精品解析：黑龙江大庆市第六十九中学2025-2026学年八年级（五四制）下学期数学学情自测（矩形的性质）

25-26下大庆69中初三数学周测矩形的性质（五四制） 【题型 1 矩形性质理解】 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 2. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ） A. 对角线互相平分且相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 【题型2 利用矩形的性质求角度】 5. 如图，矩形中，对角线相交于点 O，，则________度． 6. 如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 7. 如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为________． 【题型3 利用矩形的性质求线段长】 8. 如图，在矩形中，，它的周长为20，E是的中点，连接，则的长为___． 9. 如图，E是矩形的对角线的中点，F是边的中点，若，，则线段的长为________． 10. 如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 _________________ ． 11. 如图，矩形的对角线相交于点O，且，点E为上一点，．连接，则的长为____________________ ． 【题型4 利用矩形的性质求面积】 12. 如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为_____． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为________． 14. 如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是______． 【题型5求矩形在坐标系中的坐标】 15. 如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为___________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，点D为，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为___． 【题型6 斜边的中线等于斜边的一半】 18. 如图，在中，，，，根据作图痕迹，则______． 19. 如图，在中，为的中点，连接，则______度． 20. 如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 21. 矩形在平面直角坐标系中如图放置，已知，，则线段的最大值为_______． 【题型7 矩形与折叠问题】 22. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为___． 23. 如图，在矩形中，，，点E是的中点，点F是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点A落在对称点处，当时，的长为___． 24. 如图，矩形的顶点A，B在x轴上，的长为6，顶点C的坐标为，原点O在边上，边与y轴相交于点F，E为x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，线段的长度为___． 【题型8 利用矩形的性质证明】 25. 如图，在矩形中，点O为对角线的中点，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接、 （1）求证：； （2）当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由． 26. 如图，矩形的对角线相交于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）求证：； （3）若，则菱形的面积为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26下大庆69中初三数学周测矩形的性质（五四制） 【题型 1 矩形性质理解】 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关键； 根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可. 【详解】解：矩形具有一般平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，还具有一般平行四边形不具有的对角线相等的性质； 故选：D. 2. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，掌握其性质是关键． 根据矩形，菱形的性质判定即可求解． 【详解】解：矩形的对角线相互平分，对角线相等， 菱形的对角线相互平分，互相垂直，平分对角， ∴菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：B ． 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 4. 下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ） A. 对角线互相平分且相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质分析，进行作答，即可求解． 【详解】解：A. 对角线互相平分且相等，是矩形的性质，故该选项不符合题意； B. 四个角相等，是矩形的性质，故该选项不符合题意； C. 对角线互相垂直，不是矩形的性质，故该选项符合题意； D. 是轴对称图形，是矩形的性质，故该选项不符合题意； 故选：C； 【题型2 利用矩形的性质求角度】 5. 如图，矩形中，对角线相交于点 O，，则________度． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质可得，再由等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵矩形中，对角线相交于点 O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：25． 6. 如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 【答案】##55度 【解析】 【分析】首先由矩形的性质得到，，由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴． 7. 如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、矩形的性质、三角形外角的定义及性质，延长交于点，由矩形的性质结合三角形外角的定义及性质得出，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵直线， ∴， 故答案为：． 【题型3 利用矩形的性质求线段长】 8. 如图，在矩形中，，它的周长为20，E是的中点，连接，则的长为___． 【答案】5 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及已知条件可得，进而求得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，它的周长为 20 ， ， ∵是的中点． ， 在中，． 9. 如图，E是矩形的对角线的中点，F是边的中点，若，，则线段的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，利用勾股定理解三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意，利用三角形中位线定理可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长． 【详解】解：∵在矩形中，，，E是矩形的对角线的中点，F是边的中点，，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵点E为的中点 ∴， 故答案为：． 10. 如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 _________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过A作于Q，，证明，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过A作于Q，， ∴， ∴， 由旋转可得：，则， ∵，M为的中点， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，矩形的对角线相交于点O，且，点E为上一点，．连接，则的长为____________________ ． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理；分两种情况当点E在上或在上时，进行讨论，再结合矩形的性质和勾股定理即可求出结果． 【详解】解：当点E在上或在上时，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ①当点E在上时，， ∴， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴； ②当点E在上时为， ∴， ∴． 则的长为：或． 故答案为：或． 【题型4 利用矩形的性质求面积】 12. 如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，得出，由勾股定理求出，矩形的面积，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为：． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 14. 如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理和直角三角形的性质算出对应的底和高．根据阴影部分的面积求解即可 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点M作， ∴， 则图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【题型5求矩形在坐标系中的坐标】 15. 如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、求一次函数的解析式，连接、，交于点，根据矩形的性质求出点的坐标，因为直线将四边形的面积分成相等的两部分，所以直线过点，利用待定系数法求出即可． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 点的坐标为， 的坐标为， 又直线将四边形的面积分成相等的两部分， 直线过点， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 先根据题意得到，，再由矩形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，，据此可得第二象限内的坐标． 【详解】由条件可知，， ∴，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限， ∴，，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，点D为，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为___． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意分情况讨论：当时，当时，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ∴，， 由勾股定理得：， ； ②当时，如图2所示： ∴，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ∴，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，点的坐标为或或． 【题型6 斜边的中线等于斜边的一半】 18. 如图，在中，，，，根据作图痕迹，则______． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、勾股定理、斜边中线定理，熟练掌握勾股定理和斜边中线定理是解题的关键．根据勾股定理求出，由作图可知，点是的中点，再根据直角三角形斜边中线定理即可求解． 【详解】解：，，， ， 由作图可知，点是的中点， 又， ． 故答案为：． 19. 如图，在中，为的中点，连接，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．利用直角三角形斜边中线的性质求得，利用等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】解：∵为的中点， ．， ， 故答案为：． 20. 如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．由中位线定理可得，点为的中点，根据，可得，即可求解． 【详解】解：为的中位线，， ，点为的中点， ，， ， ． 21. 矩形在平面直角坐标系中如图放置，已知，，则线段的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，矩形的性质，斜边中线的性质．取的中点，连接和，利用直角三角形的性质求得，利用勾股定理求得，得到，当共线时，有最大值，最大值为，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接和， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴当共线时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 【题型7 矩形与折叠问题】 22. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，，通过等量代换可得，利用等角对等边可得，从而得出，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形 ， 点在上 由折叠的性质得：，，  ，  （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等），  ，  （等角对等边），   ， ，  ，   ． 23. 如图，在矩形中，，，点E是的中点，点F是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点A落在对称点处，当时，的长为___． 【答案】5或 【解析】 【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或． 24. 如图，矩形的顶点A，B在x轴上，的长为6，顶点C的坐标为，原点O在边上，边与y轴相交于点F，E为x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，线段的长度为___． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的翻折性质可求得的长，再由勾股定理求得的长，进一步求得的长，设，则，于是在直角中由勾股定理建立方程，可求得x的值，即可得到答案． 【详解】解：如图当点恰好落在轴上， ∵点C的坐标为， 则，，， ∴，即， ∵沿所在直线翻折得到， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， 设，则， 在直角中，．即 解得：， ∴， ∴． 【题型8 利用矩形的性质证明】 25. 如图，在矩形中，点O为对角线的中点，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接、 （1）求证：； （2）当，且平分时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用直接证明三角形全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再利用全等证明，通过对角互相平分且垂直即可判断． 【小问1详解】 证明：在矩形中，点为对角线的中点，， ，， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， ，是的平分线， ， ， ， ， ， ∴四边形为菱形． 26. 如图，矩形的对角线相交于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）求证：； （3）若，则菱形的面积为_________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用矩形的性质得出，即可得出答案； （2）由（1）可得，再根据矩形的性质可证，进而得到，结合，可证，即可得出结论； （3）连接交于点F，利用矩形的性质结合勾股定理求出，，再根据四边形是菱形，证明是的中位线，求出，进而求出，最后由菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线相交于点O， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：由（1）知四边形是菱形； ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接交于点F， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形； ∴垂直平分，即点F是的中点， ∵四边形是矩形， ∴，即点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形中位线，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $