8.4乘法公式自主达标测试题2025-2026学年苏科版七年级数学下册

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《8.4乘法公式》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2025 3．已知，，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，，，则代数式的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 7．为调动学生学习的积极性，八（1）班班委计划制作一个展示框，展示框里张贴平时表现积极的学生照片．班委先设计了一个正方形的展示框，但大家建议加上学生名字，需要将原正方形展示框的一组对边增加，另一组对边减少，则改造后展示框的面积与原来的面积相比（   ） A．增加 B．增加 C．不变 D．减少 8．如图，小明以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为56，面积之和为54，则长方形的面积为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 二、填空题（满分24分） 9．计算：______ 10．若，则_______． 11．计算：_______． 12．整式是完全平方式，则______． 13．若，则______． 14．方程的解是______． 15．式子的末位数字是______． 16．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为的正方形，则需要C类卡片_______张．   三、解答题（满分72分） 17．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)． (4)． 18．用简便方法进行计算： (1)． (2)． (3)． 19．运用乘法公式计算： (1)． (2)． (3)． 20．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 21．“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分______； (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含（为正整数）的等式表示第个等式，并证明这个结论是正确的． 22．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 23．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积． 方法1： ；    方法2： (2)观察图2，请你写出代数式之间的等量关系： (3)根据（2）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 参考答案 1．解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了完全平方公式，通过令 ，将原方程化为关于 的完全平方形式，求解得到 ，再计算奇数次幂； 【详解】解：∵ ， 令 ，则 ， ∴ 原方程化为 ， 即 ， ∴ ，即 ， ∴ ； 故选：A 3．A 【分析】本题考查平方差公式：，熟记公式结构是解题的关键． 将N表示为，利用平方差公式化简计算即可． 【详解】解：∵， 又 ∵， ∴， ∴． 故选A． 4．D 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． 根据图形表示出两个正方形边长与、的关系，结合乘法公式计算逐个判断即可． 【详解】解：由图形可得，，，故①正确； ∴，故②正确； 由图形可得，，故③正确； ， ∴，即故④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的变形对代数式进行转化，再代入计算． 先求出的值，再利用恒等式 进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查平方差公式． 设两个连续奇数为和（为正整数），，根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为的倍数，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数为和（为正整数）， ∵， 根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为8的倍数， A．，不是“凤凰数”，不符合题意； B．，不是“凤凰数”，不符合题意； C．，不是“凤凰数”，不符合题意； D．，是“凤凰数”，符合题意． 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了平方差公式，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 设原正方形边长为，则原面积为，改造后，一组对边增加，另一组减少，形成矩形，新面积为，利用平方差公式计算新面积，并与原面积比较，即可作答． 【详解】解：∵设原正方形边长为， 则原面积为， ∵改造后，一组对边增加，另一组减少， ∴新面积为， 则， ∴改造后面积减少， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了完全平方公式在长方形面积计算中的应用，解题的关键是利用正方形的周长和面积关系得出长方形长与宽的和及平方和，再通过完全平方公式求解面积． 设长方形的长为，宽为，根据四个正方形的周长之和与面积之和列出关于、的方程，得出和的值，再利用完全平方公式求出（即长方形面积）． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③ - ②得， 所以， 即长方形的面积为， 故选C． 9． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 根据，可得答案. 【详解】解：. 故答案为：. 10．8 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式将变形得，再代入求值即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：8． 11．/ 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 故答案为： 12． 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特征求解即可，熟练掌握完全平方式的结构是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为． 将原式变形为，再将代入求值即可． 【详解】解： 将代入， 原式 = ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是解题的关键，利用公式法计算即可． 【详解】解：， 移项，， ， 合并同类项并计算得：， 解得：． 故答案为： 10． 15．0 【分析】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．先将8变形为，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可． 【详解】解：方法一： ， ∵，，，，，，… ∴的指数以1到4为一个周期，幂的个位数字就按2，8，6，0顺序重复出现， ∵， ∴的个位数字是． 方法二：∵，是整数， ∴的末位数字是0； 故答案为：0． 16．解：∵ 边长为的正方形的面积为，类卡片面积为，类卡片面积为，类卡片面积为 ∴ 拼成该正方形需要类卡片张，类卡片张，类卡片张． 故答案为： 17．（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． （4）解：原式． 18．（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 19．（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式． 20．（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解：原式 ． 当，时， 原式 ． 21．（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，第个等式是： 理由：右边 ， 左边， 左边右边， 成立． 22．（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 23．（1）解：方法1：大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， 方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积， ∴大正方形的面积为：； 故答案为：方法1：；方法2：； （2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为； 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $