专题01相交线与平行线专项训练(18大题型+题型突破+压轴专练+复习讲义)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

该初中数学讲义通过表格系统梳理相交线与平行线的18个核心题型，涵盖对顶角、垂线、平行线判定与性质、平移及折叠等内容，标注“常”“重”“难”突出重点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于结合生活情境设计问题，如光线折射、探照灯旋转等培养数学眼光，推理证明题提升逻辑思维，分层题目满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

专题01相交线与平行线专项训练 题型01.相交线与对顶角(常) 题型02.垂线的定义与画法(常) 题型03.垂线段与点到直线的距离 题型04.同位角.内错角.同旁内角(常) 题型05.平行线的画法与位置关系 题型06.平行公理的应用(常) 题型07.平行线的判定(重) 题型08.同垂于一直线的两直线平行 题型09.平行线的性质(重) 题型10.由平行线的性质探究角的关系 题型11.由平行线的性质求角的度数(重) 题型12.平行线性质的应用(重) 题型13.由平行线判定与性质求角度(重) 题型14.由平行线判定与性质证明(难) 题型15.平移现象的识别与判断 题型16.利用平移性质求解(重) 题型17.利用平移解决实际问题(重) 题型18.平行线折叠问题(难) 题型01.相交线与对顶角 1．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个． 【答案】 【分析】首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的规律，然后列出n 条直线时，交点个数关于n的代数式即可. 【详解】∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1. 即：当n=3时，共有2个交点； 当n=4时，共有5个交点； 当n=5时，共有9个交点；…， ∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)= 个. 故答案为：. 【点睛】本题考查了相交线.解题的关键是，仔细观察图形，发现规律. 2．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 3．如图，直线，相交于点O，，O为垂足，，则_______． 【答案】/64度 【分析】根据得，结合，得到，结合解答即可． 本题考查了垂直的意义，余角的性质，对等角相等，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．已知直线相交于点，点在内部，作射线． （1）如图①，，则_______；_______； （2）如图②，，则_______； （3）如图③，平分，则_______，点到直线的距离为_______． 【答案】 100 50 60 30 2 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线，对顶角相等，图形结合分析是解题的关键． （1）根据补角的概念可得，图形结合分析即可求解； （2）根据垂直的性质可得，由此即可求解； （3）根据对顶角相等可得，根据角平分线的性质可得，再根据角平分线的性质定理即可求出点到直线的距离即为线段的长，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∵， ∴， 故答案为：①，②； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：③； （3）∵，平分， ∴， ∵，， ∴点到直线的距离等于的长，即为， 故答案为：④，⑤． 5．如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）先由得，结合求出的度数，再由平分，得到的度数，接着通过求出，最后根据对顶角相等，由得到的度数； （2）先由与互补，得，再结合与互为邻补角，根据同角的补角相等推出，同时减去后，得到，从而得到． 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． （2）解：．理由如下： 因为与互补， 所以． 因为， 所以． 所以， 即． 所以． 题型02.垂线的定义与画法 6．如图，直线、相交于点O，，平分，，则的度数为________． 【答案】/123度 【分析】根据对顶角的性质可得，然后根据角平分线的定义即可求出，再根据垂直的定义进而即可求出． 【详解】解：∵直线、相交于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 7．在下列命题中，①带根号的数都是无理数．②有公共顶点且相等的两个角是对顶角．③立方根等于本身的数只有0．④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了无理数、对顶角、立方根、垂线的性质等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】①带根号的数不都是无理数．故选项错误； ②有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角．故选项错误； ③立方根等于本身的数是0和．故选项错误 ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故选项正确； 故选：A 8．同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查相交线的相关知识，涉及垂直的定义，角平分线的性质，对顶角相等以及角的和差计算．弄清楚角之间的和差关系是解题关键．分在两侧两种情况，利用角平分线、垂直及平角性质求． 【详解】解：情况一：在内部， 设，则， ∵平分， ∴， 由， 得， 即， ∵， ∴， 则， 因此； 情况二：在内部， 同上，， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴， 因此； ∴的度数有两种可能：或． 故答案为：或． 9．下图为网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请用无刻度的直尺利用网格，根据下列要求完成画图． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点B画直线的垂线，垂足为D； (4)在线段中，最短的线段为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据线段定义画图即可； （2）根据直线定义画图即可； （3）根据垂线定义画图即可； （4）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段． （2）解：如图，直线即为所求作的直线． （3）解：如图，即为所求． （4）解：因为垂线段最短，所以最短． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段、直线的定义、垂线段最短、垂线定义等知识点，熟练掌握线段、直线的定义、垂线段最短性质、垂线定义是解题的关键． 题型03.垂线段与点到直线的距离 10．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 11．“已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算”．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为，直线l的表达式为，M是直线l上的动点，N是上的动点，则MN的最小值为______． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式求出点C到直线的距离，进而即可求解． 【详解】如图，过点C作CM⊥直线l，交于点N，此时MN的值最小， 根据点到直线的距离公式可知： 点C（1，1）到直线的距离为：， ∵的半径为， ∴MN的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质，点到直线的距离公式，解题的关键是灵活运用所学知识点解决问题． 12．阅读下列“”的说理过程： 如图1，在和中，，．接下来说明和完全重合． 如图2，由可知，如果使点与点重合，并且使射线与重合，那么射线与重合．再由，可知点与点重合，接下来说明点与点重合． 设点在直角边（不包括端点），连接，则，是钝角．若过点且垂直于的直线与线段交于点，则有．设点在线段的延长线上，连接，同理可得，因此，在射线上，与点的连线长度等于的点只有一个．再由点在射线上，，即可证明点与点重合．这样，的三个顶点与的三个顶点分别重合，与能够完全重合． 为能够同理说明，需要作的垂线是（    ） A．过点作的垂线 B．过点作的垂线 C．过点作的垂线 D．过点作的垂线 【答案】B 【分析】本题考查了用垂线段性质的说理过程．熟练掌握垂线段性质，是解答此题的关键．过点A作，交于点，则有，即，再逐一判断． 【详解】解：如图，过点A作，交于点，则有，即， A、过点作的垂线，不正确； B、过点作的垂线，正确； C、过点作的垂线，不正确； D、过点作的垂线，不正确． 故选：B． 题型04.同位角.内错角.同旁内角 13．（1）如图，直线，被所截，则和___________是同位角，和___________是内错角，和___________是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为( )， ( )， 所以( )    【答案】 已知 对顶角相等 等量代换 【分析】根据对顶角、同位角、内错角及同旁内角的定义，解答即可． 【详解】如图，直线，被所截，则和是同位角，和是内错角，和是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为（已知）， （对顶角相等）， 所以（等量代换） 故答案为：，，，已知，对顶角相等，等量代换． 【点睛】本题考查了对顶角、同位角、内错角及共旁内角的定义，熟记这些概念，并能熟练应用，是解答这类题目的关键，同时还考查了对顶角相等、等量代换等知识． 14．下面四个图形中的和，不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的角叫做同位角． 【详解】解：根据同位角的定义可知，只有选项C中的与不是同位角． 15．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【详解】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 16．根据图形填空： (1)若直线，被直线所截，则和 是同位角． (2)若直线，被直线所截，则和 是内错角． (3)和是直线， 被直线所截构成的 角． 【答案】(1) (2) (3)；同旁内 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角判断，根据同位角，内错角，同旁内角定义逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：若直线，被直线所截，则和是同位角； 故答案为：； （2）解：若直线，被直线所截，则和是内错角； 故答案为：； （3）解：和是直线，被直线所截构成的同旁内角． 故答案为：；同旁内． 题型05.平行线的画法与位置关系 17．下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【答案】C 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 18．下列说法中，正确的有（   ） ①若与相交，与相交，则与相交； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据同一平面内两条直线的位置关系，平行公理及推论逐一判断每个说法即可得到结果． 【详解】解：①若与相交，与相交，则与可能相交，也可能平行，也可能异面，故①错误； ②根据平行公理的推论，若，，则，故②正确； ③过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，故③错误； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行、相交两种，垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，故④错误； 综上，正确的说法只有个． 19．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】 垂直 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 20．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】(1)①，③，②，④ (2)不是，同一平面 【分析】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的判定方法，垂直的定义． （1）平行线的判定方法，垂直的定义即可判断； （2）由图形即可得到答案． 【详解】（1）根据图可知，，，， 故答案为：①，③，②，④； （2）与所在的直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线． 故答案为：不是，同一平面． 题型06.平行公理的应用 21．下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有_________．（填序号） 【答案】①⑥ 【分析】利用对顶角的性质判断①，利用两点距离定义判定②，利用平行公理判定③，利用垂线公里判定④，利用线段中点定义判定⑤，利用余角的性质判定⑥． 【详解】①对顶角相等正确； ②由两点间线段的长度是两点间距离，所以两点间线段是两点间距离不正确； ③由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行不正确； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； ⑤由线段中点的性质，若，点C在AB上，则点C是线段的中点，所以若，则点C是线段的中点不正确； ⑥同角的余角相等正确； 正确的有①⑥． 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质等问题，掌握对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质是解题关键． 22．下面语句中，正确的是（   ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么． A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④ 【答案】A 【分析】根据平行线的定义，同一平面内直线的位置关系，逐一判断每个语句即可． 【详解】解：①平行线的定义为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，原语句缺少“同一平面内”的前提条件，故①错误． ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，故②正确． ③线段不相交不代表延伸后的直线一定不相交，无法推出直线和直线平行，故③错误． ④，，根据平行公理的推论可得，，故④正确． 综上，正确的是②和④． 23．下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若 则 【答案】D 【分析】本题考查线段的基本性质、平行公理及推论、垂线的基本性质，需逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵两点之间，线段最短，∴A选项错误． ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，B选项未限定“直线外”，∴B选项错误． ∵同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，C选项未限定“同一平面内”，∴C选项错误． ∵平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，∴若，则，D选项正确． 故选：D． 题型07.平行线的判定 24．如图，平分，，，则_______（写出一组平行线）． 【答案】 【分析】根据平角和角平分线的定义，求出的度数，根据同位角相等，两直线平行，即可得出结果． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．如图，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据平行线的判定定理，逐一分析每个选项中的角的关系，判断能否推出，最终确定正确选项． 【详解】解：选项A ， （同旁内角互补，两直线平行），无法推出，故A项错误，不符合题意． 选项B ， ∴（内错角相等，两直线平行），故B项正确，符合题意． 选项C ， （同位角相等，两直线平行），无法推出，故C项错误，不符合题意． 选项D ， （内错角相等，两直线平行），无法推出，故D项错误，不符合题意． 26．如图所示，直线上有两点A，C，分别引两条射线，，，射线别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间________秒．    【答案】5或/或5 【分析】分①与在的两侧时，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】∵， ∴， 分三种情况： 如图①，与在的两侧时，，，    要使，则， 即， 解得； 如图②，旋转到与都在的右侧时，   ，， 要使，则， 即， 解得； 如图③，旋转到与都在的左侧时，   ，， 要使，则， 即， 解得， 此时， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握根据平行线的判定方法列方程是解题的关键，要注意分情况讨论． 27．推理填空：如图，已知，，可推得．理由如下： ∵（已知），且（　          　） ∴（等量代换） ∴（　                  　） ∴（                         ） 又∵（已知）， ∴（等量代换） ∴（　                   　） 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行 【分析】由已知和对顶角相等得出，根据平行线的性质得出，进而证得，根据平行线的判定即可得出． 【详解】解：∵（已知），且（对顶角相等） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（  两直线平行，同位角相等 ） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 题型08.同垂于一直线的两直线平行 28．两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点，，，在一条直线上，则有，理由是_____． 【答案】内错角相等两直线平行或在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等两直线平行是解决此题的关键，利用平行线的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等两直线平行或在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） 故答案为：内错角相等两直线平行或在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． 29．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：A、若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B、若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C、若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； D、若，，则，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 30．在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行， ∵， ∴， 故选：B． 题型09.平行线的性质 31．小明从处出发向北方向行走至处，右转行走至处，此时需把方向调整到与出发时相反，则方向的调整应是（  ） A．右转 B．左转 C．右转 D．左转 【答案】C 【分析】利用南北方向互相平行的特点，结合小明在处右转的条件，通过内错角相等得到处的对应角度，计算出从当前行进方向调整到与出发正北方向相反的正南方向所需的转动角度，同时明确右转为顺时针转动方向，从而确定正确的方向调整方式． 【详解】解：如图，根据题意，为正北方向，为正南方向， ∴． ∵小明在处右转行走至处， ∴， ∴， ∴， ∴方向的调整应是右转． 32．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查对顶角的性质和平行线的性质，容易求得，根据平行线的性质可知，据此即可求得答案． 【详解】解：因为直线与直线相交，， 所以． 所以． 因为， 所以． 33．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，掌握平行线的性质是解题的关键． 由平面镜反射光线的规律和，可得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由平面镜反射光线的规律和，可得，， ∴， ∵反射光线与平行， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 34．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线． (1)已知条件①；②；③，选择其中能判定的一个条件，并证明； (2)在（1）的条件下，若“已知________，则”成立，请填空，并说明理由． 【答案】(1)选择①或②；证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据对顶角相等，可得，再根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可； （2）根据平行线的性质，可得；再根据两直线平行，同旁内角相加等于，即可． 【详解】（1）解：选择①证明如下： ∵，（已知）， ∴， ∴． 选择②，证明如下： ∵，（已知）， ∴， ∴． （2）解：已知，则”成立，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型10.由平行线的性质探究角的关系 35．如图，直尺的对边平行，将一个直角三角板按图1和图2两种方式摆放，则对与，与的关系描述：①与互补；②；③与互余；④．正确的是____________． 【答案】②③ 【分析】先标注字母，角度，再结合平行线的性质与平行公理进行解答即可． 【详解】解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误，②正确； 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴③正确，④错误； 36．如图，直线，直线分别与交于点，，点在直线上，于点，则图中与互余的角共有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】根据余角的定义得到，再根据对顶角相等及平行线的性质找出和相等的角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，，， ∴图中与互余的角有、、、、共5个． 37．如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连接，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则______（用含，的代数式表示）． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，根据平行线的判定与性质探究角之间的关系是解题的关键． 设，由平分，得，，然后分当点在的右侧，且在上方时，当点在的左侧时，且在上方时，当点在直线的下方时三种情况分析即可． 【详解】设，因为平分，所以，，根据小明的操作有以下三种情况： 当点在的右侧，且在上方时，过点作，如图所示： 因为， 所以， 所以，， 又因为， 所以， 同理：， 因为， 所以， 因为，，， 所以，， 得：，代入得， 所以； 当点在的左侧时，且在上方时，如图所示： 同理：，， 因为， 所以，， 得：，代入得：； 当点在直线的下方时，过点作，如图所示： 同理：，即， 因为，， 所以，，， 因为， 所以，将代入得， 所以， 综上所述：或或， 故答案为：或或． 38．已知：，在、间取一点P（点P不在直线上），连接、． (1)请探索图1中与、之间的关系，并说明理由． (2)当点P在图2的位置时，则_________． (3)当点P在图3的位置时，若，，则_________． (4)当点P在图4的位置时，请直接写出与、之间的关系． 【答案】(1)；理由见解析 (2)360 (3)110 (4) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （3）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （4）过点作，分别利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图：过点作， ， ， ， ， ， . （2）解：如图：过点作， ， ， ， ， . （3）解：如图：过点作， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， . （4）解：如图：过点作， ， ∵， ∴， ， ， ∴. 题型11.由平行线的性质求角的度数 39．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______； . 【答案】 【分析】根据题意得出，，根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补得出，，进而求出的度数，最后求出的度数． 【详解】解：根据题意可得，，，如图： ∵， ∴，， 故； ∵， 故． 40．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，根据平分，得到，再根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 41．将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】过点作，可得，依次计算角度、、、、，即可得出结果． 【详解】解：过点作，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型12.平行线性质的应用 42．为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则________；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动______秒时，两灯的光线互相平行．    【答案】 60 45或105 【分析】根据题意及邻补角互补求出，，进而根据平行线的性质得到；由题意易得，则可设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行，进而可分①当射线未过线段时，②射线过线段且未到达射线时，③射线到达后回转，然后根据平行线的性质进行分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵灯的光线先转动45秒，灯的光线才开始转动， ∴此时， 设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行， ①当射线未过线段时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ②射线过线段且未到达射线时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：      ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ③射线到达后回转，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ∴综上所述：灯的光线转动45秒或105秒时，两灯的光线互相平行； 故答案为：60；45或105． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键． 43．如图，一条公路两次转弯后又回到原来的方向，若第一次转弯的转角的度数为，那么应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得出，即可求解． 【详解】解：， ． 44．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 45．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 题型13.由平行线判定与性质求角度 46．如图，直线，，，的角平分线与的角平分线交于点．则______°； 【答案】 【分析】过点作，过点作，过点作，根据平行线的判定和性质得出，，，，，结合题意求出，，根据角平分线的定义求出，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，过点作，如图： ∵，，，， ∴， ∴，，，，， ∴， 即， ∴． ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． 47．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作，由平行公理的推论可得，利用两直线平行，同旁内角互补，进行角度的计算即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 48．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为____时，与平行． 【答案】2秒或38秒 【分析】本题考查平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，分三种情况：读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． ①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； ③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 【详解】解：分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ∵，，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ②旋转到与都在的右侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ③旋转到与都在的左侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∵， ∴此情况不存在； 综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行． 故答案为：秒或秒． 49．如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，结合已知可得，即可根据平行线的判定证明结论； （2）根据平行线的性质得，结合角平分线的定义，得到，再结合（1）中的结果，即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知， ． 题型14.由平行线判定与性质证明 50．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④，其中能推出的条件有______．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 根据平行线的性质和判定逐一判断即可． 【详解】解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④． 故答案为：②③④． 51．嘉嘉在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下证明过程，淇淇为保证嘉嘉的推理更严谨，想在“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（   ） 已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线分别交直线，，于点，，． ，． 又，，． A．嘉嘉的推理严谨，不需要补充 B．应补充“” C．应补充“” D．应补充“” 【答案】C 【分析】分析证明过程知，根据等量代换，应补充才完整． 【详解】解：作直线分别交直线，，于点，，． ， ． 又， ， ， ． 故应补充． 52．如图，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），对于下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 其中正确的有__________．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形内角和定理，平行线的判定与性质，垂线的定义，正确理解题意是解题的关键．先证明，然后求出当时，，由此按照图①求解即可判断①；当时， 求得，，则，即可判断②；当时，先求出，则，，即可判断③；根据题意当时，只有如图⑥一种情况，据此判断④． 【详解】解：当三角板旋转角度小于度时，如题干图②，设直线与直线交于F， ∴， ∴， 当时，即，如图①所示， ∴， ∴； 当三角板旋转角度大于时，如图②所示， ∴， ∴当时，即， ∴， ∴此时在图中的位置， ∴，故①正确； 当三角板旋转角度小于度时，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当三角板旋转角的大于时，如图④所示， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图⑤所示，当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； 由于顺时针旋转到B、C、E共线时停止， ∴当时，只有如下图⑥一种情况， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①③④． 题型15.平移现象的识别与判断 53．在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的定义进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； B、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； C、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； D、选项中的图案能体现平移变换，故此选项符合题意． 54．有一段长为的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中①~③符合条件的是（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了平移性质的应用，经过平移可分别求得各图形的周长，据此可判断． 【详解】解：图①经过平移，图形的周长为，符合题意； 图②，图形的周长为，符合题意； 图③，图形是平行四边形，一边长为，另一边长大于，其周长大于，不符合题意； 故选：B． 55．冰墩墩：2022年北京冬季奥运会的吉祥物．请问：由图中所示的冰墩墩通过平移后得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移后的对应点移动的距离都相等（即对应点的连线平行或在同一直线上且相等）判定． 【详解】∵B图案上的每个点都移动了相同的方向，相等的距离， ∴冰墩墩通过平移后得到的图案是B： 故选B． 【点睛】本题主要考查了平移，解决问题的关键是熟练掌握平移的性质特征． 题型16.利用平移性质求解 56．如图，在中，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点G，连接．则阴影部分的两个三角形周长之和为_________cm． 【答案】12 【分析】先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长即可求解． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∵，， ∴阴影部分的两个三角形周长之和为． 57．将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 【答案】B 【分析】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为40，求得，根据图中长方形的周长为58，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为40，可得，， 解得：， 如图，∵图2中长方形的周长为58， ∴， ∴， 根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴ ； 故选：B． 58．把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平移，由已知可得中间重叠部分长方形的周长为，由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长，即可得甲、乙的周长和为，进而得到甲的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵大长方形的周长为52，阴影部分①和②的周长之和为40， ∴中间重叠部分长方形的周长为， 由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长， ∴甲、乙的周长和为， ∵甲和乙的周长相等， ∴甲的周长为， ∴正方形甲的边长为， 故答案为：． 59．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平移的性质和平行的性质得到，再利用互余的定义即可计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，所以，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：（1）∵平移到的位置， ∴， ∴， ∵与互余， ∴． （2）解：∵分别平移到和的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 题型17.利用平移解决实际问题 60．如图，一块长、宽的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路的宽度为，则这块菜地的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质；由平移可知，小路面积为宽为，长为的长方形的面积，进而根据大长方形的面积减去小路的面积即可求解． 【详解】解：如图，由平移可知，小路面积为宽为，长为的长方形的面积， ∵路的宽度是1米， ∴这条小路的面积是， 这块菜地的面积是 故答案为：． 61．如图，一块长、宽的长方形土地，上面修了两条小路，宽都是，将阴影部分种上草坪，则草坪的面积是（）．    A．5225 B．4500 C．4750 D．4950 【答案】B 【分析】由题意可知：求阴影部分的面积，实际上就是求长为米，宽为米的长方形的面积，利用长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：， （平方米） 答：阴影部分的面积是4500平方米． 故选：B． 【点睛】解答此题的关键是：利用“压缩法”，将小路挤去，即可求出阴影部分的面积． 62．如图，长方形的长为，宽为，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为，则空白部分的面积是___． 【答案】 【分析】先把阴影的为平行四边形的面积化为长方形的面积，然后经过平移得到空白部分的为长方形，长为a-c，宽为b-c，根据长方形面积公式列式计算即可求解即可求解． 【详解】解：原图形可化为图1， 将阴影部分平移得到图2， 所以空白部分的面积为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了列代数式，平移，多项式乘以多项式等知识，根据题意，将平行四边形的面积转化为长方形的面积，进而进行平移，将空白部分面积转化为长方形的面积是解题关键． 63．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 题型18.平行线折叠问题 64．已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质等，熟练运用相关知识探索角之间的数量关系是解题的关键． 答题空1：先证，，再在中，运用三角形内角和定理，求得，最后求得； 答题空2：通过翻折的性质和平行线性质得到， 又，从而得到，最后得到． 【详解】解：答题空1：当点恰好落在线段上时， ， ∴， ∵长方形， ∴，， ∴， ∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置， ∴， ∵， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 答题空2：当点落在下方，且时， 由折叠的性质，， ∵， ∴， ∵长方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：， 65．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点与点分别落在点和点的位置上，与的交点为，若，则为 ______ 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可得，所以，又，所以，则有，然后通过角度和差即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则的度数为， 故答案为：． 66．如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】解：， ， 由折叠可得，， 由长方形可得， ， ， 故选：B． 67．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】由题意得：，，则，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线专项训练 题型01.相交线与对顶角(常) 题型02.垂线的定义与画法(常) 题型03.垂线段与点到直线的距离 题型04.同位角.内错角.同旁内角(常) 题型05.平行线的画法与位置关系 题型06.平行公理的应用(常) 题型07.平行线的判定(重) 题型08.同垂于一直线的两直线平行 题型09.平行线的性质(重) 题型10.由平行线的性质探究角的关系 题型11.由平行线的性质求角的度数(重) 题型12.平行线性质的应用(重) 题型13.由平行线判定与性质求角度(重) 题型14.由平行线判定与性质证明(难) 题型15.平移现象的识别与判断 题型16.利用平移性质求解(重) 题型17.利用平移解决实际问题(重) 题型18.平行线折叠问题(难) 题型01.相交线与对顶角 1．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个． 2．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 3．如图，直线，相交于点O，，O为垂足，，则_______． 4．已知直线相交于点，点在内部，作射线． （1）如图①，，则_______；_______； （2）如图②，，则_______； （3）如图③，平分，则_______，点到直线的距离为_______． 5．如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 题型02.垂线的定义与画法 6．如图，直线、相交于点O，，平分，，则的度数为________． 7．在下列命题中，①带根号的数都是无理数．②有公共顶点且相等的两个角是对顶角．③立方根等于本身的数只有0．④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是_______． 9．下图为网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请用无刻度的直尺利用网格，根据下列要求完成画图． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点B画直线的垂线，垂足为D； (4)在线段中，最短的线段为___________． 题型03.垂线段与点到直线的距离 10．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 11．“已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算”．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为，直线l的表达式为，M是直线l上的动点，N是上的动点，则MN的最小值为______． 12．阅读下列“”的说理过程： 如图1，在和中，，．接下来说明和完全重合． 如图2，由可知，如果使点与点重合，并且使射线与重合，那么射线与重合．再由，可知点与点重合，接下来说明点与点重合． 设点在直角边（不包括端点），连接，则，是钝角．若过点且垂直于的直线与线段交于点，则有．设点在线段的延长线上，连接，同理可得，因此，在射线上，与点的连线长度等于的点只有一个．再由点在射线上，，即可证明点与点重合．这样，的三个顶点与的三个顶点分别重合，与能够完全重合． 为能够同理说明，需要作的垂线是（    ） A．过点作的垂线 B．过点作的垂线 C．过点作的垂线 D．过点作的垂线 题型04.同位角.内错角.同旁内角 13．（1）如图，直线，被所截，则和___________是同位角，和___________是内错角，和___________是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为( )， ( )， 所以( )    14．下面四个图形中的和，不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 16．根据图形填空： (1)若直线，被直线所截，则和 是同位角． (2)若直线，被直线所截，则和 是内错角． (3)和是直线， 被直线所截构成的 角． 题型05.平行线的画法与位置关系 17．下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 18．下列说法中，正确的有（   ） ①若与相交，与相交，则与相交； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 20．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 题型06.平行公理的应用 21．下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有_________．（填序号） 22．下面语句中，正确的是（   ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么． A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④ 23．下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若 则 题型07.平行线的判定 24．如图，平分，，，则_______（写出一组平行线）． 25．如图，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 26．如图所示，直线上有两点A，C，分别引两条射线，，，射线别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间________秒．    27．推理填空：如图，已知，，可推得．理由如下： ∵（已知），且（　          　） ∴（等量代换） ∴（　                  　） ∴（                         ） 又∵（已知）， ∴（等量代换） ∴（　                   　） 题型08.同垂于一直线的两直线平行 28．两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点，，，在一条直线上，则有，理由是_____． 29．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 30．在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 题型09.平行线的性质 31．小明从处出发向北方向行走至处，右转行走至处，此时需把方向调整到与出发时相反，则方向的调整应是（  ） A．右转 B．左转 C．右转 D．左转 32．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是______． 33．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 34．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线． (1)已知条件①；②；③，选择其中能判定的一个条件，并证明； (2)在（1）的条件下，若“已知________，则”成立，请填空，并说明理由． 题型10.由平行线的性质探究角的关系 35．如图，直尺的对边平行，将一个直角三角板按图1和图2两种方式摆放，则对与，与的关系描述：①与互补；②；③与互余；④．正确的是____________． 36．如图，直线，直线分别与交于点，，点在直线上，于点，则图中与互余的角共有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 37．如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连接，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则______（用含，的代数式表示）． 38．已知：，在、间取一点P（点P不在直线上），连接、． (1)请探索图1中与、之间的关系，并说明理由． (2)当点P在图2的位置时，则_________． (3)当点P在图3的位置时，若，，则_________． (4)当点P在图4的位置时，请直接写出与、之间的关系． 题型11.由平行线的性质求角的度数 39．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______； . 40．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 41．将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________． 题型12.平行线性质的应用 42．为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则________；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动______秒时，两灯的光线互相平行．    43．如图，一条公路两次转弯后又回到原来的方向，若第一次转弯的转角的度数为，那么应是（    ） A． B． C． D． 44．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 45．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 题型13.由平行线判定与性质求角度 46．如图，直线，，，的角平分线与的角平分线交于点．则______°； 47．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．此时的度数为（   ） A． B． C． D． 48．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为____时，与平行． 49．如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 题型14.由平行线判定与性质证明 50．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④，其中能推出的条件有______．（填写序号） 51．嘉嘉在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下证明过程，淇淇为保证嘉嘉的推理更严谨，想在“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（   ） 已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线分别交直线，，于点，，． ，． 又，，． A．嘉嘉的推理严谨，不需要补充 B．应补充“” C．应补充“” D．应补充“” 52．如图，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），对于下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 其中正确的有__________．（请填写序号） 题型15.平移现象的识别与判断 53．在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（   ） A． B． C． D． 54．有一段长为的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中①~③符合条件的是（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 55．冰墩墩：2022年北京冬季奥运会的吉祥物．请问：由图中所示的冰墩墩通过平移后得到的图案是（    ） A． B． C． D． 题型16.利用平移性质求解 56．如图，在中，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点G，连接．则阴影部分的两个三角形周长之和为_________cm． 57．将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 58．把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为______． 59．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型17.利用平移解决实际问题 60．如图，一块长、宽的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路的宽度为，则这块菜地的面积是_______． 61．如图，一块长、宽的长方形土地，上面修了两条小路，宽都是，将阴影部分种上草坪，则草坪的面积是（）．    A．5225 B．4500 C．4750 D．4950 62．如图，长方形的长为，宽为，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为，则空白部分的面积是___． 63．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 题型18.平行线折叠问题 64．已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 65．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点与点分别落在点和点的位置上，与的交点为，若，则为 ______ 度． 66．如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 67．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $