8.4乘法公式 同步自主达标测试题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《8.4乘法公式》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各式整理后与相等的是（    ） A． B． C． D． 3．已知、是实数，，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．如果，那么的值为（   ） A．49 B．7 C． D．7或 5．设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则表示中间空的部分的面积不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若，则a的值为________． 10．若是一个完全平方式，则_________． 11．计算：_____． 12．若，则的值是_______． 13．若 ，则代数式 =_______； 14．设．若，则________． 15．将一个边长为米的正方形广场的各边增加2米，与原来相比，正方形广场的面积增加了______平方米． 16．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为________． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 19．计算 (1) (2)先化简，再求值：，其中，． 20．如图，某学校有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一块边长为米的正方形修建花坛，其余部分种植草坪． (1)用含，的式子表示草坪的面积； (2)若，，求草坪的面积． 21．【发现】数学活动课中，学习小组通过计算下列两组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值），发现结果有个规律：两数和一定时．差的绝对值越小，积越大． ①，，，； ②，，，． 【验证】（1）设两个数分别为和，其中为定值，．请用整式的乘法证明上述规律； 【运用】（2）请用上述规律解决问题；用长的绳子围成一个长方形，求这个长方形的最大面积． 22．小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 23．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． 探索发现： （1）如图①，写出一个我们熟悉的数学公式： ． 解决问题： （2）若满足，求的值． （3）若满足，求的值． （4）如图②，在长方形中，，，，是，上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 ． 参考答案 1．A 【分析】此题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式的特点找相同项和相反项，即可得到答案． 【详解】解：A、符合平方差公式的结构特点，能用平方差公式进行计算，此选项正确； B、没有相同项，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； C、没有相同项，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； D、没有相反项，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，将原式配方后即可判断． 【详解】解： ， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，计算出的表达式，结合完全平方公式进行计算，即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵、是实数，，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式是．首先根据平方差公式化简得出，然后乘方的意义求解即可． 【详解】解：，即， ∴． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用．根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，，，，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故A符合题意； ∵，，， ∴，， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故C不符合题意，D不符合题意. 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．根据题意可得拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， 【详解】解：根据题意得：拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， ∴． 故选：D 7．A 【分析】本题考查代数式的化简求值．本题可先根据已知条件求出的值，再将代数式进行变形，最后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴原式； 故选：A． 8．A 【分析】此题考查了整式的混合运算以及完全平方公式，求出正方形的边长是解答本题的关键． 先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积正方形的面积矩形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵图（1）是一个长为，宽为的长方形，大正方形的边长为：， ∴大正方形的面积为， ∵原矩形的面积为， ∴中间空的部分的面积． 故表示中间空的部分的面积不正确的是A， 故选：A． 9．16 【分析】解题思路为利用完全平方公式将展开，然后与等式右边的式子对比，求出的值．本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 【详解】解： 又 对比可得． 故答案为． 10．或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键，注意容易漏掉“负解”． 将原式化简为：，该代数式为完全平方公式，则根据完全平方公式得出，从而求解出m的值 【详解】解：依题意， ∵是一个完全平方式， ∴ ∴ ∴ 即或 解得：或 故答案为：或 11． 【分析】本题可利用平方差公式来进行简便计算，需要将和进行适当变形，构造出平方差公式的形式．本题主要考查了平方差公式的实际应用，通过将带分数变形构造出平方差公式的形式来进行简便运算．熟练掌握平方差公式的结构特征以及带分数的变形方法是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了平方差公式分解因式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式分解因式，将代入整理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：． 13．34 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据完全平方公式整理代数式，再把已知的代数式的值代入，求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：34． 14．27 【分析】本题考查完全平方公式的运用，找到a、b、c之间的关系是解答的关键．先根据已知得到，，进而得到，然后利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：，，， ，． ， ，即， ∴， ． 故答案为：27． 15． 【分析】本题考查的是列代数式及整式的混合运算．根据题意可得出扩建前广场面积为平方米，扩建后的面积为平方米，作差即可求解． 【详解】解：由题意可得：平方米． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了完全平方公式与几何背景的结合，利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量，根据完全平方公式求出拼成后的正方形的面积的表达式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴拼成一个边长为的正方形需要类卡片张，类卡片张，类卡片张， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，准确的计算是解决本题的关键． （1）将原式变为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可； （2）将原式变为，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1)9991 (2)10000 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 19．(1) (2)， 【分析】（）先进行乘方和乘法运算，再进行加减运算即可； （）根据整式的乘法公式和运算法则先进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ∵，， ∴原式． 20．(1) (2)(平方米)． 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算—化简求值，弄清题意列出相应的式子是解本题的关键． （1）草坪面积长方形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：草坪的面积长方形面积正方形面积 ； （2）解：当，时， 草坪面积 (平方米) 21．（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了平方差公式、整式的加减、绝对值的非负性等知识，熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）先求出，根据为定值，可得越小，越大，再求出为定值，，由此即可得证； （2）设这个长方形的长为，宽为，先求出，则长方形的面积为，再根据（1）的规律可得当的值最小，即时，的值最大，求出的值，代入计算即可得． 【详解】（1）证明：∵，为定值，， ∴越小，越大， 又∵为定值；， ∴两数和一定时．差的绝对值越小，积越大． （2）解：设这个长方形的长为，宽为， 由题意得：，即， ∴， ∴这个长方形的面积为， ∵，为定值；， ∴由（1）的规律可知，当的值最小，即时，的值最大， ∴此时有，即，的最大值为， ∴这个长方形的最大面积． 22．（1）见解析；（2）①；②3；（3）；（4） 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】此题考查了完全平方公式与图形面积，平方差公式与图形面积，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 23．（1）；（2）130；（3）；（4）176 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形的结合，以及完全平方公式的变形； （1）根据面积公式可知大正方形的面积为，小正方形的面积为，即可求得等式； （2）设，则，利用代入即可； （3），则，，利用即可； （4）根据题意得，，，设，，则，，那么，即可． 【详解】解：（1）根据面积公式可知大正方形的面积为，小正方形和长方形的面积和为，则， 故答案为：； （2）设，则， 那么，； （3），则，， 则； （4）根据题意得，，， 设，， ，， ， 图中阴影部分的面积和为， 故答案为：176． 学科网（北京）股份有限公司 $