第13讲 统计与概率专题讲义-2026届高三数学二轮复习

第13讲 统计与概率专题复习 知识点梳理 1.样本的数字特征： ①平均数：n个样本数据的平均数为. ②标准差：设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差. ③如果数据的平均数为，方差为，则： 新数据的平均数为，方差是. 2.分层抽样的均值和方差：若一个总体划分为两层，通过按样本的比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；.记总的样本平均数为，样本方差为,则： ①;②. 3.概率的基本性质：①性质1：对任意的事件A，都有； ②性质2：； ③性质3：如果事件A与事件B互斥，那么，那么； ④性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么，； ⑤性质5：如果,那么，由该性质可得，对于任意事件A，因为， 所以. ⑥性质6：设A、B是一个随机试验中的两个事件，有. 4.条件概率：一般的，设A,B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. ①； ②当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有； ③若B和C是两个互斥事件，则； ④若和是两个对立事件，则. ⑤乘法公式：若，时，则. 5.①全概率公式：一般的，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有. ②贝叶斯公式：一般的，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，，有： . 6.（1）离散型随机变量的性质：①；②. （2）离散型随机变量的均值和方差： ①数学期望：；②方差：；③；④性质：,，，. X 0 1 P 1-p p 7.两点分布： 期望：，方差. 8.二项分布：. ①，；②期望，方差. 9.超几何分布：其中. 10.正态分布：，①正态曲线：我们称为正态密度函数，其中为参数，为其对称轴.②3原则：；；； ③期望：，方差. 11.①线性回归方程，方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程，其中：，，称为样本点的中心；②残差：（残差=真实值-预测值），越小越好； ③残差平方和：，残差平方和越小越好. ④决定系数：，越大，残差平方和越小，拟合效果越好；越小，残差平方和越大，拟合效果越差. ⑤相关系数：，. 当时，称成对样本数据正相关；当时，称成对样本数据负相关.越接近于1，成对数据的线性相关程度越强；越接近于0，成对数据的线性相关程度越弱.通常时，认为两个变量具有很强的线性相关关系. 12.独立性检验： ①2×2列联表 合计 合计 ②独立性检验公式：. 13.互斥事件与独立事件概率公式对比： 表示 互斥概率 独立概率 或 0 1 典型例题 例1.（2025上海市高考）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 （1）求这组数据的极差与中位数； （2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； （3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y＝﹣0.311x，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 【解答】解：（1）数据从小到大排列为：206.78，207.46，207.95，209.34，209.35，210.68，213.73，214.84，216.93，216.93， 所以这10个数据的极差为216.93﹣206.78＝10.15，中位数为210.015． （2）由题意知，10个数据中在211以上有4个， 从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率P． （3）由题意知，（206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+ 216.93+216.93）＝211.399， 则0.311211.399+0.311×2006＝835.265， 所以y＝﹣0.311x+835.265， 令x＝2028，得y＝204.557≈204.56． 故预测2028年冠军队的成绩为204.56． 例2.（多选）为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制出如图所示的频率分布直方图，则（　　） A．样本观测数据的极差不大于50 B．样本观测数据落在区间[65，75）上的频率为0.025 C．样本观测数据的平均数大于中位数 D．若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务 【解答】解：∵95﹣45＝50，∴样本观测数据的极差不大于50，∴A选项正确； ∵样本观测数据落在区间[65，75）上的频率为0.025×10＝0.25，∴B选项错误； 根据题意可得样本观测数据的平均数为： 50×0.2+60×0.4+70×0.25+80×0.1+90×0.05＝64， ∵前两组的频率依次为0.2，0.4， ∴样观本测数据的中位数为：62.5＜64， ∴样本观测数据的平均数大于中位数，∴C选项正确； ∵[45，55）的频率为0.2， ∴若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务，∴D选项正确．故选：ACD． 例3.甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7， （1）求甲同学到第三天才预约成功的概率； （2）记X为甲同学预约门票的天数，求X的分布列和期望E（X）． 【解答】解：（1）甲同学到第三天才预约成功的概率为： P＝（1﹣0.7）2×0.7＝0.063． （2）记X为甲同学预约门票的天数，则X的可能取值为1，2，3， P（X＝1）＝0.7， P（X＝2）＝（1﹣0.7）×0.7＝0.21， P（X＝3）＝（1﹣0.7）2×0.7+（1﹣0.7）3＝0.09， ∴X的分布列为： X 1 2 3 P 0.7 0.21 0.09 ∴期望E（X）＝1×0.7+2×0.21+3×0.09＝1.39． 例4.面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分． （1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N（60，144），规定X≥72为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望． 附：若X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997． 【解答】解：（1）∵X服从正态分布N（60，144）， ∴． 进入面试环节的人数Z～B（100，0.1585），E（Z）＝100×0.1585≈16． ∴进入面试环节的人数大约为16． （2）根据题意，Y的所有可能取值为0，2，4，6，8，10， 则P（Y＝0）； P（Y＝2）； P（Y＝4）； P（Y＝6）； P（Y＝8）； P（Y＝10）． ∴． 例5.某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI＞100，称当天空气质量不达标．（1）求a； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：χ2， α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 【解答】解：（1）根据题意可得（a+0.006+0.01+a）×50＝1，解得a＝0.002； （2）由频率分布直方图知： 4月份的空气质量达标的天数为：50×（0.002+0.006）×30＝12， 所以4月份的空气质量不达标的天数为：30﹣12＝18， 所以从4月的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为1； （3）列联表如下： 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 12 18 30 6月 8 22 30 合计 20 40 60 假设H0：空气质量是否达标与月份无关， 则χ21.2＜2.706， 所以根据小概率值α＝0.1，没有充分理由推断H0不成立， 所以不能认为空气质量是否达标与月份有关联． 例6.某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和，其中． （1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； （2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值； （3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列． 【解答】解：（1）根据题意，甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大． （2）根据题意，设甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛为事件A， 则P（A）， 整理可得18p2﹣27p+10＝0，而，所以． （3）依题意，甲、乙、丙进入决赛的概率分别为， 随机变量ξ的可能取值有0，1，2，3， ， ， 所以随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 随堂演练 1.（2025新高考I卷）一个箱子里有5个相同的球，分别以1∼5标号，从中有放回地取三 次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E（X）＝　　 ． 【解答】解：X的可能取值为1，2，3， ， ， ， ． 故答案为：． 2.（2025上海市高考）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为P（A），事件B发生的概率为P（B），则事件A∩B发生的概率P（A∩B）为（　　） A． B． C． D．0 【解答】解：因为事件A、B相互独立，P（A），P（B）， 所以P（A∩B）＝P（A）•P（B）． 故选：B． 3.（2025天津市高考）下列说法中错误的是（　　） A．若X∼N（μ，σ2），则P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ） B．若X∼N（1，22），Y∼N（2，22），则P（X＜1）＜P（Y＜2） C．|r|越接近1，相关性越强 D．|r|越接近0，相关性越弱 【解答】解：对于A，由正态分布的性质可知， 当X∼N（μ，σ2）时，则P（X≤μ﹣σ）＝P（x≥μ+σ），故A正确； 对于B，由正态分布的性质可知， 当X∼N（1，22），Y∼N（2，22）时，P（X＜1）P（Y＜2），故B错误； 对于C，D，由相关系数的性质可知， |r|越接近1，相关性越强，|r|越接近0，相关性越弱，故C，D正确． 故选：B． 4.（2025天津市高考）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为 　0.6　 ；若一周至少跑11圈为运动达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E（X）＝ 　3.2　 ． 【解答】解：由题意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈， 小桐一周跑10圈的概率为0.5×0.4＝0.2， 小桐一周跑11圈的概率为0.5×0.6+0.5×0.6＝0.6， 小桐一周跑12圈的概率为0.5×0.4＝0.2， 一周至少跑11圈的概率为0.6+0.2＝0.8， 则X～B（4，0.8）， 所以E（X）＝4×0.8＝3.2． 故答案为：0.6；3.2． 5.某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩X～N（78，9），如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，则A等级的分数线应该是（　　） 参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.68，P（|X﹣μ|≤2σ）≈0.96． A．69 B．81 C．87 D．96 【解答】解：数学测试成绩X～N（78，9）， 则μ＝78，σ， 故P（X＞μ+σ）， 故A等级的分数线应该是μ+σ＝78+3＝81． 故选：B． 6.（多选）已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到经验回归方程为ŷ＝2x﹣0.4，且2，去除两个样本点（﹣2，1）和（2，﹣1）后，得到新的经验回归方程为ŷ＝3x．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（　　） A．相关变量x，y具有正相关关系 B．新的经验回归方程为ŷ＝3x﹣3 C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小 D．样本（4，8.9）的残差为﹣0.1 【解答】解：对于A：∵新的经验回归方程为ŷ＝3x，即斜率为3， ∴3＞0，即相关变量x，y具有正相关关系，故A正确； 对于B：将2代入ŷ＝2x﹣0.4得3.6， ∴去除两个样本点（﹣2，1）和（2，﹣1）后，得到新的平均数为，， 将，代入ŷ＝3x得3，解得3，故B正确； 对于C：∵3＞2， ∴去除两点后，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变大，故C错误； 对于D：当x＝4时，ŷ＝9， 则样本数据（4，8.9）的残差为8.9﹣9＝﹣0.1，故D正确， 故选：ABD． 7.（多选）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．则（　　） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：．记样本平均数为，样本方差为s2， A．a＝0.004 B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【解答】解：A项，（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，∴a＝0.005，A项错误； B项，[50，70]内频率为：5×0.005×10＝0.25＜0.5， [50，80]内频率为：12×0.005×10＝0.6＞0.5， 则中位数在[70，80]内，设中位数为x，则0.25+（x﹣70）×7×0.005＝0.5， 则x＝77.14，B正确； 成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为分， 方差为30.25，C，D正确． 故选：BCD． 8.（多选）下列说法正确的有（　　） A．若样本数据x1，x2，…，x2025的平均数为a，则数据ax1，ax2，…，ax2025的平均数为a B．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜a）＝0.5，则a＝2 C．若随机变量ξ～B（9，），则E（ξ） D．若随机变量ξ～B（9，），设η＝3ξ+1，则D（η） 【解答】解：对于选项A：若样本数据x1，x2，…，x2025的平均数为a， 所以数据x1，x2，…，x2025，a的平均数为a，故选项A正确； 对于选项B：若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜a）＝0.5， 此时a＝μ＝2，故选项B正确； 对于选项C：若随机变量ξ～B（9，），则，故选项C错误； 对于选项D，因为随机变量ξ～B（9，），所以D（ξ）＝9， 因为η＝3ξ+1，所以.故选项D错误．故选：AB． 9.若甲组样本数据x1，x2，…，xn（数据各不相同）的平均数为5，乙组样本数据3x1+a，3x2+a，…，3xn+a的平均数为12，则下列说法错误的是（　　） A．a＝﹣3 B．乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的9倍 C．两组样本数据的中位数可能相等 D．两组样本数据的极差可能相等 【解答】解：甲组样本数据x1，x2，…，xn（数据各不相同）的平均数为5， 乙组样本数据3x1+a，3x2+a，…，3xn+a的平均数为12， 对于A，设甲组样本数据的平均数为，则乙组样本数据的平均数为， 由，得a＝﹣3，故A正确； 对于B，乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的32＝9倍，故B正确； 对于C，设甲组样本数据的中位数为m，则乙组样本数据的中位数为3m﹣3， 由m＝3m﹣3得，，故两组样本数据的中位数可能相等，故C正确； 对于D，不妨设x1＜x2＜⋯＜xn， 则甲组数据的极差为xn﹣x1，乙组数据的极差为（3xn+a）﹣（3x1+a）＝3（xn﹣x1）， ∵甲组数据各不相同，∴两组样本数据的极差不相等，故D错误． 故选：D． 10.（多选）下列说法正确的是（　　） A．已知随机变量ξ服从二项分布：，设η＝2ξ+1，则η的方差D（η）＝3 B．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为7 C．若样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数为3，则3x1+1，3x2+1，⋯，3xn+1的平均数为10 D．用简单随机抽样的方法从51个样本中抽取2个样本，则每个样本被抽到的概率都是 【解答】解：对于选项A：因为，则， 又因为η＝2ξ+1，所以D（η）＝22×D（ξ）＝3，故A正确； 对于选项B：因为共有7个数据，且7×60%＝4.2， 所以第60百分位数为第5个数据，是9，故B错误； 对于选项C：若样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数为2， 则3x1+1，3x2+1，⋯，3xn+1的平均数为3×3+1＝10，故C正确； 对于选项D：根据随机抽样的前提可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，故D正确．故选：ACD． 11.某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为，，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设选择邮件投诉为事件A，维权成功为事件B， 则， ， 所以， 即在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为． 故选：B． 12.（多选）下列说法中，正确的命题是（　　） A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1 B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望 C．若随机变量X∼N（μ，σ2），当μ不变时，σ越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是 【解答】解：对于A，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故A正确； 对于B，口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X， 则X服从参数N，M，n分别为10，7，2的超几何分布， 所以X的数学期望E（X），故B正确； 对于C，若随机变量X∼N（μ，σ2），当μ不变时，σ越小，该正态分布对应的正态密度曲线越高瘦，故C错误； 对于D，设事件A表示“其中一件为正品”，事件B表示“另一件也为正品”， 则P（A）＝1，P（AB）， 所以P（B|A），故D正确． 故选：ABD． 13.已知一组数据233，144，89，55，34，21，13，8，5，3，2，1，则它们的上四分位数为 　72　 ．（用具体数值作答） 【解答】解：根据题意，将数据从小到大排列：依次为1，2，3，5，8，13，34，21，55，89，144，233． 又由12×0.75＝9， 故该组数据的上四分位数为（55+89）＝72． 故答案为：72． 14.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（　　） A．事件B与事件A3相互独立 B． C． D． 【解答】解：由题意得P（A1），P（A2），P（A3）， 先A1发生，此时乙袋中有5个红球，3个白球和3个黑球，则P（B|A1）， 先A2发生，此时乙袋中有4个红球，4个白球和3个黑球，则P（B|A2）， 先A3发生，此时乙袋中有4个球，3个白球和4个黑球，则P（B|A3）． ∴P（A2B）＝P（B|A2）P（A2），故C错误； P（B）＝P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（B|A3）P（A3），故D正确； P（A1|B），故B正确； P（A3B）＝P（B|A3）P（A3）， P（A3）P（B）≠P（A3B），故A错误； 故选：BD． 15.（2025新高考I卷）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值； （2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附：χ2 P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【解答】解：（1）由题知，样本中超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为， 由样本估计总体可得超声波检查结果不正常者患该疾病的概率P； （2）零假设H0为：超声波检查结果与患该疾病无关． 代入2×2列联表中的数据可得：χ2765.625＞10.828， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关， 该推断犯错误的概率不超过0.001． 16.一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中随机地摸4个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数，Y表示样本中黄球的比例． （1）若有放回摸球，求X的分布列及数学期望； （2）（ⅰ）分别就有放回摸球和不放回摸球，求Y与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过0.2的概率． （ⅱ）比较（ⅰ）中所求概率的大小，说明其实际含义． 【解答】解：（1）∵有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且每次试验之间的结果是独立的， ∴X服从二项分布，即 X～， X的所有可能值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P E（X）＝4． （2）（i）样本中黄球的比例为， 由题意，解得1.6≤X≤3.2，即X取2，3， 有放回摸球时，概率P1＝P（X＝2）+P（X＝3）， 不放回摸球时，概率P2＝P（X＝2）+P（X＝3）． （ii）由（i）可知，P1＜P2，所以在误差不超过0.2的限制下，用样本中黄球比例估计总体黄球比例，采用不放回估计的结果更可靠些． 17.某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7．（1）若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率； （2）若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率． 【解答】解：（1）设事件A，B，C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件D表示他买到的红茶是优质品， 若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2， 则， 甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7， 则P（D|A）＝0.9，P（D|B）＝0.8，P（D|C）＝0.7， 故P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.9×0.4+0.8×0.4+0.7×0.2＝0.82， 所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82． （2）设事件E表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件E的情况有： 甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立， 则P（E）＝0.9×0.8×（1﹣0.7）+0.9×（1﹣0.8）×0.7+（1﹣0.9）×0.8×0.7＝0.216+0.126+0.056＝0.398， 所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为0.398． 18.某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI＞100，称当天空气质量不达标．（1）求a； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：χ2， α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 【解答】解：（1）根据题意可得（a+0.006+0.01+a）×50＝1，解得a＝0.002； （2）由频率分布直方图知： 4月份的空气质量达标的天数为：50×（0.002+0.006）×30＝12， 所以4月份的空气质量不达标的天数为：30﹣12＝18， 所以从4月的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为1； （3）列联表如下： 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 12 18 30 6月 8 22 30 合计 20 40 60 假设H0：空气质量是否达标与月份无关， 则χ21.2＜2.706， 所以根据小概率值α＝0.1，没有充分理由推断H0不成立， 所以不能认为空气质量是否达标与月份有关联． 19.某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如表所示： 土地使用面积x/亩 1 2 3 4 5 管理时间y/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 女性村民 50 合计 （1）求出样本相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关（当|r|≥0.75时，即可认为线性相关）； （2）依据α＝0.001的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式：，其中n＝a+b+c+d． 临界值表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 【解答】解：（1）由题知， ，， （﹣6）+0×（﹣3）+1×9+2×8＝47， ， ， 则， 故管理时间y与土地使用面程x线性相关． （2）依题意，完蟙表格如下： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为H0：村民的性别与参与管理的意愿无关． 计算可得． 依据α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关． （3）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， ， ， ． 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则数学期望． 20.为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛．全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示： （1）计算b的值，并估计该校这次初赛的平均分数． （2）初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用X代表其中的优秀参赛选手人数，求X的分布； （3）为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束．例如：选手甲可自行按“简答一填空一选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分． 小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛．根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为： 题型 填空 选择 简答 答题正确概率 80% 90% 80% 若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由． 【解答】解：（1）由频率分布直方图中小矩形的面积和为1可得：20×（0.005+b+0.020+0.015）＝1， 解得b＝0.010；该校这次初赛的平均分数为20×（30×0.005+50×0.010+70×0.020+90×0.015）＝68． （2）初赛分数达到80及以上的同学为0.015×20×40＝12人， 非优秀为28人，由题意可得X的可能取值为0，1，2， ， ， ，所以X的分布列为： X 0 1 2 P 5 （3）按照不同题目顺序分类讨论：填空，选择，简答： 得零分的概率：1﹣0.8＝0.2，得一分的概率：0.8×（1﹣0.9）＝0.08， 得两分的概率：0.8×0.9×0.2＝0.144， 得三分的概率：0.8×0.9×0.8＝0.576， 期望为E＝0×0.2+1×0.08+2×0.144+3×0.576＝2.096分； 因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，选择，填空”的期望与之相同； 填空，简答，选择：得零分的概率：1﹣0.8＝0.2， 得一分的概率：0.8×0.2＝0.16， 得两分的概率：0.8×0.8×0.1＝0.064， 得三分的概率：0.8×0.8×0.9＝0.576， 期望为E＝0×0.2+1×0.16+2×0.064+3×0.576＝2.016分； 因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，填空，选择”的期望与之相同； 选择，填空，简答：得零分的概率：1﹣0.9＝0.1， 得一分的概率：0.9×（1﹣0.8）＝0.18， 得两分的概率：0.9×0.8×0.2＝0.144， 得三分的概率：0.9×0.8×0.8＝0.576， 期望为E3＝0×0.1+1×0.18+2×0.144+3×0.576＝2.196分； 因为填空和简答的正确率相同，所以“选择，简答，填空”的期望与之相同； 所以E3＞E1＞E2小杨应采用“选择，填空，简答”或“选择，简答，填空”的顺序. 21.高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． （1）现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为X，求随机变量X的数学期望； （2）若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记1分，摸出红球记2分，以0分开始计分，恰好获得10分或11分则结束摸球．若该代表获得10分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率． 【解答】解：（1）由题意可知，， 所以； （2）记事件A1、A2、A3分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件B表示该同学能猜对， 所以，，，， 由全概率公式可得； （3）由题意可知，积分增加1分的概率为，增加2分的概率为， 记得分为n的概率为Pn，且，， ， 所以，且， 所以数列{Pn+1﹣Pn}是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得， 因此丁组获胜的概率为． 22.甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是． （1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为A组），与投篮水平较高的人（记为B组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮2次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求B组获胜的概率． 【解答】解：甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是， 甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是， （1）丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为p1、p2、p3． 依题意，得，解得， 因为p1＝p2＜p3，所以，丙投篮水平较高． （2）记A组投中次数为X1，B组投中次数为X2， 由（1）知，， 若B组获胜，则X1＝0，X2＝1或X1＝0，X2＝2或X1＝1，X2＝2， 所以，， ， ． 故B组获胜的概率为： P＝P（X1＝0，X2＝1）+P（X1＝0，X2＝2）+P（X1＝1，X2＝2）． 23.环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3）．调研人员采集了50天的数据，制作了关于（xi，yi）（i＝1，2，3，⋯，50）的散点图，并用直线x＝1500与y＝100将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8． （1）完成下面的2×2列联表，并判断至少有多大把握认为“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3与“汽车日流量不小于1500辆”有关； 汽车日流量x＜1500 汽车日流量x≥1500 合计 PM2.5的平均浓度y＜100 PM2.5的平均浓度y≥100 合计 （2）经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量x的标准差sx＝252，PM2.5的平均浓度y的标准差sy＝36． ①求相关系数r，并判断该回归方程是否有价值； ②若这50天的汽车日流量x满足，试推算这50天的PM2.5日均浓度y的平均数．（精确到0.1） 参考公式：，其中n＝a+b+c+d． P（χ2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 回归方程，其中． 相关系数．若|r|≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关性． 【解答】解：（1）2×2列联表如下： 汽车日流量＜1500 汽车日流量x≥1500 合计 PM2.5的平均浓度y＜100 16 8 24 PM2.5的平均浓度y≥100 6 20 26 合计 22 28 50 零假设H0：“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆”无关， 因为， 所以至少有99%的把握（但还不能有99.9%的把握）认为“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆有关”． （2）①因为回归方程为， 所以， 又因为，， 所以． ∵|r|＝0.84＞0.75，∴y与x有较强的相关性， ∴该回归方程有价值． ②，解得 而样本中心点位于回归直线上， 因此可推算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 统计与概率专题复习 知识点梳理 1.样本的数字特征： ①平均数：n个样本数据的平均数为. ②标准差：设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差. ③如果数据的平均数为，方差为，则： 新数据的平均数为，方差是. 2.分层抽样的均值和方差：若一个总体划分为两层，通过按样本的比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；.记总的样本平均数为，样本方差为,则： ①;②. 3.概率的基本性质：①性质1：对任意的事件A，都有； ②性质2：； ③性质3：如果事件A与事件B互斥，那么，那么； ④性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么，； ⑤性质5：如果,那么，由该性质可得，对于任意事件A，因为， 所以. ⑥性质6：设A、B是一个随机试验中的两个事件，有. 4.条件概率：一般的，设A,B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. ①； ②当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有； ③若B和C是两个互斥事件，则； ④若和是两个对立事件，则. ⑤乘法公式：若，时，则. 5.①全概率公式：一般的，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有. ②贝叶斯公式：一般的，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，，有： . 6.（1）离散型随机变量的性质：①；②. （2）离散型随机变量的均值和方差： ①数学期望：；②方差：；③；④性质：,，，. X 0 1 P 1-p p 7.两点分布： 期望：，方差. 8.二项分布：. ①，；②期望，方差. 9.超几何分布：其中. 10.正态分布：，①正态曲线：我们称为正态密度函数，其中为参数，为其对称轴.②3原则：；；； ③期望：，方差. 11.①线性回归方程，方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程，其中：，，称为样本点的中心；②残差：（残差=真实值-预测值），越小越好； ③残差平方和：，残差平方和越小越好. ④决定系数：，越大，残差平方和越小，拟合效果越好；越小，残差平方和越大，拟合效果越差. ⑤相关系数：，. 当时，称成对样本数据正相关；当时，称成对样本数据负相关.越接近于1，成对数据的线性相关程度越强；越接近于0，成对数据的线性相关程度越弱.通常时，认为两个变量具有很强的线性相关关系. 12.独立性检验： ①2×2列联表 合计 合计 ②独立性检验公式：. 13.互斥事件与独立事件概率公式对比： 表示 互斥概率 独立概率 或 0 1 典型例题 例1.（2025上海市高考）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 （1）求这组数据的极差与中位数； （2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； （3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y＝﹣0.311x，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 例2.（多选）为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制出如图所示的频率分布直方图，则（　　） A．样本观测数据的极差不大于50 B．样本观测数据落在区间[65，75）上的频率为0.025 C．样本观测数据的平均数大于中位数 D．若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务 例3.甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7， （1）求甲同学到第三天才预约成功的概率； （2）记X为甲同学预约门票的天数，求X的分布列和期望E（X）． 例4.面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分． （1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N（60，144），规定X≥72为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望． 附：若X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997． 例5.某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI＞100，称当天空气质量不达标．（1）求a； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：χ2， α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 例6.某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和，其中． （1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； （2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值； （3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列． 随堂演练 1.（2025新高考I卷）一个箱子里有5个相同的球，分别以1∼5标号，从中有放回地取三 次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E（X）＝　　 ． 2.（2025上海市高考）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为P（A），事件B发生的概率为P（B），则事件A∩B发生的概率P（A∩B）为（　　） A． B． C． D．0 3.（2025天津市高考）下列说法中错误的是（　　） A．若X∼N（μ，σ2），则P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ） B．若X∼N（1，22），Y∼N（2，22），则P（X＜1）＜P（Y＜2） C．|r|越接近1，相关性越强 D．|r|越接近0，相关性越弱 4.（2025天津市高考）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为　 ；若一周至少跑11圈为运动达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E（X）＝　 　． 5.某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩X～N（78，9），如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，则A等级的分数线应该是（　　） 参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.68，P（|X﹣μ|≤2σ）≈0.96． A．69 B．81 C．87 D．96 6.（多选）已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到经验回归方程为ŷ＝2x﹣0.4，且2，去除两个样本点（﹣2，1）和（2，﹣1）后，得到新的经验回归方程为ŷ＝3x．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（　　） A．相关变量x，y具有正相关关系 B．新的经验回归方程为ŷ＝3x﹣3 C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小 D．样本（4，8.9）的残差为﹣0.1 7.（多选）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．则（　　） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：．记样本平均数为，样本方差为s2， A．a＝0.004 B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 8.（多选）下列说法正确的有（　　） A．若样本数据x1，x2，…，x2025的平均数为a，则数据ax1，ax2，…，ax2025的平均数为a B．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜a）＝0.5，则a＝2 C．若随机变量ξ～B（9，），则E（ξ） D．若随机变量ξ～B（9，），设η＝3ξ+1，则D（η） 9.若甲组样本数据x1，x2，…，xn（数据各不相同）的平均数为5，乙组样本数据3x1+a，3x2+a，…，3xn+a的平均数为12，则下列说法错误的是（　　） A．a＝﹣3 B．乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的9倍 C．两组样本数据的中位数可能相等 D．两组样本数据的极差可能相等 10.（多选）下列说法正确的是（　　） A．已知随机变量ξ服从二项分布：，设η＝2ξ+1，则η的方差D（η）＝3 B．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为7 C．若样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数为3，则3x1+1，3x2+1，⋯，3xn+1的平均数为10 D．用简单随机抽样的方法从51个样本中抽取2个样本，则每个样本被抽到的概率都是 11.某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为，，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（　　） A． B． C． D． 12.（多选）下列说法中，正确的命题是（　　） A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1 B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望 C．若随机变量X∼N（μ，σ2），当μ不变时，σ越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是 13.已知一组数据233，144，89，55，34，21，13，8，5，3，2，1，则它们的上四分位数为　 ．（用 具体数值作答） 14.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（　　） A．事件B与事件A3相互独立 B． C． D． 15.（2025新高考I卷）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值； （2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附：χ2 P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16.一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中随机地摸4个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数，Y表示样本中黄球的比例． （1）若有放回摸球，求X的分布列及数学期望； （2）（ⅰ）分别就有放回摸球和不放回摸球，求Y与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过0.2的概率． （ⅱ）比较（ⅰ）中所求概率的大小，说明其实际含义． 17.某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7．（1）若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率； （2）若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率． 18.某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI＞100，称当天空气质量不达标．（1）求a； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：χ2， α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 19.某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如表所示： 土地使用面积x/亩 1 2 3 4 5 管理时间y/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 女性村民 50 合计 （1）求出样本相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关（当|r|≥0.75时，即可认为线性相关）； （2）依据α＝0.001的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式：，其中n＝a+b+c+d． 临界值表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 20.为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛．全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示： （1）计算b的值，并估计该校这次初赛的平均分数． （2）初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用X代表其中的优秀参赛选手人数，求X的分布； （3）为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束．例如：选手甲可自行按“简答一填空一选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分． 小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛．根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为： 题型 填空 选择 简答 答题正确概率 80% 90% 80% 若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由． 21.高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． （1）现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为X，求随机变量X的数学期望； （2）若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记1分，摸出红球记2分，以0分开始计分，恰好获得10分或11分则结束摸球．若该代表获得10分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率． 22.甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是． （1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为A组），与投篮水平较高的人（记为B组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮2次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求B组获胜的概率． 23.环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3）．调研人员采集了50天的数据，制作了关于（xi，yi）（i＝1，2，3，⋯，50）的散点图，并用直线x＝1500与y＝100将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8． （1）完成下面的2×2列联表，并判断至少有多大把握认为“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3与“汽车日流量不小于1500辆”有关； 汽车日流量x＜1500 汽车日流量x≥1500 合计 PM2.5的平均浓度y＜100 PM2.5的平均浓度y≥100 合计 （2）经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量x的标准差sx＝252，PM2.5的平均浓度y的标准差sy＝36． ①求相关系数r，并判断该回归方程是否有价值； ②若这50天的汽车日流量x满足，试推算这50天的PM2.5日均浓度y的平均数．（精确到0.1） 参考公式：，其中n＝a+b+c+d． P（χ2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 回归方程，其中． 相关系数．若|r|≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关性． 1 学科网（北京）股份有限公司 $