专题04整式的乘除专项训练(17大题型+题型突破+压轴专练+复习讲义)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题04整式的乘除专项训练 题型01.幂的运算 题型02.幂的运算逆用 题型03.特殊幂的运算 题型04.单项式乘法运算 题型05.单项式乘法的求值问题 题型06.整式乘法的几何与实际应用 题型07.多项式的乘法运算 题型08.多项式乘积不含某项求字母值 题型09.多项式乘多项式化简求值 题型10.多项式乘法中的规律性问题 题型11.整式四则混合运算 题型12.平方差公式的运算与应用 题型13.完全平方公式运算与应用 题型14.完全平方公式系数与变形求值 题型15.绝对值小于1的科学记数法 题型16.整式的除法运算 题型17.新定义运算 解答题7题 题型01.幂的运算 1．若，则___________． 2．计算：＝______． 3．若，则____________． 4．计算：___________． 5．若n为正整数，且，，则的值为（　　） A．6 B．12 C．36 D．72 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型02.幂的运算逆用 10．若，则__． 11．已知，那么_______ 12．计算______． 13．已知，，则______． 14．已知，，若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 15．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 16．若，，用含的代数式表示为____________． 17．若，，则__． 题型03.特殊幂的运算 18．已知，，则的大小关系是______．（用“＜”连接） 19．若，则a，b，c的大小关系是______． 20．下列计算正确的有 （   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论I：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则y的值为4或1． A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错 题型04.单项式乘法运算. 23．若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是_______． 24．定义一种新运算：，则的运算结果是______． 25．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（   ） A． B． C． D． 26．现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 题型05.单项式乘法的求值问题 27．已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． 28．若的展开式中不含项，则的值是______． 29．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 30．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型06.整式乘法的几何与实际应用 31．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 32．某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，她先设计了一个正方形的班徽，修改时将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，则原正方形班徽与修改后的长方形班徽的面积相差______． 33．已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 34．如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 题型07.多项式的乘法运算 35．已知，那么______． 36．若，则的值是________． 37．在与的乘积中和的系数分别为和，则n的值为（   ） A． B． C．－ D． 38．已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 39．已知关于字母的次多项式，化简后总是可以表达成的形式，其中都为常数，为正整数．对多项式，任意选择其中两项的系数，先变成其相反数后再交换它们的位置，称为“取反换位”操作，例如：对多项式，进行“取反换位”操作后，所有可能得结果是：，，，则下列说法中正确的个数有（   ） ①当时，若对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式与原多项式之和为0，则关于的方程的解为； ②当时，若，则对多项式进行“取反换位”操作后，所得的所有多项式之和为原多项式的2倍； ③当时，若多项式：无论取何值总是等于，则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为109． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型08.多项式乘积不含某项求字母值 40．已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为_____． 41．若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为 _____ ． 42．已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型09.多项式乘多项式化简求值 43．已知，，则的值为(        ) A． B． C． D． 44．已知，计算的值为_______． 45．若且，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．3 D． 题型10.多项式乘法中的规律性问题 46．我国南宋时期数学家杨辉于年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为时，则值为______． 47．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是_____． 48．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似地，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（    ） 1 1    1 1    2    1 1   3    3    1 1    4    6    4   1                                             ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型11.整式四则混合运算 49．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 50．若（其中），则的大小关系为________． 51．若多项式减去单项式，再除以，所得的商是，则多项式为______． 52．若的展开式中不含的项．则n的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 53．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 54．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错 题型12.平方差公式的运算与应用 55．若，则的值为__________． 56．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 57．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 58．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则（    ） A．2 B．7 C．4 D．5 题型13.完全平方公式运算与应用 59．若，m、n均为常数，则________． 60．已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 61．阅读与运用：例如：若，求的值． 解：则，我们可以得到：．若，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 62．如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（    ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 题型14.完全平方公式系数与变形求值 63．若二次三项式是一个完全平方式，则的值是___________． 64．已知，，则的值为______． 65．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 66．要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 题型15.绝对值小于1的科学记数法 67．用科学记数法表示0.0000021是________． 68．计算：，结果用科学记数法可以表示为___________． 69．查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s． 70．如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 71．泡泡器吹出的泡泡绚丽多彩，泡泡的平均厚度约为．已知，那么用科学记数法表示为（   ） A．m B．m C．m D．m 题型16.整式的除法运算 72．（    ） A． B． C． D． 73．一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 74．计算：__________ 75．下列各式的计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 题型17.新定义运算 76．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 77．对于a，b，c，d，规定一种运算，如，那么当时，则x的值是（    ） A．21 B．22 C．33 D．34 78．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 79．对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 解答题 80．某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 81．计算下列各式： (1)； (2) 82．【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 83．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像， (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 84．乘法公式的探究和应用． (1)如图，可以求出阴影部分面积是________（写成两数平方差的形式）； (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是________．（写成多项式乘法形式） (3)比较左右两图阴影部分面积，可以得到乘法公式：________． (4)运用你所得到的公式，计算下列式子： ① ② 85．先化简，再求值：，其中，． 86．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题，请阅读并解决下列问题： (1)问题一：．则A=______，B=______； (2)计算：； (3)问题二：已知，则P=_____，Q=______； (4)已知长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04整式的乘除专项训练 题型01.幂的运算 题型02.幂的运算逆用 题型03.特殊幂的运算 题型04.单项式乘法运算 题型05.单项式乘法的求值问题 题型06.整式乘法的几何与实际应用 题型07.多项式的乘法运算 题型08.多项式乘积不含某项求字母值 题型09.多项式乘多项式化简求值 题型10.多项式乘法中的规律性问题 题型11.整式四则混合运算 题型12.平方差公式的运算与应用 题型13.完全平方公式运算与应用 题型14.完全平方公式系数与变形求值 题型15.绝对值小于1的科学记数法 题型16.整式的除法运算 题型17.新定义运算 解答题7题 题型01.幂的运算 1．若，则___________． 【答案】9 【分析】先根据已知等式求出的值，再将化为，即，进而得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 2．计算：＝______． 【答案】 【分析】根据：，（、为正整数）计算即可． 【详解】解：． 3．若，则____________． 【答案】64 【分析】先由已知等式得到的值，再利用同底数幂的除法法则化简所求式子，代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ． 4．计算：___________． 【答案】 【分析】先化简第一项，再依次利用同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 5．若n为正整数，且，，则的值为（　　） A．6 B．12 C．36 D．72 【答案】C 【分析】利用幂的运算法则将所求代数式变形为含已知条件的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将都转化为底数为3的幂，利用幂的乘方法则化简得到各自的指数，再根据底数大于1时，指数越大，幂越大，即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵，且 ∴ 即． 7．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左右两侧分别化简为同底数幂的形式，再根据同底数幂相等则指数相等，得到与的关系式． 【详解】解：∵左边为个相加， ∴左边， 又，可得左边； ∵右边为个相乘，可得右边， ∵， ∴． 8．若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和乘法的意义．熟记法则是解题的关键．左边9个相加表示为，右边9个相乘表示为，利用幂的运算性质化简后比较指数． 【详解】解：∵左边， 右边， ， ∴， 即． 故选：A． 9．设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【详解】解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键． 题型02.幂的运算逆用 10．若，则__． 【答案】12 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，将变形为已知幂的乘积，代入数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 11．已知，那么_______ 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方以及逆运算，先整理，再结合，故，即，解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 解得． 故答案为： 12．计算______． 【答案】 【分析】先将带分数化为假分数，拆分指数，逆用积的乘方运算法则化简，再计算结果. 【详解】解： 13．已知，，则______． 【答案】4 【分析】根据计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 14．已知，，若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题利用幂的乘方和同底数幂除法的运算法则，对已知等式变形，代入已知条件得到关于的方程，结合幂的结果恒为正求出的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∵ ， ∴ 将，代入得 整理得 ∵， ∴． 15．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，涉及逆用同底数幂的乘法运算法则、逆用积的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握计算公式． 利用指数运算法则，将原式化为相同指数后合并计算． 【详解】解： 故选：D． 16．若，，用含的代数式表示为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 17．若，，则__． 【答案】9 【分析】根据幂的运算的逆运算，把所求式子变成幂的运算即可． 【详解】，， ． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是灵活运用幂的运算的逆运算，把所求式子转换成幂的运算． 题型03.特殊幂的运算 18．已知，，则的大小关系是______．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】先根据乘方的定义，负整数指数幂的运算法则，零指数幂的性质分别计算出a，b，c的值，再比较有理数的大小即可得到结果． 【详解】解：，，， ∵， ∴． 19．若，则a，b，c的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】利用零指数幂化简a，利用平方差公式化简b，利用积的乘方逆运算和有理数乘方化简c，再比较大小即可． 【详解】， ， ， ∵， ∴． 20．下列计算正确的有 （   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，逐一验证各式的正确性，统计正确个数即可． 【详解】解：①：，错误； ②：，正确； ③：，错误； ④：，正确； ⑤：，错误； ⑥：，错误； ⑦：，正确． 综上，②、④、⑦正确，一共3个， 选：C． 21．若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等运算，根据相关运算法则计算后，进行比较大小即可. 【详解】解：，，， ∵ ∴， 故选：D 22．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论I：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则y的值为4或1． A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错 【答案】B 【分析】先由题意得到，，然后解方程组得到，当时，，则此时，即可判断I；得，即可判断②；根据1的任何次方为1，的偶次方为1，非零底数的0次方为1，三种情况讨论求解即可判断Ⅲ． 【详解】解：由题意得，，， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∵， ∴当时，，则此时，故结论I正确； 得， ∴，故结论Ⅱ正确； 当时，，此时满足； 当时，则，此时， ∴，，此时满足； 当时，则， 此时， ∴，此时满足， 综上所述，若，则y的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型04.单项式乘法运算. 23．若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是_______． 【答案】 【分析】由同类项的定义求出，的值，再求两个单项式的乘积即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， 这两个单项式分别为，， 这两个单项式的积为． 24．定义一种新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算的规则，确定对应a、b的值，代入后利用整式乘法运算法则展开，合并同类项得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 25．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，单项式乘以单项式，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项的概念求出字母的值，再计算单项式乘以单项式． 【详解】解：∵单项式与是同类项，， ∴， 解得：， 则两个单项式的乘积为：． 故选：B． 26．现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键．根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，再减去1，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则去掉括号，再加减计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 题型05.单项式乘法的求值问题 27．已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． 【答案】18 【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是7， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 28．若的展开式中不含项，则的值是______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 29．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 30．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 题型06.整式乘法的几何与实际应用 31．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 【答案】 【分析】将加法转化为减法，然后计算单项式乘以多项式，再利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 32．某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，她先设计了一个正方形的班徽，修改时将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，则原正方形班徽与修改后的长方形班徽的面积相差______． 【答案】 【分析】设原正方形班徽的边长为，分别表示出原正方形面积和修改后长方形的面积，计算面积差即可． 【详解】解：设原正方形班徽的边长为，则原正方形的面积为， ∴修改后得到长方形，长为，宽为， ∴修改后长方形的面积为， ∴原正方形班徽与修改后的长方形班徽的面积相差． 33．已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可． 【详解】解：，，， ， 的值与x的取值无关， ， ， 当时，， 故选：B． 34．如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 题型07.多项式的乘法运算 35．已知，那么______． 【答案】 【分析】根据求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 36．若，则的值是________． 【答案】 【分析】根据多项式的乘法法则将等式左边展开，与右边比较即可解答． 【详解】解： ∴ ∴ ． 37．在与的乘积中和的系数分别为和，则n的值为（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则求出的展开结果，结合已知条件列出方程，求解即可得到的值． 【详解】解： ， ∵在与的乘积中和的系数分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，将所求代数式展开，利用已知方程变形代入求值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ . 故选：C． 39．已知关于字母的次多项式，化简后总是可以表达成的形式，其中都为常数，为正整数．对多项式，任意选择其中两项的系数，先变成其相反数后再交换它们的位置，称为“取反换位”操作，例如：对多项式，进行“取反换位”操作后，所有可能得结果是：，，，则下列说法中正确的个数有（   ） ①当时，若对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式与原多项式之和为0，则关于的方程的解为； ②当时，若，则对多项式进行“取反换位”操作后，所得的所有多项式之和为原多项式的2倍； ③当时，若多项式：无论取何值总是等于，则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为109． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义、多项式的系数等知识点，理解新定义是解题的关键． ①先列举出多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式，然后说明，再解方程即可；②按照“取反换位”列出所有多项式，然后求和即可解答；③先说明系数、常数项，再根据“取反换位”归类常数项并求和即可． 【详解】解：①当对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式为：， 由题意可得：， ∴，即， ∴，即， ∴，故①正确； ②当时， ∵， ∴，， 多项式“取反换位”操作后可得多项式：， ，， ，即②正确； ③对于无论取何值总是等于，则， 当常数项不参与变换时，可得10多项式； 当常数项与各项均有一次“取反换位”， 则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为，即③正确． 综上，①②③正确． 故选D． 题型08.多项式乘积不含某项求字母值 40．已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开的结果，再根据展开结果不含x的一次项，可得到含x的一次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：根据多项式乘多项式运算法则可得： ， 由题意可知， 解得：． 41．若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为 _____ ． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式计算法则展开原式，合并同类项后，令x一次项的系数为0，即可求解k的值． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式展开后不含有x的一次项， ∴， 解得， 42．已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的展开与系数比较，多项式乘法的系数计算，代数式求值等知识点．先根据多项式A的展开，求出a、b、c、d的值；然后分别验证三个说法：说法①直接计算；说法②通过中项系数为0推导f与e的关系；说法③利用，推导f与e的关系． 【详解】解：∵， 展开， 比较系数得：，，，且， ∴， 则，， ∴，故说法①正确； ∵，，， M中项系数来自： A的项的常数项：， A的项的x项：， A的项的项：， ∴项系数为， 令其为0：， ∴，故说法②正确； ∵，， 由于， 又∵N为整式， ∴余数，即，故说法③正确， 综上，三个说法均正确， 故选：D． 题型09.多项式乘多项式化简求值 43．已知，，则的值为(        ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的乘法，将代数式展开，将已知式子的值代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 44．已知，计算的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算和整体代入求值，把整体代入化简后的结果，求出结果即可，解题的关键是熟练掌握整体代入． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 45．若且，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算及求值，利用整体思想代入求值即可． 【详解】∵且， ∴，、 故选：A． 题型10.多项式乘法中的规律性问题 46．我国南宋时期数学家杨辉于年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为时，则值为______． 【答案】 【分析】本题考查展开式的系数规律，根据题意得到是解决问题的关键． 先由图表给出了展开式的系数规律得到，进而得到，最后根据题意列方程求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 代数式的值为， ， 则，解得， 故答案为：． 47．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是_____． 【答案】 【分析】令，则，则，令，则，得到，两边乘以即可求解． 【详解】解：∵当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 48．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似地，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（    ） 1 1    1 1    2    1 1   3    3    1 1    4    6    4   1                                             ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查数字变化规律，根据贾宪三角的二项展开式系数规律，逐一判断各结论即可得到答案. 【详解】解：根据题意中的变化规律，可得到：， 故展开式的第三项的系数是15； 根据题意，可得到展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1， 故， 令得 ； 根据题意，可到展开式中第二项的系数就是中的指数n， 故展开式中含项的系数是2026； 展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1， 故； 题型11.整式四则混合运算 49．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算． 设两个正方形重合部分的面积是，则，，代入计算即可． 【详解】解：设两个正方形重合部分的面积是，则，， ∴ ． 故答案为：． 50．若（其中），则的大小关系为________． 【答案】 【分析】本题考查了数的大小比较，整式的混合运算，平方的非负性，掌握相关运算法则是解题关键．利用作差法比较大小，根据整式的混合运算法则，求出，再利用平方的非负性得出，即可得解． 【详解】解：由题可知， ， ， ， ，即． 51．若多项式减去单项式，再除以，所得的商是，则多项式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的运算，掌握相关运算法则、正确列式是解题的关键． 根据题意可得，利用除法运算中被除数、除数和商的关系求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ． 故答案为：． 52．若的展开式中不含的项．则n的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】利用整式的乘法法则，进行计算，合并同类项后，令含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ； ∵展开式中不含的项， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查整式的乘法．熟练掌握整式的乘法法则，是解题的关键． 53．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 54．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】根据新定义的运算分别计算嘉嘉和琪琪的运算，进而判断对错即可． 【详解】解：∵， ∴ ，则嘉嘉的说法正确． ∵的结果与x的取值无关， ∴， ∴，则琪琪的说法错误． 题型12.平方差公式的运算与应用 55．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式化简等式左边，再通过乘方定义求解的值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴． 56．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 【答案】 【分析】运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积的计算方法为：边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于； 第二个图形中阴影部分的面积的计算方法为：一个长是，宽是的长方形，面积是； 这两个图形的阴影部分的面积相等，即． 57．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，然后运用整式乘法法则和平方差公式化简代数式，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ． 58．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则（    ） A．2 B．7 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴； ∴； 题型13.完全平方公式运算与应用 59．若，m、n均为常数，则________． 【答案】3 【分析】利用完全平方公式展开左边后，对比系数即可得到和的值，进而求出． 【详解】解：，、为常数， ， 对比多项式对应项系数可得，，， ． 60．已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ． 即． 61．阅读与运用：例如：若，求的值． 解：则，我们可以得到：．若，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】将原式变形为，利用偶次方的非负性求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 62．如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（    ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法公式与几何图形，设四个小正方形的边长为x，根据原正方形的边长不变可列方程求出，然后根据割补法分别求出、，最后计算、，即可判断． 【详解】解：设四个小正方形的边长为x， 根据题意，得， 解得， ∴， ， ∴， ， ∴小海正确、乐乐正确， 故选：A． 题型14.完全平方公式系数与变形求值 63．若二次三项式是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】6或 【分析】直接利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即或． 【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键． 64．已知，，则的值为______． 【答案】9 【分析】先根据完全平方公式进行变形得出，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：，， 65．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 66．要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法以及完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 将多项式分组相乘，转化为关于的二次三项式，再根据完全平方式的特点求出． 【详解】解： ， ∵多项式为完全平方式， ∴， 解得． 故选：D． 题型15.绝对值小于1的科学记数法 67．用科学记数法表示0.0000021是________． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，指数为原数第一个非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）所决定． 【详解】解：． 68．计算：，结果用科学记数法可以表示为___________． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，先把科学记数法表示的数还原，再计算，再利用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 用科学记数法可以表示为， 故答案为：． 69．查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s． 【答案】或500 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，利用时间等于路程除以速度，以及单项式除以单项式的法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：500 70．如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：∵本题答案为1， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为． 71．泡泡器吹出的泡泡绚丽多彩，泡泡的平均厚度约为．已知，那么用科学记数法表示为（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：，，为整数，进行表示即可． 【详解】解：已知， 因此， ． 题型16.整式的除法运算 72．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式除以单项式的运算法则，解题关键是熟练掌握“系数相除，同底数幂相除，指数相减”的运算规则． 分别对系数和同底数幂进行除法运算，再将结果相乘． 【详解】解：先计算系数部分：； 再计算的幂次：； 再计算的幂次：； 合并结果得：． 故选：C． 73．一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，设多项式为 ，根据题意列出方程，通过代数运算求解即可． 【详解】解：设这个多项式为 ， 依题意得：， 移项得：， 两边同除以 （）：， 验证：，符合题意． 故答案为： ． 74．计算：__________ 【答案】 【分析】本题考查了指数运算，负整数指数幂，需运用指数法则（如幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法）进行简化计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 75．下列各式的计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别利用平方差公式、完全平方公式、单项式除法、多项式除法法则计算各选项，即可得到正确答案． 【详解】解：A、，结果与选项不等，故错误； B、，结果与选项一致，故正确； C、，结果与选项不等，故错误； D、，结果与选项不等，故错误． 题型17.新定义运算 76．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、单项式乘以多项式等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，计算有理数的运算即可判断①正确；根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②正确；先求出，，再根据新运算的定义代入计算，由此即可判断③正确；根据新运算的定义可得，则可得或，由此即可判断④错误． 【详解】解：由题意得： ，结论①正确； 由题意得：， ∵， ∴， 解得，结论②正确； ∵， ∴，， ∴ ，结论③正确； 由题意得：， ∵， ∴， ∴或， ∴或，结论④错误； 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 77．对于a，b，c，d，规定一种运算，如，那么当时，则x的值是（    ） A．21 B．22 C．33 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，计算多项式乘以多项式，解一元一次方程，正确理解新定义，掌握运算法则是解题的关键． 先根据新定义，然后根据平方差公式，和多项式乘以多项式运算法则化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得：， 故选：B． 78．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公式变形应用，整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ， 去括号得：， 合并同类项得：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，， 阴影部分的面积为：． 79．对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 【答案】(1)3 (2)1296 【分析】本题考查了加减消元法解方程，有理数的乘方的混合运算，新定义，同底数幂相乘的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合新定义的运算法则，把代入进行运算，即可作答． （2）结合， ，列出方程组，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ， 故答案为：3 （2）解：∵， ，， ∴， 整理得， ∴， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴ ． 解答题 80．某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解题的关键． （1）根据乘方的定义求解即可； （2）根据乘方的定义求解即可； （3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解：， ∴；   ， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ， ∴， ． （3）解：，理由如下： 设， ， ， ， ∴． 81．计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂运算法则、幂的乘方运算法则及积的乘方运算法则分别计算，再合并即可； （2）根据多项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 82．【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）①把原式化为，再结合（1）中发现的规律进行计算即可； ②由结合条件可得x的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：因为， ， ， 所以（其中n为正整数）； （2）②解：原式 ； ②解：因为， 则，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故，． 83．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像， (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)63平方米 【分析】（1）根据大长方形的面积减去中间正方形的面积即可求解； （2）将，代入（1）中化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （平方米） 答：绿化的面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米） 答：绿化的面积为63平方米． 84．乘法公式的探究和应用． (1)如图，可以求出阴影部分面积是________（写成两数平方差的形式）； (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，面积是________．（写成多项式乘法形式） (3)比较左右两图阴影部分面积，可以得到乘法公式：________． (4)运用你所得到的公式，计算下列式子： ① ② 【答案】(1) (2)；； (3) (4)①999999；② 【分析】（1）由图形的面积关系即可得出结论； （2）由图形即可得到长方形的长，宽以及面积； （3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式； （4）①依据平方差公式，即可得到计算结果；②依据平方差公式，即可得到计算结果． 【详解】（1）解：阴影部分面积是； （2）解：将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是； （3）解：比较左右两图阴影部分面积，可以得到乘法公式： （4）解：① ② …… 85．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 86．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题，请阅读并解决下列问题： (1)问题一：．则A=______，B=______； (2)计算：； (3)问题二：已知，则P=_____，Q=______； (4)已知长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为39 【分析】（1）根据平方差公式的特点：A前面的符号相同，B前面的符号相反，找到A、B即可． （2）将写成的形式，再按照平方差公式进行计算即可． （3）由得，整理即可得P的值，由得，整理即可得Q的值. （4）根据题意得，则，把写成，将整体代入其中即可求出结果． 【详解】（1） ． 故答案为：． （2）原式 ． （3） ． ． 故答案为：． （4）由题意得：，整理得：． 则． 将代入，得 原式 故的值为39． 【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式．熟练掌握两个公式的特点会灵活变形并掌握整体代入法是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $