向旋转得到已知，求，的大小． 11．（24-25七年级下·江苏·期中）（1）如图，在中，，．请用尺规作图法，在线段上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （2）将向上平移7个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到，请画出； （3）以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出． 12．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，为格点三角形．请用直尺在网格中画图： (1)画出，使和关于直线成轴对称； (2)画出，使和关于点O成中心对称． 13．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 14．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）尺规作图：已知直角三角形，，请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的垂直平分线； (2)作的角平分线． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，的周长为9，求的长． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果，则（　　） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，将长方形纸片沿折叠，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（2025七年级下·江苏·期中）如图，三角形的周长为，将三角形沿方向平移至三角形（点的对应点分别为点）的位置，则图中阴影部分的周长为（ ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是，，，连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点M、N分别在射线上，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为．当点P在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 21．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，在上，将沿翻折得到，设，，则与的数量关系是______． 22．如图，内有一点，分别作出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点，连接，当时，的周长为__________． 23．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，将三角形纸片的折叠，使得点B的对应点落在直线上，折痕为，再将折叠，使得折叠后点C的对应点落在直线上，折痕为，此时可得，若，则的度数为 _______． 24．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口到出口所走的路线（图中虚线）长为________米． 25．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为________． 26．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹） 27．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． ①格点（顶点均在格点上）的面积为_________； ②画出格点向右平移3个单位长度后得到的； ③在直线上找出点P，使平分． （2）如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 28．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）【观察发现】（1）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使落在上，为折痕，则的度数为________； 【思维拓展】（2）若规定：当两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”． 即：若，则和是一组“巧角”（，）． ①在条件（1）中，当点、、三点共线时，和是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，和还是一组“巧角”，且，，求的度数． 29．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．请按要求完成： (1)如图，先将竖直向上平移个单位，再水平向右平移个单位得到，将绕点O顺时针旋转，得到，请在网格中画出，； (2)与关于直线_____成轴对称； (3)如图，所在的正方形网格中，能画出与成轴对称的格点三角形共有______个（不包括本身）． 30．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数__________． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数__________． ②若，请求出的度数． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 31．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）（1）如图1，在网格中有一个以格点（网格线的交点）为顶点的，网格中的每个小正方形的边长都是1．①利用网格作关于直线l对称的；② 的面积为 ； （2）如图2，折叠矩形（长方形）纸片，使点与点重合，折痕为．请用直尺和圆规作出折痕，点在上，点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 32．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度； (2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，求此时三角板绕点的运动时间的值． 33．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 34．（24-25七年级上·山西阳泉·期末）综合与实践课上，李老师带领同学们动手折叠一张正方形纸片．点E在边上，点分别在边上，分别沿把向内折叠并压平，点分别落在点和点处，且点和点都在正方形内部． 【问题初探】 （1）小明同学的折叠如图1，若，求的度数． 【特例探究】 （2）小颖同学的操作如图2，点在线段上；小丽同学的操作如图3，点在上，点在上．分别求出图2和图3中的度数． 【归纳推广】 （3）若小聪折叠后，直接写出的度数（用含n的代数式表示）． 35．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，．用两种不同的方法在边上找一点，使点到点的距离等于点到的距离．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 36．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图1，将两块直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放，示意图2中点、、三点共线． (1)若将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当与重合时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当时，请求出的值． (2)若将三角板绕点顺时针旋转，且，三角板保持不动． ①在三角板旋转的过程中，当三角板的边垂直于三角板的斜边，请求出的度数． ②如图3，射线和射线分别是与的角平分线，在三角板旋转的过程中，当三角板的斜边与三角板的边平行时，直接写出与两角平分线的夹角的度数． 37．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）有两个形状、大小完全相同的直角三角板和，其中．将它们如图放置．点，，在直线上． (1)三角板位置不动，将三角板绕点顺时针旋转一周， ①请用无刻度的直尺和圆规在图中作图：画出三角板绕点顺时针旋转后的图形（要求：保留作图痕迹，不写画法） ②在①的条件下，_______，； ③在旋转过程中，与有怎样的数量关系？请说理． (2)在图1基础上，三角板和同时绕点顺时针旋转，若三角板的边从处开始绕点旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点旋转，转连为秒，当旋转一周再落到上时，两个三角板都停止转动设旋转时间为秒， ①当______秒时，三角板和重合； ②当______秒时，． 38．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，点在上． (1)如图，点在上，且，在内部作一点，使四边形是轴对称图形； (2)如图，点在的内部，作出两种不同的四边形，使四边形为轴对称图形，且点在上、点在内部、点在四边形的一边上． 要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 39．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 40．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的变换（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 生活中的平移问题 题型02 利用平移的性质求解 题型03 利用平移解决实际问题 题型04 平移作图 题型05 轴对称图形 题型06 根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 题型07 台球桌面上的轴对称问题 题型08 轴对称中的光线反射问题 题型09 镜面对称 题型10 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 题型11 对称轴问题 题型12 折叠问题 题型13 生活中的旋转现象 题型14 找旋转中心、旋转角、对应点 题型15 根据旋转的性质求解 题型16 利用旋转设计图案 题型17 画已知图形关于某点对称的图形 题型18 中心对称图形 题型19 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型20 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平移现象 认识平移特征，会判断平移、确定平移方向与距离，并能正确画出平移后的图形。 基础考点，一般在选择题考查，2分 平移的性质 理解并掌握平移的性质，明确平移前后图形的形状、大小不变，对应线段平行且相等、对应角相等，能运用性质解决简单的几何问题。 重要考点，一般在小题中考查，分值在3分左右 利用平移解决问题 掌握平移性质，能通过平移转化线段与角，巧妙求解周长、面积及几何证明问题，提升数形转化与推理能力。 基础考点，要会根据实际情况，难度不大，分值在3分左右 平移作图 掌握平移作图步骤，能准确确定关键点平移后的位置，规范画出平移后的图形，保证对应点、线段、角度正确无误。 核心考点，要保留作图痕迹，分值在5分左右 轴对称图形 认识轴对称图形与对称轴，能准确判断轴对称图形、找出对称轴，理解对应点、对应线段、对应角的关系，会画简单轴对称图形。 基础考点，一般在选择题考查，2分 轴对称的性质 掌握轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等，能运用性质进行简单推理与计算。 核心考点，重点抓住轴对称的边、角关系，分值在5分左右 垂直平分线 理解线段垂直平分线的定义与性质，掌握 “垂直平分线上的点到线段两端距离相等”，能运用性质进行计算、证明和作图。 重要考点，一般在解答题中出现，注意和其他知识点一起考查，3分左右 折叠问题 理解折叠本质是轴对称变换，掌握折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，能利用方程思想求解边长、角度及面积问题。 核心考点，所有题型均可能考查，分值在6分左右，难度较大 旋转现象 认识旋转的三要素（旋转中心、方向、角度），能判断生活中的旋转现象，知道旋转不改变图形的形状和大小。 基础考点，一般在选择题考查，2分 旋转性质 掌握旋转性质：旋转前后图形形状、大小不变，对应点到旋转中心距离相等，对应角相等，旋转角相等，能运用性质进行判断与计算。 核心考点，掌握旋转过程中的对应边、对应角和旋转中心，分值5分左右 中心对称图形 理解中心对称图形的概念，能准确识别常见中心对称图形，明确其对称中心及性质，会判断图形是否为中心对称图形。 基础考点，一般在选择题考查，2分 中心对称的性质 掌握中心对称性质：对称点连线经过对称中心且被平分，对应线段平行且相等、对应角相等，能利用性质进行推理与计算。 核心考点，一般在解答题中出现，3分左右 知识点01 有理数的概念 知识点01 平移及其性质 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 【要点提示】 (1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 4.平移的性质 性质1：平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 性质2：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 知识点02 平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 知识点03 轴对称的相关概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 3.轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 4.轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点04 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 知识点05 旋转的概念与性质 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点06 中心对称与中心对称图形 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 题型一 生活中的平移问题 易｜错｜点｜拨 1、把转动、摆动当成平移，忽略平移 “方向不变、沿直线移动” 的特点。 2、判断平移时只看位置，忽略形状、大小、方向都不变。 3、数平移格数时只数间隔，不数对应点之间的格数，多数或少数。 4、混淆 “平移了几格” 和 “两图之间空几格”，导致距离判断错误。 5、简单认为只要移动就是平移，忽略必须沿直线、不翻转这一关键。 1．（24-25七年级下·江苏·期中）下列现象属于平移的是（    ） A．投篮时的篮球运动 B．随风飘动的树叶在空中的运动 C．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 D．急刹车时汽车在地面上的滑动 【答案】D 【分析】本题考查生活中的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平移的定义逐项判断即可． 【详解】解：平移是指物体沿一个方向移动一定的距离，平移前后物体大小、形状不变．根据定义，A、B、C均不符合题意，急刹车时汽车在地面上的滑动是平移． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．根据平移的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，上列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是： 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为______ cm2． 【答案】25 【分析】观察图形可得一匹飞马的面积正好是边长是5cm的小正方形的面积． 【详解】解：由平移规律可得，一匹“飞马”部分的面积为(cm2)， 故答案为：25 【点睛】本题考查了图形的平移，认真观察图形的形成过程是解题的关键． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图是小明利用平移设计出的一张图案，根据图案我们可以得到 的度数为______________．       【答案】/180度 【分析】本题考查了平移设计图案，平行线的性质，根据平行线的性质计算即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 利用平移的性质求解 易｜错｜点｜拨 1、忽略平移只变位置、不变形状大小，乱改边长、角度。 2、找不对对应线段、对应角，导致相等关系用错。 3、求平移距离时，不找对应点，直接估测或数错格数。 4、用平移转化周长、面积时，线段拼接出错，漏算或多算边长。 5、混淆平移与旋转、轴对称，性质混用导致解题错误。 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，中，，把沿方向平移到的位置，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．62 B．64 C．66 D．68 【答案】B 【分析】本题考查图形的平移．根据平移的性质，将阴影部分的面积转化为梯形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵把沿方向平移到的位置， ∴，， ∴， ∴，即：， ∵，，，， ∴； 故选：B． 6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，经过平移得到了，下列说法错误的是（   ） A．平移的方向是射线的方向 B．平移的距离是线段的长度 C．，且 D． 【答案】D 【分析】本题可根据平移的性质，对每个选项逐一进行分析判断．平移的性质包括：平移前后对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等．本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质（对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等）是解题的关键．在判断关于平移的各说法是否正确时，要紧扣平移的性质进行分析． 【详解】解：选项A： 在平移中，平移方向是指图形上所有点移动的方向，对应点连线的方向就是平移的方向，在平移到的过程中，点与点是对应点，所以平移的方向是射线的方向，该选项正确． 选项B： 平移的距离是指图形上所有点移动的距离，对应点所连线段的长度就是平移的距离，点与点是对应点，所以平移的距离是线段的长度，该选项正确． 选项C： 因为经过平移得到，与、与分别是对应点，根据平移的性质，对应点所连的线段平行且相等，所以，且，该选项正确． 选项D： 与是对应线段，所以，而与是对应线段，与并不相等，该选项错误． 故选：D 7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为________． 【答案】13 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是进行面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】解：四边形沿方向平移得到四边形，， ∴，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可． （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【详解】（1）解：因为由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以； （2）解：由平移可知，， 所以， 即． 又因为， 所以， 所以． 题型三 利用平移解决实际问题 易｜错｜点｜拨 1、不会把不规则图形通过平移转化为规则图形，直接硬算导致复杂易错。 2、平移转化周长时，容易漏算或多算线段长度，忽略平移后线段相等。 3、找不准对应点和平移方向、距离，导致列式错误。 4、忽略平移不改变图形形状大小，随意改变边长、角度计算。 5、题目有多个平移步骤时，思路混乱，前后条件不对应。 9．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的正中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ）    A．90米 B．98米 C．80米 D．88米 【答案】D 【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 图是矩形风景欣赏区，长米，宽米， 则小明从出口A到出口所走的路线长为（米），故D正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 10．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的小路的左边线向右边平移1米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】根据平移的性质，得到路的宽度，再根据矩形的面积，即可得到答案． 【详解】解：小路的左边线向右边平移1米就是它的右边线， 路的宽度是1米， 矩形的面积是平方米， 即这块草地的绿地面积是平方米， 故选C． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，解题关键是先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 11．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，甲、乙两只机器狗同时从A处向终点O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果速度相等，请判断谁先回到洞中？ 答：_______回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）． 【答案】同时 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知，将甲所走路线中的横向线段向上平移，纵向线段向左平移，则平移后甲的路线即为最大网格正方形的上边和左边．又因为乙所走的路线为最大网格正方形的下边和右边，所以甲、乙所走路程相等．又因为它们爬行的速度相等，所以它们同时回到洞中． 故答案为：同时． 12．（24-25七年级下·江苏·期中）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计． (1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米； (2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和； （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半，据此即可求出答案． 【详解】（1）解：由平移的性质得，小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和， ∴， 故答案为：． （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半， ∴， 故答案为： 题型四 平移作图 易｜错｜点｜拨 1、找不准图形的关键点，漏点导致图形变形。 2、平移方向或距离出错，对应点没有按同一方向、相同距离移动。 3、只移点不连线，或连线混乱、线段不对应。 4、平移后图形形状、大小改变，违背平移性质。 5、数格子时粗心，多数、少数一格造成位置偏差。 13．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1．三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出平移后的三角形； (2)连接，那么与的数量和位置关系是___________；线段扫过的图形面积为__________________． 【答案】(1)见解析 (2)，；10 【分析】本题主要考查了平移作图、平移的性质等知识点，正确作出图形是解答本题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）利用平移变换的性质以及平行四边形的面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由平移的性质可得：与的数量和位置关系是、． ∵线段扫过的图形的面积即为四边形的面积， ∴四边形的面积． 14．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点位置如图所示． (1)将先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点，请画出平移后的； (2)若连接，则这两条线段之间的数量关系是 ，位置关系是 ； (3)如果点P是线段的中点，画出平移后点P的对应点Q的位置．（利用网格点和直尺画图）． 【答案】(1)见解析 (2)，． (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质、格点作图等；熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）先确定点D，E、F的位置，然后连线即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）根据网格特点确定即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由平移的性质可知，，． 故答案为：，． （3）解：如图，线段是所在矩形的对角线， ∴作出线段是所在矩形的另一对角线，两对角线的交点即为的中点， ∴点Q即为所求． 15．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)互补 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移（作图），平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据的位置，确定平移规则，据此画出，再连接，即可； （2）根据平移的性质即可作答； （3）根据网格特点，过点 作，交于点P，则点P即为所求作． 【详解】（1）解：如图，，，即为所求作； （2）解：由平移的性质可知：， ∴， 即：和互补， 故答案为：互补； （3）解：如图，根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 由平移的性质可知：， ∴． 16．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，位置如图所示．现将平移，使的中点平移到点，点、、的对应点分别是点、、．    (1)请画出平移后的； (2)连接、，这两条线段之间的关系是 ； (3)平移后，扫过的面积 ． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出各个点的对应点，再依次连接即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）利用分割法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，连接、，、平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）连接，扫过的面积为四边形的面积， 扫过的面积为：， 故答案为：．    题型五 轴对称图形 易｜错｜点｜拨 1、把中心对称图形当成轴对称图形，混淆两种对称。 2、找对称轴时漏画、多画，或认为只有一条对称轴。 3、对折后不能完全重合的图形，误判为轴对称图形。 4、汉字、字母、数字类图形，忽略细节笔画是否对称。 5、画图时对应点到对称轴距离不相等，导致图形不对称。 17．（25-26八年级上·江苏南京·期中）以下是有关南京的图标，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别； 如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形定义，对选项中的图形一一识别即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 18．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的对称轴以及对称轴之间的位置关系．涉及到正多边形对称轴的数量和性质等知识点．解题关键在于准确掌握不同正多边形对称轴的特点，通过分析对称轴的位置来判断是否存在互相垂直的情况．依次分析每个正多边形对称轴的情况，判断是否存在互相垂直的对称轴．对于正多边形，其对称轴是通过正多边形的中心和顶点或者边的中点的直线．根据正多边形的性质，确定其对称轴的数量和位置关系，进而判断是否有互相垂直的对称轴． 【详解】解：①正三角形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ②正四边形（正方形）有条对称轴，其中两条对角线互相垂直，故存在互相垂直的对称轴，符合题意； ③正五边形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ④正六边形有条对称轴，方向间隔（如、、、等），其中（通过顶点）与（通过边中点）的对称轴夹角为，垂直，符合题意． 综上所述：满足条件的图形是②正四边形和④正六边形，共2个． 故选：B． 19．（24-25七年级下·江苏常州·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 _____．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟记轴对称图形的定义是解题的关键． 依据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：①③④都可以沿一条竖直线翻折，使左右重合，所以都可以看出轴对称变换， 而②不是轴对称变换， 故答案为：②． 题型六 根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 21．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的定义，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）连接，作的垂直平分线即可； （2）以点P为圆心，任意长为半径作弧，交于E、F两点，再分别以E、F两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，即为所求． 22．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则______． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______． (3)如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______． 【答案】(1)40 (2)46 (3)见详解 (4)2.5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， 故答案为：40． （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． 故答案为：46． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C与点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l与点E，再以点E为圆心，为半径画弧交与点，连接交l与点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了实际问题中的角度计算，作已知线段垂直平分线，轴对称性质等知识，掌握这些性质以及作图的方法是解题的关键． 23．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图1，“金牛”奶牛养殖区A和“绿野牛”奶牛养殖区B位于笔直的“金光”高速公路x同侧． (1)要在高速公路x旁修建一牛奶检测、收购、加工站P，收购A，B运送来的鲜牛奶．P到A，B的距离之和最小，请确定点P的位置． (2)拟建的“致富”高速公路y与“金光”高速公路垂直，建立图2所示的平面直角坐标系，若再在旁和y旁各修建一牛奶检测、收购、加工站P，Q，使P，A，B，Q组成的四边形的周长最小．试确定点P，Q的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、线路最短的问题等知识；熟练掌握轴对称的性质，确定点P、Q的位置是解题的关键． （1）作点A关于直线x的对称点，连接交直线x于点P，点P就是要求的点． （2）过A作关于x轴的对称点，过B作关于y轴的对称点，连接，交x轴于点P，交y轴于点Q，即可得出答案． 【详解】（1）解：①作点A关于直线x的对称点 ②连接交直线x于点P，点P就是要求的点． （2）解：①分别作点B关于直线y的对称点，点A关于直线x的对称点； ②连接交直线x于点P，交直线y于点Q； ③连接、，则四边形就是所求的四边形． 24．如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 题型七 台球桌面上的轴对称问题 25．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 26．（2025八年级上·江苏·期中）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 27．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6=337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 28．（24-25八年级上·北京海淀·期中）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 题型八 轴对称中的光线反射问题 29．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______． 【答案】 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 30．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是______． 【答案】65° 【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．根据垂线的性质可得∠CDH+α=90°，根据平行线的性质可得∠AGC=∠CDH，根据入射角等于反射角可得，从而可得夹角的度数． 【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D． ∴∠CDH+α=90°， 根据题意可知：AG∥DF， ∴∠AGC=∠CDH， ， ∴∠CDH=25°， ∴α=65°． 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是掌握平行线的性质、明确法线CG平分∠AGB． 31．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 32．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】（1）相等，见解析；（2）见解析；（3）；（4）8 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）解：根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下： 则即为所求． （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 题型九 镜面对称 易｜错｜点｜拨 混淆镜面成像与轴对称，忽略左右相反、上下不变的特点。 看镜子里的数字、时钟时，直接按原数读取，不会左右翻转判断。 忽略物体与镜像到镜面距离相等，对应点连线垂直于镜面。 复杂图形镜像判断时，细节部分忘记翻转，导致判断错误。 33．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 34．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若看到镜子中的一串数字为“  ”，则这串数字为______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，根据镜面对称的特点，物像左右相反，即可得出结果． 【详解】 解：镜子中的一串数字为“  ”，则这串数字为； 故答案为： 35．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是________． 【答案】50281 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，属于左右对称；据此分析并作答. 【详解】根据镜面对称的性质，镜面对称在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是50281． 故答案为50281. 【点睛】本题主要考查了对称性质，熟悉掌握对称的性质是关键. 36．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【答案】不正确，M80908 【分析】此题主要考查了镜面对称，易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：晓华的猜测不正确．如图所示． 故该车的车牌号应是M80908． 题型十 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 37．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知两个小区和两条公路，（点，表示小区，，表示公路），现计划在内建造一所超市，希望这所超市到这两个小区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，你能确定一下超市的位置吗？请在所给的图中标出超市所在的位置，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线、作垂直平分线，掌握角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键．连接，作的垂直平分线，作的平分线，与两直线的交点即为超市所在的位置． 【详解】解：如图所示，点即为所求超市的位置． 38．（24-25七年级下·江苏南京·期中）尺规作图：（不要求写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在长方形中，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，请在图中画出折痕l； (2)如图2，四边形，E为边上一点，在四边形内找一点P，使，且直线为的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，角平分线的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线l即可． （2）先在的左侧作，再作的平分线，交射线于点P，则点P即为所求． 【详解】（1））解：如图1，连接，作线段的垂直平分线l，则直线l即为所求． （2）解：如图2，先在的左侧作，再作的平分线，交射线于点P，则点P即为所求． 39．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，．用两种不同的方法在边上找一点，使点到点的距离等于点到的距离．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作图的基本方法，解题的关键在于将题目要求转化为对应的作图方法． 根据线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等作中垂线，角平分线上的点到角两边的距离相等作角平分线，再根据等腰三角形的性质转化等长线段即可． 【详解】解：①如图1所示， 先以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点，再分别以、为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线，即作出的角平分线，与交于点； 连接，分别以点、点为圆心，取大于的长度在两侧作弧，相交于、两点，即作的中垂线； 交于点，点即为所求； 是的角平分线， ， 由于为的中垂线，交于点， ， ， ， ， ，故为点到的距离， 则点到点的距离等于点到的距离． ②如图2所示，先以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点，再分别以、为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线，即作出的角平分线，与交于点； 以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点，再以点为圆心，相同的长为半径作弧，与交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，与前弧交于点，作射线，则，交于点，点即为所求； 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故为点到的距离， 则点到点的距离等于点到的距离． 40．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）尺规作图： (1)如图1，，在内部找一点，使． (2)如图2，线段长度为6，在线段上找一点，使． （不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线和线段的垂直平分线，掌握作图方法是解题的关键． （1）利用尺规作图作出的角平分线即可； （2）利用尺规作图作出线段的垂直平分线与交点即为所作． 【详解】（1）解：如图1，点即为所作： （2）解：如图2，点即为所作： 题型十一 对称轴问题 41．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）下列图形中对称轴最多的是（    ） A．圆 B．矩形 C．等腰梯形 D．八边形 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解决问题的关键在于掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴． 【详解】解：圆的有无数条对称轴； 矩形有2条对称轴； 等腰梯形有1条对称轴； 八边形无法确定是否为轴对称图形，无法确定有几条对称轴； 故选：A． 42．正方形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正方形的对称性解答． 【详解】解：正方形有4条对称轴． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键． 43．如图是采用我国非遗纺织印染工艺——蜡染制作的精美图案，该图案有_____________条对称轴． 【答案】4 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴，掌握轴对称图形的定义，找出对称轴是解题的关键． 轴对称图形：是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，由此即可求解． 【详解】解：根据题意作图得， ∴图案有4条对称轴， 故答案为：4 ． 44．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如果正三角形有条对称轴，那么_____． 【答案】3 【分析】根据轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：正三角形有3条对称轴，即． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了轴对称的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 题型十二 折叠问题 45．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图， 把长方形沿对折， A的对应点是H， B 的对应点是G， 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键、由折叠的性质得出，，推出 ，再由平行线的性质得出，，求出，即可得出结果， 【详解】解：由折叠的性质得∶，， ∵， ∴ ∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∴．， ∴， 故选∶C． 46．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图①，已知四边形纸片．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和图形折叠的性质，关键是熟练掌握轴对称的性质和图形折叠的性质． 根据折叠的性质可得，，可得，得到，根据角平分线的定义即可求出答案． 【详解】解：如图， 根据折叠的性质可得，， ， ， ，平分， ， ， 故选：A． 47．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，先证明，由平行线的性质得到，，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出从而得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ， ，， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ． 故答案为：． 48．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十三 生活中的旋转现象 49．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【答案】A 【分析】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，不改变图形的形状与大小．根据旋转变换的定义即可作出判断． 【详解】解∶A．钟表上的时针运动，属于旋转变换； B．升国旗的上升过程，不属于旋转变换； C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转变换； D．电梯的升降，不属于旋转变换， 故选∶A． 50．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 51．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）下列物体的运动中，属于平移的是（    ） A．电梯上下移动 B．翻开数学课本 C．电扇扇叶转动 D．落叶随风飘零 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解. 【详解】解：A. 电梯上下移动是平移，故本选项符合题意； B. 翻开数学课本为旋转，故本选项不符合题意； C. 电扇扇叶转动为旋转，故本选项不符合题意； D. 落叶随风飘零为无规则运动，故本选项不符合题意； 故选A. 题型十四 找旋转中心、旋转角、对应点 52．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以______（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着______（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转______度． 【答案】 脚跟 逆时针 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；逆时针；． 53．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，在中，是中点．求作，使它与关于点对称； (2)如图②，线段是由线段旋转所得，且点对应点，求作该变换的旋转中心； (3)图③是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺作一条直线，使它平分该图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—旋转变换，应用与设计作图，关于原点对称的点的坐标，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）连接，延长到，连接，，即为所求； （2）连接，，作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求； （3）过右边4个小正方形的中心和左边小正方形的中心作直线即可． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求； （2）解：如图②中，点即为所求； （3）解：如图③中，直线即为所求． 54．（24-25七年级下·江苏南京·期中）（1）尺规作图： 如图1，已知线段和直线，作线段关于直线对称的线段； 如图2，已知线段绕点旋转得线段（其中与对应），作出点． （2）结合（1）中的图形，根据轴对称和旋转的性质用符号语言各写出两条不同类型的正确结论． 轴对称：①__________；②__________． 旋  转：①__________；②__________． 【答案】（1）见解析（2）①，②；①，② 【分析】本题考查了画轴对称图形以及轴对称变换的性质，画旋转图形，及旋转变换的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）如图1 ，以点为圆心画弧与直线相交，再以两个交点为圆心，交点与点A的距离为半径画弧，在直线右侧两弧交于一点，即为点，同理可作点；如图2，连接，分别作出它们的垂直平分线，交点即为旋转中心； （2）根据轴对称变换和旋转变换的性质即可求解 【详解】解：（1）如图，线段即为所作： 如图，点即为所作： 解：（2）由轴对称变换可得：①，②； 由旋转变换可得：①，②． 55．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为外一点． (1)将先向右平移4个单位长度得到，作出平移后的图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的图形； (3)可以看作是经过什么变换得到的？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，画旋转图形，旋转的性质； （1）根据平移的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据旋转的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （3）连结交于一点，根据图形可得可以看作是绕点顺时针旋转得到，即可求解． 【详解】（1）解：平移后的图形如图所示． （2）旋转后的图形如图所示． （3）如图，连结交于一点， 可以看作是绕点顺时针旋转得到． 56．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）旋转，；（2）①，②． 【分析】本题考查了中心对称、轴对称性质． （1）由图形的变换可知，可以看作是由通过一次旋转可得，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：，由此即得出； （2）由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②连接、、，由对称的性质可得，，由此可得． 【详解】解：（1）由题意可以，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：， ∵， ∴， ∴可以看作是由通过绕旋转的度数得到． 故答案为：旋转，． （2）①由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②结论：． 连接、、， 由对称性质可知：，， ∵两条对称轴之间的夹角， 旋转角， ∴． 题型十五 根据旋转的性质求解 易｜错｜点｜拨 1、混淆旋转与平移、轴对称，乱用对应边、对应角的相等关系。 2、忽略对应点到旋转中心的距离相等，找错对应点导致计算错误。 3、不清楚旋转角都相等，把旋转角找成其他角度。 4、只记得形状大小不变，忘记旋转会改变图形方向。 5、复杂图形中分不清旋转中心、旋转方向与角度，推理出错。 57．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）有两个形状、大小完全相同的直角三角板和，其中．将它们如图放置．点，，在直线上． (1)三角板位置不动，将三角板绕点顺时针旋转一周， ①请用无刻度的直尺和圆规在图中作图：画出三角板绕点顺时针旋转后的图形（要求：保留作图痕迹，不写画法） ②在①的条件下，_______，； ③在旋转过程中，与有怎样的数量关系？请说理． (2)在图1基础上，三角板和同时绕点顺时针旋转，若三角板的边从处开始绕点旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点旋转，转连为秒，当旋转一周再落到上时，两个三角板都停止转动设旋转时间为秒， ①当______秒时，三角板和重合； ②当______秒时，． 【答案】(1)①见解析；②，；③，理由见解析； (2)①；②或 【分析】本题考查的是旋转综合题，角的和差运算，几何图形中角度的计算问题，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）①作的角平分线，在角平分线上截取，过点作，使得，连接，即可求解； ②根据旋转的性质可得，由，求解，再利用角的和差可得答案 ③由，可得：，从而可得答案； （2）①当重合时，三角板和重合；由解方程，即可求解； ②分两种情况讨论，当时，由题意得： 再列方程，解方程可得答案，当时，由题意得： 再列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：①如图， ②∵三角板绕点顺时针旋转 ∴ ∴ ∴， 故答案为：，． ③数量关系为：，理由如下：， ， ， ， ． （2）①当重合时，由 ， 故答案为：． ②当时，由题意得： ， 如图，当时，由题意得： 所以当或时，． 故答案为：或． 58．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知直角三角板中，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点．．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3)①或；② 【分析】（）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据题意画出图形即可； （）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出的值即可求解； 本题考查了旋转，角的和差，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∴， ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，， ∵， ∴， 解得； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，， ， ∴， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， 解得， ∴常数的值为． 59．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． ． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】本题考查平行线的性质，三角尺中的角度计算，角的和差定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）根据（1）可得，，，进而分类讨论，分别表示出旋转秒后和的角度，根据平行线的性质，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）如图①中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点F作直线FK∥CD， 由（1）可得，，， 根据条件可得，， ①当时， 或， 解得； ②当时, 或， 解得或60； ③当时， 或， 解得或42； 综上，或或或或 60．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转 °，使得与重合； (2)如图2，如果把图1所示的 以O为中心顺时针旋转得到，当 为多少度时，射线平分； (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，如果把 以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时， 两条斜边？ 【答案】(1) (2) (3)旋转的角度为或 【分析】本题考查三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可； （2）利用旋转的性质，角平分线的性质及角度之间的关系计算即可； （3）在旋转的过程中找出时，的位置，分情况讨论，再利用角度之间的关系计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角板的性质可知： ∵，， ∴， ∴至少旋转，与重合． 故答案为：75 （2）解：∵以O为中心顺时针旋转得到， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， （3）解：当与相交于点E时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当与相交于点F时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转的角度， 综上所述：旋转的角度为或． 题型十六 利用旋转设计图案 61．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 62．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，线段可以看成是线段先绕点C___________旋转，再向___________平移___________小格得到的． 【答案】 逆时针 左 1 【分析】本题考查了线段的旋转，平移，根据题意和旋转的相关知识即可得；掌握旋转角度，旋转方向，平移是解题的关键． 【详解】解：由图可知，线段可以看成是线段先绕点C逆时针旋转，再向左平移1小格得到的， 故答案为：逆时针；左；1． 63．（24-25七年级上·江苏南京·期末）（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）；（3）作图见解析 【分析】（1）①利用方格纸，取格点，连接即可，②利用方格纸，取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）根据点到直线的距离和线段的定义即可求解； （3）在射线的上方作即可． 【详解】解：（1）①如图，取格点，连接， ∵所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上， ∴点向上平移3格，再向右平移2格与点重合，同时点向上平移3格，再向右平移2格与点重合， 即线段向上平移3格，再向右平移2格与线段重合， ∴， 则即为所作； ②如图，取格点，连接，与交于点， 在和中， ，，， ，， 即绕点顺时针旋转与重合， ∴绕点顺时针旋转与重合， ∴， 由①知：， ∴，即， 则即为所作． （2）∵， ∴， ∴线段的长度表示点到的距离． 故答案为：． （3）如图，在射线的上方作， 又∵， ∴ ， ∴， 则射线即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，尺规作图，平移和旋转，点到直线的距离，角的计算，垂直的判定．解题的关键是掌握基本的作图方法和相关定义及性质． 64．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在的网格纸中给定了图形Ⅰ和格点O的位置（图形I的顶点均在格点上）． (1)画出图形I先向下平移4格，再向右平移2格后的图形Ⅱ； (2)画出图形Ⅰ绕点O旋转后的图形Ⅲ； (3)在（1），（2）所作的图形中，图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)旋转或轴对称 【分析】本题主要考查了平移，旋转作图，轴对称的定义，熟练掌握轴对称，旋转和平移的性质，是解题的关键． （1）根据平移的性质先作出三角形三个顶点的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质先作出三角形三个顶点的对应点，然后顺次连接即可； （3）根据旋转和轴对称的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，图形Ⅱ即为所求作的图形； （2）解：如图，图形Ⅲ即为所求作的三角形； （3）解：如图，图形Ⅲ可以由图形Ⅱ沿直线l折叠得到，即图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次轴对称得到； 图形Ⅲ可以由图形Ⅱ绕点M旋转得到，即图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次旋转得到． 故答案为：轴对称或旋转． 题型十七 画已知图形关于某点对称的图形 65．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）在如图所示的正方形网格图中，的顶点均在格点上，线段与线段关于点O成中心对称． (1)按要求画图． ①画出，使和关于点O成中心对称； ②画出关于直线a对称的． (2)与是否关于某条直线成轴对称？若是，请在图中画出这条直线． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)是，见解析 【分析】本题主要考查了利用网格画中心对称和轴对称图形，根据成轴对称图形画出对称轴，解题的关键是掌握以上性质． （1）①根据中心对称的性质画图即可； ②根据轴对称的性质画图即可； （2）根据成轴对称图形的性质画出对称轴即可． 【详解】（1）解：①即为所求； ②即为所求； （2）解：是，直线b即为所求． 66．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边．    (1)画出线段的垂直平分线； (2)画出关于直线成轴对称的； (3)画出关于点成中心对称的． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】本题考查作图——旋转变换、作图——轴对称变换、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，中心对称的性质，轴对称的性质是解题的关键． （）结合线段垂直平分线的性质画图即可； （）根据轴对称的性质作图即可； （）根据中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；    （2）解：如图，即为所求；    （3）解：如图，即为所求．    67．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）【综合实践】：如图，在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，若每个小正方形边长为1，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此时四边形的面积是　　． (4)【知识拓展】在图4中线段关于点O中心对称的线段（A对应C，B对应D）；点P是平面内任一点，请仅用无刻度的直尺作出点P关于点O中心对称的点Q（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)图见详解， (4)见详解 【分析】本题考查了画已知图形关于某点对称的图形，旋转作图，轴对称图形与中心对称图形等，掌握中心对称作图、旋转作图的作法，理解轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键． （1）按画已知图形关于某点对称的图形的作法作图，即可求解； （2）要求进行旋转作图，即可求解； （3）四边形是正方形时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，用割补法求面积，即可求解； （4）连接、交于点，作射线，截取，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段为所求作； （2）解：如图，线段为所求作； （3）解：如图，四边形为所求作； 四边形的面积为， 故答案为：； （4）解：如图，点为所求作． 68．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）作图：①如图，已知点P为边上一点，请用直尺和圆规作一条直线l，使得点A关于l的对称点为P． ②在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)画出向上平移2个单位后的． (2)画出关于点O的中心对称图形． (3)画出与的对称中心D（黑点标记）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，平移作图、画中心对称图形，掌握平移的性质，中心对称的性质是解题的关键． ①连接，作出的垂直平分线，即可求解； ②（1）根据平移的性质确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可； （2）根据中心对称图形的定义确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可； （3）连接、，交于点即可． 【详解】（1）解：①如图， 直线为所求作； ②如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：如图，点即为所作． 题型十八 中心对称图形 69．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意． 70．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：确定中心对称图形的关键是寻找对称中心；根据中心对称图形的定义，在平面内，如果把一个图形绕某点旋转能够与自身完全重合，再确定移动其中一个正方形即可． 【详解】解：如图， ∴新图案变成中心对称图形的移法有种； 故答案为： 71．（2025·江苏无锡·模拟预测）线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 【答案】线段，正方形，圆，正六边形，正八边形 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断每个图形是否符合条件，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：线段是轴对称图形（有对称轴）和中心对称图形（绕中点旋转180度重合）； 正方形是轴对称图形（有4条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 圆是轴对称图形（有无数条对称轴）和中心对称图形（绕圆心旋转180度重合）； 正六边形是轴对称图形（有6条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 正八边形是轴对称图形（有8条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）． 等腰三角形、等腰梯形、、等边三角形、正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故它们不符合题意． 故既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段，正方形，圆，正六边形，正八边形， 故答案为：线段，正方形，圆，正六边形，正八边形． 72．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）． (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性． 【答案】(1)②④⑥ (2)见解析 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． （1）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此求解即可； （2）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此设计图案即可． 【详解】（1）解：由中心对称图形的定义可知，②④⑥都是中心对称图形； （2）解：如图所示，即为所求； 题型十九 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 易｜错｜点｜拨 1、混淆中心对称与轴对称，错把 “对称中心” 当 “对称轴”。 2、忘记对称点的连线必过对称中心且被它平分，做题时不会用这个等量关系。 3、对应线段只记得相等，忽略通常还互相平行，导致几何推理漏条件。 4、把 “中心对称” 和 “中心对称图形” 概念混用，答题表述不规范。 5、解题时找错对应点、对应角，导致角度、边长计算出错。 73．（2026七年级下·江苏·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】（1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴． （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20． 74．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 75．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 76．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）一个L形图如图1所示，现需解决如何画一条直线将其分为面积相等的两部分的问题．    (1)分析问题： 本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，______图形绕其对称中心旋转______后能与原图形重合，因此过其______的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． (2)操作发现 如图2，该图形可以看成由左、右两个正方形构成，分别确定两个正方形的对称中心，然后连线即可得到符合要求的分割线．类似的，该图形还可以看成由上、下两个长方形构成，分别确定两个长方形的对称中心，然后连线也可得到符合要求的分割线．请按此要求画出分割线，在图3上完成（保留作图痕迹，不写画法）． (3)深度探究： 由于本题的分割线不唯一，如果采取把图形右上角弥补一个小正方形，让L形先变为长方形后，再分别找正方形和长方形的……，请再按此要求画出分割线，在图4上完成（保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)中心对称，，对称中心 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义填写即可； （2）（3）根据题干的提示，利用中心对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，中心对称图形绕其对称中心旋转后能与原图形重合，因此过其对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． （2）如图，即为所求；    （3）如图，即为所求．    【点睛】本题考查了中心对称的应用，解题的关键是根据中心对称的性质得到过对称中心的直线将图形面积分为两个相等的部分． 题型二十 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 77．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． (1)请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2)请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用轴对称图形和中心对称图形的定义设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，并熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键 （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可； （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是轴对称图形 （2）如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是中心对称图形． 78．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，学生做这些题时找对称轴及对称点是关键． （1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图； （2）先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图． 【详解】（1）如图所示（答案不唯一） （2）如图2所示 79．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，方格纸中四边形的四个顶点均在格点上，将四边形向右平移4格得到四边形．将四边形绕点A旋转，得到四边形． (1)在方格纸中画出四边形和四边形； (2)四边形经过一次________可以与四边形重合（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (3)写出四边形与四边形经过（2）中变换的两条性质． 【答案】(1)见解析 (2)旋转 (3)四边形与四边形形状大小都相同 【分析】本题考查轴对称和中心对称作图，掌握轴对称和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质和中心对称的性质作图即可； （2）根据两图形的位置进行判断解题即可； （3）根据两图形得到性质即可解题． 【详解】（1）解：如图所示，四边形和四边形即为所作； （2）解：四边形可以看作是四边形绕着中点旋转得到的， 故答案为：旋转； （3）四边形和四边形的形状相同，大小相同． 80．图①，图②，图③均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：    (1)在图①中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)在图③中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了轴对称、中心对称的作图，熟练掌握中心对称和轴对称的性质是求解的关键； （1）根据题意将其中三个正三角形看成一部分，根据题意作图即可； （2）根据题意可以先找对称轴再作图； （3）根据题意作出的图形是特殊四边形； 【详解】（1）解：如下图为所作图形：    （2）解：如下图为所作图形：    （3）解：如下图为所作图形：    期中基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（期中八年级下·江苏苏州·期中）如图图案中，不是中心对称图形的是（   ） A．∽ B． C．> D．= 【答案】C 【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C符合题意． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（　） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，对应点所连线段的长即为平移的距离，进行求解即可． 【详解】解：∵以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将绕点O按顺时针方向旋转至，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵将绕点O按顺时针方向旋转至， ∴，又， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，利用轴对称的性质解答． 【详解】解：∵为镜像显示的时间， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是， 故选：A 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，与的交点为，、分别在、的位置上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，由题意得，推出；由折叠可知：，据此即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可知：， ∴， 故选：C 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【答案】540 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为，宽为的长方形面积即可． 【详解】解：由平移可得到图，其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）\如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得：四边形为矩形， 推出，，即可求解； 【详解】解：∵四边形为正方形且边长为， ∴， 如图所示： 由平移的性质得：四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，有一个英语单词（只画出了部分），四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的中文是_______． 【答案】书 【分析】本题考查轴对称图形.根据轴对称图形的性质，组成图形，即可作答． 【详解】解：如图： 这个单词是， ∴这个英语单词的中文是：书． 故答案为：书． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点 恰好落在上， 且的度数为， 则 的度数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可进行求解． 【详解】解：由是由绕点O顺时针旋转后得到的图形可知：， ∵， ∴； 故答案为． 10．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，把绕点A按逆时针方向旋转得到已知，求，的大小． 【答案】， 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵把绕点A按逆时针方向旋转得到，， ∴， ∴． 11．（24-25七年级下·江苏·期中）（1）如图，在中，，．请用尺规作图法，在线段上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （2）将向上平移7个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到，请画出； （3）以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，图形的平移与旋转． （1）作线段的垂直平分线交于点D，则点D满足条件； （2）分别作出三个顶点平移后的对应点，依次连接即可； （3）分别作出两个顶点绕点A时针旋转后的对应点，依次连接即可． 【详解】（1）点D即为所求 （2）平移后的图形如下： （3）旋转后的图形如下： 12．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，为格点三角形．请用直尺在网格中画图： (1)画出，使和关于直线成轴对称； (2)画出，使和关于点O成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据中心对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 13．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，学生做这些题时找对称轴及对称点是关键． （1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图； （2）先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图． 【详解】（1）如图所示（答案不唯一） （2）如图2所示 14．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）尺规作图：已知直角三角形，，请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的垂直平分线； (2)作的角平分线． 【答案】(1)见详解； (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图方法，角平分线的作图方法，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法、角平分线的作图方法是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）如图，射线即为所求． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，的周长为9，求的长． 【答案】(1)20度 (2)3 【分析】本题考查平行线的性质，图形旋转的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的关系，以及根据旋转性质和已知条件计算线段长度． （1）先根据平行线的性质得出角的关系，再结合旋转性质求． （2）先根据已知条件求出长度，再利用旋转性质得到线段等量关系，最后根据三角形周长计算的长． 【详解】（1）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ； （2）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ，即， ． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，由折叠的性质得到，由平行线的性质得到，据此可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可得， ∵长方形对边平行， ∴， ∴， 故选：． 17．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，将长方形纸片沿折叠，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由折叠及长方形的性质可得，再根据平行线的性质求出，根据周角的定义得出，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】∵将一矩形纸片沿折叠， ∴， ， ， ， ， ∴ 故选：A． 18．（2025七年级下·江苏·期中）如图，三角形的周长为，将三角形沿方向平移至三角形（点的对应点分别为点）的位置，则图中阴影部分的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，则，即可得到图中阴影部分的周长．利用平移的性质求解即可 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形， ，， ， 图中阴影部分的周长为： （）． 故选：B． 19．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是，，，连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，分三种情况，分别画出图形，结合平移的性质、平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，当时， ， 由平移的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ， 由平移的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ， 由平移的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数不可能为， 故选：C． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点M、N分别在射线上，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为．当点P在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故选：A． 21．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，在上，将沿翻折得到，设，，则与的数量关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠性质，平角、周角定义，由折叠性质可知，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 22．如图，内有一点，分别作出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点，连接，当时，的周长为__________． 【答案】12 【分析】本题主要考查轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意易得，，然后根据三角形的周长及线段的数量关系可求解． 【详解】解：由轴对称的性质可得：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵，， ∴； 故答案为：12． 23．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，将三角形纸片的折叠，使得点B的对应点落在直线上，折痕为，再将折叠，使得折叠后点C的对应点落在直线上，折痕为，此时可得，若，则的度数为 _______． 【答案】70 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键； 由折叠的性质可得：，求出，从而得出，即可推出，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：70． 24．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口到出口所走的路线（图中虚线）长为________米． 【答案】96 【分析】本题考查了利用平移解决实际问题，利用长方形的边长表示出图中虚线长是解题的关键．根据图形可得图中虚线长可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，据此求解即可． 【详解】解：由图可得，图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于， 从出口到出口所走的路线长为（米）． 故答案为：96． 25．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，垂线段最短，作交的延长线于点H，则，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，则． ∵点B关于直线作轴对称变换得到点 E， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的作法，解题的关键是熟练掌握以上基本尺规作图的步骤． 连接，作的垂直平分线和的平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 27．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． ①格点（顶点均在格点上）的面积为_________； ②画出格点向右平移3个单位长度后得到的； ③在直线上找出点P，使平分． （2）如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 【答案】（1）①；②见解析；③见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是理解成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分这一性质． （1）①用正方形面积减去三个小三角形的面积即可得的面积； ②利用平移的性质，找出平移后的对应点，顺次连接即可； ③利用网格，找出点关于的对称点，连接并延长交于点，根据轴对称的性质即可得答案； （2）①依据对应点连线被对称轴垂直平分，作的垂直平分线来确定对称轴即可； ②连接，交于点，延长、交于点，作直线即可得答案． 【详解】解：（1）①． 故答案为： ②如图所示： ③如图，取点关于的对称点，连接并延长交于点，点即为所求： （2）①如图，作的垂直平分线，直线即为所求， ②如图，连接，交于点，延长、交于点，作直线即为所求对称轴， 28．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）【观察发现】（1）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使落在上，为折痕，则的度数为________； 【思维拓展】（2）若规定：当两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”． 即：若，则和是一组“巧角”（，）． ①在条件（1）中，当点、、三点共线时，和是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，和还是一组“巧角”，且，，求的度数． 【答案】（1）  （2）①或  ②或 【分析】本题考查的是折叠的性质及角的和差计算、一元一次方程的应用， （1）由折叠得，，根据平角的定义解答即可； （2）①得出，根据“巧角”定义得出，解方程即可解答； ②设，得出，分两种情况：当，无重叠时，或当，有重叠时分别列方程解决． 【详解】解：（1）由折叠可得：，， ∴， 故答案为：； （2）①∵， ∴，即， 又∵和是一组“巧角”， ∴， 解得或； ②∵沿着，分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处， ， 与 是一组“巧角”， ∴设， ， 如图， ， ， 解得， ， ； 如图， ∴， ， ， 综上所述，的度数为或 29．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．请按要求完成： (1)如图，先将竖直向上平移个单位，再水平向右平移个单位得到，将绕点O顺时针旋转，得到，请在网格中画出，； (2)与关于直线_____成轴对称； (3)如图，所在的正方形网格中，能画出与成轴对称的格点三角形共有______个（不包括本身）． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质、旋转的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质可得答案； （3）根据轴对称的性质可得答案； 【详解】（1）解：如图，和即为所求； （2）由图可知，与关于直线成轴对称． 故答案为：； （3）如图，，，均满足题意， ∴能画出与成轴对称的格点三角形共有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣轴对称变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． 30．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数__________． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数__________． ②若，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补角和为以及平角为 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数建立方程等方法来求解角度． （1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． （2）①根据平行线的性质得出，，根据折叠得出，最后求出结果即可； ②设，则，根据平行线的性质得出．根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，，列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴折叠可知， ∵， ∴， ∴． （2）解：①∵， ∴，， 根据折叠可知， ∴． ②设，则， ∵， ∴． ∴折叠可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． ∴． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 31．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）（1）如图1，在网格中有一个以格点（网格线的交点）为顶点的，网格中的每个小正方形的边长都是1．①利用网格作关于直线l对称的；② 的面积为 ； （2）如图2，折叠矩形（长方形）纸片，使点与点重合，折痕为．请用直尺和圆规作出折痕，点在上，点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①见解析，②；（3）见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，轴对称作图，熟悉掌握作图原理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，利用割补法运算面积即可； （2）根据垂直平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； 的面积为：． 故答案为：； （2）如图所示即为所求： 32．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度； (2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，求此时三角板绕点的运动时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的值为或或或或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论． （1）根据的度数就是旋转的角度求解即可； （2）由图3可知，，，则可求解； （3）分情况讨论：①当时；②当时；③当时；④当时；分别求出旋转的度数，再除以旋转速度便可得时间． 【详解】（1）解：， 落在射线上时，旋转的角度是， 三角板旋转的角度为， 故答案为：； （2），理由如下： 由图3可知，，， ， 即； （3）①当时，或， 或； ②当时，， ； ③当时，， ， ； ④当时，， ； 综上所述，的值为或或或或． 33．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质； （1）由平行线的性质结合轴对称的性质可得答案； （2）由平行线的性质证明，结合折叠的性质可得，从而可得结论； 【详解】（1）解： ． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴， ∴． 34．（24-25七年级上·山西阳泉·期末）综合与实践课上，李老师带领同学们动手折叠一张正方形纸片．点E在边上，点分别在边上，分别沿把向内折叠并压平，点分别落在点和点处，且点和点都在正方形内部． 【问题初探】 （1）小明同学的折叠如图1，若，求的度数． 【特例探究】 （2）小颖同学的操作如图2，点在线段上；小丽同学的操作如图3，点在上，点在上．分别求出图2和图3中的度数． 【归纳推广】 （3）若小聪折叠后，直接写出的度数（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）的度数为或 【分析】本题考查了几何综合，折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）图2根据折叠的性质得，从而可得，即可求解；图3根据折叠的性质可得，再由，即可求解； （3）分两种情况：先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ， ； （2）图2中，由折叠的性质得：， ， ， ， 即， ； 图3中，由折叠的性质得：， ， ， ， 即； （3）分两种情况进行讨论： ①当与不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：， ， ， 即，， ， ②当与重叠时，如图4所示： 由折叠的性质得：， ， 又， ， 即， ， 综上所述：的度数为或． 35．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，．用两种不同的方法在边上找一点，使点到点的距离等于点到的距离．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作图的基本方法，解题的关键在于将题目要求转化为对应的作图方法． 根据线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等作中垂线，角平分线上的点到角两边的距离相等作角平分线，再根据等腰三角形的性质转化等长线段即可． 【详解】解：①如图1所示， 先以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点，再分别以、为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线，即作出的角平分线，与交于点； 连接，分别以点、点为圆心，取大于的长度在两侧作弧，相交于、两点，即作的中垂线； 交于点，点即为所求； 是的角平分线， ， 由于为的中垂线，交于点， ， ， ， ， ，故为点到的距离， 则点到点的距离等于点到的距离． ②如图2所示，先以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点，再分别以、为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线，即作出的角平分线，与交于点； 以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点，再以点为圆心，相同的长为半径作弧，与交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，与前弧交于点，作射线，则，交于点，点即为所求； 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故为点到的距离， 则点到点的距离等于点到的距离． 36．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图1，将两块直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放，示意图2中点、、三点共线． (1)若将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当与重合时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当时，请求出的值． (2)若将三角板绕点顺时针旋转，且，三角板保持不动． ①在三角板旋转的过程中，当三角板的边垂直于三角板的斜边，请求出的度数． ②如图3，射线和射线分别是与的角平分线，在三角板旋转的过程中，当三角板的斜边与三角板的边平行时，直接写出与两角平分线的夹角的度数． 【答案】(1)或 (2)①、或;②的度数为或 【分析】本题考查了三角形的旋转，线段平行的性质和判定，一元一次方程和角平分线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）需要分情况讨论，画出对应的示意图，列出一元一次方程即可求解； （2）①需要分三种情况讨论，根据垂直的判定和性质，然后即可求解； ②需要分三种情况讨论，根据平行的判定和性质，然后即可求解； 【详解】（1）解：由题可得：，解得：， 即当秒与重合时停止旋转， 当时，需要分两种情况： 第一种情况，如图：， 即， 解得：； 第二种情况，如图：，，解得：； 综上所述：当或时，； （2） 解：①作，如图：， ∴， 由题可得：， ∴， ∴， 第一种情况，当时，即令， ∴， ∵， ∴， ∵目前为，使得，需要令绕点顺时针旋转， 即三角板绕点顺时针旋转时，； 第二种情况，当时，即和重合， ∵， ∴三角板绕点顺时针旋转时，； 第三种情况，当时，即和重合， ∵，， ∴， ∴三角板绕点顺时针旋转时，； 综上所述，当三角板的边垂直于三角板的斜边时，、或； ②第一种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合，和重合， ∴， ∴； 第三种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合， ∴， ∴； 综上所述，当三角板的斜边与三角板的边平行时，的度数为或； 37．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）有两个形状、大小完全相同的直角三角板和，其中．将它们如图放置．点，，在直线上． (1)三角板位置不动，将三角板绕点顺时针旋转一周， ①请用无刻度的直尺和圆规在图中作图：画出三角板绕点顺时针旋转后的图形（要求：保留作图痕迹，不写画法） ②在①的条件下，_______，； ③在旋转过程中，与有怎样的数量关系？请说理． (2)在图1基础上，三角板和同时绕点顺时针旋转，若三角板的边从处开始绕点旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点旋转，转连为秒，当旋转一周再落到上时，两个三角板都停止转动设旋转时间为秒， ①当______秒时，三角板和重合； ②当______秒时，． 【答案】(1)①见解析；②，；③，理由见解析； (2)①；②或 【分析】本题考查的是旋转综合题，角的和差运算，几何图形中角度的计算问题，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）①作的角平分线，在角平分线上截取，过点作，使得，连接，即可求解； ②根据旋转的性质可得，由，求解，再利用角的和差可得答案 ③由，可得：，从而可得答案； （2）①当重合时，三角板和重合；由解方程，即可求解； ②分两种情况讨论，当时，由题意得： 再列方程，解方程可得答案，当时，由题意得： 再列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：①如图， ②∵三角板绕点顺时针旋转 ∴ ∴ ∴， 故答案为：，． ③数量关系为：，理由如下：， ， ， ， ． （2）①当重合时，由 ， 故答案为：． ②当时，由题意得： ， 如图，当时，由题意得： 所以当或时，． 故答案为：或． 38．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，点在上． (1)如图，点在上，且，在内部作一点，使四边形是轴对称图形； (2)如图，点在的内部，作出两种不同的四边形，使四边形为轴对称图形，且点在上、点在内部、点在四边形的一边上． 要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形、用尺规作图作一个角的平分线、用尺规作图作线段的垂直平分线． 用尺规作图作的平分线，在角平分线上任意选取一点作四边形，则四边形是轴对称图形； 作的平分线，连接交角平分线于点，连接，四边形即为所求； 以点为圆心，长为半径画弧，连接并延长与弧交于点，连接，作的垂直平分线，交于点，连接，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 分别以点、为圆心，相同的长度为半径画弧， 两弧交于点，作射线， 在射线上选取一点， 作四边形， 四边形是轴对称图形； （2）解：如下图所示， 以点为圆心，以的长度为半径画弧，分别交、于点、， 分别以点、为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧交于一点， 过点和两弧的交点作射线， 连接并延长交射线于点， 连接， 四边形即为所求； 如下图所示， 以点为圆心，长为半径画弧， 连接并延长与弧交于点， 连接， 作的垂直平分线，交于点， 连接， 四边形即为所求． 39．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】探究1：见解析；探究2：或；探究3：当时，；当时， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的尺规作图，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 探究1：作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求 探究2：分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的度数，再根据建立方程求解即可； 探究3：分如图3-1，3-2，3-3，3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】解：探究1：如图所示，作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求； 由平行线的性质可得，由题意得； 探究2：当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或； 探究3：如图3-1所示，当射线恰好经过点B时， 由题意得， ∴，， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时， 由题意得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图3-3所示，当射线和重合时，则， 解得； 如图3-4所示，当时， 同理可得， ∴， ∵， ∴，， ∴； 综上所述，当时，；当时，． 40．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $